Theorem nn0ex 12455

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12450	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 12199	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		snex 5394	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
4	2, 3	unex 7723	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2825	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ∪ cun 3915  {csn 4592  0cc0 11075  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-1cn 11133  ax-addcl 11135

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-nn 12194  df-n0 12450

This theorem is referenced by:  nn0ennn  13951  nnenom  13952  fsuppmapnn0fiub0  13965  suppssfz  13966  fsuppmapnn0ub  13967  mptnn0fsupp  13969  mptnn0fsuppr  13971  wrdexg  14496  elovmptnn0wrd  14531  rtrclreclem1  15030  dfrtrclrec2  15031  rtrclreclem2  15032  rtrclreclem4  15034  expcnv  15837  geolim  15843  cvgrat  15856  mertenslem2  15858  bpolylem  16021  eftlub  16084  bitsfval  16400  bitsf  16404  sadfval  16429  smufval  16454  smupf  16455  1arith  16905  ramcl  17007  smndex1ibas  18834  smndex1gbas  18836  smndex1gid  18837  smndex1igid  18838  smndex1mnd  18844  smndex1id  18845  smndex1n0mnd  18846  smndex2dbas  18848  smndex2dnrinv  18849  smndex2hbas  18850  smndex2dlinvh  18851  odfval  19469  fsfnn0gsumfsffz  19920  gsummptnn0fz  19923  nn0srg  21361  psrbag  21833  evlsgsumadd  22005  evlsgsummul  22006  mhpfval  22032  mhpmulcl  22043  coe1fval  22097  fvcoe1  22099  coe1fval3  22100  coe1f2  22101  coe1sfi  22105  coe1fsupp  22106  00ply1bas  22131  ply1plusgfvi  22133  coe1z  22156  coe1add  22157  coe1addfv  22158  coe1mul2lem1  22160  coe1mul2lem2  22161  coe1mul2  22162  coe1tm  22166  coe1sclmul  22175  coe1sclmulfv  22176  coe1sclmul2  22177  ply1coefsupp  22191  ply1coe  22192  gsumsmonply1  22201  gsummoncoe1  22202  evls1gsumadd  22218  evls1gsummul  22219  evl1gsummul  22254  evls1fpws  22263  pmatcollpw1  22670  pmatcollpw2lem  22671  pmatcollpw2  22672  pmatcollpw3lem  22677  pm2mpcl  22691  idpm2idmp  22695  mply1topmatcllem  22697  mply1topmatcl  22699  mp2pm2mplem2  22701  mp2pm2mplem5  22704  mp2pm2mp  22705  pm2mpghmlem2  22706  pm2mpghm  22710  pm2mpmhmlem2  22713  monmat2matmon  22718  pm2mp  22719  chfacfscmulgsum  22754  chfacfpmmulgsum  22758  cpmidpmatlem2  22765  cpmadumatpolylem1  22775  cpmadumatpolylem2  22776  chcoeffeqlem  22779  cayhamlem3  22781  cayhamlem4  22782  dyadmax  25506  cpnfval  25841  deg1ldg  26004  deg1leb  26007  deg1val  26008  deg1mul3  26028  deg1mul3le  26029  uc1pmon1p  26064  plyval  26105  elply2  26108  plyf  26110  elplyr  26113  plyeq0lem  26122  plyeq0  26123  plypf1  26124  plyaddlem1  26125  plyaddlem  26127  plymullem  26128  coeeulem  26136  coeeq  26139  dgrlem  26141  coeidlem  26149  coeaddlem  26161  coemulc  26167  coe0  26168  coesub  26169  dgradd2  26181  dgrcolem2  26187  plydivlem4  26211  plydiveu  26213  vieta1lem2  26226  taylfval  26273  pserval  26326  dvradcnv  26337  pserdvlem2  26345  abelthlem1  26348  abelthlem3  26350  abelthlem6  26353  logtayl  26576  leibpi  26859  sqff1o  27099  clwwlknonmpo  30025  ressply1evls1  33541  evl1deg1  33552  evl1deg2  33553  evl1deg3  33554  gsummoncoe1fzo  33570  ply1degltdimlem  33625  evls1fldgencl  33672  eulerpartleme  34361  eulerpartlem1  34365  eulerpartlemt  34369  eulerpartgbij  34370  eulerpartlemr  34372  eulerpartlemmf  34373  eulerpartlemgvv  34374  eulerpartlemgs2  34378  eulerpartlemn  34379  fib0  34397  fib1  34398  fibp1  34399  lpadval  34674  knoppcnlem1  36488  knoppcnlem6  36493  poimirlem32  37653  heiborlem3  37814  aks6d1c1  42111  aks6d1c2lem3  42121  aks6d1c5lem0  42130  aks6d1c5lem3  42132  aks6d1c5lem2  42133  aks6d1c5  42134  sticksstones14  42155  sticksstones20  42161  sticksstones23  42164  aks6d1c6lem1  42165  aks6d1c6lem2  42166  eldiophb  42752  diophrw  42754  hbtlem1  43119  hbtlem7  43121  dgrsub2  43131  mpaaeu  43146  deg1mhm  43196  elrtrclrec  43677  brmptiunrelexpd  43679  brrtrclrec  43693  iunrelexp0  43698  iunrelexpmin2  43708  dfrtrcl3  43729  fvrtrcllb0d  43731  fvrtrcllb0da  43732  fvrtrcllb1d  43733  radcnvrat  44310  binomcxplemrat  44346  binomcxplemnotnn0  44352  expfac  45662  dvnprodlem1  45951  dvnprodlem2  45952  dvnprodlem3  45953  etransclem24  46263  etransclem25  46264  etransclem26  46265  etransclem28  46267  etransclem35  46274  etransclem37  46276  etransclem48  46287  fmtnoinf  47541  nn0mnd  48171  ply1mulgsum  48383  itcovalpclem1  48663  itcovalpclem2  48664  itcovalt2lem1  48668  itcovalt2lem2  48669  ackvalsuc1mpt  48671  ackval0  48673  ackendofnn0  48677  ackvalsucsucval  48681