Theorem ackbij1lem6 10238

Description: Lemma for ackbij2 10256. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem6	⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))

Proof of Theorem ackbij1lem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinel2 4177	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
2		elinel2 4177	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
3		unfi 9185	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
5		elinel1 4176	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 ω)
6		elinel1 4176	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐵 ∈ 𝒫 ω)
7		elpwi 4582	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 ω → 𝐴 ⊆ ω)
8		elpwi 4582	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝒫 ω → 𝐵 ⊆ ω)
9		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ 𝐵 ⊆ ω) → 𝐴 ⊆ ω)
10		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ 𝐵 ⊆ ω) → 𝐵 ⊆ ω)
11	9, 10	unssd 4167	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ 𝐵 ⊆ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ω)
12	7, 8, 11	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝒫 ω ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ω)
13	5, 6, 12	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ω)
14	4, 13	elpwd 4581	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝒫 ω)
15	14, 4	elind 4175	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3924   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  𝒫 cpw 4575  ωcom 7861  Fincfn 8959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-om 7862  df-en 8960  df-fin 8963

This theorem is referenced by:  ackbij1lem9  10241  ackbij1lem18  10250