MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij1lem6 10169
Description: Lemma for ackbij2 10187. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem6 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴𝐵) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))

Proof of Theorem ackbij1lem6
StepHypRef Expression
1 elinel2 4160 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
2 elinel2 4160 . . . 4 (𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
3 unfi 9122 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
41, 2, 3syl2an 597 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
5 elinel1 4159 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 ω)
6 elinel1 4159 . . . 4 (𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐵 ∈ 𝒫 ω)
7 elpwi 4571 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝒫 ω → 𝐴 ⊆ ω)
8 elpwi 4571 . . . . 5 (𝐵 ∈ 𝒫 ω → 𝐵 ⊆ ω)
9 simpl 484 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ω ∧ 𝐵 ⊆ ω) → 𝐴 ⊆ ω)
10 simpr 486 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ω ∧ 𝐵 ⊆ ω) → 𝐵 ⊆ ω)
119, 10unssd 4150 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ω ∧ 𝐵 ⊆ ω) → (𝐴𝐵) ⊆ ω)
127, 8, 11syl2an 597 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝒫 ω ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 ω) → (𝐴𝐵) ⊆ ω)
135, 6, 12syl2an 597 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴𝐵) ⊆ ω)
144, 13elpwd 4570 . 2 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴𝐵) ∈ 𝒫 ω)
1514, 4elind 4158 1 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴𝐵) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107  cun 3912  cin 3913  wss 3914  𝒫 cpw 4564  ωcom 7806  Fincfn 8889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-om 7807  df-en 8890  df-fin 8893
This theorem is referenced by:  ackbij1lem9  10172  ackbij1lem18  10181
  Copyright terms: Public domain W3C validator