Theorem ackbij1lem6 9981

Description: Lemma for ackbij2 9999. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem6	⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))

Proof of Theorem ackbij1lem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinel2 4130	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
2		elinel2 4130	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
3		unfi 8955	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
5		elinel1 4129	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 ω)
6		elinel1 4129	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐵 ∈ 𝒫 ω)
7		elpwi 4542	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 ω → 𝐴 ⊆ ω)
8		elpwi 4542	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝒫 ω → 𝐵 ⊆ ω)
9		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ 𝐵 ⊆ ω) → 𝐴 ⊆ ω)
10		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ 𝐵 ⊆ ω) → 𝐵 ⊆ ω)
11	9, 10	unssd 4120	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ 𝐵 ⊆ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ω)
12	7, 8, 11	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝒫 ω ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ω)
13	5, 6, 12	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ω)
14	4, 13	elpwd 4541	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝒫 ω)
15	14, 4	elind 4128	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3885   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533  ωcom 7712  Fincfn 8733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-om 7713  df-en 8734  df-fin 8737

This theorem is referenced by:  ackbij1lem9  9984  ackbij1lem18  9993