Theorem nnex 12234

Description: The set of positive integers exists. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnex	⊢ ℕ ∈ V

Proof of Theorem nnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11176	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		nnsscn 12233	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
3	1, 2	ssexi 5293	1 ⊢ ℕ ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ℂcc 11093  ℕcn 12228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-1cn 11153  ax-addcl 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-nn 12229

This theorem is referenced by:  dfnn2  12241  nn0ex  12505  nn0ennn  14011  facmapnn  14317  isercolllem2  15713  supcvg  15906  trireciplem  15912  expcnv  15914  geo2lim  15925  qnnen  16264  rpnnen2lem1  16265  rpnnen2lem2  16266  rpnnen  16278  rucALT  16281  prmex  16730  unbenlem  16963  vdwapfval  17026  vdwapf  17027  vdwlem6  17041  vdwlem7  17042  vdwlem8  17043  vdwlem11  17046  prmgaplcm  17115  prmgapprmo  17117  ndxarg  17251  ex-chn2  18689  odfval  19597  odval  19599  gexval  19643  pnrmopn  23500  1stcfb  23602  hausmapdom  23657  met1stc  24678  met2ndci  24679  rectbntr0  24990  metcld2  25466  elovolmlem  25633  ovolctb  25649  ovol0  25652  mbfimaopnlem  25814  itg1climres  25873  mbfi1fseqlem6  25879  mbfi1flimlem  25881  mbfmullem2  25883  itg2monolem1  25909  itg2addlem  25917  plyeq0lem  26367  leibpi  27107  dfef2  27135  emcllem4  27163  emcllem6  27165  emcllem7  27166  lgamgulmlem6  27198  lgamcvg2  27219  basellem6  27250  basellem7  27251  basellem8  27252  basellem9  27253  dchrisumlem3  27655  dirith2  27692  nmounbseqiALT  31130  nmobndseqiALT  31132  h2hcau  31331  h2hlm  31332  hcau  31536  hlimi  31540  hlimadd  31545  hhcms  31555  isch2  31575  chlimi  31586  hlim0  31587  hhsscms  31630  padct  33063  smatfval  34185  lmdvg  34343  esumfsup  34460  esumpcvgval  34468  esumcvg  34476  sigapildsys  34552  measiun  34608  voliune  34619  omssubadd  34690  carsggect  34708  carsgclctunlem2  34709  eulerpartlems  34750  eulerpartleme  34753  eulerpartlem1  34757  eulerpartlemb  34758  eulerpartlemt  34761  eulerpartgbij  34762  eulerpartlemr  34764  eulerpartlemmf  34765  eulerpartlemgvv  34766  eulerpartlemgf  34769  eulerpartlemgs2  34770  eulerpartlemn  34771  reprval  34997  repr0  34998  reprsuc  35002  reprss  35004  reprinrn  35005  reprlt  35006  hashreprin  35007  reprinfz1  35009  reprpmtf1o  35013  reprdifc  35014  breprexplemb  35018  breprexpnat  35021  vtsval  35024  circlemethnat  35028  circlevma  35029  circlemethhgt  35030  sinccvglem  36164  circum  36166  divcnvlin  36225  faclimlem2  36236  faclim2  36240  colinearex  36552  bj-ndxarg  37719  poimirlem32  38303  voliunnfl  38315  volsupnfl  38316  lmclim2  38409  geomcau  38410  rrncmslem  38483  fisdomnn  43012  eldioph3b  43496  lzenom  43501  diophin  43503  diophun  43504  pellexlem3  43558  pellexlem4  43559  pellexlem5  43560  eltrclrec  44406  brtrclrec  44422  iunrelexpmin1  44434  trclrelexplem  44437  dftrcl3  44446  fvtrcllb1d  44448  trclfvcom  44449  cnvtrclfv  44450  cotrcltrcl  44451  trclimalb2  44452  trclfvdecomr  44454  dfrtrcl4  44464  corcltrcl  44465  cotrclrcl  44468  hashnzfzclim  45032  dvradcnv2  45057  binomcxplemcvg  45064  binomcxplemdvsum  45065  binomcxplemnotnn0  45066  ssnnf1octb  45912  clim1fr1  46317  divcnvg  46343  limsup10ex  46487  liminf10ex  46488  wallispilem5  46783  wallispi  46784  stirlinglem1  46788  stirlinglem8  46795  stirlinglem14  46801  stirlinglem15  46802  fourierdlem103  46923  fourierdlem104  46924  fourierdlem112  46932  subsaliuncllem  47071  subsaliuncl  47072  nnfoctbdjlem  47169  nnfoctbdj  47170  ismeannd  47181  voliunsge0lem  47186  caratheodorylem2  47241  isomenndlem  47244  hoicvrrex  47270  ovnsupge0  47271  ovnlecvr  47272  ovn0lem  47279  ovnsubaddlem1  47284  ovnsubadd  47286  sge0hsphoire  47303  hoidmv1lelem1  47305  hoidmv1lelem2  47306  hoidmv1lelem3  47307  hoidmv1le  47308  hoidmvlelem1  47309  hoidmvlelem2  47310  hoidmvlelem3  47311  hoidmvlelem4  47312  hoidmvlelem5  47313  hoidmvle  47314  ovnhoilem1  47315  ovnhoilem2  47316  ovnlecvr2  47324  hspmbllem2  47341  ovolval2lem  47357  ovnsubadd2lem  47359  ovolval4lem2  47364  ovolval5lem1  47366  ovolval5lem2  47367  ovnovollem1  47370  ovnovollem2  47371  vonioolem1  47394  smflimlem6  47490  smfresal  47502  fsupdm  47556  smfsupdmmbllem  47558  finfdm  47560  smfinfdmmbllem  47562  nthrucw  47607  nnsgrpmgm  48941  nnsgrp  48942  nnsgrpnmnd  48943