Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atexchltN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atexchltN 38825
Description: Atom exchange property. Version of hlatexch2 38780 with less-than ordering. (Contributed by NM, 7-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
atexchlt.s < = (ltβ€˜πΎ)
atexchlt.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
atexchlt.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atexchltN ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ (𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅) β†’ 𝑄 < (𝑃 ∨ 𝑅)))

Proof of Theorem atexchltN
StepHypRef Expression
1 atexchlt.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2 atexchlt.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
3 eqid 2726 . . 3 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
41, 2, 3atexchcvrN 38824 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ (𝑃( β‹– β€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅) β†’ 𝑄( β‹– β€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑅)))
5 atexchlt.s . . . 4 < = (ltβ€˜πΎ)
65, 1, 2, 3atltcvr 38819 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ 𝑃( β‹– β€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅)))
763adant3 1129 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ (𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ 𝑃( β‹– β€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅)))
8 simpl 482 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
9 simpr2 1192 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
10 simpr1 1191 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
11 simpr3 1193 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
125, 1, 2, 3atltcvr 38819 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑄 < (𝑃 ∨ 𝑅) ↔ 𝑄( β‹– β€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑅)))
138, 9, 10, 11, 12syl13anc 1369 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑄 < (𝑃 ∨ 𝑅) ↔ 𝑄( β‹– β€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑅)))
14133adant3 1129 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ (𝑄 < (𝑃 ∨ 𝑅) ↔ 𝑄( β‹– β€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑅)))
154, 7, 143imtr4d 294 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ (𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅) β†’ 𝑄 < (𝑃 ∨ 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  ltcplt 18273  joincjn 18276   β‹– ccvr 38645  Atomscatm 38646  HLchlt 38733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator