Theorem nn0ex 12061

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12056	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 11801	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		snex 5309	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
4	2, 3	unex 7509	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2827	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2112  Vcvv 3398   ∪ cun 3851  {csn 4527  0cc0 10694  ℕcn 11795  ℕ₀cn0 12055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-1cn 10752  ax-addcl 10754

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7194  df-om 7623  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-nn 11796  df-n0 12056

This theorem is referenced by:  nn0ennn  13517  nnenom  13518  fsuppmapnn0fiub0  13531  suppssfz  13532  fsuppmapnn0ub  13533  mptnn0fsupp  13535  mptnn0fsuppr  13537  wrdexg  14044  elovmptnn0wrd  14079  rtrclreclem1  14585  dfrtrclrec2  14586  rtrclreclem2  14587  rtrclreclem4  14589  expcnv  15391  geolim  15397  cvgrat  15410  mertenslem2  15412  bpolylem  15573  eftlub  15633  bitsfval  15945  bitsf  15949  sadfval  15974  smufval  15999  smupf  16000  1arith  16443  ramcl  16545  smndex1ibas  18281  smndex1gbas  18283  smndex1gid  18284  smndex1igid  18285  smndex1mnd  18291  smndex1id  18292  smndex1n0mnd  18293  smndex2dbas  18295  smndex2dnrinv  18296  smndex2hbas  18297  smndex2dlinvh  18298  odfval  18878  fsfnn0gsumfsffz  19322  gsummptnn0fz  19325  nn0srg  20387  psrbag  20830  evlsgsumadd  21005  evlsgsummul  21006  mhpfval  21033  mhpmulcl  21043  coe1fval  21080  fvcoe1  21082  coe1fval3  21083  coe1f2  21084  coe1sfi  21088  coe1fsupp  21089  00ply1bas  21115  ply1plusgfvi  21117  coe1z  21138  coe1add  21139  coe1addfv  21140  coe1mul2lem1  21142  coe1mul2lem2  21143  coe1mul2  21144  coe1tm  21148  coe1sclmul  21157  coe1sclmulfv  21158  coe1sclmul2  21159  ply1coefsupp  21170  ply1coe  21171  gsumsmonply1  21178  gsummoncoe1  21179  evls1gsumadd  21194  evls1gsummul  21195  evl1gsummul  21230  pmatcollpw1  21627  pmatcollpw2lem  21628  pmatcollpw2  21629  pmatcollpw3lem  21634  pm2mpcl  21648  idpm2idmp  21652  mply1topmatcllem  21654  mply1topmatcl  21656  mp2pm2mplem2  21658  mp2pm2mplem5  21661  mp2pm2mp  21662  pm2mpghmlem2  21663  pm2mpghm  21667  pm2mpmhmlem2  21670  monmat2matmon  21675  pm2mp  21676  chfacfscmulgsum  21711  chfacfpmmulgsum  21715  cpmidpmatlem2  21722  cpmadumatpolylem1  21732  cpmadumatpolylem2  21733  chcoeffeqlem  21736  cayhamlem3  21738  cayhamlem4  21739  dyadmax  24449  cpnfval  24783  deg1ldg  24944  deg1leb  24947  deg1val  24948  deg1mul3  24967  deg1mul3le  24968  uc1pmon1p  25003  plyval  25041  elply2  25044  plyf  25046  elplyr  25049  plyeq0lem  25058  plyeq0  25059  plypf1  25060  plyaddlem1  25061  plyaddlem  25063  plymullem  25064  coeeulem  25072  coeeq  25075  dgrlem  25077  coeidlem  25085  coeaddlem  25097  coemulc  25103  coe0  25104  coesub  25105  dgradd2  25116  dgrcolem2  25122  plydivlem4  25143  plydiveu  25145  vieta1lem2  25158  taylfval  25205  pserval  25256  dvradcnv  25267  pserdvlem2  25274  abelthlem1  25277  abelthlem3  25279  abelthlem6  25282  logtayl  25502  leibpi  25779  sqff1o  26018  clwwlknonmpo  28126  eulerpartleme  31996  eulerpartlem1  32000  eulerpartlemt  32004  eulerpartgbij  32005  eulerpartlemr  32007  eulerpartlemmf  32008  eulerpartlemgvv  32009  eulerpartlemgs2  32013  eulerpartlemn  32014  fib0  32032  fib1  32033  fibp1  32034  lpadval  32322  knoppcnlem1  34359  knoppcnlem6  34364  poimirlem32  35495  heiborlem3  35657  sticksstones14  39785  eldiophb  40223  diophrw  40225  hbtlem1  40592  hbtlem7  40594  dgrsub2  40604  mpaaeu  40619  deg1mhm  40676  elrtrclrec  40907  brmptiunrelexpd  40909  brrtrclrec  40923  iunrelexp0  40928  iunrelexpmin2  40938  dfrtrcl3  40959  fvrtrcllb0d  40961  fvrtrcllb0da  40962  fvrtrcllb1d  40963  radcnvrat  41546  binomcxplemrat  41582  binomcxplemnotnn0  41588  expfac  42816  dvnprodlem1  43105  dvnprodlem2  43106  dvnprodlem3  43107  etransclem24  43417  etransclem25  43418  etransclem26  43419  etransclem28  43421  etransclem35  43428  etransclem37  43430  etransclem48  43441  fmtnoinf  44604  nn0mnd  44989  ply1mulgsum  45347  itcovalpclem1  45632  itcovalpclem2  45633  itcovalt2lem1  45637  itcovalt2lem2  45638  ackvalsuc1mpt  45640  ackval0  45642  ackendofnn0  45646  ackvalsucsucval  45650