Theorem nnex 11977

Description: The set of positive integers exists. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnex	⊢ ℕ ∈ V

Proof of Theorem nnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 10950	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		nnsscn 11976	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
3	1, 2	ssexi 5248	1 ⊢ ℕ ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  Vcvv 3431  ℂcc 10867  ℕcn 11971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-cnex 10925  ax-1cn 10927  ax-addcl 10929

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-ov 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-nn 11972

This theorem is referenced by:  dfnn2  11984  nn0ex  12237  nn0ennn  13697  facmapnn  13997  isercolllem2  15375  supcvg  15566  trireciplem  15572  expcnv  15574  geo2lim  15585  qnnen  15920  rpnnen2lem1  15921  rpnnen2lem2  15922  rpnnen  15934  rucALT  15937  prmex  16380  unbenlem  16607  vdwapfval  16670  vdwapf  16671  vdwlem6  16685  vdwlem7  16686  vdwlem8  16687  vdwlem11  16690  prmgaplcm  16759  prmgapprmo  16761  ndxarg  16895  odfval  19138  odval  19140  gexval  19181  pnrmopn  22492  1stcfb  22594  hausmapdom  22649  met1stc  23675  met2ndci  23676  rectbntr0  23993  metcld2  24469  elovolmlem  24636  ovolctb  24652  ovol0  24655  mbfimaopnlem  24817  itg1climres  24877  mbfi1fseqlem6  24883  mbfi1flimlem  24885  mbfmullem2  24887  itg2monolem1  24913  itg2addlem  24921  plyeq0lem  25369  leibpi  26090  dfef2  26118  emcllem4  26146  emcllem6  26148  emcllem7  26149  lgamgulmlem6  26181  lgamcvg2  26202  basellem6  26233  basellem7  26234  basellem8  26235  basellem9  26236  dchrisumlem3  26637  dirith2  26674  nmounbseqiALT  29137  nmobndseqiALT  29139  h2hcau  29338  h2hlm  29339  hcau  29543  hlimi  29547  hlimadd  29552  hhcms  29562  isch2  29582  chlimi  29593  hlim0  29594  hhsscms  29637  padct  31051  smatfval  31742  lmdvg  31900  esumfsup  32035  esumpcvgval  32043  esumcvg  32051  sigapildsys  32127  measiun  32183  voliune  32194  omssubadd  32264  carsggect  32282  carsgclctunlem2  32283  eulerpartlems  32324  eulerpartleme  32327  eulerpartlem1  32331  eulerpartlemb  32332  eulerpartlemt  32335  eulerpartgbij  32336  eulerpartlemr  32338  eulerpartlemmf  32339  eulerpartlemgvv  32340  eulerpartlemgf  32343  eulerpartlemgs2  32344  eulerpartlemn  32345  reprval  32587  repr0  32588  reprsuc  32592  reprss  32594  reprinrn  32595  reprlt  32596  hashreprin  32597  reprinfz1  32599  reprpmtf1o  32603  reprdifc  32604  breprexplemb  32608  breprexpnat  32611  vtsval  32614  circlemethnat  32618  circlevma  32619  circlemethhgt  32620  sinccvglem  33627  circum  33629  divcnvlin  33695  faclimlem2  33707  faclim2  33711  colinearex  34359  bj-ndxarg  35245  poimirlem32  35806  voliunnfl  35818  volsupnfl  35819  lmclim2  35913  geomcau  35914  rrncmslem  35987  eldioph3b  40584  lzenom  40589  diophin  40591  diophun  40592  pellexlem3  40650  pellexlem4  40651  pellexlem5  40652  eltrclrec  41258  brtrclrec  41274  iunrelexpmin1  41286  trclrelexplem  41289  dftrcl3  41298  fvtrcllb1d  41300  trclfvcom  41301  cnvtrclfv  41302  cotrcltrcl  41303  trclimalb2  41304  trclfvdecomr  41306  dfrtrcl4  41316  corcltrcl  41317  cotrclrcl  41320  hashnzfzclim  41910  dvradcnv2  41935  binomcxplemcvg  41942  binomcxplemdvsum  41943  binomcxplemnotnn0  41944  ssnnf1octb  42703  clim1fr1  43112  divcnvg  43138  limsup10ex  43284  liminf10ex  43285  wallispilem5  43580  wallispi  43581  stirlinglem1  43585  stirlinglem8  43592  stirlinglem14  43598  stirlinglem15  43599  fourierdlem103  43720  fourierdlem104  43721  fourierdlem112  43729  subsaliuncllem  43866  subsaliuncl  43867  nnfoctbdjlem  43963  nnfoctbdj  43964  ismeannd  43975  voliunsge0lem  43980  caratheodorylem2  44035  isomenndlem  44038  hoicvrrex  44064  ovnsupge0  44065  ovnlecvr  44066  ovn0lem  44073  ovnsubaddlem1  44078  ovnsubadd  44080  sge0hsphoire  44097  hoidmv1lelem1  44099  hoidmv1lelem2  44100  hoidmv1lelem3  44101  hoidmv1le  44102  hoidmvlelem1  44103  hoidmvlelem2  44104  hoidmvlelem3  44105  hoidmvlelem4  44106  hoidmvlelem5  44107  hoidmvle  44108  ovnhoilem1  44109  ovnhoilem2  44110  ovnlecvr2  44118  hspmbllem2  44135  ovolval2lem  44151  ovnsubadd2lem  44153  ovolval4lem2  44158  ovolval5lem1  44160  ovolval5lem2  44161  ovnovollem1  44164  ovnovollem2  44165  vonioolem1  44188  smflimlem6  44278  smfresal  44289  nnsgrpmgm  45337  nnsgrp  45338  nnsgrpnmnd  45339