Theorem cardnn 9948

Description: The cardinality of a natural number is the number. Corollary 10.23 of [TakeutiZaring] p. 90. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardnn	⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem cardnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7867	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		onenon 9934	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
3		cardid2 9938	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
4	1, 2, 3	3syl 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
5		nnfi 9151	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
6		ficardom 9946	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) ∈ ω)
8		nneneq 9189	. . 3 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((card‘𝐴) ≈ 𝐴 ↔ (card‘𝐴) = 𝐴))
9	7, 8	mpancom 700	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((card‘𝐴) ≈ 𝐴 ↔ (card‘𝐴) = 𝐴))
10	4, 9	mpbid 235	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  dom cdm 5662  Oncon0 6361  ‘cfv 6537  ωcom 7861   ≈ cen 8939  Fincfn 8942  cardccrd 9920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7862  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9924

This theorem is referenced by:  card1  9953  cardennn  9968  cardsucnn  9970  nnsdomel  9975  pm54.43lem  9985  iscard3  10076  nnadju  10180  nnadjuALT  10181  ficardun  10183  ficardun2  10184  pwsdompw  10185  ackbij2  10224  sdom2en01  10285  fin23lem22  10310  fin1a2lem9  10391  ficard  10548  cfpwsdom  10568  cardfz  14005  hashgval2  14413  hashdom  14414