Theorem nnex 12238

Description: The set of positive integers exists. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnex	⊢ ℕ ∈ V

Proof of Theorem nnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11180	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		nnsscn 12237	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
3	1, 2	ssexi 5293	1 ⊢ ℕ ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  ℂcc 11097  ℕcn 12232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-1cn 11157  ax-addcl 11159

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-nn 12233

This theorem is referenced by:  dfnn2  12245  nn0ex  12509  nn0ennn  14014  facmapnn  14320  isercolllem2  15716  supcvg  15909  trireciplem  15915  expcnv  15917  geo2lim  15928  qnnen  16268  rpnnen2lem1  16269  rpnnen2lem2  16270  rpnnen  16282  rucALT  16285  prmex  16734  unbenlem  16967  vdwapfval  17030  vdwapf  17031  vdwlem6  17045  vdwlem7  17046  vdwlem8  17047  vdwlem11  17050  prmgaplcm  17119  prmgapprmo  17121  ndxarg  17255  ex-chn2  18693  odfval  19601  odval  19603  gexval  19647  pnrmopn  23468  1stcfb  23570  hausmapdom  23625  met1stc  24646  met2ndci  24647  rectbntr0  24958  metcld2  25434  elovolmlem  25601  ovolctb  25617  ovol0  25620  mbfimaopnlem  25782  itg1climres  25841  mbfi1fseqlem6  25847  mbfi1flimlem  25849  mbfmullem2  25851  itg2monolem1  25877  itg2addlem  25885  plyeq0lem  26335  leibpi  27072  dfef2  27100  emcllem4  27128  emcllem6  27130  emcllem7  27131  lgamgulmlem6  27163  lgamcvg2  27184  basellem6  27215  basellem7  27216  basellem8  27217  basellem9  27218  dchrisumlem3  27620  dirith2  27657  nmounbseqiALT  31070  nmobndseqiALT  31072  h2hcau  31271  h2hlm  31272  hcau  31476  hlimi  31480  hlimadd  31485  hhcms  31495  isch2  31515  chlimi  31526  hlim0  31527  hhsscms  31570  padct  33003  smatfval  34129  lmdvg  34287  esumfsup  34404  esumpcvgval  34412  esumcvg  34420  sigapildsys  34496  measiun  34552  voliune  34563  omssubadd  34634  carsggect  34652  carsgclctunlem2  34653  eulerpartlems  34694  eulerpartleme  34697  eulerpartlem1  34701  eulerpartlemb  34702  eulerpartlemt  34705  eulerpartgbij  34706  eulerpartlemr  34708  eulerpartlemmf  34709  eulerpartlemgvv  34710  eulerpartlemgf  34713  eulerpartlemgs2  34714  eulerpartlemn  34715  reprval  34941  repr0  34942  reprsuc  34946  reprss  34948  reprinrn  34949  reprlt  34950  hashreprin  34951  reprinfz1  34953  reprpmtf1o  34957  reprdifc  34958  breprexplemb  34962  breprexpnat  34965  vtsval  34968  circlemethnat  34972  circlevma  34973  circlemethhgt  34974  sinccvglem  36062  circum  36064  divcnvlin  36123  faclimlem2  36134  faclim2  36138  colinearex  36450  bj-ndxarg  37606  poimirlem32  38190  voliunnfl  38202  volsupnfl  38203  lmclim2  38296  geomcau  38297  rrncmslem  38370  fisdomnn  42901  eldioph3b  43387  lzenom  43392  diophin  43394  diophun  43395  pellexlem3  43449  pellexlem4  43450  pellexlem5  43451  eltrclrec  44297  brtrclrec  44313  iunrelexpmin1  44325  trclrelexplem  44328  dftrcl3  44337  fvtrcllb1d  44339  trclfvcom  44340  cnvtrclfv  44341  cotrcltrcl  44342  trclimalb2  44343  trclfvdecomr  44345  dfrtrcl4  44355  corcltrcl  44356  cotrclrcl  44359  hashnzfzclim  44923  dvradcnv2  44948  binomcxplemcvg  44955  binomcxplemdvsum  44956  binomcxplemnotnn0  44957  ssnnf1octb  45803  clim1fr1  46208  divcnvg  46234  limsup10ex  46378  liminf10ex  46379  wallispilem5  46674  wallispi  46675  stirlinglem1  46679  stirlinglem8  46686  stirlinglem14  46692  stirlinglem15  46693  fourierdlem103  46814  fourierdlem104  46815  fourierdlem112  46823  subsaliuncllem  46962  subsaliuncl  46963  nnfoctbdjlem  47060  nnfoctbdj  47061  ismeannd  47072  voliunsge0lem  47077  caratheodorylem2  47132  isomenndlem  47135  hoicvrrex  47161  ovnsupge0  47162  ovnlecvr  47163  ovn0lem  47170  ovnsubaddlem1  47175  ovnsubadd  47177  sge0hsphoire  47194  hoidmv1lelem1  47196  hoidmv1lelem2  47197  hoidmv1lelem3  47198  hoidmv1le  47199  hoidmvlelem1  47200  hoidmvlelem2  47201  hoidmvlelem3  47202  hoidmvlelem4  47203  hoidmvlelem5  47204  hoidmvle  47205  ovnhoilem1  47206  ovnhoilem2  47207  ovnlecvr2  47215  hspmbllem2  47232  ovolval2lem  47248  ovnsubadd2lem  47250  ovolval4lem2  47255  ovolval5lem1  47257  ovolval5lem2  47258  ovnovollem1  47261  ovnovollem2  47262  vonioolem1  47285  smflimlem6  47381  smfresal  47393  fsupdm  47447  smfsupdmmbllem  47449  finfdm  47451  smfinfdmmbllem  47453  nthrucw  47493  nnsgrpmgm  48829  nnsgrp  48830  nnsgrpnmnd  48831