Theorem bitsfval 16130

Description: Expand the definition of the bits of an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsfval	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (bits‘𝑁) = {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))})

Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem bitsfval

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7298	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑚))) = (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))
2	1	breq2d 5086	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
3	2	notbid 318	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑚))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
4	3	rabbidv 3414	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑚)))} = {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))})
5		df-bits 16129	. 2 ⊢ bits = (𝑛 ∈ ℤ ↦ {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑛 / (2↑𝑚)))})
6		nn0ex 12239	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
7	6	rabex 5256	. 2 ⊢ {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))} ∈ V
8	4, 5, 7	fvmpt 6875	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (bits‘𝑁) = {𝑚 ∈ ℕ0 ∣ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   / cdiv 11632  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ⌊cfl 13510  ↑cexp 13782   ∥ cdvds 15963  bitscbits 16126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-1cn 10929  ax-addcl 10931

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-nn 11974  df-n0 12234  df-bits 16129

This theorem is referenced by:  bitsval  16131