Theorem nn0ex 12419

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12414	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 12163	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		snex 5385	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
4	2, 3	unex 7699	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2833	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ∪ cun 3901  {csn 4582  0cc0 11038  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-1cn 11096  ax-addcl 11098

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-nn 12158  df-n0 12414

This theorem is referenced by:  nn0ennn  13914  nnenom  13915  fsuppmapnn0fiub0  13928  suppssfz  13929  fsuppmapnn0ub  13930  mptnn0fsupp  13932  mptnn0fsuppr  13934  wrdexg  14459  elovmptnn0wrd  14494  rtrclreclem1  14992  dfrtrclrec2  14993  rtrclreclem2  14994  rtrclreclem4  14996  expcnv  15799  geolim  15805  cvgrat  15818  mertenslem2  15820  bpolylem  15983  eftlub  16046  bitsfval  16362  bitsf  16366  sadfval  16391  smufval  16416  smupf  16417  1arith  16867  ramcl  16969  smndex1ibas  18837  smndex1gbas  18839  smndex1gid  18840  smndex1igid  18841  smndex1mnd  18847  smndex1id  18848  smndex1n0mnd  18849  smndex2dbas  18851  smndex2dnrinv  18852  smndex2hbas  18853  smndex2dlinvh  18854  odfval  19473  fsfnn0gsumfsffz  19924  gsummptnn0fz  19927  nn0srg  21404  psrbag  21885  evlsgsumadd  22063  evlsgsummul  22064  mhpfval  22093  mhpmulcl  22104  coe1fval  22158  fvcoe1  22160  coe1fval3  22161  coe1f2  22162  coe1sfi  22166  coe1fsupp  22167  00ply1bas  22192  ply1plusgfvi  22194  coe1z  22217  coe1add  22218  coe1addfv  22219  coe1mul2lem1  22221  coe1mul2lem2  22222  coe1mul2  22223  coe1tm  22227  coe1sclmul  22236  coe1sclmulfv  22237  coe1sclmul2  22238  ply1coefsupp  22253  ply1coe  22254  gsumsmonply1  22263  gsummoncoe1  22264  evls1gsumadd  22280  evls1gsummul  22281  evl1gsummul  22316  evls1fpws  22325  pmatcollpw1  22732  pmatcollpw2lem  22733  pmatcollpw2  22734  pmatcollpw3lem  22739  pm2mpcl  22753  idpm2idmp  22757  mply1topmatcllem  22759  mply1topmatcl  22761  mp2pm2mplem2  22763  mp2pm2mplem5  22766  mp2pm2mp  22767  pm2mpghmlem2  22768  pm2mpghm  22772  pm2mpmhmlem2  22775  monmat2matmon  22780  pm2mp  22781  chfacfscmulgsum  22816  chfacfpmmulgsum  22820  cpmidpmatlem2  22827  cpmadumatpolylem1  22837  cpmadumatpolylem2  22838  chcoeffeqlem  22841  cayhamlem3  22843  cayhamlem4  22844  dyadmax  25567  cpnfval  25902  deg1ldg  26065  deg1leb  26068  deg1val  26069  deg1mul3  26089  deg1mul3le  26090  uc1pmon1p  26125  plyval  26166  elply2  26169  plyf  26171  elplyr  26174  plyeq0lem  26183  plyeq0  26184  plypf1  26185  plyaddlem1  26186  plyaddlem  26188  plymullem  26189  coeeulem  26197  coeeq  26200  dgrlem  26202  coeidlem  26210  coeaddlem  26222  coemulc  26228  coe0  26229  coesub  26230  dgradd2  26242  dgrcolem2  26248  plydivlem4  26272  plydiveu  26274  vieta1lem2  26287  taylfval  26334  pserval  26387  dvradcnv  26398  pserdvlem2  26406  abelthlem1  26409  abelthlem3  26411  abelthlem6  26414  logtayl  26637  leibpi  26920  sqff1o  27160  clwwlknonmpo  30176  ressply1evls1  33658  evl1deg1  33669  evl1deg2  33670  evl1deg3  33671  ply1coedeg  33682  gsummoncoe1fzo  33690  extvfvvcl  33712  extvfvcl  33713  mplmulmvr  33716  evlextv  33719  mplvrpmlem  33720  mplvrpmfgalem  33721  mplvrpmga  33722  mplvrpmmhm  33723  mplvrpmrhm  33724  psrmonprod  33729  esplyval  33739  esplyfval0  33741  esplylem  33743  esplymhp  33745  esplyfv1  33746  esplysply  33748  esplyfval3  33749  esplyfval1  33750  esplyfvaln  33751  esplyind  33752  vieta  33757  ply1degltdimlem  33800  evls1fldgencl  33848  extdgfialglem2  33871  eulerpartleme  34541  eulerpartlem1  34545  eulerpartlemt  34549  eulerpartgbij  34550  eulerpartlemr  34552  eulerpartlemmf  34553  eulerpartlemgvv  34554  eulerpartlemgs2  34558  eulerpartlemn  34559  fib0  34577  fib1  34578  fibp1  34579  lpadval  34854  knoppcnlem1  36715  knoppcnlem6  36720  poimirlem32  37903  heiborlem3  38064  aks6d1c1  42486  aks6d1c2lem3  42496  aks6d1c5lem0  42505  aks6d1c5lem3  42507  aks6d1c5lem2  42508  aks6d1c5  42509  sticksstones14  42530  sticksstones20  42536  sticksstones23  42539  aks6d1c6lem1  42540  aks6d1c6lem2  42541  eldiophb  43114  diophrw  43116  hbtlem1  43480  hbtlem7  43482  dgrsub2  43492  mpaaeu  43507  deg1mhm  43557  elrtrclrec  44037  brmptiunrelexpd  44039  brrtrclrec  44053  iunrelexp0  44058  iunrelexpmin2  44068  dfrtrcl3  44089  fvrtrcllb0d  44091  fvrtrcllb0da  44092  fvrtrcllb1d  44093  radcnvrat  44670  binomcxplemrat  44706  binomcxplemnotnn0  44712  expfac  46015  dvnprodlem1  46304  dvnprodlem2  46305  dvnprodlem3  46306  etransclem24  46616  etransclem25  46617  etransclem26  46618  etransclem28  46620  etransclem35  46627  etransclem37  46629  etransclem48  46640  nthrucw  47244  fmtnoinf  47896  nn0mnd  48539  ply1mulgsum  48750  itcovalpclem1  49030  itcovalpclem2  49031  itcovalt2lem1  49035  itcovalt2lem2  49036  ackvalsuc1mpt  49038  ackval0  49040  ackendofnn0  49044  ackvalsucsucval  49048