Theorem cardnn 10081

Description: The cardinality of a natural number is the number. Corollary 10.23 of [TakeutiZaring] p. 90. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardnn	⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem cardnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7917	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		onenon 10067	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
3		cardid2 10071	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
4	1, 2, 3	3syl 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
5		nnfi 9221	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
6		ficardom 10079	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) ∈ ω)
8		nneneq 9259	. . 3 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((card‘𝐴) ≈ 𝐴 ↔ (card‘𝐴) = 𝐴))
9	7, 8	mpancom 701	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((card‘𝐴) ≈ 𝐴 ↔ (card‘𝐴) = 𝐴))
10	4, 9	mpbid 235	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  dom cdm 5658  Oncon0 6388  ‘cfv 6566  ωcom 7911   ≈ cen 9008  Fincfn 9011  cardccrd 10053

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-om 7912  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057

This theorem is used by:  card1  10086  cardennn  10103  cardsucnn  10105  nnsdomel  10110  pm54.43lem  10120  iscard3  10211  nnadju  10315  nnadjuALT  10316  ficardun  10318  ficardun2  10319  pwsdompw  10320  ackbij2  10359  sdom2en01  10419  fin23lem22  10444  fin1a2lem9  10525  ficard  10688  cfpwsdom  10708  cardfz  14153  hashgval2  14563  hashdom  14564