Theorem nn0ex 12521

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12516	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 12250	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		snex 5412	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
4	2, 3	unex 7748	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2861	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ∪ cun 3904  {csn 4591  0cc0 11111  ℕcn 12244  ℕ₀cn0 12515

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-1cn 11169  ax-addcl 11171

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-nn 12245  df-n0 12516

This theorem is used by:  nn0ennn  14029  nnenom  14030  fsuppmapnn0fiub0  14043  suppssfz  14044  fsuppmapnn0ub  14045  mptnn0fsupp  14047  mptnn0fsuppr  14049  wrdexg  14575  elovmptnn0wrd  14610  rtrclreclem1  15114  dfrtrclrec2  15115  rtrclreclem2  15116  rtrclreclem4  15118  expcnv  15937  geolim  15943  cvgrat  15956  mertenslem2  15958  bpolylem  16120  eftlub  16183  bitsfval  16499  bitsf  16503  sadfval  16528  smufval  16553  smupf  16554  1arith  17005  ramcl  17107  smndex1ibas  18983  smndex1gbas  18985  smndex1gbasOLD  18986  smndex1gid  18987  smndex1gidOLD  18988  smndex1igid  18989  smndex1igidOLD  18990  smndex1mnd  18996  smndex1id  18997  smndex1n0mnd  18998  smndex2dbas  19000  smndex2dnrinv  19001  smndex2hbas  19002  smndex2dlinvh  19003  odfval  19626  fsfnn0gsumfsffz  20077  gsummptnn0fz  20080  nn0srg  21617  psrbag  22097  evlsgsumadd  22277  evlsgsummul  22278  mhpfval  22331  mhpmulcl  22342  coe1fval  22395  fvcoe1  22397  coe1fval3  22398  coe1f2  22399  coe1sfi  22403  coe1fsupp  22404  00ply1bas  22429  ply1plusgfvi  22431  coe1z  22454  coe1add  22455  coe1addfv  22456  coe1mul2lem1  22458  coe1mul2lem2  22459  coe1mul2  22460  coe1tm  22464  coe1sclmul  22473  coe1sclmulfv  22474  coe1sclmul2  22475  ply1coefsupp  22487  ply1coe  22488  gsumsmonply1  22497  gsummoncoe1  22498  evls1gsumadd  22514  evls1gsummul  22515  evl1gsummul  22550  evls1fpws  22559  pmatcollpw1  22963  pmatcollpw2lem  22964  pmatcollpw2  22965  pmatcollpw3lem  22970  pm2mpcl  22984  idpm2idmp  22988  mply1topmatcllem  22990  mply1topmatcl  22992  mp2pm2mplem2  22994  mp2pm2mplem5  22997  mp2pm2mp  22998  pm2mpghmlem2  22999  pm2mpghm  23003  pm2mpmhmlem2  23006  monmat2matmon  23011  pm2mp  23012  chfacfscmulgsum  23047  chfacfpmmulgsum  23051  cpmidpmatlem2  23058  cpmadumatpolylem1  23068  cpmadumatpolylem2  23069  chcoeffeqlem  23072  cayhamlem3  23074  cayhamlem4  23075  dyadmax  25788  cpnfval  26122  deg1ldg  26280  deg1leb  26283  deg1val  26284  deg1mul3  26304  deg1mul3le  26305  uc1pmon1p  26340  plyval  26381  elply2  26384  plyf  26386  elplyr  26389  plyeq0lem  26398  plyeq0  26399  plypf1  26400  plyaddlem1  26401  plyaddlem  26403  plymullem  26404  coeeulem  26412  coeeq  26415  dgrlem  26417  coeidlem  26425  coeaddlem  26437  coemulc  26443  coe0  26444  coesub  26445  dgradd2  26456  dgrcolem2  26462  plydivlem4  26488  plydiveu  26490  vieta1lem2  26503  taylfval  26553  pserval  26604  dvradcnv  26615  pserdvlem2  26622  abelthlem1  26625  abelthlem3  26627  abelthlem6  26630  logtayl  26856  leibpi  27138  sqff1o  27377  clwwlknonmpo  30483  ressply1evls1  33895  evl1deg1  33906  evl1deg2  33907  evl1deg3  33908  ply1coedeg  33919  gsummoncoe1fzo  33927  0mplrim  33944  selvply1rhmlema  33948  selvply1rhmlemb  33949  selvply1rhmlem1  33950  selvply1rhmlem2  33951  selvply1rhmlem4  33953  selvply1rhm0  33956  extvfvvcl  33965  extvfvcl  33966  mplmulmvr  33969  evlextv  33972  mplvrpmlem  33973  mplvrpmfgalem  33974  mplvrpmga  33975  mplvrpmmhm  33976  mplvrpmrhm  33977  psrmonprod  33982  esplyval  33992  esplyfval0  33994  esplylem  33996  esplymhp  33998  esplyfv1  33999  esplysply  34001  esplyfval3  34002  esplyfval1  34003  esplyfvaln  34004  esplyind  34005  vieta  34010  ply1degltdimlem  34052  evls1fldgencl  34100  extdgfialglem2  34123  eulerpartleme  34794  eulerpartlem1  34798  eulerpartlemt  34802  eulerpartgbij  34803  eulerpartlemr  34805  eulerpartlemmf  34806  eulerpartlemgvv  34807  eulerpartlemgs2  34811  eulerpartlemn  34812  fib0  34830  fib1  34831  fibp1  34832  lpadval  35107  knoppcnlem1  37115  knoppcnlem6  37120  poimirlem32  38336  heiborlem3  38497  aks6d1c1  42916  aks6d1c2lem3  42926  aks6d1c5lem0  42935  aks6d1c5lem3  42937  aks6d1c5lem2  42938  aks6d1c5  42939  sticksstones14  42960  sticksstones20  42966  sticksstones23  42969  aks6d1c6lem1  42970  aks6d1c6lem2  42971  eldiophb  43521  diophrw  43523  hbtlem1  43883  hbtlem7  43885  dgrsub2  43895  mpaaeu  43910  deg1mhm  43960  elrtrclrec  44440  brmptiunrelexpd  44442  brrtrclrec  44456  iunrelexp0  44461  iunrelexpmin2  44471  dfrtrcl3  44492  fvrtrcllb0d  44494  fvrtrcllb0da  44495  fvrtrcllb1d  44496  radcnvrat  45057  binomcxplemrat  45093  binomcxplemnotnn0  45099  expfac  46404  dvnprodlem1  46693  dvnprodlem2  46694  dvnprodlem3  46695  etransclem24  47005  etransclem25  47006  etransclem26  47007  etransclem28  47009  etransclem35  47016  etransclem37  47018  etransclem48  47029  nthrucw  47640  fmtnoinf  48321  nn0mnd  48977  ply1mulgsum  49203  itcovalpclem1  49483  itcovalpclem2  49484  itcovalt2lem1  49488  itcovalt2lem2  49489  ackvalsuc1mpt  49491  ackval0  49493  ackendofnn0  49497  ackvalsucsucval  49501