Theorem ackbij1lem6 10229

Description: Lemma for ackbij2 10247. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem6	⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))

Proof of Theorem ackbij1lem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinel2 4148	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
2		elinel2 4148	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
3		unfi 9168	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
5		elinel1 4147	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 ω)
6		elinel1 4147	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐵 ∈ 𝒫 ω)
7		elpwi 4564	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 ω → 𝐴 ⊆ ω)
8		elpwi 4564	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝒫 ω → 𝐵 ⊆ ω)
9		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ 𝐵 ⊆ ω) → 𝐴 ⊆ ω)
10		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ 𝐵 ⊆ ω) → 𝐵 ⊆ ω)
11	9, 10	unssd 4138	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ 𝐵 ⊆ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ω)
12	7, 8, 11	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝒫 ω ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ω)
13	5, 6, 12	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ω)
14	4, 13	elpwd 4563	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝒫 ω)
15	14, 4	elind 4146	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557  ωcom 7863  Fincfn 8955

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-om 7864  df-en 8956  df-fin 8959

This theorem is used by:  ackbij1lem9  10232  ackbij1lem18  10241