Theorem nn0ex 12532

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12527	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 12272	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		snex 5436	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
4	2, 3	unex 7764	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2837	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ∪ cun 3949  {csn 4626  0cc0 11155  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-1cn 11213  ax-addcl 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-nn 12267  df-n0 12527

This theorem is referenced by:  nn0ennn  14020  nnenom  14021  fsuppmapnn0fiub0  14034  suppssfz  14035  fsuppmapnn0ub  14036  mptnn0fsupp  14038  mptnn0fsuppr  14040  wrdexg  14562  elovmptnn0wrd  14597  rtrclreclem1  15096  dfrtrclrec2  15097  rtrclreclem2  15098  rtrclreclem4  15100  expcnv  15900  geolim  15906  cvgrat  15919  mertenslem2  15921  bpolylem  16084  eftlub  16145  bitsfval  16460  bitsf  16464  sadfval  16489  smufval  16514  smupf  16515  1arith  16965  ramcl  17067  smndex1ibas  18913  smndex1gbas  18915  smndex1gid  18916  smndex1igid  18917  smndex1mnd  18923  smndex1id  18924  smndex1n0mnd  18925  smndex2dbas  18927  smndex2dnrinv  18928  smndex2hbas  18929  smndex2dlinvh  18930  odfval  19550  fsfnn0gsumfsffz  20001  gsummptnn0fz  20004  nn0srg  21455  psrbag  21937  evlsgsumadd  22115  evlsgsummul  22116  mhpfval  22142  mhpmulcl  22153  coe1fval  22207  fvcoe1  22209  coe1fval3  22210  coe1f2  22211  coe1sfi  22215  coe1fsupp  22216  00ply1bas  22241  ply1plusgfvi  22243  coe1z  22266  coe1add  22267  coe1addfv  22268  coe1mul2lem1  22270  coe1mul2lem2  22271  coe1mul2  22272  coe1tm  22276  coe1sclmul  22285  coe1sclmulfv  22286  coe1sclmul2  22287  ply1coefsupp  22301  ply1coe  22302  gsumsmonply1  22311  gsummoncoe1  22312  evls1gsumadd  22328  evls1gsummul  22329  evl1gsummul  22364  evls1fpws  22373  pmatcollpw1  22782  pmatcollpw2lem  22783  pmatcollpw2  22784  pmatcollpw3lem  22789  pm2mpcl  22803  idpm2idmp  22807  mply1topmatcllem  22809  mply1topmatcl  22811  mp2pm2mplem2  22813  mp2pm2mplem5  22816  mp2pm2mp  22817  pm2mpghmlem2  22818  pm2mpghm  22822  pm2mpmhmlem2  22825  monmat2matmon  22830  pm2mp  22831  chfacfscmulgsum  22866  chfacfpmmulgsum  22870  cpmidpmatlem2  22877  cpmadumatpolylem1  22887  cpmadumatpolylem2  22888  chcoeffeqlem  22891  cayhamlem3  22893  cayhamlem4  22894  dyadmax  25633  cpnfval  25968  deg1ldg  26131  deg1leb  26134  deg1val  26135  deg1mul3  26155  deg1mul3le  26156  uc1pmon1p  26191  plyval  26232  elply2  26235  plyf  26237  elplyr  26240  plyeq0lem  26249  plyeq0  26250  plypf1  26251  plyaddlem1  26252  plyaddlem  26254  plymullem  26255  coeeulem  26263  coeeq  26266  dgrlem  26268  coeidlem  26276  coeaddlem  26288  coemulc  26294  coe0  26295  coesub  26296  dgradd2  26308  dgrcolem2  26314  plydivlem4  26338  plydiveu  26340  vieta1lem2  26353  taylfval  26400  pserval  26453  dvradcnv  26464  pserdvlem2  26472  abelthlem1  26475  abelthlem3  26477  abelthlem6  26480  logtayl  26702  leibpi  26985  sqff1o  27225  clwwlknonmpo  30108  evl1deg1  33601  evl1deg2  33602  evl1deg3  33603  gsummoncoe1fzo  33618  ply1degltdimlem  33673  evls1fldgencl  33720  eulerpartleme  34365  eulerpartlem1  34369  eulerpartlemt  34373  eulerpartgbij  34374  eulerpartlemr  34376  eulerpartlemmf  34377  eulerpartlemgvv  34378  eulerpartlemgs2  34382  eulerpartlemn  34383  fib0  34401  fib1  34402  fibp1  34403  lpadval  34691  knoppcnlem1  36494  knoppcnlem6  36499  poimirlem32  37659  heiborlem3  37820  aks6d1c1  42117  aks6d1c2lem3  42127  aks6d1c5lem0  42136  aks6d1c5lem3  42138  aks6d1c5lem2  42139  aks6d1c5  42140  sticksstones14  42161  sticksstones20  42167  sticksstones23  42170  aks6d1c6lem1  42171  aks6d1c6lem2  42172  eldiophb  42768  diophrw  42770  hbtlem1  43135  hbtlem7  43137  dgrsub2  43147  mpaaeu  43162  deg1mhm  43212  elrtrclrec  43694  brmptiunrelexpd  43696  brrtrclrec  43710  iunrelexp0  43715  iunrelexpmin2  43725  dfrtrcl3  43746  fvrtrcllb0d  43748  fvrtrcllb0da  43749  fvrtrcllb1d  43750  radcnvrat  44333  binomcxplemrat  44369  binomcxplemnotnn0  44375  expfac  45672  dvnprodlem1  45961  dvnprodlem2  45962  dvnprodlem3  45963  etransclem24  46273  etransclem25  46274  etransclem26  46275  etransclem28  46277  etransclem35  46284  etransclem37  46286  etransclem48  46297  fmtnoinf  47523  nn0mnd  48095  ply1mulgsum  48307  itcovalpclem1  48591  itcovalpclem2  48592  itcovalt2lem1  48596  itcovalt2lem2  48597  ackvalsuc1mpt  48599  ackval0  48601  ackendofnn0  48605  ackvalsucsucval  48609