Theorem nnex 12348

Description: The set of positive integers exists. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnex	⊢ ℕ ∈ V

Proof of Theorem nnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11288	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		nnsscn 12347	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
3	1, 2	ssexi 5284	1 ⊢ ℕ ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ℂcc 11205  ℕcn 12342

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-1cn 11265  ax-addcl 11267

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-nn 12343

This theorem is used by:  dfnn2  12355  nn0ex  12619  nn0ennn  14129  facmapnn  14436  isercolllem2  15842  supcvg  16034  trireciplem  16040  expcnv  16042  geo2lim  16053  qnnen  16390  rpnnen2lem1  16391  rpnnen2lem2  16392  rpnnen  16404  rucALT  16407  prmex  16861  unbenlem  17095  vdwapfval  17158  vdwapf  17159  vdwlem6  17173  vdwlem7  17174  vdwlem8  17175  vdwlem11  17178  prmgaplcm  17247  prmgapprmo  17249  ndxarg  17383  ex-chn2  18821  odfval  19755  odval  19757  gexval  19801  pnrmopn  23670  1stcfb  23772  hausmapdom  23828  met1stc  24849  met2ndci  24850  rectbntr0  25161  metcld2  25637  elovolmlem  25804  ovolctb  25820  ovol0  25823  mbfimaopnlem  25985  itg1climres  26044  mbfi1fseqlem6  26050  mbfi1flimlem  26052  mbfmullem2  26054  itg2monolem1  26080  itg2addlem  26088  plyeq0lem  26538  leibpi  27279  dfef2  27307  emcllem4  27335  emcllem6  27337  emcllem7  27338  lgamgulmlem6  27370  lgamcvg2  27391  basellem6  27422  basellem7  27423  basellem8  27424  basellem9  27425  dchrisumlem3  27827  dirith2  27864  nmounbseqiALT  31389  nmobndseqiALT  31391  h2hcau  31590  h2hlm  31591  hcau  31795  hlimi  31799  hlimadd  31804  hhcms  31814  isch2  31834  chlimi  31845  hlim0  31846  hhsscms  31889  padct  33361  smatfval  34477  lmdvg  34635  esumfsup  34752  esumpcvgval  34760  esumcvg  34768  sigapildsys  34845  measiun  34901  voliune  34912  omssubadd  34982  carsggect  35000  carsgclctunlem2  35001  eulerpartlems  35042  eulerpartleme  35045  eulerpartlem1  35049  eulerpartlemb  35050  eulerpartlemt  35053  eulerpartgbij  35054  eulerpartlemr  35056  eulerpartlemmf  35057  eulerpartlemgvv  35058  eulerpartlemgf  35061  eulerpartlemgs2  35062  eulerpartlemn  35063  reprval  35289  repr0  35290  reprsuc  35294  reprss  35296  reprinrn  35297  reprlt  35298  hashreprin  35299  reprinfz1  35301  reprpmtf1o  35305  reprdifc  35306  breprexplemb  35310  breprexpnat  35313  vtsval  35316  circlemethnat  35320  circlevma  35321  circlemethhgt  35322  sinccvglem  36527  circum  36529  divcnvlin  36594  faclimlem2  36605  faclim2  36609  colinearex  36921  bj-ndxarg  38106  poimirlem32  38679  voliunnfl  38691  volsupnfl  38692  dfproplem  38750  lmclim2  38801  geomcau  38802  rrncmslem  38875  fisdomnn  43404  eldioph3b  43885  lzenom  43890  diophin  43892  diophun  43893  pellexlem3  43947  pellexlem4  43948  pellexlem5  43949  eltrclrec  44789  brtrclrec  44805  iunrelexpmin1  44817  trclrelexplem  44820  dftrcl3  44829  fvtrcllb1d  44831  trclfvcom  44832  cnvtrclfv  44833  cotrcltrcl  44834  trclimalb2  44835  trclfvdecomr  44837  dfrtrcl4  44847  corcltrcl  44848  cotrclrcl  44851  hashnzfzclim  45415  dvradcnv2  45440  binomcxplemcvg  45447  binomcxplemdvsum  45448  binomcxplemnotnn0  45449  ssnnf1octb  46317  clim1fr1  46721  divcnvg  46747  limsup10ex  46891  liminf10ex  46892  wallispilem5  47187  wallispi  47188  stirlinglem1  47192  stirlinglem8  47199  stirlinglem14  47205  stirlinglem15  47206  fourierdlem103  47327  fourierdlem104  47328  fourierdlem112  47336  subsaliuncllem  47475  nnfoctbdjlem  47573  nnfoctbdj  47574  ismeannd  47585  voliunsge0lem  47590  caratheodorylem2  47645  isomenndlem  47648  hoicvrrex  47674  ovnsupge0  47675  ovnlecvr  47676  ovn0lem  47683  ovnsubaddlem1  47688  ovnsubadd  47690  sge0hsphoire  47707  hoidmv1lelem1  47709  hoidmv1lelem2  47710  hoidmv1lelem3  47711  hoidmv1le  47712  hoidmvlelem1  47713  hoidmvlelem2  47714  hoidmvlelem3  47715  hoidmvlelem4  47716  hoidmvlelem5  47717  hoidmvle  47718  ovnhoilem1  47719  ovnhoilem2  47720  ovnlecvr2  47728  hspmbllem2  47745  ovolval2lem  47761  ovnsubadd2lem  47763  ovolval4lem2  47768  ovolval5lem1  47770  ovolval5lem2  47771  ovnovollem1  47774  ovnovollem2  47775  vonioolem1  47798  smfresal  47906  fsupdm  47960  smfsupdmmbllem  47962  finfdm  47964  smfinfdmmbllem  47966  numtowerdt  48024  nnsgrpmgm  49381  nnsgrp  49382  nnsgrpnmnd  49383