Theorem cardnn 9945

Description: The cardinality of a natural number is the number. Corollary 10.23 of [TakeutiZaring] p. 90. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardnn	⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem cardnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7864	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		onenon 9931	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
3		cardid2 9935	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
4	1, 2, 3	3syl 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
5		nnfi 9148	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
6		ficardom 9943	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) ∈ ω)
8		nneneq 9186	. . 3 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((card‘𝐴) ≈ 𝐴 ↔ (card‘𝐴) = 𝐴))
9	7, 8	mpancom 700	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((card‘𝐴) ≈ 𝐴 ↔ (card‘𝐴) = 𝐴))
10	4, 9	mpbid 235	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  dom cdm 5661  Oncon0 6360  ‘cfv 6536  ωcom 7858   ≈ cen 8936  Fincfn 8939  cardccrd 9917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7859  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921

This theorem is referenced by:  card1  9950  cardennn  9965  cardsucnn  9967  nnsdomel  9972  pm54.43lem  9982  iscard3  10073  nnadju  10177  nnadjuALT  10178  ficardun  10180  ficardun2  10181  pwsdompw  10182  ackbij2  10221  sdom2en01  10281  fin23lem22  10306  fin1a2lem9  10387  ficard  10544  cfpwsdom  10564  cardfz  14002  hashgval2  14410  hashdom  14411