Theorem nn0ex 12506

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12501	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 12235	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		snex 5408	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
4	2, 3	unex 7739	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2865	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∪ cun 3911  {csn 4591  0cc0 11096  ℕcn 12229  ℕ₀cn0 12500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-1cn 11154  ax-addcl 11156

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7411  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-nn 12230  df-n0 12501

This theorem is referenced by:  nn0ennn  14011  nnenom  14012  fsuppmapnn0fiub0  14025  suppssfz  14026  fsuppmapnn0ub  14027  mptnn0fsupp  14029  mptnn0fsuppr  14031  wrdexg  14557  elovmptnn0wrd  14592  rtrclreclem1  15090  dfrtrclrec2  15091  rtrclreclem2  15092  rtrclreclem4  15094  expcnv  15914  geolim  15920  cvgrat  15933  mertenslem2  15935  bpolylem  16098  eftlub  16161  bitsfval  16477  bitsf  16481  sadfval  16506  smufval  16531  smupf  16532  1arith  16983  ramcl  17085  smndex1ibas  18955  smndex1gbas  18957  smndex1gbasOLD  18958  smndex1gid  18959  smndex1gidOLD  18960  smndex1igid  18961  smndex1igidOLD  18962  smndex1mnd  18968  smndex1id  18969  smndex1n0mnd  18970  smndex2dbas  18972  smndex2dnrinv  18973  smndex2hbas  18974  smndex2dlinvh  18975  odfval  19598  fsfnn0gsumfsffz  20049  gsummptnn0fz  20052  nn0srg  21552  psrbag  22032  evlsgsumadd  22212  evlsgsummul  22213  mhpfval  22266  mhpmulcl  22277  coe1fval  22330  fvcoe1  22332  coe1fval3  22333  coe1f2  22334  coe1sfi  22338  coe1fsupp  22339  00ply1bas  22364  ply1plusgfvi  22366  coe1z  22389  coe1add  22390  coe1addfv  22391  coe1mul2lem1  22393  coe1mul2lem2  22394  coe1mul2  22395  coe1tm  22399  coe1sclmul  22408  coe1sclmulfv  22409  coe1sclmul2  22410  ply1coefsupp  22422  ply1coe  22423  gsumsmonply1  22432  gsummoncoe1  22433  evls1gsumadd  22449  evls1gsummul  22450  evl1gsummul  22485  evls1fpws  22494  pmatcollpw1  22898  pmatcollpw2lem  22899  pmatcollpw2  22900  pmatcollpw3lem  22905  pm2mpcl  22919  idpm2idmp  22923  mply1topmatcllem  22925  mply1topmatcl  22927  mp2pm2mplem2  22929  mp2pm2mplem5  22932  mp2pm2mp  22933  pm2mpghmlem2  22934  pm2mpghm  22938  pm2mpmhmlem2  22941  monmat2matmon  22946  pm2mp  22947  chfacfscmulgsum  22982  chfacfpmmulgsum  22986  cpmidpmatlem2  22993  cpmadumatpolylem1  23003  cpmadumatpolylem2  23004  chcoeffeqlem  23007  cayhamlem3  23009  cayhamlem4  23010  dyadmax  25722  cpnfval  26056  deg1ldg  26214  deg1leb  26217  deg1val  26218  deg1mul3  26238  deg1mul3le  26239  uc1pmon1p  26274  plyval  26315  elply2  26318  plyf  26320  elplyr  26323  plyeq0lem  26332  plyeq0  26333  plypf1  26334  plyaddlem1  26335  plyaddlem  26337  plymullem  26338  coeeulem  26346  coeeq  26349  dgrlem  26351  coeidlem  26359  coeaddlem  26371  coemulc  26377  coe0  26378  coesub  26379  dgradd2  26390  dgrcolem2  26396  plydivlem4  26422  plydiveu  26424  vieta1lem2  26437  taylfval  26484  pserval  26535  dvradcnv  26546  pserdvlem2  26553  abelthlem1  26556  abelthlem3  26558  abelthlem6  26561  logtayl  26787  leibpi  27069  sqff1o  27308  clwwlknonmpo  30377  ressply1evls1  33796  evl1deg1  33807  evl1deg2  33808  evl1deg3  33809  ply1coedeg  33820  gsummoncoe1fzo  33828  0mplrim  33845  selvply1rhmlema  33849  selvply1rhmlemb  33850  selvply1rhmlem1  33851  selvply1rhmlem2  33852  selvply1rhmlem4  33854  selvply1rhm0  33857  extvfvvcl  33866  extvfvcl  33867  mplmulmvr  33870  evlextv  33873  mplvrpmlem  33874  mplvrpmfgalem  33875  mplvrpmga  33876  mplvrpmmhm  33877  mplvrpmrhm  33878  psrmonprod  33883  esplyval  33893  esplyfval0  33895  esplylem  33897  esplymhp  33899  esplyfv1  33900  esplysply  33902  esplyfval3  33903  esplyfval1  33904  esplyfvaln  33905  esplyind  33906  vieta  33911  ply1degltdimlem  33953  evls1fldgencl  34001  extdgfialglem2  34024  eulerpartleme  34694  eulerpartlem1  34698  eulerpartlemt  34702  eulerpartgbij  34703  eulerpartlemr  34705  eulerpartlemmf  34706  eulerpartlemgvv  34707  eulerpartlemgs2  34711  eulerpartlemn  34712  fib0  34730  fib1  34731  fibp1  34732  lpadval  35007  knoppcnlem1  36967  knoppcnlem6  36972  poimirlem32  38186  heiborlem3  38347  aks6d1c1  42768  aks6d1c2lem3  42778  aks6d1c5lem0  42787  aks6d1c5lem3  42789  aks6d1c5lem2  42790  aks6d1c5  42791  sticksstones14  42812  sticksstones20  42818  sticksstones23  42821  aks6d1c6lem1  42822  aks6d1c6lem2  42823  eldiophb  43375  diophrw  43377  hbtlem1  43737  hbtlem7  43739  dgrsub2  43749  mpaaeu  43764  deg1mhm  43814  elrtrclrec  44294  brmptiunrelexpd  44296  brrtrclrec  44310  iunrelexp0  44315  iunrelexpmin2  44325  dfrtrcl3  44346  fvrtrcllb0d  44348  fvrtrcllb0da  44349  fvrtrcllb1d  44350  radcnvrat  44911  binomcxplemrat  44947  binomcxplemnotnn0  44953  expfac  46258  dvnprodlem1  46547  dvnprodlem2  46548  dvnprodlem3  46549  etransclem24  46859  etransclem25  46860  etransclem26  46861  etransclem28  46863  etransclem35  46870  etransclem37  46872  etransclem48  46883  nthrucw  47489  fmtnoinf  48172  nn0mnd  48828  ply1mulgsum  49050  itcovalpclem1  49330  itcovalpclem2  49331  itcovalt2lem1  49335  itcovalt2lem2  49336  ackvalsuc1mpt  49338  ackval0  49340  ackendofnn0  49344  ackvalsucsucval  49348