Home | Metamath
Proof Explorer Theorem List (p. 165 of 470) | < Previous Next > |
Bad symbols? Try the
GIF version. |
||
Mirrors > Metamath Home Page > MPE Home Page > Theorem List Contents > Recent Proofs This page: Page List |
Color key: | Metamath Proof Explorer
(1-29646) |
Hilbert Space Explorer
(29647-31169) |
Users' Mathboxes
(31170-46948) |
Type | Label | Description |
---|---|---|
Statement | ||
Definition | df-lcm 16401* | Define the lcm operator. For example, (6 lcm 9) = 18 (ex-lcm 29188). (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Revised by AV, 16-Sep-2020.) |
โข lcm = (๐ฅ โ โค, ๐ฆ โ โค โฆ if((๐ฅ = 0 โจ ๐ฆ = 0), 0, inf({๐ โ โ โฃ (๐ฅ โฅ ๐ โง ๐ฆ โฅ ๐)}, โ, < ))) | ||
Definition | df-lcmf 16402* | Define the lcm function on a set of integers. (Contributed by AV, 21-Aug-2020.) (Revised by AV, 16-Sep-2020.) |
โข lcm = (๐ง โ ๐ซ โค โฆ if(0 โ ๐ง, 0, inf({๐ โ โ โฃ โ๐ โ ๐ง ๐ โฅ ๐}, โ, < ))) | ||
Theorem | lcmval 16403* | Value of the lcm operator. (๐ lcm ๐) is the least common multiple of ๐ and ๐. If either ๐ or ๐ is 0, the result is defined conventionally as 0. Contrast with df-gcd 16310 and gcdval 16311. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Revised by AV, 16-Sep-2020.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ lcm ๐) = if((๐ = 0 โจ ๐ = 0), 0, inf({๐ โ โ โฃ (๐ โฅ ๐ โง ๐ โฅ ๐)}, โ, < ))) | ||
Theorem | lcmcom 16404 | The lcm operator is commutative. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ lcm ๐) = (๐ lcm ๐)) | ||
Theorem | lcm0val 16405 | The value, by convention, of the lcm operator when either operand is 0. (Use lcmcom 16404 for a left-hand 0.) (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.) |
โข (๐ โ โค โ (๐ lcm 0) = 0) | ||
Theorem | lcmn0val 16406* | The value of the lcm operator when both operands are nonzero. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Revised by AV, 16-Sep-2020.) |
โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ยฌ (๐ = 0 โจ ๐ = 0)) โ (๐ lcm ๐) = inf({๐ โ โ โฃ (๐ โฅ ๐ โง ๐ โฅ ๐)}, โ, < )) | ||
Theorem | lcmcllem 16407* | Lemma for lcmn0cl 16408 and dvdslcm 16409. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.) |
โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ยฌ (๐ = 0 โจ ๐ = 0)) โ (๐ lcm ๐) โ {๐ โ โ โฃ (๐ โฅ ๐ โง ๐ โฅ ๐)}) | ||
Theorem | lcmn0cl 16408 | Closure of the lcm operator. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) |
โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ยฌ (๐ = 0 โจ ๐ = 0)) โ (๐ lcm ๐) โ โ) | ||
Theorem | dvdslcm 16409 | The lcm of two integers is divisible by each of them. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โฅ (๐ lcm ๐) โง ๐ โฅ (๐ lcm ๐))) | ||
Theorem | lcmledvds 16410 | A positive integer which both operands of the lcm operator divide bounds it. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.) |
โข (((๐พ โ โ โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ยฌ (๐ = 0 โจ ๐ = 0)) โ ((๐ โฅ ๐พ โง ๐ โฅ ๐พ) โ (๐ lcm ๐) โค ๐พ)) | ||
Theorem | lcmeq0 16411 | The lcm of two integers is zero iff either is zero. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐ lcm ๐) = 0 โ (๐ = 0 โจ ๐ = 0))) | ||
Theorem | lcmcl 16412 | Closure of the lcm operator. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ lcm ๐) โ โ0) | ||
Theorem | gcddvdslcm 16413 | The greatest common divisor of two numbers divides their least common multiple. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ gcd ๐) โฅ (๐ lcm ๐)) | ||
Theorem | lcmneg 16414 | Negating one operand of the lcm operator does not alter the result. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ lcm -๐) = (๐ lcm ๐)) | ||
Theorem | neglcm 16415 | Negating one operand of the lcm operator does not alter the result. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (-๐ lcm ๐) = (๐ lcm ๐)) | ||
Theorem | lcmabs 16416 | The lcm of two integers is the same as that of their absolute values. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((absโ๐) lcm (absโ๐)) = (๐ lcm ๐)) | ||
Theorem | lcmgcdlem 16417 | Lemma for lcmgcd 16418 and lcmdvds 16419. Prove them for positive ๐, ๐, and ๐พ. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (((๐ lcm ๐) ยท (๐ gcd ๐)) = (absโ(๐ ยท ๐)) โง ((๐พ โ โ โง (๐ โฅ ๐พ โง ๐ โฅ ๐พ)) โ (๐ lcm ๐) โฅ ๐พ))) | ||
Theorem | lcmgcd 16418 |
The product of two numbers' least common multiple and greatest common
divisor is the absolute value of the product of the two numbers. In
particular, that absolute value is the least common multiple of two
coprime numbers, for which (๐ gcd ๐) = 1.
