Theorem bitsfval 15772

Description: Expand the definition of the bits of an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsfval	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (bits‘𝑁) = {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))})

Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem bitsfval

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7179	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑚))) = (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))
2	1	breq2d 5078	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
3	2	notbid 320	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑚))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
4	3	rabbidv 3480	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑚)))} = {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))})
5		df-bits 15771	. 2 ⊢ bits = (𝑛 ∈ ℤ ↦ {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑚)))})
6		nn0ex 11904	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
7	6	rabex 5235	. 2 ⊢ {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))} ∈ V
8	4, 5, 7	fvmpt 6768	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (bits‘𝑁) = {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3142   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   / cdiv 11297  2c2 11693  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982  ⌊cfl 13161  ↑cexp 13430   ∥ cdvds 15607  bitscbits 15768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-1cn 10595  ax-addcl 10597

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-nn 11639  df-n0 11899  df-bits 15771

This theorem is referenced by:  bitsval  15773