Theorem nn0ex 12390

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12385	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 12134	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		snex 5375	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
4	2, 3	unex 7680	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2824	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ∪ cun 3901  {csn 4577  0cc0 11009  ℕcn 12128  ℕ₀cn0 12384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-1cn 11067  ax-addcl 11069

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-nn 12129  df-n0 12385

This theorem is referenced by:  nn0ennn  13886  nnenom  13887  fsuppmapnn0fiub0  13900  suppssfz  13901  fsuppmapnn0ub  13902  mptnn0fsupp  13904  mptnn0fsuppr  13906  wrdexg  14431  elovmptnn0wrd  14466  rtrclreclem1  14964  dfrtrclrec2  14965  rtrclreclem2  14966  rtrclreclem4  14968  expcnv  15771  geolim  15777  cvgrat  15790  mertenslem2  15792  bpolylem  15955  eftlub  16018  bitsfval  16334  bitsf  16338  sadfval  16363  smufval  16388  smupf  16389  1arith  16839  ramcl  16941  smndex1ibas  18774  smndex1gbas  18776  smndex1gid  18777  smndex1igid  18778  smndex1mnd  18784  smndex1id  18785  smndex1n0mnd  18786  smndex2dbas  18788  smndex2dnrinv  18789  smndex2hbas  18790  smndex2dlinvh  18791  odfval  19411  fsfnn0gsumfsffz  19862  gsummptnn0fz  19865  nn0srg  21344  psrbag  21824  evlsgsumadd  21996  evlsgsummul  21997  mhpfval  22023  mhpmulcl  22034  coe1fval  22088  fvcoe1  22090  coe1fval3  22091  coe1f2  22092  coe1sfi  22096  coe1fsupp  22097  00ply1bas  22122  ply1plusgfvi  22124  coe1z  22147  coe1add  22148  coe1addfv  22149  coe1mul2lem1  22151  coe1mul2lem2  22152  coe1mul2  22153  coe1tm  22157  coe1sclmul  22166  coe1sclmulfv  22167  coe1sclmul2  22168  ply1coefsupp  22182  ply1coe  22183  gsumsmonply1  22192  gsummoncoe1  22193  evls1gsumadd  22209  evls1gsummul  22210  evl1gsummul  22245  evls1fpws  22254  pmatcollpw1  22661  pmatcollpw2lem  22662  pmatcollpw2  22663  pmatcollpw3lem  22668  pm2mpcl  22682  idpm2idmp  22686  mply1topmatcllem  22688  mply1topmatcl  22690  mp2pm2mplem2  22692  mp2pm2mplem5  22695  mp2pm2mp  22696  pm2mpghmlem2  22697  pm2mpghm  22701  pm2mpmhmlem2  22704  monmat2matmon  22709  pm2mp  22710  chfacfscmulgsum  22745  chfacfpmmulgsum  22749  cpmidpmatlem2  22756  cpmadumatpolylem1  22766  cpmadumatpolylem2  22767  chcoeffeqlem  22770  cayhamlem3  22772  cayhamlem4  22773  dyadmax  25497  cpnfval  25832  deg1ldg  25995  deg1leb  25998  deg1val  25999  deg1mul3  26019  deg1mul3le  26020  uc1pmon1p  26055  plyval  26096  elply2  26099  plyf  26101  elplyr  26104  plyeq0lem  26113  plyeq0  26114  plypf1  26115  plyaddlem1  26116  plyaddlem  26118  plymullem  26119  coeeulem  26127  coeeq  26130  dgrlem  26132  coeidlem  26140  coeaddlem  26152  coemulc  26158  coe0  26159  coesub  26160  dgradd2  26172  dgrcolem2  26178  plydivlem4  26202  plydiveu  26204  vieta1lem2  26217  taylfval  26264  pserval  26317  dvradcnv  26328  pserdvlem2  26336  abelthlem1  26339  abelthlem3  26341  abelthlem6  26344  logtayl  26567  leibpi  26850  sqff1o  27090  clwwlknonmpo  30033  ressply1evls1  33500  evl1deg1  33511  evl1deg2  33512  evl1deg3  33513  gsummoncoe1fzo  33530  mplvrpmfgalem  33545  mplvrpmga  33546  ply1degltdimlem  33589  evls1fldgencl  33637  extdgfialglem2  33660  eulerpartleme  34331  eulerpartlem1  34335  eulerpartlemt  34339  eulerpartgbij  34340  eulerpartlemr  34342  eulerpartlemmf  34343  eulerpartlemgvv  34344  eulerpartlemgs2  34348  eulerpartlemn  34349  fib0  34367  fib1  34368  fibp1  34369  lpadval  34644  knoppcnlem1  36467  knoppcnlem6  36472  poimirlem32  37632  heiborlem3  37793  aks6d1c1  42089  aks6d1c2lem3  42099  aks6d1c5lem0  42108  aks6d1c5lem3  42110  aks6d1c5lem2  42111  aks6d1c5  42112  sticksstones14  42133  sticksstones20  42139  sticksstones23  42142  aks6d1c6lem1  42143  aks6d1c6lem2  42144  eldiophb  42730  diophrw  42732  hbtlem1  43096  hbtlem7  43098  dgrsub2  43108  mpaaeu  43123  deg1mhm  43173  elrtrclrec  43654  brmptiunrelexpd  43656  brrtrclrec  43670  iunrelexp0  43675  iunrelexpmin2  43685  dfrtrcl3  43706  fvrtrcllb0d  43708  fvrtrcllb0da  43709  fvrtrcllb1d  43710  radcnvrat  44287  binomcxplemrat  44323  binomcxplemnotnn0  44329  expfac  45638  dvnprodlem1  45927  dvnprodlem2  45928  dvnprodlem3  45929  etransclem24  46239  etransclem25  46240  etransclem26  46241  etransclem28  46243  etransclem35  46250  etransclem37  46252  etransclem48  46263  fmtnoinf  47520  nn0mnd  48163  ply1mulgsum  48375  itcovalpclem1  48655  itcovalpclem2  48656  itcovalt2lem1  48660  itcovalt2lem2  48661  ackvalsuc1mpt  48663  ackval0  48665  ackendofnn0  48669  ackvalsucsucval  48673