Theorem nnex 12341

Description: The set of positive integers exists. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnex	⊢ ℕ ∈ V

Proof of Theorem nnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11281	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		nnsscn 12340	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
3	1, 2	ssexi 5284	1 ⊢ ℕ ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  ℂcc 11198  ℕcn 12335

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-1cn 11258  ax-addcl 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-nn 12336

This theorem is used by:  dfnn2  12348  nn0ex  12612  nn0ennn  14122  facmapnn  14429  isercolllem2  15833  supcvg  16025  trireciplem  16031  expcnv  16033  geo2lim  16044  qnnen  16381  rpnnen2lem1  16382  rpnnen2lem2  16383  rpnnen  16395  rucALT  16398  prmex  16852  unbenlem  17086  vdwapfval  17149  vdwapf  17150  vdwlem6  17164  vdwlem7  17165  vdwlem8  17166  vdwlem11  17169  prmgaplcm  17238  prmgapprmo  17240  ndxarg  17374  ex-chn2  18812  odfval  19746  odval  19748  gexval  19792  pnrmopn  23661  1stcfb  23763  hausmapdom  23819  met1stc  24840  met2ndci  24841  rectbntr0  25152  metcld2  25628  elovolmlem  25795  ovolctb  25811  ovol0  25814  mbfimaopnlem  25976  itg1climres  26035  mbfi1fseqlem6  26041  mbfi1flimlem  26043  mbfmullem2  26045  itg2monolem1  26071  itg2addlem  26079  plyeq0lem  26529  leibpi  27270  dfef2  27298  emcllem4  27326  emcllem6  27328  emcllem7  27329  lgamgulmlem6  27361  lgamcvg2  27382  basellem6  27413  basellem7  27414  basellem8  27415  basellem9  27416  dchrisumlem3  27818  dirith2  27855  nmounbseqiALT  31380  nmobndseqiALT  31382  h2hcau  31581  h2hlm  31582  hcau  31786  hlimi  31790  hlimadd  31795  hhcms  31805  isch2  31825  chlimi  31836  hlim0  31837  hhsscms  31880  padct  33310  smatfval  34427  lmdvg  34585  esumfsup  34702  esumpcvgval  34710  esumcvg  34718  sigapildsys  34795  measiun  34851  voliune  34862  omssubadd  34932  carsggect  34950  carsgclctunlem2  34951  eulerpartlems  34992  eulerpartleme  34995  eulerpartlem1  34999  eulerpartlemb  35000  eulerpartlemt  35003  eulerpartgbij  35004  eulerpartlemr  35006  eulerpartlemmf  35007  eulerpartlemgvv  35008  eulerpartlemgf  35011  eulerpartlemgs2  35012  eulerpartlemn  35013  reprval  35239  repr0  35240  reprsuc  35244  reprss  35246  reprinrn  35247  reprlt  35248  hashreprin  35249  reprinfz1  35251  reprpmtf1o  35255  reprdifc  35256  breprexplemb  35260  breprexpnat  35263  vtsval  35266  circlemethnat  35270  circlevma  35271  circlemethhgt  35272  sinccvglem  36437  circum  36439  divcnvlin  36498  faclimlem2  36509  faclim2  36513  colinearex  36825  bj-ndxarg  37998  poimirlem32  38570  voliunnfl  38582  volsupnfl  38583  dfproplem  38641  lmclim2  38692  geomcau  38693  rrncmslem  38766  fisdomnn  43295  eldioph3b  43775  lzenom  43780  diophin  43782  diophun  43783  pellexlem3  43837  pellexlem4  43838  pellexlem5  43839  eltrclrec  44679  brtrclrec  44695  iunrelexpmin1  44707  trclrelexplem  44710  dftrcl3  44719  fvtrcllb1d  44721  trclfvcom  44722  cnvtrclfv  44723  cotrcltrcl  44724  trclimalb2  44725  trclfvdecomr  44727  dfrtrcl4  44737  corcltrcl  44738  cotrclrcl  44741  hashnzfzclim  45305  dvradcnv2  45330  binomcxplemcvg  45337  binomcxplemdvsum  45338  binomcxplemnotnn0  45339  ssnnf1octb  46208  clim1fr1  46612  divcnvg  46638  limsup10ex  46782  liminf10ex  46783  wallispilem5  47078  wallispi  47079  stirlinglem1  47083  stirlinglem8  47090  stirlinglem14  47096  stirlinglem15  47097  fourierdlem103  47218  fourierdlem104  47219  fourierdlem112  47227  subsaliuncllem  47366  nnfoctbdjlem  47464  nnfoctbdj  47465  ismeannd  47476  voliunsge0lem  47481  caratheodorylem2  47536  isomenndlem  47539  hoicvrrex  47565  ovnsupge0  47566  ovnlecvr  47567  ovn0lem  47574  ovnsubaddlem1  47579  ovnsubadd  47581  sge0hsphoire  47598  hoidmv1lelem1  47600  hoidmv1lelem2  47601  hoidmv1lelem3  47602  hoidmv1le  47603  hoidmvlelem1  47604  hoidmvlelem2  47605  hoidmvlelem3  47606  hoidmvlelem4  47607  hoidmvlelem5  47608  hoidmvle  47609  ovnhoilem1  47610  ovnhoilem2  47611  ovnlecvr2  47619  hspmbllem2  47636  ovolval2lem  47652  ovnsubadd2lem  47654  ovolval4lem2  47659  ovolval5lem1  47661  ovolval5lem2  47662  ovnovollem1  47665  ovnovollem2  47666  vonioolem1  47689  smfresal  47797  fsupdm  47851  smfsupdmmbllem  47853  finfdm  47855  smfinfdmmbllem  47857  numtowerdt  47915  nnsgrpmgm  49272  nnsgrp  49273  nnsgrpnmnd  49274