Theorem cardnn 9960

Description: The cardinality of a natural number is the number. Corollary 10.23 of [TakeutiZaring] p. 90. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardnn	⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem cardnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7863	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		onenon 9946	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
3		cardid2 9950	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
5		nnfi 9169	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
6		ficardom 9958	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) ∈ ω)
8		nneneq 9211	. . 3 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((card‘𝐴) ≈ 𝐴 ↔ (card‘𝐴) = 𝐴))
9	7, 8	mpancom 686	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((card‘𝐴) ≈ 𝐴 ↔ (card‘𝐴) = 𝐴))
10	4, 9	mpbid 231	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  Oncon0 6364  ‘cfv 6543  ωcom 7857   ≈ cen 8938  Fincfn 8941  cardccrd 9932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7858  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936

This theorem is referenced by:  card1  9965  cardennn  9980  cardsucnn  9982  nnsdomel  9987  pm54.43lem  9997  iscard3  10090  nnadju  10194  nnadjuALT  10195  ficardun  10197  ficardunOLD  10198  ficardun2  10199  ficardun2OLD  10200  pwsdompw  10201  ackbij2  10240  sdom2en01  10299  fin23lem22  10324  fin1a2lem9  10405  ficard  10562  cfpwsdom  10581  cardfz  13939  hashgval2  14342  hashdom  14343