Theorem nn0ex 12398

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12393	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 12142	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		snex 5378	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
4	2, 3	unex 7686	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2829	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ∪ cun 3896  {csn 4577  0cc0 11017  ℕcn 12136  ℕ₀cn0 12392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-1cn 11075  ax-addcl 11077

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-nn 12137  df-n0 12393

This theorem is referenced by:  nn0ennn  13893  nnenom  13894  fsuppmapnn0fiub0  13907  suppssfz  13908  fsuppmapnn0ub  13909  mptnn0fsupp  13911  mptnn0fsuppr  13913  wrdexg  14438  elovmptnn0wrd  14473  rtrclreclem1  14971  dfrtrclrec2  14972  rtrclreclem2  14973  rtrclreclem4  14975  expcnv  15778  geolim  15784  cvgrat  15797  mertenslem2  15799  bpolylem  15962  eftlub  16025  bitsfval  16341  bitsf  16345  sadfval  16370  smufval  16395  smupf  16396  1arith  16846  ramcl  16948  smndex1ibas  18816  smndex1gbas  18818  smndex1gid  18819  smndex1igid  18820  smndex1mnd  18826  smndex1id  18827  smndex1n0mnd  18828  smndex2dbas  18830  smndex2dnrinv  18831  smndex2hbas  18832  smndex2dlinvh  18833  odfval  19452  fsfnn0gsumfsffz  19903  gsummptnn0fz  19906  nn0srg  21383  psrbag  21864  evlsgsumadd  22042  evlsgsummul  22043  mhpfval  22072  mhpmulcl  22083  coe1fval  22137  fvcoe1  22139  coe1fval3  22140  coe1f2  22141  coe1sfi  22145  coe1fsupp  22146  00ply1bas  22171  ply1plusgfvi  22173  coe1z  22196  coe1add  22197  coe1addfv  22198  coe1mul2lem1  22200  coe1mul2lem2  22201  coe1mul2  22202  coe1tm  22206  coe1sclmul  22215  coe1sclmulfv  22216  coe1sclmul2  22217  ply1coefsupp  22232  ply1coe  22233  gsumsmonply1  22242  gsummoncoe1  22243  evls1gsumadd  22259  evls1gsummul  22260  evl1gsummul  22295  evls1fpws  22304  pmatcollpw1  22711  pmatcollpw2lem  22712  pmatcollpw2  22713  pmatcollpw3lem  22718  pm2mpcl  22732  idpm2idmp  22736  mply1topmatcllem  22738  mply1topmatcl  22740  mp2pm2mplem2  22742  mp2pm2mplem5  22745  mp2pm2mp  22746  pm2mpghmlem2  22747  pm2mpghm  22751  pm2mpmhmlem2  22754  monmat2matmon  22759  pm2mp  22760  chfacfscmulgsum  22795  chfacfpmmulgsum  22799  cpmidpmatlem2  22806  cpmadumatpolylem1  22816  cpmadumatpolylem2  22817  chcoeffeqlem  22820  cayhamlem3  22822  cayhamlem4  22823  dyadmax  25546  cpnfval  25881  deg1ldg  26044  deg1leb  26047  deg1val  26048  deg1mul3  26068  deg1mul3le  26069  uc1pmon1p  26104  plyval  26145  elply2  26148  plyf  26150  elplyr  26153  plyeq0lem  26162  plyeq0  26163  plypf1  26164  plyaddlem1  26165  plyaddlem  26167  plymullem  26168  coeeulem  26176  coeeq  26179  dgrlem  26181  coeidlem  26189  coeaddlem  26201  coemulc  26207  coe0  26208  coesub  26209  dgradd2  26221  dgrcolem2  26227  plydivlem4  26251  plydiveu  26253  vieta1lem2  26266  taylfval  26313  pserval  26366  dvradcnv  26377  pserdvlem2  26385  abelthlem1  26388  abelthlem3  26390  abelthlem6  26393  logtayl  26616  leibpi  26899  sqff1o  27139  clwwlknonmpo  30090  ressply1evls1  33574  evl1deg1  33585  evl1deg2  33586  evl1deg3  33587  ply1coedeg  33598  gsummoncoe1fzo  33606  extvfvvcl  33628  extvfvcl  33629  mplmulmvr  33632  evlextv  33635  mplvrpmlem  33636  mplvrpmfgalem  33637  mplvrpmga  33638  mplvrpmmhm  33639  mplvrpmrhm  33640  esplyval  33648  esplyfval0  33650  esplylem  33652  esplymhp  33654  esplyfv1  33655  esplysply  33657  esplyfval3  33658  esplyind  33659  vieta  33664  ply1degltdimlem  33707  evls1fldgencl  33755  extdgfialglem2  33778  eulerpartleme  34448  eulerpartlem1  34452  eulerpartlemt  34456  eulerpartgbij  34457  eulerpartlemr  34459  eulerpartlemmf  34460  eulerpartlemgvv  34461  eulerpartlemgs2  34465  eulerpartlemn  34466  fib0  34484  fib1  34485  fibp1  34486  lpadval  34761  knoppcnlem1  36609  knoppcnlem6  36614  poimirlem32  37765  heiborlem3  37926  aks6d1c1  42282  aks6d1c2lem3  42292  aks6d1c5lem0  42301  aks6d1c5lem3  42303  aks6d1c5lem2  42304  aks6d1c5  42305  sticksstones14  42326  sticksstones20  42332  sticksstones23  42335  aks6d1c6lem1  42336  aks6d1c6lem2  42337  eldiophb  42914  diophrw  42916  hbtlem1  43280  hbtlem7  43282  dgrsub2  43292  mpaaeu  43307  deg1mhm  43357  elrtrclrec  43838  brmptiunrelexpd  43840  brrtrclrec  43854  iunrelexp0  43859  iunrelexpmin2  43869  dfrtrcl3  43890  fvrtrcllb0d  43892  fvrtrcllb0da  43893  fvrtrcllb1d  43894  radcnvrat  44471  binomcxplemrat  44507  binomcxplemnotnn0  44513  expfac  45817  dvnprodlem1  46106  dvnprodlem2  46107  dvnprodlem3  46108  etransclem24  46418  etransclem25  46419  etransclem26  46420  etransclem28  46422  etransclem35  46429  etransclem37  46431  etransclem48  46442  nthrucw  47046  fmtnoinf  47698  nn0mnd  48341  ply1mulgsum  48552  itcovalpclem1  48832  itcovalpclem2  48833  itcovalt2lem1  48837  itcovalt2lem2  48838  ackvalsuc1mpt  48840  ackval0  48842  ackendofnn0  48846  ackvalsucsucval  48850