Theorem nn0ex 12382

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12377	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 12126	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		snex 5369	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
4	2, 3	unex 7672	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2827	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∪ cun 3895  {csn 4571  0cc0 11001  ℕcn 12120  ℕ₀cn0 12376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-1cn 11059  ax-addcl 11061

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7344  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-nn 12121  df-n0 12377

This theorem is referenced by:  nn0ennn  13881  nnenom  13882  fsuppmapnn0fiub0  13895  suppssfz  13896  fsuppmapnn0ub  13897  mptnn0fsupp  13899  mptnn0fsuppr  13901  wrdexg  14426  elovmptnn0wrd  14461  rtrclreclem1  14959  dfrtrclrec2  14960  rtrclreclem2  14961  rtrclreclem4  14963  expcnv  15766  geolim  15772  cvgrat  15785  mertenslem2  15787  bpolylem  15950  eftlub  16013  bitsfval  16329  bitsf  16333  sadfval  16358  smufval  16383  smupf  16384  1arith  16834  ramcl  16936  smndex1ibas  18803  smndex1gbas  18805  smndex1gid  18806  smndex1igid  18807  smndex1mnd  18813  smndex1id  18814  smndex1n0mnd  18815  smndex2dbas  18817  smndex2dnrinv  18818  smndex2hbas  18819  smndex2dlinvh  18820  odfval  19439  fsfnn0gsumfsffz  19890  gsummptnn0fz  19893  nn0srg  21369  psrbag  21849  evlsgsumadd  22021  evlsgsummul  22022  mhpfval  22048  mhpmulcl  22059  coe1fval  22113  fvcoe1  22115  coe1fval3  22116  coe1f2  22117  coe1sfi  22121  coe1fsupp  22122  00ply1bas  22147  ply1plusgfvi  22149  coe1z  22172  coe1add  22173  coe1addfv  22174  coe1mul2lem1  22176  coe1mul2lem2  22177  coe1mul2  22178  coe1tm  22182  coe1sclmul  22191  coe1sclmulfv  22192  coe1sclmul2  22193  ply1coefsupp  22207  ply1coe  22208  gsumsmonply1  22217  gsummoncoe1  22218  evls1gsumadd  22234  evls1gsummul  22235  evl1gsummul  22270  evls1fpws  22279  pmatcollpw1  22686  pmatcollpw2lem  22687  pmatcollpw2  22688  pmatcollpw3lem  22693  pm2mpcl  22707  idpm2idmp  22711  mply1topmatcllem  22713  mply1topmatcl  22715  mp2pm2mplem2  22717  mp2pm2mplem5  22720  mp2pm2mp  22721  pm2mpghmlem2  22722  pm2mpghm  22726  pm2mpmhmlem2  22729  monmat2matmon  22734  pm2mp  22735  chfacfscmulgsum  22770  chfacfpmmulgsum  22774  cpmidpmatlem2  22781  cpmadumatpolylem1  22791  cpmadumatpolylem2  22792  chcoeffeqlem  22795  cayhamlem3  22797  cayhamlem4  22798  dyadmax  25521  cpnfval  25856  deg1ldg  26019  deg1leb  26022  deg1val  26023  deg1mul3  26043  deg1mul3le  26044  uc1pmon1p  26079  plyval  26120  elply2  26123  plyf  26125  elplyr  26128  plyeq0lem  26137  plyeq0  26138  plypf1  26139  plyaddlem1  26140  plyaddlem  26142  plymullem  26143  coeeulem  26151  coeeq  26154  dgrlem  26156  coeidlem  26164  coeaddlem  26176  coemulc  26182  coe0  26183  coesub  26184  dgradd2  26196  dgrcolem2  26202  plydivlem4  26226  plydiveu  26228  vieta1lem2  26241  taylfval  26288  pserval  26341  dvradcnv  26352  pserdvlem2  26360  abelthlem1  26363  abelthlem3  26365  abelthlem6  26368  logtayl  26591  leibpi  26874  sqff1o  27114  clwwlknonmpo  30061  ressply1evls1  33520  evl1deg1  33531  evl1deg2  33532  evl1deg3  33533  gsummoncoe1fzo  33550  mplvrpmlem  33565  mplvrpmfgalem  33566  mplvrpmga  33567  mplvrpmmhm  33568  mplvrpmrhm  33569  esplyval  33577  esplylem  33579  esplymhp  33581  esplyfv1  33582  esplysply  33584  ply1degltdimlem  33627  evls1fldgencl  33675  extdgfialglem2  33698  eulerpartleme  34368  eulerpartlem1  34372  eulerpartlemt  34376  eulerpartgbij  34377  eulerpartlemr  34379  eulerpartlemmf  34380  eulerpartlemgvv  34381  eulerpartlemgs2  34385  eulerpartlemn  34386  fib0  34404  fib1  34405  fibp1  34406  lpadval  34681  knoppcnlem1  36527  knoppcnlem6  36532  poimirlem32  37692  heiborlem3  37853  aks6d1c1  42149  aks6d1c2lem3  42159  aks6d1c5lem0  42168  aks6d1c5lem3  42170  aks6d1c5lem2  42171  aks6d1c5  42172  sticksstones14  42193  sticksstones20  42199  sticksstones23  42202  aks6d1c6lem1  42203  aks6d1c6lem2  42204  eldiophb  42790  diophrw  42792  hbtlem1  43156  hbtlem7  43158  dgrsub2  43168  mpaaeu  43183  deg1mhm  43233  elrtrclrec  43714  brmptiunrelexpd  43716  brrtrclrec  43730  iunrelexp0  43735  iunrelexpmin2  43745  dfrtrcl3  43766  fvrtrcllb0d  43768  fvrtrcllb0da  43769  fvrtrcllb1d  43770  radcnvrat  44347  binomcxplemrat  44383  binomcxplemnotnn0  44389  expfac  45695  dvnprodlem1  45984  dvnprodlem2  45985  dvnprodlem3  45986  etransclem24  46296  etransclem25  46297  etransclem26  46298  etransclem28  46300  etransclem35  46307  etransclem37  46309  etransclem48  46320  fmtnoinf  47567  nn0mnd  48210  ply1mulgsum  48422  itcovalpclem1  48702  itcovalpclem2  48703  itcovalt2lem1  48707  itcovalt2lem2  48708  ackvalsuc1mpt  48710  ackval0  48712  ackendofnn0  48716  ackvalsucsucval  48720