Theorem ackbij1lem6 10146

Description: Lemma for ackbij2 10164. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem6	⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))

Proof of Theorem ackbij1lem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinel2 4156	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
2		elinel2 4156	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
3		unfi 9107	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
5		elinel1 4155	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 ω)
6		elinel1 4155	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐵 ∈ 𝒫 ω)
7		elpwi 4563	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 ω → 𝐴 ⊆ ω)
8		elpwi 4563	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝒫 ω → 𝐵 ⊆ ω)
9		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ 𝐵 ⊆ ω) → 𝐴 ⊆ ω)
10		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ 𝐵 ⊆ ω) → 𝐵 ⊆ ω)
11	9, 10	unssd 4146	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ω ∧ 𝐵 ⊆ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ω)
12	7, 8, 11	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝒫 ω ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ω)
13	5, 6, 12	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ω)
14	4, 13	elpwd 4562	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝒫 ω)
15	14, 4	elind 4154	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4556  ωcom 7818  Fincfn 8895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-om 7819  df-en 8896  df-fin 8899

This theorem is referenced by:  ackbij1lem9  10149  ackbij1lem18  10158