Multiple methods exist for proving this, and it is often proven either as a consequence of the fundamental theorem of arithmetic 1arith 16734 or of Bรฉzout's identity bezout 16359; see e.g., https://proofwiki.org/wiki/Product_of_GCD_and_LCM 16359 and https://math.stackexchange.com/a/470827 16359. This proof uses the latter to first confirm it for positive integers ๐ and ๐ (the "Second Proof" in the above Stack Exchange page), then shows that implies it for all nonzero integer inputs, then finally uses lcm0val 16405 to show it applies when either or both inputs are zero. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐ lcm ๐) ยท (๐ gcd ๐)) = (absโ(๐ ยท ๐))) | ||
Theorem | lcmdvds 16419 | The lcm of two integers divides any integer the two divide. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) |
โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐ โฅ ๐พ โง ๐ โฅ ๐พ) โ (๐ lcm ๐) โฅ ๐พ)) | ||
Theorem | lcmid 16420 | The lcm of an integer and itself is its absolute value. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) |
โข (๐ โ โค โ (๐ lcm ๐) = (absโ๐)) | ||
Theorem | lcm1 16421 | The lcm of an integer and 1 is the absolute value of the integer. (Contributed by AV, 23-Aug-2020.) |
โข (๐ โ โค โ (๐ lcm 1) = (absโ๐)) | ||
Theorem | lcmgcdnn 16422 | The product of two positive integers' least common multiple and greatest common divisor is the product of the two integers. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ ((๐ lcm ๐) ยท (๐ gcd ๐)) = (๐ ยท ๐)) | ||
Theorem | lcmgcdeq 16423 | Two integers' absolute values are equal iff their least common multiple and greatest common divisor are equal. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐ lcm ๐) = (๐ gcd ๐) โ (absโ๐) = (absโ๐))) | ||
Theorem | lcmdvdsb 16424 | Biconditional form of lcmdvds 16419. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) |
โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐ โฅ ๐พ โง ๐ โฅ ๐พ) โ (๐ lcm ๐) โฅ ๐พ)) | ||
Theorem | lcmass 16425 | Associative law for lcm operator. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐ lcm ๐) lcm ๐) = (๐ lcm (๐ lcm ๐))) | ||
Theorem | 3lcm2e6woprm 16426 | The least common multiple of three and two is six. In contrast to 3lcm2e6 16542, this proof does not use the property of 2 and 3 being prime, therefore it is much longer. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) |
โข (3 lcm 2) = 6 | ||
Theorem | 6lcm4e12 16427 | The least common multiple of six and four is twelve. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.) |
โข (6 lcm 4) = ;12 | ||
Theorem | absproddvds 16428* | The absolute value of the product of the elements of a finite subset of the integers is divisible by each element of this subset. (Contributed by AV, 21-Aug-2020.) |
โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ Fin) & โข ๐ = (absโโ๐ง โ ๐ ๐ง) โ โข (๐ โ โ๐ โ ๐ ๐ โฅ ๐) | ||
Theorem | absprodnn 16429* | The absolute value of the product of the elements of a finite subset of the integers not containing 0 is a poitive integer. (Contributed by AV, 21-Aug-2020.) |
โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ Fin) & โข ๐ = (absโโ๐ง โ ๐ ๐ง) & โข (๐ โ 0 โ ๐) โ โข (๐ โ ๐ โ โ) | ||
Theorem | fissn0dvds 16430* | For each finite subset of the integers not containing 0 there is a positive integer which is divisible by each element of this subset. (Contributed by AV, 21-Aug-2020.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ Fin โง 0 โ ๐) โ โ๐ โ โ โ๐ โ ๐ ๐ โฅ ๐) | ||
Theorem | fissn0dvdsn0 16431* | For each finite subset of the integers not containing 0 there is a positive integer which is divisible by each element of this subset. (Contributed by AV, 21-Aug-2020.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ Fin โง 0 โ ๐) โ {๐ โ โ โฃ โ๐ โ ๐ ๐ โฅ ๐} โ โ ) | ||
