Theorem nn0ex 12407

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12402	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 12151	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		snex 5381	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
4	2, 3	unex 7689	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2832	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ∪ cun 3899  {csn 4580  0cc0 11026  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-1cn 11084  ax-addcl 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-nn 12146  df-n0 12402

This theorem is referenced by:  nn0ennn  13902  nnenom  13903  fsuppmapnn0fiub0  13916  suppssfz  13917  fsuppmapnn0ub  13918  mptnn0fsupp  13920  mptnn0fsuppr  13922  wrdexg  14447  elovmptnn0wrd  14482  rtrclreclem1  14980  dfrtrclrec2  14981  rtrclreclem2  14982  rtrclreclem4  14984  expcnv  15787  geolim  15793  cvgrat  15806  mertenslem2  15808  bpolylem  15971  eftlub  16034  bitsfval  16350  bitsf  16354  sadfval  16379  smufval  16404  smupf  16405  1arith  16855  ramcl  16957  smndex1ibas  18825  smndex1gbas  18827  smndex1gid  18828  smndex1igid  18829  smndex1mnd  18835  smndex1id  18836  smndex1n0mnd  18837  smndex2dbas  18839  smndex2dnrinv  18840  smndex2hbas  18841  smndex2dlinvh  18842  odfval  19461  fsfnn0gsumfsffz  19912  gsummptnn0fz  19915  nn0srg  21392  psrbag  21873  evlsgsumadd  22051  evlsgsummul  22052  mhpfval  22081  mhpmulcl  22092  coe1fval  22146  fvcoe1  22148  coe1fval3  22149  coe1f2  22150  coe1sfi  22154  coe1fsupp  22155  00ply1bas  22180  ply1plusgfvi  22182  coe1z  22205  coe1add  22206  coe1addfv  22207  coe1mul2lem1  22209  coe1mul2lem2  22210  coe1mul2  22211  coe1tm  22215  coe1sclmul  22224  coe1sclmulfv  22225  coe1sclmul2  22226  ply1coefsupp  22241  ply1coe  22242  gsumsmonply1  22251  gsummoncoe1  22252  evls1gsumadd  22268  evls1gsummul  22269  evl1gsummul  22304  evls1fpws  22313  pmatcollpw1  22720  pmatcollpw2lem  22721  pmatcollpw2  22722  pmatcollpw3lem  22727  pm2mpcl  22741  idpm2idmp  22745  mply1topmatcllem  22747  mply1topmatcl  22749  mp2pm2mplem2  22751  mp2pm2mplem5  22754  mp2pm2mp  22755  pm2mpghmlem2  22756  pm2mpghm  22760  pm2mpmhmlem2  22763  monmat2matmon  22768  pm2mp  22769  chfacfscmulgsum  22804  chfacfpmmulgsum  22808  cpmidpmatlem2  22815  cpmadumatpolylem1  22825  cpmadumatpolylem2  22826  chcoeffeqlem  22829  cayhamlem3  22831  cayhamlem4  22832  dyadmax  25555  cpnfval  25890  deg1ldg  26053  deg1leb  26056  deg1val  26057  deg1mul3  26077  deg1mul3le  26078  uc1pmon1p  26113  plyval  26154  elply2  26157  plyf  26159  elplyr  26162  plyeq0lem  26171  plyeq0  26172  plypf1  26173  plyaddlem1  26174  plyaddlem  26176  plymullem  26177  coeeulem  26185  coeeq  26188  dgrlem  26190  coeidlem  26198  coeaddlem  26210  coemulc  26216  coe0  26217  coesub  26218  dgradd2  26230  dgrcolem2  26236  plydivlem4  26260  plydiveu  26262  vieta1lem2  26275  taylfval  26322  pserval  26375  dvradcnv  26386  pserdvlem2  26394  abelthlem1  26397  abelthlem3  26399  abelthlem6  26402  logtayl  26625  leibpi  26908  sqff1o  27148  clwwlknonmpo  30164  ressply1evls1  33646  evl1deg1  33657  evl1deg2  33658  evl1deg3  33659  ply1coedeg  33670  gsummoncoe1fzo  33678  extvfvvcl  33700  extvfvcl  33701  mplmulmvr  33704  evlextv  33707  mplvrpmlem  33708  mplvrpmfgalem  33709  mplvrpmga  33710  mplvrpmmhm  33711  mplvrpmrhm  33712  esplyval  33720  esplyfval0  33722  esplylem  33724  esplymhp  33726  esplyfv1  33727  esplysply  33729  esplyfval3  33730  esplyind  33731  vieta  33736  ply1degltdimlem  33779  evls1fldgencl  33827  extdgfialglem2  33850  eulerpartleme  34520  eulerpartlem1  34524  eulerpartlemt  34528  eulerpartgbij  34529  eulerpartlemr  34531  eulerpartlemmf  34532  eulerpartlemgvv  34533  eulerpartlemgs2  34537  eulerpartlemn  34538  fib0  34556  fib1  34557  fibp1  34558  lpadval  34833  knoppcnlem1  36693  knoppcnlem6  36698  poimirlem32  37853  heiborlem3  38014  aks6d1c1  42370  aks6d1c2lem3  42380  aks6d1c5lem0  42389  aks6d1c5lem3  42391  aks6d1c5lem2  42392  aks6d1c5  42393  sticksstones14  42414  sticksstones20  42420  sticksstones23  42423  aks6d1c6lem1  42424  aks6d1c6lem2  42425  eldiophb  42999  diophrw  43001  hbtlem1  43365  hbtlem7  43367  dgrsub2  43377  mpaaeu  43392  deg1mhm  43442  elrtrclrec  43922  brmptiunrelexpd  43924  brrtrclrec  43938  iunrelexp0  43943  iunrelexpmin2  43953  dfrtrcl3  43974  fvrtrcllb0d  43976  fvrtrcllb0da  43977  fvrtrcllb1d  43978  radcnvrat  44555  binomcxplemrat  44591  binomcxplemnotnn0  44597  expfac  45901  dvnprodlem1  46190  dvnprodlem2  46191  dvnprodlem3  46192  etransclem24  46502  etransclem25  46503  etransclem26  46504  etransclem28  46506  etransclem35  46513  etransclem37  46515  etransclem48  46526  nthrucw  47130  fmtnoinf  47782  nn0mnd  48425  ply1mulgsum  48636  itcovalpclem1  48916  itcovalpclem2  48917  itcovalt2lem1  48921  itcovalt2lem2  48922  ackvalsuc1mpt  48924  ackval0  48926  ackendofnn0  48930  ackvalsucsucval  48934