Theorem brtrclrec 44348

Description: Two classes related by the indexed union of relation exponentiation over the natural numbers is equivalent to the existence of at least one number such that the two classes are related by that relationship power. (Contributed by RP, 2-Jun-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
brtrclrec.def	⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))

Assertion

Ref	Expression
brtrclrec	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑋(𝐶‘𝑅)𝑌 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑋(𝑅↑𝑟𝑛)𝑌))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑟,𝐶   𝑅,𝑛,𝑟   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑛,𝑟)   𝑋(𝑟)   𝑌(𝑟)

Proof of Theorem brtrclrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 12239	. 2 ⊢ ℕ ∈ V
2		brtrclrec.def	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))
3	2	briunov2 44334	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ℕ ∈ V) → (𝑋(𝐶‘𝑅)𝑌 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑋(𝑅↑𝑟𝑛)𝑌))
4	1, 3	mpan2 703	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑋(𝐶‘𝑅)𝑌 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑋(𝑅↑𝑟𝑛)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095  Vcvv 3463  ∪ ciun 4960   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℕcn 12233  ↑_𝑟crelexp 15056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-1cn 11158  ax-addcl 11160

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-nn 12234

This theorem is referenced by: (None)