Theorem nn0ex 12443

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12438	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 12180	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		snex 5381	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
4	2, 3	unex 7698	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2832	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ∪ cun 3887  {csn 4567  0cc0 11038  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-1cn 11096  ax-addcl 11098

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-nn 12175  df-n0 12438

This theorem is referenced by:  nn0ennn  13941  nnenom  13942  fsuppmapnn0fiub0  13955  suppssfz  13956  fsuppmapnn0ub  13957  mptnn0fsupp  13959  mptnn0fsuppr  13961  wrdexg  14486  elovmptnn0wrd  14521  rtrclreclem1  15019  dfrtrclrec2  15020  rtrclreclem2  15021  rtrclreclem4  15023  expcnv  15829  geolim  15835  cvgrat  15848  mertenslem2  15850  bpolylem  16013  eftlub  16076  bitsfval  16392  bitsf  16396  sadfval  16421  smufval  16446  smupf  16447  1arith  16898  ramcl  17000  smndex1ibas  18868  smndex1gbas  18870  smndex1gbasOLD  18871  smndex1gid  18872  smndex1gidOLD  18873  smndex1igid  18874  smndex1igidOLD  18875  smndex1mnd  18881  smndex1id  18882  smndex1n0mnd  18883  smndex2dbas  18885  smndex2dnrinv  18886  smndex2hbas  18887  smndex2dlinvh  18888  odfval  19507  fsfnn0gsumfsffz  19958  gsummptnn0fz  19961  nn0srg  21417  psrbag  21897  evlsgsumadd  22074  evlsgsummul  22075  mhpfval  22104  mhpmulcl  22115  coe1fval  22169  fvcoe1  22171  coe1fval3  22172  coe1f2  22173  coe1sfi  22177  coe1fsupp  22178  00ply1bas  22203  ply1plusgfvi  22205  coe1z  22228  coe1add  22229  coe1addfv  22230  coe1mul2lem1  22232  coe1mul2lem2  22233  coe1mul2  22234  coe1tm  22238  coe1sclmul  22247  coe1sclmulfv  22248  coe1sclmul2  22249  ply1coefsupp  22262  ply1coe  22263  gsumsmonply1  22272  gsummoncoe1  22273  evls1gsumadd  22289  evls1gsummul  22290  evl1gsummul  22325  evls1fpws  22334  pmatcollpw1  22741  pmatcollpw2lem  22742  pmatcollpw2  22743  pmatcollpw3lem  22748  pm2mpcl  22762  idpm2idmp  22766  mply1topmatcllem  22768  mply1topmatcl  22770  mp2pm2mplem2  22772  mp2pm2mplem5  22775  mp2pm2mp  22776  pm2mpghmlem2  22777  pm2mpghm  22781  pm2mpmhmlem2  22784  monmat2matmon  22789  pm2mp  22790  chfacfscmulgsum  22825  chfacfpmmulgsum  22829  cpmidpmatlem2  22836  cpmadumatpolylem1  22846  cpmadumatpolylem2  22847  chcoeffeqlem  22850  cayhamlem3  22852  cayhamlem4  22853  dyadmax  25565  cpnfval  25899  deg1ldg  26057  deg1leb  26060  deg1val  26061  deg1mul3  26081  deg1mul3le  26082  uc1pmon1p  26117  plyval  26158  elply2  26161  plyf  26163  elplyr  26166  plyeq0lem  26175  plyeq0  26176  plypf1  26177  plyaddlem1  26178  plyaddlem  26180  plymullem  26181  coeeulem  26189  coeeq  26192  dgrlem  26194  coeidlem  26202  coeaddlem  26214  coemulc  26220  coe0  26221  coesub  26222  dgradd2  26233  dgrcolem2  26239  plydivlem4  26262  plydiveu  26264  vieta1lem2  26277  taylfval  26324  pserval  26375  dvradcnv  26386  pserdvlem2  26393  abelthlem1  26396  abelthlem3  26398  abelthlem6  26401  logtayl  26624  leibpi  26906  sqff1o  27145  clwwlknonmpo  30159  ressply1evls1  33625  evl1deg1  33636  evl1deg2  33637  evl1deg3  33638  ply1coedeg  33649  gsummoncoe1fzo  33657  extvfvvcl  33679  extvfvcl  33680  mplmulmvr  33683  evlextv  33686  mplvrpmlem  33687  mplvrpmfgalem  33688  mplvrpmga  33689  mplvrpmmhm  33690  mplvrpmrhm  33691  psrmonprod  33696  esplyval  33706  esplyfval0  33708  esplylem  33710  esplymhp  33712  esplyfv1  33713  esplysply  33715  esplyfval3  33716  esplyfval1  33717  esplyfvaln  33718  esplyind  33719  vieta  33724  ply1degltdimlem  33766  evls1fldgencl  33814  extdgfialglem2  33837  eulerpartleme  34507  eulerpartlem1  34511  eulerpartlemt  34515  eulerpartgbij  34516  eulerpartlemr  34518  eulerpartlemmf  34519  eulerpartlemgvv  34520  eulerpartlemgs2  34524  eulerpartlemn  34525  fib0  34543  fib1  34544  fibp1  34545  lpadval  34820  knoppcnlem1  36753  knoppcnlem6  36758  poimirlem32  37973  heiborlem3  38134  aks6d1c1  42555  aks6d1c2lem3  42565  aks6d1c5lem0  42574  aks6d1c5lem3  42576  aks6d1c5lem2  42577  aks6d1c5  42578  sticksstones14  42599  sticksstones20  42605  sticksstones23  42608  aks6d1c6lem1  42609  aks6d1c6lem2  42610  eldiophb  43189  diophrw  43191  hbtlem1  43551  hbtlem7  43553  dgrsub2  43563  mpaaeu  43578  deg1mhm  43628  elrtrclrec  44108  brmptiunrelexpd  44110  brrtrclrec  44124  iunrelexp0  44129  iunrelexpmin2  44139  dfrtrcl3  44160  fvrtrcllb0d  44162  fvrtrcllb0da  44163  fvrtrcllb1d  44164  radcnvrat  44741  binomcxplemrat  44777  binomcxplemnotnn0  44783  expfac  46085  dvnprodlem1  46374  dvnprodlem2  46375  dvnprodlem3  46376  etransclem24  46686  etransclem25  46687  etransclem26  46688  etransclem28  46690  etransclem35  46697  etransclem37  46699  etransclem48  46710  nthrucw  47316  fmtnoinf  47999  nn0mnd  48655  ply1mulgsum  48866  itcovalpclem1  49146  itcovalpclem2  49147  itcovalt2lem1  49151  itcovalt2lem2  49152  ackvalsuc1mpt  49154  ackval0  49156  ackendofnn0  49160  ackvalsucsucval  49164