Theorem cardnn 10051

Description: The cardinality of a natural number is the number. Corollary 10.23 of [TakeutiZaring] p. 90. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardnn	⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem cardnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7887	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		onenon 10037	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
3		cardid2 10041	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
4	1, 2, 3	3syl 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
5		nnfi 9191	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
6		ficardom 10049	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) ∈ ω)
8		nneneq 9229	. . 3 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((card‘𝐴) ≈ 𝐴 ↔ (card‘𝐴) = 𝐴))
9	7, 8	mpancom 701	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((card‘𝐴) ≈ 𝐴 ↔ (card‘𝐴) = 𝐴))
10	4, 9	mpbid 235	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  dom cdm 5651  Oncon0 6365  ‘cfv 6543  ωcom 7881   ≈ cen 8978  Fincfn 8981  cardccrd 10023

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7882  df-1o 8484  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-card 10027

This theorem is used by:  card1  10056  cardennn  10071  cardsucnn  10073  nnsdomel  10078  pm54.43lem  10088  iscard3  10179  nnadju  10283  nnadjuALT  10284  ficardun  10286  ficardun2  10287  pwsdompw  10288  ackbij2  10327  sdom2en01  10387  fin23lem22  10412  fin1a2lem9  10493  ficard  10656  cfpwsdom  10676  cardfz  14120  hashgval2  14529  hashdom  14530