MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0ex 11892
Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
nn0ex 0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex
StepHypRef Expression
1 df-n0 11887 . 2 0 = (ℕ ∪ {0})
2 nnex 11633 . . 3 ℕ ∈ V
3 snex 5323 . . 3 {0} ∈ V
42, 3unex 7457 . 2 (ℕ ∪ {0}) ∈ V
51, 4eqeltri 2909 1 0 ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2105  Vcvv 3495  cun 3933  {csn 4559  0cc0 10526  cn 11627  0cn0 11886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-1cn 10584  ax-addcl 10586
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7148  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-nn 11628  df-n0 11887
This theorem is referenced by:  nn0ennn  13337  nnenom  13338  fsuppmapnn0fiub0  13351  suppssfz  13352  fsuppmapnn0ub  13353  mptnn0fsupp  13355  mptnn0fsuppr  13357  wrdexg  13861  elovmptnn0wrd  13901  dfrtrclrec2  14406  rtrclreclem1  14407  rtrclreclem2  14408  rtrclreclem4  14410  expcnv  15209  geolim  15216  cvgrat  15229  mertenslem2  15231  bpolylem  15392  eftlub  15452  bitsfval  15762  bitsf  15766  sadfval  15791  smufval  15816  smupf  15817  1arith  16253  ramcl  16355  odfval  18591  fsfnn0gsumfsffz  19034  gsummptnn0fz  19037  psrbag  20074  evlsgsumadd  20234  evlsgsummul  20235  mhpfval  20262  coe1fval  20303  fvcoe1  20305  coe1fval3  20306  coe1f2  20307  coe1sfi  20311  coe1fsupp  20312  00ply1bas  20338  ply1plusgfvi  20340  coe1z  20361  coe1add  20362  coe1addfv  20363  coe1mul2lem1  20365  coe1mul2lem2  20366  coe1mul2  20367  coe1tm  20371  coe1sclmul  20380  coe1sclmulfv  20381  coe1sclmul2  20382  ply1coefsupp  20393  ply1coe  20394  gsumsmonply1  20401  gsummoncoe1  20402  evls1gsumadd  20417  evls1gsummul  20418  evl1gsummul  20453  nn0srg  20545  pmatcollpw1  21314  pmatcollpw2lem  21315  pmatcollpw2  21316  pmatcollpw3lem  21321  pm2mpcl  21335  idpm2idmp  21339  mply1topmatcllem  21341  mply1topmatcl  21343  mp2pm2mplem2  21345  mp2pm2mplem5  21348  mp2pm2mp  21349  pm2mpghmlem2  21350  pm2mpghm  21354  pm2mpmhmlem2  21357  monmat2matmon  21362  pm2mp  21363  chfacfscmulgsum  21398  chfacfpmmulgsum  21402  cpmidpmatlem2  21409  cpmadumatpolylem1  21419  cpmadumatpolylem2  21420  chcoeffeqlem  21423  cayhamlem3  21425  cayhamlem4  21426  dyadmax  24128  cpnfval  24458  deg1ldg  24615  deg1leb  24618  deg1val  24619  deg1mul3  24638  deg1mul3le  24639  uc1pmon1p  24674  plyval  24712  elply2  24715  plyf  24717  elplyr  24720  plyeq0lem  24729  plyeq0  24730  plypf1  24731  plyaddlem1  24732  plyaddlem  24734  plymullem  24735  coeeulem  24743  coeeq  24746  dgrlem  24748  coeidlem  24756  coeaddlem  24768  coemulc  24774  coe0  24775  coesub  24776  dgradd2  24787  dgrcolem2  24793  plydivlem4  24814  plydiveu  24816  vieta1lem2  24829  taylfval  24876  pserval  24927  dvradcnv  24938  pserdvlem2  24945  abelthlem1  24948  abelthlem3  24950  abelthlem6  24953  logtayl  25170  leibpi  25448  sqff1o  25687  clwwlknonmpo  27796  eulerpartleme  31521  eulerpartlem1  31525  eulerpartlemt  31529  eulerpartgbij  31530  eulerpartlemr  31532  eulerpartlemmf  31533  eulerpartlemgvv  31534  eulerpartlemgs2  31538  eulerpartlemn  31539  fib0  31557  fib1  31558  fibp1  31559  lpadval  31847  knoppcnlem1  33730  knoppcnlem6  33735  poimirlem32  34806  heiborlem3  34974  eldiophb  39234  diophrw  39236  hbtlem1  39603  hbtlem7  39605  dgrsub2  39615  mpaaeu  39630  deg1mhm  39687  elrtrclrec  39906  brmptiunrelexpd  39908  brrtrclrec  39922  iunrelexp0  39927  iunrelexpmin2  39937  dfrtrcl3  39958  fvrtrcllb0d  39960  fvrtrcllb0da  39961  fvrtrcllb1d  39962  radcnvrat  40526  binomcxplemrat  40562  binomcxplemnotnn0  40568  expfac  41818  dvnprodlem1  42111  dvnprodlem2  42112  dvnprodlem3  42113  etransclem24  42424  etransclem25  42425  etransclem26  42426  etransclem28  42428  etransclem35  42435  etransclem37  42437  etransclem48  42448  fmtnoinf  43545  nn0mnd  43933  smndex1ibas  43970  smndex1gbas  43972  smndex1gid  43973  smndex1igid  43974  smndex1mnd  43980  smndex1id  43981  smndex1n0mnd  43982  smndex2dbas  43984  smndex2dnrinv  43985  smndex2hbas  43986  smndex2dlinvh  43987  ply1mulgsum  44342
  Copyright terms: Public domain W3C validator