Theorem nn0ex 12434

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12429	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 12171	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		snex 5368	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
4	2, 3	unex 7687	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2835	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ∪ cun 3881  {csn 4555  0cc0 11029  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-1cn 11087  ax-addcl 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-nn 12166  df-n0 12429

This theorem is referenced by:  nn0ennn  13932  nnenom  13933  fsuppmapnn0fiub0  13946  suppssfz  13947  fsuppmapnn0ub  13948  mptnn0fsupp  13950  mptnn0fsuppr  13952  wrdexg  14477  elovmptnn0wrd  14512  rtrclreclem1  15010  dfrtrclrec2  15011  rtrclreclem2  15012  rtrclreclem4  15014  expcnv  15820  geolim  15826  cvgrat  15839  mertenslem2  15841  bpolylem  16004  eftlub  16067  bitsfval  16383  bitsf  16387  sadfval  16412  smufval  16437  smupf  16438  1arith  16889  ramcl  16991  smndex1ibas  18859  smndex1gbas  18861  smndex1gbasOLD  18862  smndex1gid  18863  smndex1gidOLD  18864  smndex1igid  18865  smndex1igidOLD  18866  smndex1mnd  18872  smndex1id  18873  smndex1n0mnd  18874  smndex2dbas  18876  smndex2dnrinv  18877  smndex2hbas  18878  smndex2dlinvh  18879  odfval  19498  fsfnn0gsumfsffz  19949  gsummptnn0fz  19952  nn0srg  21412  psrbag  21892  evlsgsumadd  22072  evlsgsummul  22073  mhpfval  22126  mhpmulcl  22137  coe1fval  22190  fvcoe1  22192  coe1fval3  22193  coe1f2  22194  coe1sfi  22198  coe1fsupp  22199  00ply1bas  22224  ply1plusgfvi  22226  coe1z  22249  coe1add  22250  coe1addfv  22251  coe1mul2lem1  22253  coe1mul2lem2  22254  coe1mul2  22255  coe1tm  22259  coe1sclmul  22268  coe1sclmulfv  22269  coe1sclmul2  22270  ply1coefsupp  22283  ply1coe  22284  gsumsmonply1  22293  gsummoncoe1  22294  evls1gsumadd  22310  evls1gsummul  22311  evl1gsummul  22346  evls1fpws  22355  pmatcollpw1  22759  pmatcollpw2lem  22760  pmatcollpw2  22761  pmatcollpw3lem  22766  pm2mpcl  22780  idpm2idmp  22784  mply1topmatcllem  22786  mply1topmatcl  22788  mp2pm2mplem2  22790  mp2pm2mplem5  22793  mp2pm2mp  22794  pm2mpghmlem2  22795  pm2mpghm  22799  pm2mpmhmlem2  22802  monmat2matmon  22807  pm2mp  22808  chfacfscmulgsum  22843  chfacfpmmulgsum  22847  cpmidpmatlem2  22854  cpmadumatpolylem1  22864  cpmadumatpolylem2  22865  chcoeffeqlem  22868  cayhamlem3  22870  cayhamlem4  22871  dyadmax  25583  cpnfval  25917  deg1ldg  26075  deg1leb  26078  deg1val  26079  deg1mul3  26099  deg1mul3le  26100  uc1pmon1p  26135  plyval  26176  elply2  26179  plyf  26181  elplyr  26184  plyeq0lem  26193  plyeq0  26194  plypf1  26195  plyaddlem1  26196  plyaddlem  26198  plymullem  26199  coeeulem  26207  coeeq  26210  dgrlem  26212  coeidlem  26220  coeaddlem  26232  coemulc  26238  coe0  26239  coesub  26240  dgradd2  26251  dgrcolem2  26257  plydivlem4  26280  plydiveu  26282  vieta1lem2  26295  taylfval  26342  pserval  26393  dvradcnv  26404  pserdvlem2  26411  abelthlem1  26414  abelthlem3  26416  abelthlem6  26419  logtayl  26642  leibpi  26924  sqff1o  27163  clwwlknonmpo  30177  ressply1evls1  33648  evl1deg1  33659  evl1deg2  33660  evl1deg3  33661  ply1coedeg  33672  gsummoncoe1fzo  33680  0mplrim  33698  selvply1rhmlema  33702  selvply1rhmlemb  33703  selvply1rhmlem1  33704  selvply1rhmlem2  33705  selvply1rhmlem4  33707  selvply1rhm0  33710  extvfvvcl  33719  extvfvcl  33720  mplmulmvr  33723  evlextv  33726  mplvrpmlem  33727  mplvrpmfgalem  33728  mplvrpmga  33729  mplvrpmmhm  33730  mplvrpmrhm  33731  psrmonprod  33736  esplyval  33746  esplyfval0  33748  esplylem  33750  esplymhp  33752  esplyfv1  33753  esplysply  33755  esplyfval3  33756  esplyfval1  33757  esplyfvaln  33758  esplyind  33759  vieta  33764  ply1degltdimlem  33806  evls1fldgencl  33854  extdgfialglem2  33877  eulerpartleme  34547  eulerpartlem1  34551  eulerpartlemt  34555  eulerpartgbij  34556  eulerpartlemr  34558  eulerpartlemmf  34559  eulerpartlemgvv  34560  eulerpartlemgs2  34564  eulerpartlemn  34565  fib0  34583  fib1  34584  fibp1  34585  lpadval  34860  knoppcnlem1  36799  knoppcnlem6  36804  poimirlem32  38019  heiborlem3  38180  aks6d1c1  42601  aks6d1c2lem3  42611  aks6d1c5lem0  42620  aks6d1c5lem3  42622  aks6d1c5lem2  42623  aks6d1c5  42624  sticksstones14  42645  sticksstones20  42651  sticksstones23  42654  aks6d1c6lem1  42655  aks6d1c6lem2  42656  eldiophb  43206  diophrw  43208  hbtlem1  43568  hbtlem7  43570  dgrsub2  43580  mpaaeu  43595  deg1mhm  43645  elrtrclrec  44125  brmptiunrelexpd  44127  brrtrclrec  44141  iunrelexp0  44146  iunrelexpmin2  44156  dfrtrcl3  44177  fvrtrcllb0d  44179  fvrtrcllb0da  44180  fvrtrcllb1d  44181  radcnvrat  44758  binomcxplemrat  44794  binomcxplemnotnn0  44800  expfac  46100  dvnprodlem1  46389  dvnprodlem2  46390  dvnprodlem3  46391  etransclem24  46701  etransclem25  46702  etransclem26  46703  etransclem28  46705  etransclem35  46712  etransclem37  46714  etransclem48  46725  nthrucw  47331  fmtnoinf  48014  nn0mnd  48670  ply1mulgsum  48881  itcovalpclem1  49161  itcovalpclem2  49162  itcovalt2lem1  49166  itcovalt2lem2  49167  ackvalsuc1mpt  49169  ackval0  49171  ackendofnn0  49175  ackvalsucsucval  49179