Theorem ackbij1lem6 9912

Description: Lemma for ackbij2 9930. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem6	⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))

Proof of Theorem ackbij1lem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinel2 4126	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
2		elinel2 4126	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
3		unfi 8917	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
5		elinel1 4125	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 ω)
6		elinel1 4125	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐵 ∈ 𝒫 ω)
7		elpwi 4539	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 ω → 𝐴 ⊆ ω)
8		elpwi 4539	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝒫 ω → 𝐵 ⊆ ω)
9		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ 𝐵 ⊆ ω) → 𝐴 ⊆ ω)
10		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ 𝐵 ⊆ ω) → 𝐵 ⊆ ω)
11	9, 10	unssd 4116	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ 𝐵 ⊆ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ω)
12	7, 8, 11	syl2an 595	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝒫 ω ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ω)
13	5, 6, 12	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ω)
14	4, 13	elpwd 4538	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝒫 ω)
15	14, 4	elind 4124	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530  ωcom 7687  Fincfn 8691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-om 7688  df-en 8692  df-fin 8695

This theorem is referenced by:  ackbij1lem9  9915  ackbij1lem18  9924