Theorem | lcmfval 16432* | Value of the lcm function. (lcmโ๐) is the least common multiple of the integers contained in the finite subset of integers ๐. If at least one of the elements of ๐ is 0, the result is defined conventionally as 0. (Contributed by AV, 21-Apr-2020.) (Revised by AV, 16-Sep-2020.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ Fin) โ (lcmโ๐) = if(0 โ ๐, 0, inf({๐ โ โ โฃ โ๐ โ ๐ ๐ โฅ ๐}, โ, < ))) | ||
Theorem | lcmf0val 16433 | The value, by convention, of the least common multiple for a set containing 0 is 0. (Contributed by AV, 21-Apr-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.) |
โข ((๐ โ โค โง 0 โ ๐) โ (lcmโ๐) = 0) | ||
Theorem | lcmfn0val 16434* | The value of the lcm function for a set without 0. (Contributed by AV, 21-Aug-2020.) (Revised by AV, 16-Sep-2020.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ Fin โง 0 โ ๐) โ (lcmโ๐) = inf({๐ โ โ โฃ โ๐ โ ๐ ๐ โฅ ๐}, โ, < )) | ||
Theorem | lcmfnnval 16435* | The value of the lcm function for a subset of the positive integers. (Contributed by AV, 21-Aug-2020.) (Revised by AV, 16-Sep-2020.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ Fin) โ (lcmโ๐) = inf({๐ โ โ โฃ โ๐ โ ๐ ๐ โฅ ๐}, โ, < )) | ||
Theorem | lcmfcllem 16436* | Lemma for lcmfn0cl 16437 and dvdslcmf 16442. (Contributed by AV, 21-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ Fin โง 0 โ ๐) โ (lcmโ๐) โ {๐ โ โ โฃ โ๐ โ ๐ ๐ โฅ ๐}) | ||
Theorem | lcmfn0cl 16437 | Closure of the lcm function. (Contributed by AV, 21-Aug-2020.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ Fin โง 0 โ ๐) โ (lcmโ๐) โ โ) | ||
Theorem | lcmfpr 16438 | The value of the lcm function for an unordered pair is the value of the lcm operator for both elements. (Contributed by AV, 22-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (lcmโ{๐, ๐}) = (๐ lcm ๐)) | ||
Theorem | lcmfcl 16439 | Closure of the lcm function. (Contributed by AV, 21-Aug-2020.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ Fin) โ (lcmโ๐) โ โ0) | ||
Theorem | lcmfnncl 16440 | Closure of the lcm function. (Contributed by AV, 20-Apr-2020.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ Fin) โ (lcmโ๐) โ โ) | ||
Theorem | lcmfeq0b 16441 | The least common multiple of a set of integers is 0 iff at least one of its element is 0. (Contributed by AV, 21-Aug-2020.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ Fin) โ ((lcmโ๐) = 0 โ 0 โ ๐)) | ||
Theorem | dvdslcmf 16442* | The least common multiple of a set of integers is divisible by each of its elements. (Contributed by AV, 22-Aug-2020.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ Fin) โ โ๐ฅ โ ๐ ๐ฅ โฅ (lcmโ๐)) | ||
Theorem | lcmfledvds 16443* | A positive integer which is divisible by all elements of a set of integers bounds the least common multiple of the set. (Contributed by AV, 22-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ Fin โง 0 โ ๐) โ ((๐พ โ โ โง โ๐ โ ๐ ๐ โฅ ๐พ) โ (lcmโ๐) โค ๐พ)) | ||
Theorem | lcmf 16444* | Characterization of the least common multiple of a set of integers (without 0): A positiven integer is the least common multiple of a set of integers iff it divides each of the elements of the set and every integer which divides each of the elements of the set is greater than or equal to this integer. (Contributed by AV, 22-Aug-2020.) |
โข ((๐พ โ โ โง (๐ โ โค โง ๐ โ Fin โง 0 โ ๐)) โ (๐พ = (lcmโ๐) โ (โ๐ โ ๐ ๐ โฅ ๐พ โง โ๐ โ โ (โ๐ โ ๐ ๐ โฅ ๐ โ ๐พ โค ๐)))) | ||
Theorem | lcmf0 16445 | The least common multiple of the empty set is 1. (Contributed by AV, 22-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.) |
โข (lcmโโ ) = 1 | ||
