Theorem bitsfval 16461

Description: Expand the definition of the bits of an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsfval	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (bits‘𝑁) = {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))})

Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem bitsfval

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7455	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑚))) = (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))
2	1	breq2d 5154	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
3	2	notbid 318	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑚))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
4	3	rabbidv 3443	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑚)))} = {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))})
5		df-bits 16460	. 2 ⊢ bits = (𝑛 ∈ ℤ ↦ {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑚)))})
6		nn0ex 12534	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
7	6	rabex 5338	. 2 ⊢ {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))} ∈ V
8	4, 5, 7	fvmpt 7015	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (bits‘𝑁) = {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {crab 3435   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   / cdiv 11921  2c2 12322  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ⌊cfl 13831  ↑cexp 14103   ∥ cdvds 16291  bitscbits 16457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-1cn 11214  ax-addcl 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-nn 12268  df-n0 12529  df-bits 16460

This theorem is referenced by:  bitsval  16462