Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cardnn 9390
 Description: The cardinality of a natural number is the number. Corollary 10.23 of [TakeutiZaring] p. 90. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
cardnn (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem cardnn
StepHypRef Expression
1 nnon 7581 . . 3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2 onenon 9376 . . 3 (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
3 cardid2 9380 . . 3 (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
41, 2, 33syl 18 . 2 (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
5 nnfi 8710 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
6 ficardom 9388 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
75, 6syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) ∈ ω)
8 nneneq 8698 . . 3 (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((card‘𝐴) ≈ 𝐴 ↔ (card‘𝐴) = 𝐴))
97, 8mpancom 687 . 2 (𝐴 ∈ ω → ((card‘𝐴) ≈ 𝐴 ↔ (card‘𝐴) = 𝐴))
104, 9mpbid 235 1 (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   class class class wbr 5053  dom cdm 5543  Oncon0 6179  ‘cfv 6344  ωcom 7575   ≈ cen 8503  Fincfn 8506  cardccrd 9362 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-om 7576  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-card 9366 This theorem is referenced by:  card1  9395  cardennn  9410  cardsucnn  9412  nnsdomel  9417  pm54.43lem  9427  iscard3  9518  nnadju  9622  ficardun  9623  ficardun2  9624  pwsdompw  9625  ackbij2  9664  sdom2en01  9723  fin23lem22  9748  fin1a2lem9  9829  ficard  9986  cfpwsdom  10005  cardfz  13345  hashgval2  13747  hashdom  13748
 Copyright terms: Public domain W3C validator