Theorem | lcmfsn 16446 | The least common multiple of a singleton is its absolute value. (Contributed by AV, 22-Aug-2020.) |
โข (๐ โ โค โ (lcmโ{๐}) = (absโ๐)) | ||
Theorem | lcmftp 16447 | The least common multiple of a triple of integers is the least common multiple of the third integer and the least common multiple of the first two integers. Although there would be a shorter proof using lcmfunsn 16455, this explicit proof (not based on induction) should be kept. (Proof modification is discouraged.) (Contributed by AV, 23-Aug-2020.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ถ โ โค) โ (lcmโ{๐ด, ๐ต, ๐ถ}) = ((๐ด lcm ๐ต) lcm ๐ถ)) | ||
Theorem | lcmfunsnlem1 16448* | Lemma for lcmfdvds 16453 and lcmfunsnlem 16452 (Induction step part 1). (Contributed by AV, 25-Aug-2020.) |
โข (((๐ง โ โค โง ๐ฆ โ โค โง ๐ฆ โ Fin) โง (โ๐ โ โค (โ๐ โ ๐ฆ ๐ โฅ ๐ โ (lcmโ๐ฆ) โฅ ๐) โง โ๐ โ โค (lcmโ(๐ฆ โช {๐})) = ((lcmโ๐ฆ) lcm ๐))) โ โ๐ โ โค (โ๐ โ (๐ฆ โช {๐ง})๐ โฅ ๐ โ (lcmโ(๐ฆ โช {๐ง})) โฅ ๐)) | ||
Theorem | lcmfunsnlem2lem1 16449* | Lemma 1 for lcmfunsnlem2 16451. (Contributed by AV, 26-Aug-2020.) |
โข (((0 โ ๐ฆ โง ๐ง โ 0 โง ๐ โ 0) โง (๐ โ โค โง ((๐ง โ โค โง ๐ฆ โ โค โง ๐ฆ โ Fin) โง (โ๐ โ โค (โ๐ โ ๐ฆ ๐ โฅ ๐ โ (lcmโ๐ฆ) โฅ ๐) โง โ๐ โ โค (lcmโ(๐ฆ โช {๐})) = ((lcmโ๐ฆ) lcm ๐))))) โ โ๐ โ โ (โ๐ โ ((๐ฆ โช {๐ง}) โช {๐})๐ โฅ ๐ โ ((lcmโ(๐ฆ โช {๐ง})) lcm ๐) โค ๐)) | ||
Theorem | lcmfunsnlem2lem2 16450* | Lemma 2 for lcmfunsnlem2 16451. (Contributed by AV, 26-Aug-2020.) |
โข (((0 โ ๐ฆ โง ๐ง โ 0 โง ๐ โ 0) โง (๐ โ โค โง ((๐ง โ โค โง ๐ฆ โ โค โง ๐ฆ โ Fin) โง (โ๐ โ โค (โ๐ โ ๐ฆ ๐ โฅ ๐ โ (lcmโ๐ฆ) โฅ ๐) โง โ๐ โ โค (lcmโ(๐ฆ โช {๐})) = ((lcmโ๐ฆ) lcm ๐))))) โ (lcmโ((๐ฆ โช {๐ง}) โช {๐})) = ((lcmโ(๐ฆ โช {๐ง})) lcm ๐)) | ||
Theorem | lcmfunsnlem2 16451* | Lemma for lcmfunsn 16455 and lcmfunsnlem 16452 (Induction step part 2). (Contributed by AV, 26-Aug-2020.) |
โข (((๐ง โ โค โง ๐ฆ โ โค โง ๐ฆ โ Fin) โง (โ๐ โ โค (โ๐ โ ๐ฆ ๐ โฅ ๐ โ (lcmโ๐ฆ) โฅ ๐) โง โ๐ โ โค (lcmโ(๐ฆ โช {๐})) = ((lcmโ๐ฆ) lcm ๐))) โ โ๐ โ โค (lcmโ((๐ฆ โช {๐ง}) โช {๐})) = ((lcmโ(๐ฆ โช {๐ง})) lcm ๐)) | ||
Theorem | lcmfunsnlem 16452* | Lemma for lcmfdvds 16453 and lcmfunsn 16455. These two theorems must be proven simultaneously by induction on the cardinality of a finite set ๐, because they depend on each other. This can be seen by the two parts lcmfunsnlem1 16448 and lcmfunsnlem2 16451 of the induction step, each of them using both induction hypotheses. (Contributed by AV, 26-Aug-2020.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ Fin) โ (โ๐ โ โค (โ๐ โ ๐ ๐ โฅ ๐ โ (lcmโ๐) โฅ ๐) โง โ๐ โ โค (lcmโ(๐ โช {๐})) = ((lcmโ๐) lcm ๐))) | ||
Theorem | lcmfdvds 16453* | The least common multiple of a set of integers divides any integer which is divisible by all elements of the set. (Contributed by AV, 26-Aug-2020.) |
โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ Fin) โ (โ๐ โ ๐ ๐ โฅ ๐พ โ (lcmโ๐) โฅ ๐พ)) | ||
Theorem | lcmfdvdsb 16454* | Biconditional form of lcmfdvds 16453. (Contributed by AV, 26-Aug-2020.) |
โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ Fin) โ (โ๐ โ ๐ ๐ โฅ ๐พ โ (lcmโ๐) โฅ ๐พ)) | ||
Theorem | lcmfunsn 16455 | The lcm function for a union of a set of integer and a singleton. (Contributed by AV, 26-Aug-2020.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ Fin โง ๐ โ โค) โ (lcmโ(๐ โช {๐})) = ((lcmโ๐) lcm ๐)) | ||
Theorem | lcmfun 16456 | The lcm function for a union of sets of integers. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.) |
โข (((๐ โ โค โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ โค โง ๐ โ Fin)) โ (lcmโ(๐ โช ๐)) = ((lcmโ๐) lcm (lcmโ๐))) | ||
Theorem | lcmfass 16457 | Associative law for the lcm function. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.) |
