Theorem nn0ex 12507

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12502	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 12246	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		snex 5406	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
4	2, 3	unex 7738	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2830	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ∪ cun 3924  {csn 4601  0cc0 11129  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-1cn 11187  ax-addcl 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-nn 12241  df-n0 12502

This theorem is referenced by:  nn0ennn  13997  nnenom  13998  fsuppmapnn0fiub0  14011  suppssfz  14012  fsuppmapnn0ub  14013  mptnn0fsupp  14015  mptnn0fsuppr  14017  wrdexg  14542  elovmptnn0wrd  14577  rtrclreclem1  15076  dfrtrclrec2  15077  rtrclreclem2  15078  rtrclreclem4  15080  expcnv  15880  geolim  15886  cvgrat  15899  mertenslem2  15901  bpolylem  16064  eftlub  16127  bitsfval  16442  bitsf  16446  sadfval  16471  smufval  16496  smupf  16497  1arith  16947  ramcl  17049  smndex1ibas  18878  smndex1gbas  18880  smndex1gid  18881  smndex1igid  18882  smndex1mnd  18888  smndex1id  18889  smndex1n0mnd  18890  smndex2dbas  18892  smndex2dnrinv  18893  smndex2hbas  18894  smndex2dlinvh  18895  odfval  19513  fsfnn0gsumfsffz  19964  gsummptnn0fz  19967  nn0srg  21405  psrbag  21877  evlsgsumadd  22049  evlsgsummul  22050  mhpfval  22076  mhpmulcl  22087  coe1fval  22141  fvcoe1  22143  coe1fval3  22144  coe1f2  22145  coe1sfi  22149  coe1fsupp  22150  00ply1bas  22175  ply1plusgfvi  22177  coe1z  22200  coe1add  22201  coe1addfv  22202  coe1mul2lem1  22204  coe1mul2lem2  22205  coe1mul2  22206  coe1tm  22210  coe1sclmul  22219  coe1sclmulfv  22220  coe1sclmul2  22221  ply1coefsupp  22235  ply1coe  22236  gsumsmonply1  22245  gsummoncoe1  22246  evls1gsumadd  22262  evls1gsummul  22263  evl1gsummul  22298  evls1fpws  22307  pmatcollpw1  22714  pmatcollpw2lem  22715  pmatcollpw2  22716  pmatcollpw3lem  22721  pm2mpcl  22735  idpm2idmp  22739  mply1topmatcllem  22741  mply1topmatcl  22743  mp2pm2mplem2  22745  mp2pm2mplem5  22748  mp2pm2mp  22749  pm2mpghmlem2  22750  pm2mpghm  22754  pm2mpmhmlem2  22757  monmat2matmon  22762  pm2mp  22763  chfacfscmulgsum  22798  chfacfpmmulgsum  22802  cpmidpmatlem2  22809  cpmadumatpolylem1  22819  cpmadumatpolylem2  22820  chcoeffeqlem  22823  cayhamlem3  22825  cayhamlem4  22826  dyadmax  25551  cpnfval  25886  deg1ldg  26049  deg1leb  26052  deg1val  26053  deg1mul3  26073  deg1mul3le  26074  uc1pmon1p  26109  plyval  26150  elply2  26153  plyf  26155  elplyr  26158  plyeq0lem  26167  plyeq0  26168  plypf1  26169  plyaddlem1  26170  plyaddlem  26172  plymullem  26173  coeeulem  26181  coeeq  26184  dgrlem  26186  coeidlem  26194  coeaddlem  26206  coemulc  26212  coe0  26213  coesub  26214  dgradd2  26226  dgrcolem2  26232  plydivlem4  26256  plydiveu  26258  vieta1lem2  26271  taylfval  26318  pserval  26371  dvradcnv  26382  pserdvlem2  26390  abelthlem1  26393  abelthlem3  26395  abelthlem6  26398  logtayl  26621  leibpi  26904  sqff1o  27144  clwwlknonmpo  30070  ressply1evls1  33578  evl1deg1  33589  evl1deg2  33590  evl1deg3  33591  gsummoncoe1fzo  33607  ply1degltdimlem  33662  evls1fldgencl  33711  eulerpartleme  34395  eulerpartlem1  34399  eulerpartlemt  34403  eulerpartgbij  34404  eulerpartlemr  34406  eulerpartlemmf  34407  eulerpartlemgvv  34408  eulerpartlemgs2  34412  eulerpartlemn  34413  fib0  34431  fib1  34432  fibp1  34433  lpadval  34708  knoppcnlem1  36511  knoppcnlem6  36516  poimirlem32  37676  heiborlem3  37837  aks6d1c1  42129  aks6d1c2lem3  42139  aks6d1c5lem0  42148  aks6d1c5lem3  42150  aks6d1c5lem2  42151  aks6d1c5  42152  sticksstones14  42173  sticksstones20  42179  sticksstones23  42182  aks6d1c6lem1  42183  aks6d1c6lem2  42184  eldiophb  42780  diophrw  42782  hbtlem1  43147  hbtlem7  43149  dgrsub2  43159  mpaaeu  43174  deg1mhm  43224  elrtrclrec  43705  brmptiunrelexpd  43707  brrtrclrec  43721  iunrelexp0  43726  iunrelexpmin2  43736  dfrtrcl3  43757  fvrtrcllb0d  43759  fvrtrcllb0da  43760  fvrtrcllb1d  43761  radcnvrat  44338  binomcxplemrat  44374  binomcxplemnotnn0  44380  expfac  45686  dvnprodlem1  45975  dvnprodlem2  45976  dvnprodlem3  45977  etransclem24  46287  etransclem25  46288  etransclem26  46289  etransclem28  46291  etransclem35  46298  etransclem37  46300  etransclem48  46311  fmtnoinf  47550  nn0mnd  48154  ply1mulgsum  48366  itcovalpclem1  48650  itcovalpclem2  48651  itcovalt2lem1  48655  itcovalt2lem2  48656  ackvalsuc1mpt  48658  ackval0  48660  ackendofnn0  48664  ackvalsucsucval  48668