Theorem nn0ex 12485

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12480	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 12225	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		snex 5431	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
4	2, 3	unex 7737	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2828	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   ∪ cun 3946  {csn 4628  0cc0 11116  ℕcn 12219  ℕ₀cn0 12479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-1cn 11174  ax-addcl 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-nn 12220  df-n0 12480

This theorem is referenced by:  nn0ennn  13951  nnenom  13952  fsuppmapnn0fiub0  13965  suppssfz  13966  fsuppmapnn0ub  13967  mptnn0fsupp  13969  mptnn0fsuppr  13971  wrdexg  14481  elovmptnn0wrd  14516  rtrclreclem1  15011  dfrtrclrec2  15012  rtrclreclem2  15013  rtrclreclem4  15015  expcnv  15817  geolim  15823  cvgrat  15836  mertenslem2  15838  bpolylem  15999  eftlub  16059  bitsfval  16371  bitsf  16375  sadfval  16400  smufval  16425  smupf  16426  1arith  16867  ramcl  16969  smndex1ibas  18823  smndex1gbas  18825  smndex1gid  18826  smndex1igid  18827  smndex1mnd  18833  smndex1id  18834  smndex1n0mnd  18835  smndex2dbas  18837  smndex2dnrinv  18838  smndex2hbas  18839  smndex2dlinvh  18840  odfval  19448  fsfnn0gsumfsffz  19899  gsummptnn0fz  19902  nn0srg  21304  psrbag  21780  evlsgsumadd  21965  evlsgsummul  21966  mhpfval  21991  mhpmulcl  22001  coe1fval  22048  fvcoe1  22050  coe1fval3  22051  coe1f2  22052  coe1sfi  22056  coe1fsupp  22057  00ply1bas  22082  ply1plusgfvi  22084  coe1z  22105  coe1add  22106  coe1addfv  22107  coe1mul2lem1  22109  coe1mul2lem2  22110  coe1mul2  22111  coe1tm  22115  coe1sclmul  22124  coe1sclmulfv  22125  coe1sclmul2  22126  ply1coefsupp  22139  ply1coe  22140  gsumsmonply1  22147  gsummoncoe1  22148  evls1gsumadd  22163  evls1gsummul  22164  evl1gsummul  22199  pmatcollpw1  22598  pmatcollpw2lem  22599  pmatcollpw2  22600  pmatcollpw3lem  22605  pm2mpcl  22619  idpm2idmp  22623  mply1topmatcllem  22625  mply1topmatcl  22627  mp2pm2mplem2  22629  mp2pm2mplem5  22632  mp2pm2mp  22633  pm2mpghmlem2  22634  pm2mpghm  22638  pm2mpmhmlem2  22641  monmat2matmon  22646  pm2mp  22647  chfacfscmulgsum  22682  chfacfpmmulgsum  22686  cpmidpmatlem2  22693  cpmadumatpolylem1  22703  cpmadumatpolylem2  22704  chcoeffeqlem  22707  cayhamlem3  22709  cayhamlem4  22710  dyadmax  25447  cpnfval  25782  deg1ldg  25948  deg1leb  25951  deg1val  25952  deg1mul3  25971  deg1mul3le  25972  uc1pmon1p  26007  plyval  26045  elply2  26048  plyf  26050  elplyr  26053  plyeq0lem  26062  plyeq0  26063  plypf1  26064  plyaddlem1  26065  plyaddlem  26067  plymullem  26068  coeeulem  26076  coeeq  26079  dgrlem  26081  coeidlem  26089  coeaddlem  26101  coemulc  26107  coe0  26108  coesub  26109  dgradd2  26121  dgrcolem2  26127  plydivlem4  26148  plydiveu  26150  vieta1lem2  26163  taylfval  26210  pserval  26261  dvradcnv  26272  pserdvlem2  26280  abelthlem1  26283  abelthlem3  26285  abelthlem6  26288  logtayl  26508  leibpi  26788  sqff1o  27027  clwwlknonmpo  29775  evls1fpws  33086  gsummoncoe1fzo  33109  ply1degltdimlem  33161  evls1fldgencl  33199  eulerpartleme  33826  eulerpartlem1  33830  eulerpartlemt  33834  eulerpartgbij  33835  eulerpartlemr  33837  eulerpartlemmf  33838  eulerpartlemgvv  33839  eulerpartlemgs2  33843  eulerpartlemn  33844  fib0  33862  fib1  33863  fibp1  33864  lpadval  34152  knoppcnlem1  35833  knoppcnlem6  35838  poimirlem32  36984  heiborlem3  37145  sticksstones14  41443  sticksstones20  41449  eldiophb  41958  diophrw  41960  hbtlem1  42328  hbtlem7  42330  dgrsub2  42340  mpaaeu  42355  deg1mhm  42412  elrtrclrec  42895  brmptiunrelexpd  42897  brrtrclrec  42911  iunrelexp0  42916  iunrelexpmin2  42926  dfrtrcl3  42947  fvrtrcllb0d  42949  fvrtrcllb0da  42950  fvrtrcllb1d  42951  radcnvrat  43536  binomcxplemrat  43572  binomcxplemnotnn0  43578  expfac  44832  dvnprodlem1  45121  dvnprodlem2  45122  dvnprodlem3  45123  etransclem24  45433  etransclem25  45434  etransclem26  45435  etransclem28  45437  etransclem35  45444  etransclem37  45446  etransclem48  45457  fmtnoinf  46663  nn0mnd  47016  ply1mulgsum  47233  itcovalpclem1  47518  itcovalpclem2  47519  itcovalt2lem1  47523  itcovalt2lem2  47524  ackvalsuc1mpt  47526  ackval0  47528  ackendofnn0  47532  ackvalsucsucval  47536