โข (((๐ โ โค โง ๐ โ Fin) โง (๐ โ โค โง ๐ โ Fin)) โ (lcmโ({(lcmโ๐)} โช ๐)) = (lcmโ(๐ โช {(lcmโ๐)}))) | ||
Theorem | lcmf2a3a4e12 16458 | The least common multiple of 2 , 3 and 4 is 12. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.) |
โข (lcmโ{2, 3, 4}) = ;12 | ||
Theorem | lcmflefac 16459 | The least common multiple of all positive integers less than or equal to an integer is less than or equal to the factorial of the integer. (Contributed by AV, 16-Aug-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.) |
โข (๐ โ โ โ (lcmโ(1...๐)) โค (!โ๐)) | ||
According to Wikipedia "Coprime integers", see https://en.wikipedia.org/wiki/Coprime_integers (16-Aug-2020) "[...] two integers a and b are said to be relatively prime, mutually prime, or coprime [...] if the only positive integer (factor) that divides both of them is 1. Consequently, any prime number that divides one does not divide the other. This is equivalent to their greatest common divisor (gcd) being 1.". In the following, we use this equivalent characterization to say that ๐ด โ โค and ๐ต โ โค are coprime (or relatively prime) if (๐ด gcd ๐ต) = 1. The equivalence of the definitions is shown by coprmgcdb 16460. The negation, i.e. two integers are not coprime, can be expressed either by (๐ด gcd ๐ต) โ 1, see ncoprmgcdne1b 16461, or equivalently by 1 < (๐ด gcd ๐ต), see ncoprmgcdgt1b 16462. A proof of Euclid's lemma based on coprimality is provided in coprmdvds 16464 (see euclemma 16524 for a version of Euclid's lemma for primes). | ||
Theorem | coprmgcdb 16460* | Two positive integers are coprime, i.e. the only positive integer that divides both of them is 1, iff their greatest common divisor is 1. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (โ๐ โ โ ((๐ โฅ ๐ด โง ๐ โฅ ๐ต) โ ๐ = 1) โ (๐ด gcd ๐ต) = 1)) | ||
Theorem | ncoprmgcdne1b 16461* | Two positive integers are not coprime, i.e. there is an integer greater than 1 which divides both integers, iff their greatest common divisor is not 1. See prmdvdsncoprmbd 16537 for a version where the existential quantifier is restricted to primes. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (โ๐ โ (โคโฅโ2)(๐ โฅ ๐ด โง ๐ โฅ ๐ต) โ (๐ด gcd ๐ต) โ 1)) | ||
Theorem | ncoprmgcdgt1b 16462* | Two positive integers are not coprime, i.e. there is an integer greater than 1 which divides both integers, iff their greatest common divisor is greater than 1. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (โ๐ โ (โคโฅโ2)(๐ โฅ ๐ด โง ๐ โฅ ๐ต) โ 1 < (๐ด gcd ๐ต))) | ||
Theorem | coprmdvds1 16463 | If two positive integers are coprime, i.e. their greatest common divisor is 1, the only positive integer that divides both of them is 1. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.) |
โข ((๐น โ โ โง ๐บ โ โ โง (๐น gcd ๐บ) = 1) โ ((๐ผ โ โ โง ๐ผ โฅ ๐น โง ๐ผ โฅ ๐บ) โ ๐ผ = 1)) | ||
Theorem | coprmdvds 16464 | Euclid's Lemma (see ProofWiki "Euclid's Lemma", 10-Jul-2021, https://proofwiki.org/wiki/Euclid's_Lemma): If an integer divides the product of two integers and is coprime to one of them, then it divides the other. See also theorem 1.5 in [ApostolNT] p. 16. Generalization of euclemma 16524. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2021.) |
โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐พ โฅ (๐ ยท ๐) โง (๐พ gcd ๐) = 1) โ ๐พ โฅ ๐)) | ||
Theorem | coprmdvds2 16465 | If an integer is divisible by two coprime integers, then it is divisible by their product. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) |
โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐พ โ โค) โง (๐ gcd ๐) = 1) โ ((๐ โฅ ๐พ โง ๐ โฅ ๐พ) โ (๐ ยท ๐) โฅ ๐พ)) | ||
Theorem | mulgcddvds 16466 | One half of rpmulgcd2 16467, which does not need the coprimality assumption. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) |
โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ gcd (๐ ยท ๐)) โฅ ((๐พ gcd ๐) ยท (๐พ gcd ๐))) | ||
Theorem | rpmulgcd2 16467 | If ๐ is relatively prime to ๐, then the GCD of ๐พ with ๐ ยท ๐ is the product of the GCDs with ๐ and ๐ respectively. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) |
โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐ gcd ๐) = 1) โ (๐พ gcd (๐ ยท ๐)) = ((๐พ gcd ๐) ยท (๐พ gcd ๐))) | ||
Theorem | qredeq 16468 | Two equal reduced fractions have the same numerator and denominator. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.) |
โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โ โง (๐ gcd ๐) = 1) โง (๐ โ โค โง ๐ โ โ โง (๐ gcd ๐) = 1) โง (๐ / ๐) = (๐ / ๐)) โ (๐ = ๐ โง ๐ = ๐)) | ||
Theorem | qredeu 16469* | Every rational number has a unique reduced form. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.) |
โข (๐ด โ โ โ โ!๐ฅ โ (โค ร โ)(((1st โ๐ฅ) gcd (2nd โ๐ฅ)) = 1 โง ๐ด = ((1st โ๐ฅ) / (2nd โ๐ฅ)))) | ||
Theorem | rpmul 16470 | If ๐พ is relatively prime to ๐ and to ๐, it is also relatively prime to their product. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) |
โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (((๐พ gcd ๐) = 1 โง (๐พ gcd ๐) = 1) โ (๐พ gcd (๐ ยท ๐)) = 1)) | ||
Theorem | rpdvds 16471 | If ๐พ is relatively prime to ๐ then it is also relatively prime to any divisor ๐ of ๐. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.) |
โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ((๐พ gcd ๐) = 1 โง ๐ โฅ ๐)) โ (๐พ gcd ๐) = 1) | ||
Theorem | coprmprod 16472* | The product of the elements of a sequence of pairwise coprime positive integers is coprime to a positive integer which is coprime to all integers of the sequence. (Contributed by AV, 18-Aug-2020.) |
โข (((๐ โ Fin โง ๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง ๐น:โโถโ โง โ๐ โ ๐ ((๐นโ๐) gcd ๐) = 1) โ (โ๐ โ ๐ โ๐ โ (๐ โ {๐})((๐นโ๐) gcd (๐นโ๐)) = 1 โ (โ๐ โ ๐ (๐นโ๐) gcd ๐) = 1)) | ||
Theorem | coprmproddvdslem 16473* | Lemma for coprmproddvds 16474: Induction step. (Contributed by AV, 19-Aug-2020.) |
โข ((๐ฆ โ Fin โง ยฌ ๐ง โ ๐ฆ) โ ((((๐ฆ โ โ โง (๐พ โ โ โง ๐น:โโถโ)) โง (โ๐ โ ๐ฆ โ๐ โ (๐ฆ โ {๐})((๐นโ๐) gcd (๐นโ๐)) = 1 โง โ๐ โ ๐ฆ (๐นโ๐) โฅ ๐พ)) โ โ๐ โ ๐ฆ (๐นโ๐) โฅ ๐พ) โ ((((๐ฆ โช {๐ง}) โ โ โง (๐พ โ โ โง ๐น:โโถโ)) โง (โ๐ โ (๐ฆ โช {๐ง})โ๐ โ ((๐ฆ โช {๐ง}) โ {๐})((๐นโ๐) gcd (๐นโ๐)) = 1 โง โ๐ โ (๐ฆ โช {๐ง})(๐นโ๐) โฅ ๐พ)) โ โ๐ โ (๐ฆ โช {๐ง})(๐นโ๐) โฅ ๐พ))) | ||
Theorem | coprmproddvds 16474* | If a positive integer is divisible by each element of a set of pairwise coprime positive integers, then it is divisible by their product. (Contributed by AV, 19-Aug-2020.) |
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ Fin) โง (๐พ โ โ โง ๐น:โโถโ) โง (โ๐ โ ๐ โ๐ โ (๐ โ {๐})((๐นโ๐) gcd (๐นโ๐)) = 1 โง โ๐ โ ๐ (๐นโ๐) โฅ ๐พ)) โ โ๐ โ ๐ (๐นโ๐) โฅ ๐พ) | ||
Theorem | congr 16475* | Definition of congruence by integer multiple (see ProofWiki "Congruence (Number Theory)", 11-Jul-2021, https://proofwiki.org/wiki/Definition:Congruence_(Number_Theory)): An integer ๐ด is congruent to an integer ๐ต modulo ๐ if their difference is a multiple of ๐. See also the definition in [ApostolNT] p. 104: "... ๐ is congruent to ๐ modulo ๐, and we write ๐โก๐ (mod ๐) if ๐ divides the difference ๐ โ ๐", or Wikipedia "Modular arithmetic - Congruence", https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic#Congruence, 11-Jul-2021,: "Given an integer n > 1, called a modulus, two integers are said to be congruent modulo n, if n is a divisor of their difference (i.e., if there is an integer k such that a-b = kn)". (Contributed by AV, 11-Jul-2021.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ) โ ((๐ด mod ๐) = (๐ต mod ๐) โ โ๐ โ โค (๐ ยท ๐) = (๐ด โ ๐ต))) | ||
