Theorem nn0ex 12434

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12429	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 12171	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		snex 5376	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
4	2, 3	unex 7691	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2833	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∪ cun 3888  {csn 4568  0cc0 11029  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-1cn 11087  ax-addcl 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-nn 12166  df-n0 12429

This theorem is referenced by:  nn0ennn  13932  nnenom  13933  fsuppmapnn0fiub0  13946  suppssfz  13947  fsuppmapnn0ub  13948  mptnn0fsupp  13950  mptnn0fsuppr  13952  wrdexg  14477  elovmptnn0wrd  14512  rtrclreclem1  15010  dfrtrclrec2  15011  rtrclreclem2  15012  rtrclreclem4  15014  expcnv  15820  geolim  15826  cvgrat  15839  mertenslem2  15841  bpolylem  16004  eftlub  16067  bitsfval  16383  bitsf  16387  sadfval  16412  smufval  16437  smupf  16438  1arith  16889  ramcl  16991  smndex1ibas  18859  smndex1gbas  18861  smndex1gbasOLD  18862  smndex1gid  18863  smndex1gidOLD  18864  smndex1igid  18865  smndex1igidOLD  18866  smndex1mnd  18872  smndex1id  18873  smndex1n0mnd  18874  smndex2dbas  18876  smndex2dnrinv  18877  smndex2hbas  18878  smndex2dlinvh  18879  odfval  19498  fsfnn0gsumfsffz  19949  gsummptnn0fz  19952  nn0srg  21427  psrbag  21907  evlsgsumadd  22084  evlsgsummul  22085  mhpfval  22114  mhpmulcl  22125  coe1fval  22179  fvcoe1  22181  coe1fval3  22182  coe1f2  22183  coe1sfi  22187  coe1fsupp  22188  00ply1bas  22213  ply1plusgfvi  22215  coe1z  22238  coe1add  22239  coe1addfv  22240  coe1mul2lem1  22242  coe1mul2lem2  22243  coe1mul2  22244  coe1tm  22248  coe1sclmul  22257  coe1sclmulfv  22258  coe1sclmul2  22259  ply1coefsupp  22272  ply1coe  22273  gsumsmonply1  22282  gsummoncoe1  22283  evls1gsumadd  22299  evls1gsummul  22300  evl1gsummul  22335  evls1fpws  22344  pmatcollpw1  22751  pmatcollpw2lem  22752  pmatcollpw2  22753  pmatcollpw3lem  22758  pm2mpcl  22772  idpm2idmp  22776  mply1topmatcllem  22778  mply1topmatcl  22780  mp2pm2mplem2  22782  mp2pm2mplem5  22785  mp2pm2mp  22786  pm2mpghmlem2  22787  pm2mpghm  22791  pm2mpmhmlem2  22794  monmat2matmon  22799  pm2mp  22800  chfacfscmulgsum  22835  chfacfpmmulgsum  22839  cpmidpmatlem2  22846  cpmadumatpolylem1  22856  cpmadumatpolylem2  22857  chcoeffeqlem  22860  cayhamlem3  22862  cayhamlem4  22863  dyadmax  25575  cpnfval  25909  deg1ldg  26067  deg1leb  26070  deg1val  26071  deg1mul3  26091  deg1mul3le  26092  uc1pmon1p  26127  plyval  26168  elply2  26171  plyf  26173  elplyr  26176  plyeq0lem  26185  plyeq0  26186  plypf1  26187  plyaddlem1  26188  plyaddlem  26190  plymullem  26191  coeeulem  26199  coeeq  26202  dgrlem  26204  coeidlem  26212  coeaddlem  26224  coemulc  26230  coe0  26231  coesub  26232  dgradd2  26243  dgrcolem2  26249  plydivlem4  26273  plydiveu  26275  vieta1lem2  26288  taylfval  26335  pserval  26388  dvradcnv  26399  pserdvlem2  26406  abelthlem1  26409  abelthlem3  26411  abelthlem6  26414  logtayl  26637  leibpi  26919  sqff1o  27159  clwwlknonmpo  30174  ressply1evls1  33640  evl1deg1  33651  evl1deg2  33652  evl1deg3  33653  ply1coedeg  33664  gsummoncoe1fzo  33672  extvfvvcl  33694  extvfvcl  33695  mplmulmvr  33698  evlextv  33701  mplvrpmlem  33702  mplvrpmfgalem  33703  mplvrpmga  33704  mplvrpmmhm  33705  mplvrpmrhm  33706  psrmonprod  33711  esplyval  33721  esplyfval0  33723  esplylem  33725  esplymhp  33727  esplyfv1  33728  esplysply  33730  esplyfval3  33731  esplyfval1  33732  esplyfvaln  33733  esplyind  33734  vieta  33739  ply1degltdimlem  33782  evls1fldgencl  33830  extdgfialglem2  33853  eulerpartleme  34523  eulerpartlem1  34527  eulerpartlemt  34531  eulerpartgbij  34532  eulerpartlemr  34534  eulerpartlemmf  34535  eulerpartlemgvv  34536  eulerpartlemgs2  34540  eulerpartlemn  34541  fib0  34559  fib1  34560  fibp1  34561  lpadval  34836  knoppcnlem1  36769  knoppcnlem6  36774  poimirlem32  37987  heiborlem3  38148  aks6d1c1  42569  aks6d1c2lem3  42579  aks6d1c5lem0  42588  aks6d1c5lem3  42590  aks6d1c5lem2  42591  aks6d1c5  42592  sticksstones14  42613  sticksstones20  42619  sticksstones23  42622  aks6d1c6lem1  42623  aks6d1c6lem2  42624  eldiophb  43203  diophrw  43205  hbtlem1  43569  hbtlem7  43571  dgrsub2  43581  mpaaeu  43596  deg1mhm  43646  elrtrclrec  44126  brmptiunrelexpd  44128  brrtrclrec  44142  iunrelexp0  44147  iunrelexpmin2  44157  dfrtrcl3  44178  fvrtrcllb0d  44180  fvrtrcllb0da  44181  fvrtrcllb1d  44182  radcnvrat  44759  binomcxplemrat  44795  binomcxplemnotnn0  44801  expfac  46103  dvnprodlem1  46392  dvnprodlem2  46393  dvnprodlem3  46394  etransclem24  46704  etransclem25  46705  etransclem26  46706  etransclem28  46708  etransclem35  46715  etransclem37  46717  etransclem48  46728  nthrucw  47332  fmtnoinf  48011  nn0mnd  48667  ply1mulgsum  48878  itcovalpclem1  49158  itcovalpclem2  49159  itcovalt2lem1  49163  itcovalt2lem2  49164  ackvalsuc1mpt  49166  ackval0  49168  ackendofnn0  49172  ackvalsucsucval  49176