Theorem nn0ex 12512

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12507	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 12241	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		snex 5413	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
4	2, 3	unex 7745	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2865	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∪ cun 3911  {csn 4594  0cc0 11102  ℕcn 12235  ℕ₀cn0 12506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-1cn 11160  ax-addcl 11162

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7416  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-nn 12236  df-n0 12507

This theorem is referenced by:  nn0ennn  14017  nnenom  14018  fsuppmapnn0fiub0  14031  suppssfz  14032  fsuppmapnn0ub  14033  mptnn0fsupp  14035  mptnn0fsuppr  14037  wrdexg  14563  elovmptnn0wrd  14598  rtrclreclem1  15096  dfrtrclrec2  15097  rtrclreclem2  15098  rtrclreclem4  15100  expcnv  15920  geolim  15926  cvgrat  15939  mertenslem2  15941  bpolylem  16104  eftlub  16167  bitsfval  16483  bitsf  16487  sadfval  16512  smufval  16537  smupf  16538  1arith  16989  ramcl  17091  smndex1ibas  18961  smndex1gbas  18963  smndex1gbasOLD  18964  smndex1gid  18965  smndex1gidOLD  18966  smndex1igid  18967  smndex1igidOLD  18968  smndex1mnd  18974  smndex1id  18975  smndex1n0mnd  18976  smndex2dbas  18978  smndex2dnrinv  18979  smndex2hbas  18980  smndex2dlinvh  18981  odfval  19604  fsfnn0gsumfsffz  20055  gsummptnn0fz  20058  nn0srg  21558  psrbag  22038  evlsgsumadd  22218  evlsgsummul  22219  mhpfval  22272  mhpmulcl  22283  coe1fval  22336  fvcoe1  22338  coe1fval3  22339  coe1f2  22340  coe1sfi  22344  coe1fsupp  22345  00ply1bas  22370  ply1plusgfvi  22372  coe1z  22395  coe1add  22396  coe1addfv  22397  coe1mul2lem1  22399  coe1mul2lem2  22400  coe1mul2  22401  coe1tm  22405  coe1sclmul  22414  coe1sclmulfv  22415  coe1sclmul2  22416  ply1coefsupp  22428  ply1coe  22429  gsumsmonply1  22438  gsummoncoe1  22439  evls1gsumadd  22455  evls1gsummul  22456  evl1gsummul  22491  evls1fpws  22500  pmatcollpw1  22904  pmatcollpw2lem  22905  pmatcollpw2  22906  pmatcollpw3lem  22911  pm2mpcl  22925  idpm2idmp  22929  mply1topmatcllem  22931  mply1topmatcl  22933  mp2pm2mplem2  22935  mp2pm2mplem5  22938  mp2pm2mp  22939  pm2mpghmlem2  22940  pm2mpghm  22944  pm2mpmhmlem2  22947  monmat2matmon  22952  pm2mp  22953  chfacfscmulgsum  22988  chfacfpmmulgsum  22992  cpmidpmatlem2  22999  cpmadumatpolylem1  23009  cpmadumatpolylem2  23010  chcoeffeqlem  23013  cayhamlem3  23015  cayhamlem4  23016  dyadmax  25728  cpnfval  26062  deg1ldg  26220  deg1leb  26223  deg1val  26224  deg1mul3  26244  deg1mul3le  26245  uc1pmon1p  26280  plyval  26321  elply2  26324  plyf  26326  elplyr  26329  plyeq0lem  26338  plyeq0  26339  plypf1  26340  plyaddlem1  26341  plyaddlem  26343  plymullem  26344  coeeulem  26352  coeeq  26355  dgrlem  26357  coeidlem  26365  coeaddlem  26377  coemulc  26383  coe0  26384  coesub  26385  dgradd2  26396  dgrcolem2  26402  plydivlem4  26428  plydiveu  26430  vieta1lem2  26443  taylfval  26490  pserval  26541  dvradcnv  26552  pserdvlem2  26559  abelthlem1  26562  abelthlem3  26564  abelthlem6  26567  logtayl  26793  leibpi  27075  sqff1o  27314  clwwlknonmpo  30383  ressply1evls1  33802  evl1deg1  33813  evl1deg2  33814  evl1deg3  33815  ply1coedeg  33826  gsummoncoe1fzo  33834  0mplrim  33851  selvply1rhmlema  33855  selvply1rhmlemb  33856  selvply1rhmlem1  33857  selvply1rhmlem2  33858  selvply1rhmlem4  33860  selvply1rhm0  33863  extvfvvcl  33872  extvfvcl  33873  mplmulmvr  33876  evlextv  33879  mplvrpmlem  33880  mplvrpmfgalem  33881  mplvrpmga  33882  mplvrpmmhm  33883  mplvrpmrhm  33884  psrmonprod  33889  esplyval  33899  esplyfval0  33901  esplylem  33903  esplymhp  33905  esplyfv1  33906  esplysply  33908  esplyfval3  33909  esplyfval1  33910  esplyfvaln  33911  esplyind  33912  vieta  33917  ply1degltdimlem  33959  evls1fldgencl  34007  extdgfialglem2  34030  eulerpartleme  34700  eulerpartlem1  34704  eulerpartlemt  34708  eulerpartgbij  34709  eulerpartlemr  34711  eulerpartlemmf  34712  eulerpartlemgvv  34713  eulerpartlemgs2  34717  eulerpartlemn  34718  fib0  34736  fib1  34737  fibp1  34738  lpadval  35013  knoppcnlem1  37007  knoppcnlem6  37012  poimirlem32  38228  heiborlem3  38389  aks6d1c1  42810  aks6d1c2lem3  42820  aks6d1c5lem0  42829  aks6d1c5lem3  42831  aks6d1c5lem2  42832  aks6d1c5  42833  sticksstones14  42854  sticksstones20  42860  sticksstones23  42863  aks6d1c6lem1  42864  aks6d1c6lem2  42865  eldiophb  43417  diophrw  43419  hbtlem1  43779  hbtlem7  43781  dgrsub2  43791  mpaaeu  43806  deg1mhm  43856  elrtrclrec  44336  brmptiunrelexpd  44338  brrtrclrec  44352  iunrelexp0  44357  iunrelexpmin2  44367  dfrtrcl3  44388  fvrtrcllb0d  44390  fvrtrcllb0da  44391  fvrtrcllb1d  44392  radcnvrat  44953  binomcxplemrat  44989  binomcxplemnotnn0  44995  expfac  46300  dvnprodlem1  46589  dvnprodlem2  46590  dvnprodlem3  46591  etransclem24  46901  etransclem25  46902  etransclem26  46903  etransclem28  46905  etransclem35  46912  etransclem37  46914  etransclem48  46925  nthrucw  47531  fmtnoinf  48214  nn0mnd  48870  ply1mulgsum  49092  itcovalpclem1  49372  itcovalpclem2  49373  itcovalt2lem1  49377  itcovalt2lem2  49378  ackvalsuc1mpt  49380  ackval0  49382  ackendofnn0  49386  ackvalsucsucval  49390