Theorem nnex 12149

Description: The set of positive integers exists. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnex	⊢ ℕ ∈ V

Proof of Theorem nnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11105	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		nnsscn 12148	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
3	1, 2	ssexi 5265	1 ⊢ ℕ ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438  ℂcc 11022  ℕcn 12143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-1cn 11082  ax-addcl 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-nn 12144

This theorem is referenced by:  dfnn2  12156  nn0ex  12405  nn0ennn  13900  facmapnn  14206  isercolllem2  15587  supcvg  15777  trireciplem  15783  expcnv  15785  geo2lim  15796  qnnen  16136  rpnnen2lem1  16137  rpnnen2lem2  16138  rpnnen  16150  rucALT  16153  prmex  16602  unbenlem  16834  vdwapfval  16897  vdwapf  16898  vdwlem6  16912  vdwlem7  16913  vdwlem8  16914  vdwlem11  16917  prmgaplcm  16986  prmgapprmo  16988  ndxarg  17121  ex-chn2  18559  odfval  19459  odval  19461  gexval  19505  pnrmopn  23285  1stcfb  23387  hausmapdom  23442  met1stc  24463  met2ndci  24464  rectbntr0  24775  metcld2  25261  elovolmlem  25429  ovolctb  25445  ovol0  25448  mbfimaopnlem  25610  itg1climres  25669  mbfi1fseqlem6  25675  mbfi1flimlem  25677  mbfmullem2  25679  itg2monolem1  25705  itg2addlem  25713  plyeq0lem  26169  leibpi  26906  dfef2  26935  emcllem4  26963  emcllem6  26965  emcllem7  26966  lgamgulmlem6  26998  lgamcvg2  27019  basellem6  27050  basellem7  27051  basellem8  27052  basellem9  27053  dchrisumlem3  27456  dirith2  27493  nmounbseqiALT  30802  nmobndseqiALT  30804  h2hcau  31003  h2hlm  31004  hcau  31208  hlimi  31212  hlimadd  31217  hhcms  31227  isch2  31247  chlimi  31258  hlim0  31259  hhsscms  31302  padct  32746  smatfval  33901  lmdvg  34059  esumfsup  34176  esumpcvgval  34184  esumcvg  34192  sigapildsys  34268  measiun  34324  voliune  34335  omssubadd  34406  carsggect  34424  carsgclctunlem2  34425  eulerpartlems  34466  eulerpartleme  34469  eulerpartlem1  34473  eulerpartlemb  34474  eulerpartlemt  34477  eulerpartgbij  34478  eulerpartlemr  34480  eulerpartlemmf  34481  eulerpartlemgvv  34482  eulerpartlemgf  34485  eulerpartlemgs2  34486  eulerpartlemn  34487  reprval  34716  repr0  34717  reprsuc  34721  reprss  34723  reprinrn  34724  reprlt  34725  hashreprin  34726  reprinfz1  34728  reprpmtf1o  34732  reprdifc  34733  breprexplemb  34737  breprexpnat  34740  vtsval  34743  circlemethnat  34747  circlevma  34748  circlemethhgt  34749  sinccvglem  35815  circum  35817  divcnvlin  35876  faclimlem2  35887  faclim2  35891  colinearex  36203  bj-ndxarg  37221  poimirlem32  37792  voliunnfl  37804  volsupnfl  37805  lmclim2  37898  geomcau  37899  rrncmslem  37972  fisdomnn  42441  eldioph3b  42949  lzenom  42954  diophin  42956  diophun  42957  pellexlem3  43015  pellexlem4  43016  pellexlem5  43017  eltrclrec  43863  brtrclrec  43879  iunrelexpmin1  43891  trclrelexplem  43894  dftrcl3  43903  fvtrcllb1d  43905  trclfvcom  43906  cnvtrclfv  43907  cotrcltrcl  43908  trclimalb2  43909  trclfvdecomr  43911  dfrtrcl4  43921  corcltrcl  43922  cotrclrcl  43925  hashnzfzclim  44505  dvradcnv2  44530  binomcxplemcvg  44537  binomcxplemdvsum  44538  binomcxplemnotnn0  44539  ssnnf1octb  45380  clim1fr1  45789  divcnvg  45815  limsup10ex  45959  liminf10ex  45960  wallispilem5  46255  wallispi  46256  stirlinglem1  46260  stirlinglem8  46267  stirlinglem14  46273  stirlinglem15  46274  fourierdlem103  46395  fourierdlem104  46396  fourierdlem112  46404  subsaliuncllem  46543  subsaliuncl  46544  nnfoctbdjlem  46641  nnfoctbdj  46642  ismeannd  46653  voliunsge0lem  46658  caratheodorylem2  46713  isomenndlem  46716  hoicvrrex  46742  ovnsupge0  46743  ovnlecvr  46744  ovn0lem  46751  ovnsubaddlem1  46756  ovnsubadd  46758  sge0hsphoire  46775  hoidmv1lelem1  46777  hoidmv1lelem2  46778  hoidmv1lelem3  46779  hoidmv1le  46780  hoidmvlelem1  46781  hoidmvlelem2  46782  hoidmvlelem3  46783  hoidmvlelem4  46784  hoidmvlelem5  46785  hoidmvle  46786  ovnhoilem1  46787  ovnhoilem2  46788  ovnlecvr2  46796  hspmbllem2  46813  ovolval2lem  46829  ovnsubadd2lem  46831  ovolval4lem2  46836  ovolval5lem1  46838  ovolval5lem2  46839  ovnovollem1  46842  ovnovollem2  46843  vonioolem1  46866  smflimlem6  46962  smfresal  46974  fsupdm  47028  smfsupdmmbllem  47030  finfdm  47032  smfinfdmmbllem  47034  nthrucw  47072  nnsgrpmgm  48364  nnsgrp  48365  nnsgrpnmnd  48366