Theorem nn0ex 12530

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12525	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 12270	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		snex 5442	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
4	2, 3	unex 7763	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2835	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ∪ cun 3961  {csn 4631  0cc0 11153  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-1cn 11211  ax-addcl 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-nn 12265  df-n0 12525

This theorem is referenced by:  nn0ennn  14017  nnenom  14018  fsuppmapnn0fiub0  14031  suppssfz  14032  fsuppmapnn0ub  14033  mptnn0fsupp  14035  mptnn0fsuppr  14037  wrdexg  14559  elovmptnn0wrd  14594  rtrclreclem1  15093  dfrtrclrec2  15094  rtrclreclem2  15095  rtrclreclem4  15097  expcnv  15897  geolim  15903  cvgrat  15916  mertenslem2  15918  bpolylem  16081  eftlub  16142  bitsfval  16457  bitsf  16461  sadfval  16486  smufval  16511  smupf  16512  1arith  16961  ramcl  17063  smndex1ibas  18926  smndex1gbas  18928  smndex1gid  18929  smndex1igid  18930  smndex1mnd  18936  smndex1id  18937  smndex1n0mnd  18938  smndex2dbas  18940  smndex2dnrinv  18941  smndex2hbas  18942  smndex2dlinvh  18943  odfval  19565  fsfnn0gsumfsffz  20016  gsummptnn0fz  20019  nn0srg  21473  psrbag  21955  evlsgsumadd  22133  evlsgsummul  22134  mhpfval  22160  mhpmulcl  22171  coe1fval  22223  fvcoe1  22225  coe1fval3  22226  coe1f2  22227  coe1sfi  22231  coe1fsupp  22232  00ply1bas  22257  ply1plusgfvi  22259  coe1z  22282  coe1add  22283  coe1addfv  22284  coe1mul2lem1  22286  coe1mul2lem2  22287  coe1mul2  22288  coe1tm  22292  coe1sclmul  22301  coe1sclmulfv  22302  coe1sclmul2  22303  ply1coefsupp  22317  ply1coe  22318  gsumsmonply1  22327  gsummoncoe1  22328  evls1gsumadd  22344  evls1gsummul  22345  evl1gsummul  22380  evls1fpws  22389  pmatcollpw1  22798  pmatcollpw2lem  22799  pmatcollpw2  22800  pmatcollpw3lem  22805  pm2mpcl  22819  idpm2idmp  22823  mply1topmatcllem  22825  mply1topmatcl  22827  mp2pm2mplem2  22829  mp2pm2mplem5  22832  mp2pm2mp  22833  pm2mpghmlem2  22834  pm2mpghm  22838  pm2mpmhmlem2  22841  monmat2matmon  22846  pm2mp  22847  chfacfscmulgsum  22882  chfacfpmmulgsum  22886  cpmidpmatlem2  22893  cpmadumatpolylem1  22903  cpmadumatpolylem2  22904  chcoeffeqlem  22907  cayhamlem3  22909  cayhamlem4  22910  dyadmax  25647  cpnfval  25983  deg1ldg  26146  deg1leb  26149  deg1val  26150  deg1mul3  26170  deg1mul3le  26171  uc1pmon1p  26206  plyval  26247  elply2  26250  plyf  26252  elplyr  26255  plyeq0lem  26264  plyeq0  26265  plypf1  26266  plyaddlem1  26267  plyaddlem  26269  plymullem  26270  coeeulem  26278  coeeq  26281  dgrlem  26283  coeidlem  26291  coeaddlem  26303  coemulc  26309  coe0  26310  coesub  26311  dgradd2  26323  dgrcolem2  26329  plydivlem4  26353  plydiveu  26355  vieta1lem2  26368  taylfval  26415  pserval  26468  dvradcnv  26479  pserdvlem2  26487  abelthlem1  26490  abelthlem3  26492  abelthlem6  26495  logtayl  26717  leibpi  27000  sqff1o  27240  clwwlknonmpo  30118  evl1deg1  33581  evl1deg2  33582  evl1deg3  33583  gsummoncoe1fzo  33598  ply1degltdimlem  33650  evls1fldgencl  33695  eulerpartleme  34345  eulerpartlem1  34349  eulerpartlemt  34353  eulerpartgbij  34354  eulerpartlemr  34356  eulerpartlemmf  34357  eulerpartlemgvv  34358  eulerpartlemgs2  34362  eulerpartlemn  34363  fib0  34381  fib1  34382  fibp1  34383  lpadval  34670  knoppcnlem1  36476  knoppcnlem6  36481  poimirlem32  37639  heiborlem3  37800  aks6d1c1  42098  aks6d1c2lem3  42108  aks6d1c5lem0  42117  aks6d1c5lem3  42119  aks6d1c5lem2  42120  aks6d1c5  42121  sticksstones14  42142  sticksstones20  42148  sticksstones23  42151  aks6d1c6lem1  42152  aks6d1c6lem2  42153  eldiophb  42745  diophrw  42747  hbtlem1  43112  hbtlem7  43114  dgrsub2  43124  mpaaeu  43139  deg1mhm  43189  elrtrclrec  43671  brmptiunrelexpd  43673  brrtrclrec  43687  iunrelexp0  43692  iunrelexpmin2  43702  dfrtrcl3  43723  fvrtrcllb0d  43725  fvrtrcllb0da  43726  fvrtrcllb1d  43727  radcnvrat  44310  binomcxplemrat  44346  binomcxplemnotnn0  44352  expfac  45613  dvnprodlem1  45902  dvnprodlem2  45903  dvnprodlem3  45904  etransclem24  46214  etransclem25  46215  etransclem26  46216  etransclem28  46218  etransclem35  46225  etransclem37  46227  etransclem48  46238  fmtnoinf  47461  nn0mnd  48023  ply1mulgsum  48236  itcovalpclem1  48520  itcovalpclem2  48521  itcovalt2lem1  48525  itcovalt2lem2  48526  ackvalsuc1mpt  48528  ackval0  48530  ackendofnn0  48534  ackvalsucsucval  48538