Theorem nnex 12192

Description: The set of positive integers exists. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnex	⊢ ℕ ∈ V

Proof of Theorem nnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11149	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		nnsscn 12191	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
3	1, 2	ssexi 5277	1 ⊢ ℕ ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447  ℂcc 11066  ℕcn 12186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-1cn 11126  ax-addcl 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-nn 12187

This theorem is referenced by:  dfnn2  12199  nn0ex  12448  nn0ennn  13944  facmapnn  14250  isercolllem2  15632  supcvg  15822  trireciplem  15828  expcnv  15830  geo2lim  15841  qnnen  16181  rpnnen2lem1  16182  rpnnen2lem2  16183  rpnnen  16195  rucALT  16198  prmex  16647  unbenlem  16879  vdwapfval  16942  vdwapf  16943  vdwlem6  16957  vdwlem7  16958  vdwlem8  16959  vdwlem11  16962  prmgaplcm  17031  prmgapprmo  17033  ndxarg  17166  odfval  19462  odval  19464  gexval  19508  pnrmopn  23230  1stcfb  23332  hausmapdom  23387  met1stc  24409  met2ndci  24410  rectbntr0  24721  metcld2  25207  elovolmlem  25375  ovolctb  25391  ovol0  25394  mbfimaopnlem  25556  itg1climres  25615  mbfi1fseqlem6  25621  mbfi1flimlem  25623  mbfmullem2  25625  itg2monolem1  25651  itg2addlem  25659  plyeq0lem  26115  leibpi  26852  dfef2  26881  emcllem4  26909  emcllem6  26911  emcllem7  26912  lgamgulmlem6  26944  lgamcvg2  26965  basellem6  26996  basellem7  26997  basellem8  26998  basellem9  26999  dchrisumlem3  27402  dirith2  27439  nmounbseqiALT  30707  nmobndseqiALT  30709  h2hcau  30908  h2hlm  30909  hcau  31113  hlimi  31117  hlimadd  31122  hhcms  31132  isch2  31152  chlimi  31163  hlim0  31164  hhsscms  31207  padct  32643  smatfval  33785  lmdvg  33943  esumfsup  34060  esumpcvgval  34068  esumcvg  34076  sigapildsys  34152  measiun  34208  voliune  34219  omssubadd  34291  carsggect  34309  carsgclctunlem2  34310  eulerpartlems  34351  eulerpartleme  34354  eulerpartlem1  34358  eulerpartlemb  34359  eulerpartlemt  34362  eulerpartgbij  34363  eulerpartlemr  34365  eulerpartlemmf  34366  eulerpartlemgvv  34367  eulerpartlemgf  34370  eulerpartlemgs2  34371  eulerpartlemn  34372  reprval  34601  repr0  34602  reprsuc  34606  reprss  34608  reprinrn  34609  reprlt  34610  hashreprin  34611  reprinfz1  34613  reprpmtf1o  34617  reprdifc  34618  breprexplemb  34622  breprexpnat  34625  vtsval  34628  circlemethnat  34632  circlevma  34633  circlemethhgt  34634  sinccvglem  35659  circum  35661  divcnvlin  35720  faclimlem2  35731  faclim2  35735  colinearex  36048  bj-ndxarg  37065  poimirlem32  37646  voliunnfl  37658  volsupnfl  37659  lmclim2  37752  geomcau  37753  rrncmslem  37826  fisdomnn  42232  eldioph3b  42753  lzenom  42758  diophin  42760  diophun  42761  pellexlem3  42819  pellexlem4  42820  pellexlem5  42821  eltrclrec  43669  brtrclrec  43685  iunrelexpmin1  43697  trclrelexplem  43700  dftrcl3  43709  fvtrcllb1d  43711  trclfvcom  43712  cnvtrclfv  43713  cotrcltrcl  43714  trclimalb2  43715  trclfvdecomr  43717  dfrtrcl4  43727  corcltrcl  43728  cotrclrcl  43731  hashnzfzclim  44311  dvradcnv2  44336  binomcxplemcvg  44343  binomcxplemdvsum  44344  binomcxplemnotnn0  44345  ssnnf1octb  45188  clim1fr1  45599  divcnvg  45625  limsup10ex  45771  liminf10ex  45772  wallispilem5  46067  wallispi  46068  stirlinglem1  46072  stirlinglem8  46079  stirlinglem14  46085  stirlinglem15  46086  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  fourierdlem112  46216  subsaliuncllem  46355  subsaliuncl  46356  nnfoctbdjlem  46453  nnfoctbdj  46454  ismeannd  46465  voliunsge0lem  46470  caratheodorylem2  46525  isomenndlem  46528  hoicvrrex  46554  ovnsupge0  46555  ovnlecvr  46556  ovn0lem  46563  ovnsubaddlem1  46568  ovnsubadd  46570  sge0hsphoire  46587  hoidmv1lelem1  46589  hoidmv1lelem2  46590  hoidmv1lelem3  46591  hoidmv1le  46592  hoidmvlelem1  46593  hoidmvlelem2  46594  hoidmvlelem3  46595  hoidmvlelem4  46596  hoidmvlelem5  46597  hoidmvle  46598  ovnhoilem1  46599  ovnhoilem2  46600  ovnlecvr2  46608  hspmbllem2  46625  ovolval2lem  46641  ovnsubadd2lem  46643  ovolval4lem2  46648  ovolval5lem1  46650  ovolval5lem2  46651  ovnovollem1  46654  ovnovollem2  46655  vonioolem1  46678  smflimlem6  46774  smfresal  46786  fsupdm  46840  smfsupdmmbllem  46842  finfdm  46844  smfinfdmmbllem  46846  nnsgrpmgm  48164  nnsgrp  48165  nnsgrpnmnd  48166