MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem9 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ackbij1lem9 10226
Description: Lemma for ackbij1 10236. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem9 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = ((πΉβ€˜π΄) +o (πΉβ€˜π΅)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦
Proof of Theorem ackbij1lem9
StepHypRef Expression
1 elinel2 4197 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
213ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
3 snfi 9047 . . . . . . . . . 10 {𝑦} ∈ Fin
4 elinel1 4196 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ 𝐴 ∈ 𝒫 Ο‰)
54elpwid 4612 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ 𝐴 βŠ† Ο‰)
653ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ 𝐴 βŠ† Ο‰)
7 onfin2 9234 . . . . . . . . . . . . . 14 Ο‰ = (On ∩ Fin)
8 inss2 4230 . . . . . . . . . . . . . 14 (On ∩ Fin) βŠ† Fin
97, 8eqsstri 4017 . . . . . . . . . . . . 13 Ο‰ βŠ† Fin
106, 9sstrdi 3995 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ 𝐴 βŠ† Fin)
1110sselda 3983 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
12 pwfi 9181 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
1311, 12sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
14 xpfi 9320 . . . . . . . . . 10 (({𝑦} ∈ Fin ∧ 𝒫 𝑦 ∈ Fin) β†’ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
153, 13, 14sylancr 586 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
1615ralrimiva 3145 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
17 iunfi 9343 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
182, 16, 17syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
19 ficardid 9960 . . . . . . 7 (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β‰ˆ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β‰ˆ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))
21 elinel2 4197 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ 𝐡 ∈ Fin)
22213ad2ant2 1133 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ 𝐡 ∈ Fin)
23 elinel1 4196 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ 𝐡 ∈ 𝒫 Ο‰)
2423elpwid 4612 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ 𝐡 βŠ† Ο‰)
25243ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ 𝐡 βŠ† Ο‰)
2625, 9sstrdi 3995 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ 𝐡 βŠ† Fin)
2726sselda 3983 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
2827, 12sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
293, 28, 14sylancr 586 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
3029ralrimiva 3145 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
31 iunfi 9343 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
3222, 30, 31syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
33 ficardid 9960 . . . . . . 7 (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β‰ˆ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))
3432, 33syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β‰ˆ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))
35 djuen 10167 . . . . . 6 (((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β‰ˆ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∧ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β‰ˆ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β†’ ((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) βŠ” (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))) β‰ˆ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) βŠ” βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
3620, 34, 35syl2anc 583 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ ((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) βŠ” (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))) β‰ˆ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) βŠ” βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
37 djudisj 6167 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ… β†’ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∩ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) = βˆ…)
38373ad2ant3 1134 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∩ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) = βˆ…)
39 endjudisj 10166 . . . . . . 7 ((βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin ∧ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin ∧ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∩ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) = βˆ…) β†’ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) βŠ” βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β‰ˆ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) βˆͺ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
4018, 32, 38, 39syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) βŠ” βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β‰ˆ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) βˆͺ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
41 iunxun 5098 . . . . . 6 βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) = (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) βˆͺ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))
4240, 41breqtrrdi 5191 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) βŠ” βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β‰ˆ βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))
43 entr 9005 . . . . 5 ((((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) βŠ” (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))) β‰ˆ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) βŠ” βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) ∧ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) βŠ” βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β‰ˆ βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β†’ ((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) βŠ” (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))) β‰ˆ βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))
4436, 42, 43syl2anc 583 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ ((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) βŠ” (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))) β‰ˆ βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))
45 carden2b 9965 . . . 4 (((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) βŠ” (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))) β‰ˆ βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) β†’ (cardβ€˜((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) βŠ” (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))) = (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
4644, 45syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (cardβ€˜((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) βŠ” (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))) = (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
47 ficardom 9959 . . . . 5 (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) ∈ Ο‰)
4818, 47syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) ∈ Ο‰)
49 ficardom 9959 . . . . 5 (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) ∈ Ο‰)
5032, 49syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) ∈ Ο‰)
51 nnadju 10195 . . . 4 (((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) ∈ Ο‰) β†’ (cardβ€˜((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) βŠ” (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))) = ((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) +o (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))))
5248, 50, 51syl2anc 583 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (cardβ€˜((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) βŠ” (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))) = ((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) +o (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))))
5346, 52eqtr3d 2773 . 2 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) = ((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) +o (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))))
54 ackbij1lem6 10223 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
55543adant3 1131 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
56 ackbij.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
5756ackbij1lem7 10224 . . 3 ((𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
5855, 57syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
5956ackbij1lem7 10224 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜π΄) = (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
6056ackbij1lem7 10224 . . . 4 (𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜π΅) = (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
6159, 60oveqan12d 7431 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) +o (πΉβ€˜π΅)) = ((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) +o (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))))
62613adant3 1131 . 2 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ ((πΉβ€˜π΄) +o (πΉβ€˜π΅)) = ((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) +o (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))))
6353, 58, 623eqtr4d 2781 1 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = ((πΉβ€˜π΄) +o (πΉβ€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  {csn 4629  βˆͺ ciun 4998   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  Oncon0 6365  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Ο‰com 7858   +o coa 8466   β‰ˆ cen 8939  Fincfn 8942   βŠ” cdju 9896  cardccrd 9933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9899  df-card 9937
This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  10229  ackbij1lem13  10230  ackbij1lem14  10231  ackbij1lem16  10233  ackbij1lem18  10235
  Copyright terms: Public domain W3C validator