MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem9 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ackbij1lem9 10225
Description: Lemma for ackbij1 10235. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem9 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = ((πΉβ€˜π΄) +o (πΉβ€˜π΅)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦
Proof of Theorem ackbij1lem9
StepHypRef Expression
1 elinel2 4196 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
213ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
3 snfi 9046 . . . . . . . . . 10 {𝑦} ∈ Fin
4 elinel1 4195 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ 𝐴 ∈ 𝒫 Ο‰)
54elpwid 4611 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ 𝐴 βŠ† Ο‰)
653ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ 𝐴 βŠ† Ο‰)
7 onfin2 9233 . . . . . . . . . . . . . 14 Ο‰ = (On ∩ Fin)
8 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . . 14 (On ∩ Fin) βŠ† Fin
97, 8eqsstri 4016 . . . . . . . . . . . . 13 Ο‰ βŠ† Fin
106, 9sstrdi 3994 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ 𝐴 βŠ† Fin)
1110sselda 3982 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
12 pwfi 9180 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
1311, 12sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
14 xpfi 9319 . . . . . . . . . 10 (({𝑦} ∈ Fin ∧ 𝒫 𝑦 ∈ Fin) β†’ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
153, 13, 14sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
1615ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
17 iunfi 9342 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
182, 16, 17syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
19 ficardid 9959 . . . . . . 7 (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β‰ˆ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β‰ˆ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))
21 elinel2 4196 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ 𝐡 ∈ Fin)
22213ad2ant2 1134 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ 𝐡 ∈ Fin)
23 elinel1 4195 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ 𝐡 ∈ 𝒫 Ο‰)
2423elpwid 4611 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ 𝐡 βŠ† Ο‰)
25243ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ 𝐡 βŠ† Ο‰)
2625, 9sstrdi 3994 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ 𝐡 βŠ† Fin)
2726sselda 3982 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
2827, 12sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
293, 28, 14sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
3029ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
31 iunfi 9342 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
3222, 30, 31syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
33 ficardid 9959 . . . . . . 7 (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β‰ˆ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))
3432, 33syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β‰ˆ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))
35 djuen 10166 . . . . . 6 (((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β‰ˆ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∧ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β‰ˆ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β†’ ((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) βŠ” (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))) β‰ˆ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) βŠ” βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
3620, 34, 35syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ ((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) βŠ” (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))) β‰ˆ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) βŠ” βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
37 djudisj 6166 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ… β†’ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∩ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) = βˆ…)
38373ad2ant3 1135 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∩ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) = βˆ…)
39 endjudisj 10165 . . . . . . 7 ((βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin ∧ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin ∧ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∩ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) = βˆ…) β†’ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) βŠ” βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β‰ˆ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) βˆͺ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
4018, 32, 38, 39syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) βŠ” βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β‰ˆ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) βˆͺ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
41 iunxun 5097 . . . . . 6 βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) = (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) βˆͺ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))
4240, 41breqtrrdi 5190 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) βŠ” βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β‰ˆ βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))
43 entr 9004 . . . . 5 ((((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) βŠ” (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))) β‰ˆ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) βŠ” βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) ∧ (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) βŠ” βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β‰ˆ βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) β†’ ((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) βŠ” (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))) β‰ˆ βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))
4436, 42, 43syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ ((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) βŠ” (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))) β‰ˆ βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))
45 carden2b 9964 . . . 4 (((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) βŠ” (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))) β‰ˆ βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) β†’ (cardβ€˜((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) βŠ” (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))) = (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
4644, 45syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (cardβ€˜((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) βŠ” (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))) = (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
47 ficardom 9958 . . . . 5 (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) ∈ Ο‰)
4818, 47syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) ∈ Ο‰)
49 ficardom 9958 . . . . 5 (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) ∈ Fin β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) ∈ Ο‰)
5032, 49syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) ∈ Ο‰)
51 nnadju 10194 . . . 4 (((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) ∈ Ο‰ ∧ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) ∈ Ο‰) β†’ (cardβ€˜((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) βŠ” (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))) = ((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) +o (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))))
5248, 50, 51syl2anc 584 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (cardβ€˜((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) βŠ” (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))) = ((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) +o (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))))
5346, 52eqtr3d 2774 . 2 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) = ((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) +o (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))))
54 ackbij1lem6 10222 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
55543adant3 1132 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
56 ackbij.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
5756ackbij1lem7 10223 . . 3 ((𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
5855, 57syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
5956ackbij1lem7 10223 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜π΄) = (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
6056ackbij1lem7 10223 . . . 4 (𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜π΅) = (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
6159, 60oveqan12d 7430 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) +o (πΉβ€˜π΅)) = ((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) +o (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))))
62613adant3 1132 . 2 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ ((πΉβ€˜π΄) +o (πΉβ€˜π΅)) = ((cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) +o (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝐡 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))))
6353, 58, 623eqtr4d 2782 1 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = ((πΉβ€˜π΄) +o (πΉβ€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  Oncon0 6364  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Ο‰com 7857   +o coa 8465   β‰ˆ cen 8938  Fincfn 8941   βŠ” cdju 9895  cardccrd 9932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936
This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  10228  ackbij1lem13  10229  ackbij1lem14  10230  ackbij1lem16  10232  ackbij1lem18  10234
  Copyright terms: Public domain W3C validator