Theorem | divgcdcoprm0 16476 | Integers divided by gcd are coprime. (Contributed by AV, 12-Jul-2021.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ต โ 0) โ ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) = 1) | ||
Theorem | divgcdcoprmex 16477* | Integers divided by gcd are coprime (see ProofWiki "Integers Divided by GCD are Coprime", 11-Jul-2021, https://proofwiki.org/wiki/Integers_Divided_by_GCD_are_Coprime): Any pair of integers, not both zero, can be reduced to a pair of coprime ones by dividing them by their gcd. (Contributed by AV, 12-Jul-2021.) |
โข ((๐ด โ โค โง (๐ต โ โค โง ๐ต โ 0) โง ๐ = (๐ด gcd ๐ต)) โ โ๐ โ โค โ๐ โ โค (๐ด = (๐ ยท ๐) โง ๐ต = (๐ ยท ๐) โง (๐ gcd ๐) = 1)) | ||
Theorem | cncongr1 16478 | One direction of the bicondition in cncongr 16480. Theorem 5.4 in [ApostolNT] p. 109. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.) |
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ถ โ โค) โง (๐ โ โ โง ๐ = (๐ / (๐ถ gcd ๐)))) โ (((๐ด ยท ๐ถ) mod ๐) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐) โ (๐ด mod ๐) = (๐ต mod ๐))) | ||
Theorem | cncongr2 16479 | The other direction of the bicondition in cncongr 16480. (Contributed by AV, 11-Jul-2021.) |
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ถ โ โค) โง (๐ โ โ โง ๐ = (๐ / (๐ถ gcd ๐)))) โ ((๐ด mod ๐) = (๐ต mod ๐) โ ((๐ด ยท ๐ถ) mod ๐) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐))) | ||
Theorem | cncongr 16480 | Cancellability of Congruences (see ProofWiki "Cancellability of Congruences, https://proofwiki.org/wiki/Cancellability_of_Congruences, 10-Jul-2021): Two products with a common factor are congruent modulo a positive integer iff the other factors are congruent modulo the integer divided by the greates common divisor of the integer and the common factor. See also Theorem 5.4 "Cancellation law" in [ApostolNT] p. 109. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.) |
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ถ โ โค) โง (๐ โ โ โง ๐ = (๐ / (๐ถ gcd ๐)))) โ (((๐ด ยท ๐ถ) mod ๐) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐) โ (๐ด mod ๐) = (๐ต mod ๐))) | ||
Theorem | cncongrcoprm 16481 | Corollary 1 of Cancellability of Congruences: Two products with a common factor are congruent modulo an integer being coprime to the common factor iff the other factors are congruent modulo the integer. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.) |
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ถ โ โค) โง (๐ โ โ โง (๐ถ gcd ๐) = 1)) โ (((๐ด ยท ๐ถ) mod ๐) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐) โ (๐ด mod ๐) = (๐ต mod ๐))) | ||
Remark: to represent odd prime numbers, i.e., all prime numbers except 2, the idiom ๐ โ (โ โ {2}) is used. It is a little bit shorter than (๐ โ โ โง ๐ โ 2). Both representations can be converted into each other by eldifsn 4746. | ||
Syntax | cprime 16482 | Extend the definition of a class to include the set of prime numbers. |
class โ | ||
Definition | df-prm 16483* | Define the set of prime numbers. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) |
โข โ = {๐ โ โ โฃ {๐ โ โ โฃ ๐ โฅ ๐} โ 2o} | ||
Theorem | isprm 16484* | The predicate "is a prime number". A prime number is a positive integer with exactly two positive divisors. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) |
โข (๐ โ โ โ (๐ โ โ โง {๐ โ โ โฃ ๐ โฅ ๐} โ 2o)) | ||
Theorem | prmnn 16485 | A prime number is a positive integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) |
โข (๐ โ โ โ ๐ โ โ) | ||
Theorem | prmz 16486 | A prime number is an integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Jonathan Yan, 16-Jul-2017.) |
