Theorem nn0ex 12559

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12554	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 12299	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		snex 5451	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
4	2, 3	unex 7779	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2840	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∪ cun 3974  {csn 4648  0cc0 11184  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-1cn 11242  ax-addcl 11244

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-nn 12294  df-n0 12554

This theorem is referenced by:  nn0ennn  14030  nnenom  14031  fsuppmapnn0fiub0  14044  suppssfz  14045  fsuppmapnn0ub  14046  mptnn0fsupp  14048  mptnn0fsuppr  14050  wrdexg  14572  elovmptnn0wrd  14607  rtrclreclem1  15106  dfrtrclrec2  15107  rtrclreclem2  15108  rtrclreclem4  15110  expcnv  15912  geolim  15918  cvgrat  15931  mertenslem2  15933  bpolylem  16096  eftlub  16157  bitsfval  16469  bitsf  16473  sadfval  16498  smufval  16523  smupf  16524  1arith  16974  ramcl  17076  smndex1ibas  18935  smndex1gbas  18937  smndex1gid  18938  smndex1igid  18939  smndex1mnd  18945  smndex1id  18946  smndex1n0mnd  18947  smndex2dbas  18949  smndex2dnrinv  18950  smndex2hbas  18951  smndex2dlinvh  18952  odfval  19574  fsfnn0gsumfsffz  20025  gsummptnn0fz  20028  nn0srg  21478  psrbag  21960  evlsgsumadd  22138  evlsgsummul  22139  mhpfval  22165  mhpmulcl  22176  coe1fval  22228  fvcoe1  22230  coe1fval3  22231  coe1f2  22232  coe1sfi  22236  coe1fsupp  22237  00ply1bas  22262  ply1plusgfvi  22264  coe1z  22287  coe1add  22288  coe1addfv  22289  coe1mul2lem1  22291  coe1mul2lem2  22292  coe1mul2  22293  coe1tm  22297  coe1sclmul  22306  coe1sclmulfv  22307  coe1sclmul2  22308  ply1coefsupp  22322  ply1coe  22323  gsumsmonply1  22332  gsummoncoe1  22333  evls1gsumadd  22349  evls1gsummul  22350  evl1gsummul  22385  evls1fpws  22394  pmatcollpw1  22803  pmatcollpw2lem  22804  pmatcollpw2  22805  pmatcollpw3lem  22810  pm2mpcl  22824  idpm2idmp  22828  mply1topmatcllem  22830  mply1topmatcl  22832  mp2pm2mplem2  22834  mp2pm2mplem5  22837  mp2pm2mp  22838  pm2mpghmlem2  22839  pm2mpghm  22843  pm2mpmhmlem2  22846  monmat2matmon  22851  pm2mp  22852  chfacfscmulgsum  22887  chfacfpmmulgsum  22891  cpmidpmatlem2  22898  cpmadumatpolylem1  22908  cpmadumatpolylem2  22909  chcoeffeqlem  22912  cayhamlem3  22914  cayhamlem4  22915  dyadmax  25652  cpnfval  25988  deg1ldg  26151  deg1leb  26154  deg1val  26155  deg1mul3  26175  deg1mul3le  26176  uc1pmon1p  26211  plyval  26252  elply2  26255  plyf  26257  elplyr  26260  plyeq0lem  26269  plyeq0  26270  plypf1  26271  plyaddlem1  26272  plyaddlem  26274  plymullem  26275  coeeulem  26283  coeeq  26286  dgrlem  26288  coeidlem  26296  coeaddlem  26308  coemulc  26314  coe0  26315  coesub  26316  dgradd2  26328  dgrcolem2  26334  plydivlem4  26356  plydiveu  26358  vieta1lem2  26371  taylfval  26418  pserval  26471  dvradcnv  26482  pserdvlem2  26490  abelthlem1  26493  abelthlem3  26495  abelthlem6  26498  logtayl  26720  leibpi  27003  sqff1o  27243  clwwlknonmpo  30121  evl1deg1  33566  evl1deg2  33567  evl1deg3  33568  gsummoncoe1fzo  33583  ply1degltdimlem  33635  evls1fldgencl  33680  eulerpartleme  34328  eulerpartlem1  34332  eulerpartlemt  34336  eulerpartgbij  34337  eulerpartlemr  34339  eulerpartlemmf  34340  eulerpartlemgvv  34341  eulerpartlemgs2  34345  eulerpartlemn  34346  fib0  34364  fib1  34365  fibp1  34366  lpadval  34653  knoppcnlem1  36459  knoppcnlem6  36464  poimirlem32  37612  heiborlem3  37773  aks6d1c1  42073  aks6d1c2lem3  42083  aks6d1c5lem0  42092  aks6d1c5lem3  42094  aks6d1c5lem2  42095  aks6d1c5  42096  sticksstones14  42117  sticksstones20  42123  sticksstones23  42126  aks6d1c6lem1  42127  aks6d1c6lem2  42128  eldiophb  42713  diophrw  42715  hbtlem1  43080  hbtlem7  43082  dgrsub2  43092  mpaaeu  43107  deg1mhm  43161  elrtrclrec  43643  brmptiunrelexpd  43645  brrtrclrec  43659  iunrelexp0  43664  iunrelexpmin2  43674  dfrtrcl3  43695  fvrtrcllb0d  43697  fvrtrcllb0da  43698  fvrtrcllb1d  43699  radcnvrat  44283  binomcxplemrat  44319  binomcxplemnotnn0  44325  expfac  45578  dvnprodlem1  45867  dvnprodlem2  45868  dvnprodlem3  45869  etransclem24  46179  etransclem25  46180  etransclem26  46181  etransclem28  46183  etransclem35  46190  etransclem37  46192  etransclem48  46203  fmtnoinf  47410  nn0mnd  47902  ply1mulgsum  48119  itcovalpclem1  48404  itcovalpclem2  48405  itcovalt2lem1  48409  itcovalt2lem2  48410  ackvalsuc1mpt  48412  ackval0  48414  ackendofnn0  48418  ackvalsucsucval  48422