Theorem nnex 12263

Description: The set of positive integers exists. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnex	⊢ ℕ ∈ V

Proof of Theorem nnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11205	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		nnsscn 12262	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
3	1, 2	ssexi 5287	1 ⊢ ℕ ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ℂcc 11122  ℕcn 12257

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-1cn 11182  ax-addcl 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-nn 12258

This theorem is used by:  dfnn2  12270  nn0ex  12534  nn0ennn  14043  facmapnn  14349  isercolllem2  15753  supcvg  15945  trireciplem  15951  expcnv  15953  geo2lim  15964  qnnen  16301  rpnnen2lem1  16302  rpnnen2lem2  16303  rpnnen  16315  rucALT  16318  prmex  16767  unbenlem  17000  vdwapfval  17063  vdwapf  17064  vdwlem6  17078  vdwlem7  17079  vdwlem8  17080  vdwlem11  17083  prmgaplcm  17152  prmgapprmo  17154  ndxarg  17288  ex-chn2  18726  odfval  19659  odval  19661  gexval  19705  pnrmopn  23568  1stcfb  23670  hausmapdom  23726  met1stc  24747  met2ndci  24748  rectbntr0  25059  metcld2  25535  elovolmlem  25702  ovolctb  25718  ovol0  25721  mbfimaopnlem  25883  itg1climres  25942  mbfi1fseqlem6  25948  mbfi1flimlem  25950  mbfmullem2  25952  itg2monolem1  25978  itg2addlem  25986  plyeq0lem  26436  leibpi  27179  dfef2  27207  emcllem4  27235  emcllem6  27237  emcllem7  27238  lgamgulmlem6  27270  lgamcvg2  27291  basellem6  27322  basellem7  27323  basellem8  27324  basellem9  27325  dchrisumlem3  27727  dirith2  27764  nmounbseqiALT  31259  nmobndseqiALT  31261  h2hcau  31460  h2hlm  31461  hcau  31665  hlimi  31669  hlimadd  31674  hhcms  31684  isch2  31704  chlimi  31715  hlim0  31716  hhsscms  31759  padct  33189  smatfval  34305  lmdvg  34463  esumfsup  34580  esumpcvgval  34588  esumcvg  34596  sigapildsys  34673  measiun  34729  voliune  34740  omssubadd  34811  carsggect  34829  carsgclctunlem2  34830  eulerpartlems  34871  eulerpartleme  34874  eulerpartlem1  34878  eulerpartlemb  34879  eulerpartlemt  34882  eulerpartgbij  34883  eulerpartlemr  34885  eulerpartlemmf  34886  eulerpartlemgvv  34887  eulerpartlemgf  34890  eulerpartlemgs2  34891  eulerpartlemn  34892  reprval  35118  repr0  35119  reprsuc  35123  reprss  35125  reprinrn  35126  reprlt  35127  hashreprin  35128  reprinfz1  35130  reprpmtf1o  35134  reprdifc  35135  breprexplemb  35139  breprexpnat  35142  vtsval  35145  circlemethnat  35149  circlevma  35150  circlemethhgt  35151  sinccvglem  36251  circum  36253  divcnvlin  36312  faclimlem2  36323  faclim2  36327  colinearex  36640  bj-ndxarg  37827  poimirlem32  38401  voliunnfl  38413  volsupnfl  38414  lmclim2  38508  geomcau  38509  rrncmslem  38582  fisdomnn  43111  eldioph3b  43610  lzenom  43615  diophin  43617  diophun  43618  pellexlem3  43672  pellexlem4  43673  pellexlem5  43674  eltrclrec  44520  brtrclrec  44536  iunrelexpmin1  44548  trclrelexplem  44551  dftrcl3  44560  fvtrcllb1d  44562  trclfvcom  44563  cnvtrclfv  44564  cotrcltrcl  44565  trclimalb2  44566  trclfvdecomr  44568  dfrtrcl4  44578  corcltrcl  44579  cotrclrcl  44582  hashnzfzclim  45146  dvradcnv2  45171  binomcxplemcvg  45178  binomcxplemdvsum  45179  binomcxplemnotnn0  45180  ssnnf1octb  46026  clim1fr1  46431  divcnvg  46457  limsup10ex  46601  liminf10ex  46602  wallispilem5  46897  wallispi  46898  stirlinglem1  46902  stirlinglem8  46909  stirlinglem14  46915  stirlinglem15  46916  fourierdlem103  47037  fourierdlem104  47038  fourierdlem112  47046  subsaliuncllem  47185  nnfoctbdjlem  47283  nnfoctbdj  47284  ismeannd  47295  voliunsge0lem  47300  caratheodorylem2  47355  isomenndlem  47358  hoicvrrex  47384  ovnsupge0  47385  ovnlecvr  47386  ovn0lem  47393  ovnsubaddlem1  47398  ovnsubadd  47400  sge0hsphoire  47417  hoidmv1lelem1  47419  hoidmv1lelem2  47420  hoidmv1lelem3  47421  hoidmv1le  47422  hoidmvlelem1  47423  hoidmvlelem2  47424  hoidmvlelem3  47425  hoidmvlelem4  47426  hoidmvlelem5  47427  hoidmvle  47428  ovnhoilem1  47429  ovnhoilem2  47430  ovnlecvr2  47438  hspmbllem2  47455  ovolval2lem  47471  ovnsubadd2lem  47473  ovolval4lem2  47478  ovolval5lem1  47480  ovolval5lem2  47481  ovnovollem1  47484  ovnovollem2  47485  vonioolem1  47508  smfresal  47616  fsupdm  47670  smfsupdmmbllem  47672  finfdm  47674  smfinfdmmbllem  47676  numtowerdt  47734  nnsgrpmgm  49091  nnsgrp  49092  nnsgrpnmnd  49093