Theorem nn0ex 12534

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12529	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 12263	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		snex 5404	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
4	2, 3	unex 7746	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2856	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∪ cun 3897  {csn 4584  0cc0 11124  ℕcn 12257  ℕ₀cn0 12528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-1cn 11182  ax-addcl 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-nn 12258  df-n0 12529

This theorem is used by:  nn0ennn  14043  nnenom  14044  fsuppmapnn0fiub0  14057  suppssfz  14058  fsuppmapnn0ub  14059  mptnn0fsupp  14061  mptnn0fsuppr  14063  wrdexg  14589  elovmptnn0wrd  14624  rtrclreclem1  15130  dfrtrclrec2  15131  rtrclreclem2  15132  rtrclreclem4  15134  expcnv  15953  geolim  15959  cvgrat  15972  mertenslem2  15974  bpolylem  16134  eftlub  16197  bitsfval  16513  bitsf  16517  sadfval  16542  smufval  16567  smupf  16568  1arith  17019  ramcl  17121  smndex1ibas  19009  smndex1gbas  19011  smndex1gbasOLD  19012  smndex1gid  19013  smndex1gidOLD  19014  smndex1igid  19015  smndex1igidOLD  19016  smndex1mnd  19022  smndex1id  19023  smndex1n0mnd  19024  smndex2dbas  19026  smndex2dnrinv  19027  smndex2hbas  19028  smndex2dlinvh  19029  odfval  19659  fsfnn0gsumfsffz  20110  gsummptnn0fz  20113  nn0srg  21650  psrbag  22132  evlsgsumadd  22312  evlsgsummul  22313  mhpfval  22366  mhpmulcl  22377  coe1fval  22430  fvcoe1  22432  coe1fval3  22433  coe1f2  22434  coe1sfi  22438  coe1fsupp  22439  00ply1bas  22464  ply1plusgfvi  22466  coe1z  22489  coe1add  22490  coe1addfv  22491  coe1mul2lem1  22493  coe1mul2lem2  22494  coe1mul2  22495  coe1tm  22499  coe1sclmul  22508  coe1sclmulfv  22509  coe1sclmul2  22510  ply1coefsupp  22522  ply1coe  22523  gsumsmonply1  22532  gsummoncoe1  22533  evls1gsumadd  22549  evls1gsummul  22550  evl1gsummul  22585  evls1fpws  22594  pmatcollpw1  23001  pmatcollpw2lem  23002  pmatcollpw2  23003  pmatcollpw3lem  23008  pm2mpcl  23022  idpm2idmp  23026  mply1topmatcllem  23028  mply1topmatcl  23030  mp2pm2mplem2  23032  mp2pm2mplem5  23035  mp2pm2mp  23036  pm2mpghmlem2  23037  pm2mpghm  23041  pm2mpmhmlem2  23044  monmat2matmon  23049  pm2mp  23050  chfacfscmulgsum  23085  chfacfpmmulgsum  23089  cpmidpmatlem2  23096  cpmadumatpolylem1  23106  cpmadumatpolylem2  23107  chcoeffeqlem  23110  cayhamlem3  23112  cayhamlem4  23113  dyadmax  25826  cpnfval  26159  deg1ldg  26317  deg1leb  26320  deg1val  26321  deg1mul3  26341  deg1mul3le  26342  uc1pmon1p  26377  plyval  26418  elply2  26421  plyf  26423  elplyr  26426  plyeq0lem  26436  plyeq0  26437  plypf1  26438  plyaddlem1  26439  plyaddlem  26441  plymullem  26442  coeeulem  26450  coeeq  26453  dgrlem  26455  coeidlem  26463  coeaddlem  26475  coemulc  26481  coe0  26482  coesub  26483  dgradd2  26494  dgrcolem2  26500  plydivlem4  26526  plydiveu  26528  vieta1lem2  26543  taylfval  26595  pserval  26646  dvradcnv  26657  pserdvlem2  26664  abelthlem1  26667  abelthlem3  26669  abelthlem6  26672  logtayl  26897  leibpi  27179  sqff1o  27418  clwwlknonmpo  30559  ressply1evls1  33975  evl1deg1  33986  evl1deg2  33987  evl1deg3  33988  ply1coedeg  33999  gsummoncoe1fzo  34007  0mplrim  34024  selvply1rhmlema  34028  selvply1rhmlemb  34029  selvply1rhmlem1  34030  selvply1rhmlem2  34031  selvply1rhmlem4  34033  selvply1rhm0  34036  mplmulmvr  34049  evlextv  34052  mplvrpmlem  34053  mplvrpmfgalem  34054  mplvrpmga  34055  mplvrpmmhm  34056  mplvrpmrhm  34057  psrmonprod  34062  esplyval  34072  esplyfval0  34074  esplylem  34076  esplyfv1  34079  esplyfvaln  34084  esplyind  34085  vieta  34090  ply1degltdimlem  34132  evls1fldgencl  34180  extdgfialglem2  34203  eulerpartleme  34874  eulerpartlem1  34878  eulerpartlemt  34882  eulerpartgbij  34883  eulerpartlemr  34885  eulerpartlemmf  34886  eulerpartlemgvv  34887  eulerpartlemgs2  34891  eulerpartlemn  34892  fib0  34910  fib1  34911  fibp1  34912  lpadval  35187  knoppcnlem1  37190  knoppcnlem6  37195  poimirlem32  38401  heiborlem3  38563  aks6d1c1  42982  aks6d1c2lem3  42992  aks6d1c5lem0  43001  aks6d1c5lem3  43003  aks6d1c5lem2  43004  aks6d1c5  43005  sticksstones14  43026  sticksstones20  43032  sticksstones23  43035  aks6d1c6lem1  43036  aks6d1c6lem2  43037  eldiophb  43602  diophrw  43604  hbtlem1  43964  hbtlem7  43966  dgrsub2  43976  mpaaeu  43991  deg1mhm  44041  elrtrclrec  44521  brmptiunrelexpd  44523  brrtrclrec  44537  iunrelexp0  44542  iunrelexpmin2  44552  dfrtrcl3  44573  fvrtrcllb0d  44575  fvrtrcllb0da  44576  fvrtrcllb1d  44577  radcnvrat  45138  binomcxplemrat  45174  binomcxplemnotnn0  45180  expfac  46485  dvnprodlem1  46774  dvnprodlem2  46775  dvnprodlem3  46776  etransclem24  47086  etransclem25  47087  etransclem26  47088  etransclem28  47090  etransclem35  47097  etransclem37  47099  etransclem48  47110  numtowerdt  47734  fmtnoinf  48439  nn0mnd  49094  ply1mulgsum  49320  itcovalpclem1  49600  itcovalpclem2  49601  itcovalt2lem1  49605  itcovalt2lem2  49606  ackvalsuc1mpt  49608  ackval0  49610  ackendofnn0  49614  ackvalsucsucval  49618