MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij1lem9 10172
Description: Lemma for ackbij1 10182. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem9 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = ((πΉβ€˜π΄) +o (πΉβ€˜π΅)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem9
StepHypRef Expression
1 elinel2 4160 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
213ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
3 snfi 8994 . . . . . . . . . 10 {𝑦} ∈ Fin
4 elinel1 4159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ 𝐴 ∈ 𝒫 Ο‰)
54elpwid 4573 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ 𝐴 βŠ† Ο‰)
653ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ 𝐴 βŠ† Ο‰)
7 onfin2 9181 . . . . . . . . . . . . . 14 Ο‰ = (On ∩ Fin)
8 inss2 4193 . . . . . . . . . . . . . 14 (On ∩ Fin) βŠ† Fin
97, 8eqsstri 3982 . . . . . . . . . . . . 13 Ο‰ βŠ† Fin
106, 9sstrdi 3960 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ 𝐴 βŠ† Fin)
1110sselda 3948 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
12 pwfi 9128 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
1311, 12sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
14 xpfi 9267 . . . . . . . . . 10 (({𝑦} ∈ Fin ∧ 𝒫 𝑦 ∈ Fin) β†’ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
153, 13, 14sylancr 588 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
1615ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
17 iunfi 9290 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
182, 16, 17syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
19 ficardid 9906 . . . . . . 7 (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β‰ˆ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β‰ˆ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))
21 elinel2 4160 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ 𝐡 ∈ Fin)
22213ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ 𝐡 ∈ Fin)
23 elinel1 4159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ 𝐡 ∈ 𝒫 Ο‰)
2423elpwid 4573 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ 𝐡 βŠ† Ο‰)
25243ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ 𝐡 βŠ† Ο‰)
2625, 9sstrdi 3960 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ 𝐡 βŠ† Fin)
2726sselda 3948 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
2827, 12sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
293, 28, 14sylancr 588 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
3029ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
31 iunfi 9290 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
3222, 30, 31syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
33 ficardid 9906 . . . . . . 7 (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β‰ˆ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))
3432, 33syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β‰ˆ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))
35 djuen 10113 . . . . . 6 (((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β‰ˆ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∧ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β‰ˆ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β†’ ((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) βŠ” (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))) β‰ˆ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) βŠ” βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
3620, 34, 35syl2anc 585 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ ((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) βŠ” (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))) β‰ˆ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) βŠ” βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
37 djudisj 6123 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ… β†’ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∩ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) = βˆ…)
38373ad2ant3 1136 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∩ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) = βˆ…)
39 endjudisj 10112 . . . . . . 7 ((βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin ∧ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin ∧ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∩ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) = βˆ…) β†’ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) βŠ” βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β‰ˆ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) βˆͺ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
4018, 32, 38, 39syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) βŠ” βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β‰ˆ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) βˆͺ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
41 iunxun 5058 . . . . . 6 βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) = (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) βˆͺ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))
4240, 41breqtrrdi 5151 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) βŠ” βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β‰ˆ βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))
43 entr 8952 . . . . 5 ((((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) βŠ” (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))) β‰ˆ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) βŠ” βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) ∧ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) βŠ” βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β‰ˆ βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β†’ ((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) βŠ” (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))) β‰ˆ βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))
4436, 42, 43syl2anc 585 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ ((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) βŠ” (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))) β‰ˆ βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))
45 carden2b 9911 . . . 4 (((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) βŠ” (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))) β‰ˆ βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) β†’ (cardβ€˜((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) βŠ” (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))) = (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
4644, 45syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (cardβ€˜((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) βŠ” (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))) = (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
47 ficardom 9905 . . . . 5 (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) ∈ Ο‰)
4818, 47syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) ∈ Ο‰)
49 ficardom 9905 . . . . 5 (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) ∈ Ο‰)
5032, 49syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) ∈ Ο‰)
51 nnadju 10141 . . . 4 (((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) ∈ Ο‰) β†’ (cardβ€˜((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) βŠ” (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))) = ((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) +o (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))))
5248, 50, 51syl2anc 585 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (cardβ€˜((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) βŠ” (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))) = ((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) +o (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))))
5346, 52eqtr3d 2775 . 2 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) = ((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) +o (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))))
54 ackbij1lem6 10169 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
55543adant3 1133 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
56 ackbij.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
5756ackbij1lem7 10170 . . 3 ((𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
5855, 57syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
5956ackbij1lem7 10170 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜π΄) = (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
6056ackbij1lem7 10170 . . . 4 (𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜π΅) = (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
6159, 60oveqan12d 7380 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) +o (πΉβ€˜π΅)) = ((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) +o (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))))
62613adant3 1133 . 2 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ ((πΉβ€˜π΄) +o (πΉβ€˜π΅)) = ((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) +o (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))))
6353, 58, 623eqtr4d 2783 1 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = ((πΉβ€˜π΄) +o (πΉβ€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βˆͺ cun 3912   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  π’« cpw 4564  {csn 4590  βˆͺ ciun 4958   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  Oncon0 6321  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Ο‰com 7806   +o coa 8413   β‰ˆ cen 8886  Fincfn 8889   βŠ” cdju 9842  cardccrd 9879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-dju 9845  df-card 9883
This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  10175  ackbij1lem13  10176  ackbij1lem14  10177  ackbij1lem16  10179  ackbij1lem18  10181
  Copyright terms: Public domain W3C validator