Theorem nn0ex 12652

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12647	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 12381	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		snex 5404	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
4	2, 3	unex 7793	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2860	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ∪ cun 4152  {csn 4588  0cc0 11239  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-1cn 11297  ax-addcl 11299

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-nn 12376  df-n0 12647

This theorem is used by:  nn0ennn  14162  nnenom  14163  fsuppmapnn0fiub0  14176  suppssfz  14177  fsuppmapnn0ub  14178  mptnn0fsupp  14180  mptnn0fsuppr  14182  wrdexg  14710  elovmptnn0wrd  14745  rtrclreclem1  15253  dfrtrclrec2  15254  rtrclreclem2  15255  rtrclreclem4  15257  expcnv  16077  geolim  16083  cvgrat  16096  mertenslem2  16098  bpolylem  16258  eftlub  16321  bitsfval  16637  bitsf  16641  sadfval  16666  smufval  16691  smupf  16692  1arith  17149  ramcl  17251  smndex1ibas  19146  smndex1gbas  19148  smndex1gbasOLD  19149  smndex1gid  19150  smndex1gidOLD  19151  smndex1igid  19152  smndex1igidOLD  19153  smndex1mnd  19159  smndex1id  19160  smndex1n0mnd  19161  smndex2dbas  19163  smndex2dnrinv  19164  smndex2hbas  19165  smndex2dlinvh  19166  odfval  19797  fsfnn0gsumfsffz  20248  gsummptnn0fz  20251  nn0srg  21797  psrbag  22280  evlsgsumadd  22460  evlsgsummul  22461  mhpfval  22514  mhpmulcl  22525  coe1fval  22578  fvcoe1  22580  coe1fval3  22581  coe1f2  22582  coe1sfi  22586  coe1fsupp  22587  00ply1bas  22612  ply1plusgfvi  22614  coe1z  22637  coe1add  22638  coe1addfv  22639  coe1mul2lem1  22641  coe1mul2lem2  22642  coe1mul2  22643  coe1tm  22647  coe1sclmul  22656  coe1sclmulfv  22657  coe1sclmul2  22658  ply1coefsupp  22670  ply1coe  22671  gsumsmonply1  22680  gsummoncoe1  22681  evls1gsumadd  22697  evls1gsummul  22698  evl1gsummul  22733  evls1fpws  22742  pmatcollpw1  23149  pmatcollpw2lem  23150  pmatcollpw2  23151  pmatcollpw3lem  23156  pm2mpcl  23170  idpm2idmp  23174  mply1topmatcllem  23176  mply1topmatcl  23178  mp2pm2mplem2  23180  mp2pm2mplem5  23183  mp2pm2mp  23184  pm2mpghmlem2  23185  pm2mpghm  23189  pm2mpmhmlem2  23192  monmat2matmon  23197  pm2mp  23198  chfacfscmulgsum  23233  chfacfpmmulgsum  23237  cpmidpmatlem2  23244  cpmadumatpolylem1  23254  cpmadumatpolylem2  23255  chcoeffeqlem  23258  cayhamlem3  23260  cayhamlem4  23261  dyadmax  25974  cpnfval  26307  deg1ldg  26465  deg1leb  26468  deg1val  26469  deg1mul3  26489  deg1mul3le  26490  uc1pmon1p  26525  plyval  26566  elply2  26569  plyf  26571  elplyr  26574  plyeq0lem  26584  plyeq0  26585  plypf1  26586  plyaddlem1  26587  plyaddlem  26589  plymullem  26590  coeeulem  26598  coeeq  26601  dgrlem  26603  coeidlem  26611  coeaddlem  26623  coemulc  26629  coe0  26630  coesub  26631  dgradd2  26642  dgrcolem2  26648  plydivlem4  26672  plydiveu  26674  vieta1lem2  26689  taylfval  26743  pserval  26794  dvradcnv  26805  pserdvlem2  26812  abelthlem1  26815  abelthlem3  26817  abelthlem6  26820  logtayl  27045  leibpi  27327  sqff1o  27566  clwwlknonmpo  30737  ressply1evls1  34200  evl1deg1  34211  evl1deg2  34212  evl1deg3  34213  ply1coedeg  34224  gsummoncoe1fzo  34232  evls1rgspncl  34248  0mplrim  34257  selvply1rhmlema  34261  selvply1rhmlemb  34262  selvply1rhmlem1  34263  selvply1rhmlem2  34264  selvply1rhmlem4  34266  selvply1rhm0  34269  mplmulmvr  34282  evlextv  34285  mplvrpmlem  34286  mplvrpmfgalem  34287  mplvrpmga  34288  mplvrpmmhm  34289  mplvrpmrhm  34290  psrmonprod  34295  esplyval  34305  esplyfval0  34307  esplylem  34309  esplyfv1  34312  esplyfvaln  34317  esplyind  34318  vieta  34323  ply1degltdimlem  34365  evls1fldgencl  34413  extdgfialglem2  34436  eulerpartleme  35106  eulerpartlem1  35110  eulerpartlemt  35114  eulerpartgbij  35115  eulerpartlemr  35117  eulerpartlemmf  35118  eulerpartlemgvv  35119  eulerpartlemgs2  35123  eulerpartlemn  35124  fib0  35142  fib1  35143  fibp1  35144  lpadval  35419  knoppcnlem1  37574  knoppcnlem6  37579  poimirlem32  38838  heiborlem3  39013  aks6d1c1  43432  aks6d1c2lem3  43442  aks6d1c5lem0  43451  aks6d1c5lem3  43453  aks6d1c5lem2  43454  aks6d1c5  43455  sticksstones14  43476  sticksstones20  43482  sticksstones23  43485  aks6d1c6lem1  43486  aks6d1c6lem2  43487  eldiophb  44034  diophrw  44036  hbtlem1  44390  hbtlem7  44392  dgrsub2  44402  mpaaeu  44417  deg1mhm  44463  elrtrclrec  44942  brmptiunrelexpd  44944  brrtrclrec  44958  iunrelexp0  44963  iunrelexpmin2  44973  dfrtrcl3  44994  fvrtrcllb0d  44996  fvrtrcllb0da  44997  fvrtrcllb1d  44998  radcnvrat  45559  binomcxplemrat  45595  binomcxplemnotnn0  45601  expfac  46940  dvnprodlem1  47229  dvnprodlem2  47230  dvnprodlem3  47231  etransclem24  47541  etransclem25  47542  etransclem26  47543  etransclem28  47545  etransclem35  47552  etransclem37  47554  etransclem48  47565  numtowerdt  48189  fmtnoinf  48894  nn0mnd  49549  linply2cfv  49712  lazssaz  49730  ply1mulgsum  49833  itcovalpclem1  50113  itcovalpclem2  50114  itcovalt2lem1  50118  itcovalt2lem2  50119  ackvalsuc1mpt  50121  ackval0  50123  ackendofnn0  50127  ackvalsucsucval  50131