MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvcl 19289
Description: An absolute value is a function from the ring to the real numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvf.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvf.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
abvcl ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)

Proof of Theorem abvcl
StepHypRef Expression
1 abvf.a . . 3 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2 abvf.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
31, 2abvf 19288 . 2 (𝐹𝐴𝐹:𝐵⟶ℝ)
43ffvelrnda 6723 1 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1525  wcel 2083  cfv 6232  cr 10389  Basecbs 16316  AbsValcabv 19281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-addrcl 10451  ax-rnegex 10461  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-po 5369  df-so 5370  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-er 8146  df-map 8265  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-ico 12598  df-abv 19282
This theorem is referenced by:  abvgt0  19293  abv1z  19297  abvneg  19299  abvrec  19301  abvdiv  19302  abvdom  19303  abvcxp  25877  qabvle  25887  qabvexp  25888  ostth1  25895  ostth2lem2  25896  ostth2lem3  25897  ostth2lem4  25898  ostth2  25899  ostth3  25900
  Copyright terms: Public domain W3C validator