MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsfval 16371
Description: Expand the definition of the bits of an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsfval (𝑁 ∈ β„€ β†’ (bitsβ€˜π‘) = {π‘š ∈ β„•0 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))})
Distinct variable group:   π‘š,𝑁

Proof of Theorem bitsfval
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvoveq1 7428 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 β†’ (βŒŠβ€˜(𝑛 / (2β†‘π‘š))) = (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š))))
21breq2d 5153 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 β†’ (2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑛 / (2β†‘π‘š))) ↔ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))))
32notbid 318 . . 3 (𝑛 = 𝑁 β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑛 / (2β†‘π‘š))) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))))
43rabbidv 3434 . 2 (𝑛 = 𝑁 β†’ {π‘š ∈ β„•0 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑛 / (2β†‘π‘š)))} = {π‘š ∈ β„•0 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))})
5 df-bits 16370 . 2 bits = (𝑛 ∈ β„€ ↦ {π‘š ∈ β„•0 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑛 / (2β†‘π‘š)))})
6 nn0ex 12482 . . 3 β„•0 ∈ V
76rabex 5325 . 2 {π‘š ∈ β„•0 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))} ∈ V
84, 5, 7fvmpt 6992 1 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (bitsβ€˜π‘) = {π‘š ∈ β„•0 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2β†‘π‘š)))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   / cdiv 11875  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  βŒŠcfl 13761  β†‘cexp 14032   βˆ₯ cdvds 16204  bitscbits 16367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-1cn 11170  ax-addcl 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-nn 12217  df-n0 12477  df-bits 16370
This theorem is referenced by:  bitsval  16372
  Copyright terms: Public domain W3C validator