โข (๐ โ โ โ ๐ โ โค) | ||
Theorem | prmssnn 16487 | The prime numbers are a subset of the positive integers. (Contributed by AV, 22-Jul-2020.) |
โข โ โ โ | ||
Theorem | prmex 16488 | The set of prime numbers exists. (Contributed by AV, 22-Jul-2020.) |
โข โ โ V | ||
Theorem | 0nprm 16489 | 0 is not a prime number. Already Definition df-prm 16483 excludes 0 from being prime (โ = {๐ โ โ โฃ ...), but even if ๐ โ โ0 was allowed, the condition {๐ โ โ โฃ ๐ โฅ ๐} โ 2o would not hold for ๐ = 0, because {๐ โ โ โฃ ๐ โฅ 0} = โ, see dvds0 16089, and ยฌ โ โ 2o (there are more than 2 positive integers). (Contributed by AV, 29-May-2023.) |
โข ยฌ 0 โ โ | ||
Theorem | 1nprm 16490 | 1 is not a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 3-Jul-2016.) |
โข ยฌ 1 โ โ | ||
Theorem | 1idssfct 16491* | The positive divisors of a positive integer include 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) |
โข (๐ โ โ โ {1, ๐} โ {๐ โ โ โฃ ๐ โฅ ๐}) | ||
Theorem | isprm2lem 16492* | Lemma for isprm2 16493. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ 1) โ ({๐ โ โ โฃ ๐ โฅ ๐} โ 2o โ {๐ โ โ โฃ ๐ โฅ ๐} = {1, ๐})) | ||
Theorem | isprm2 16493* | The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 whose only positive divisors are 1 and itself. Definition in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) |
โข (๐ โ โ โ (๐ โ (โคโฅโ2) โง โ๐ง โ โ (๐ง โฅ ๐ โ (๐ง = 1 โจ ๐ง = ๐)))) | ||
Theorem | isprm3 16494* | The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 with no divisors strictly between 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) |
โข (๐ โ โ โ (๐ โ (โคโฅโ2) โง โ๐ง โ (2...(๐ โ 1)) ยฌ ๐ง โฅ ๐)) | ||
Theorem | isprm4 16495* | The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 whose only divisor greater than or equal to 2 is itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) |
โข (๐ โ โ โ (๐ โ (โคโฅโ2) โง โ๐ง โ (โคโฅโ2)(๐ง โฅ ๐ โ ๐ง = ๐))) | ||
Theorem | prmind2 16496* | A variation on prmind 16497 assuming complete induction for primes. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.) |
โข (๐ฅ = 1 โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ง โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = (๐ฆ ยท ๐ง) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ โ ๐)) & โข ๐ & โข ((๐ฅ โ โ โง โ๐ฆ โ (1...(๐ฅ โ 1))๐) โ ๐) & โข ((๐ฆ โ (โคโฅโ2) โง ๐ง โ (โคโฅโ2)) โ ((๐ โง ๐) โ ๐)) โ โข (๐ด โ โ โ ๐) | ||
Theorem | prmind 16497* | Perform induction over the multiplicative structure of โ. If a property ๐(๐ฅ) holds for the primes and 1 and is preserved under multiplication, then it holds for every positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.) |
โข (๐ฅ = 1 โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ง โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = (๐ฆ ยท ๐ง) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ โ ๐)) & โข ๐ & โข (๐ฅ โ โ โ ๐) & โข ((๐ฆ โ (โคโฅโ2) โง ๐ง โ (โคโฅโ2)) โ ((๐ โง ๐) โ ๐)) โ โข (๐ด โ โ โ ๐) | ||
Theorem | dvdsprime 16498 | If ๐ divides a prime, then ๐ is either the prime or one. (Contributed by Scott Fenton, 8-Apr-2014.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ โฅ ๐ โ (๐ = ๐ โจ ๐ = 1))) | ||
Theorem | nprm 16499 | A product of two integers greater than one is composite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.) |
โข ((๐ด โ (โคโฅโ2) โง ๐ต โ (โคโฅโ2)) โ ยฌ (๐ด ยท ๐ต) โ โ) | ||
Theorem | nprmi 16500 | An inference for compositeness. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.) |
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข 1 < ๐ด & โข 1 < ๐ต & โข (๐ด ยท ๐ต) = ๐ โ โข ยฌ ๐ โ โ |
< Previous Next > |
Copyright terms: Public domain | < Previous Next > |