Theorem bitsfval 16560

Description: Expand the definition of the bits of an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsfval	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (bits‘𝑁) = {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))})

Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem bitsfval

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7431	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑚))) = (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))
2	1	breq2d 5114	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
3	2	notbid 321	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑚))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
4	3	rabbidv 3419	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑚)))} = {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))})
5		df-bits 16559	. 2 ⊢ bits = (𝑛 ∈ ℤ ↦ {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑚)))})
6		nn0ex 12581	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
7	6	rabex 5299	. 2 ⊢ {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))} ∈ V
8	4, 5, 7	fvmpt 6981	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (bits‘𝑁) = {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))})

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   / cdiv 11942  2c2 12366  ℕ₀cn0 12575  ℤcz 12662  ⌊cfl 13898  ↑cexp 14172   ∥ cdvds 16389  bitscbits 16556

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-1cn 11229  ax-addcl 11231

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-nn 12305  df-n0 12576  df-bits 16559

This theorem is used by:  bitsval  16561