Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme0.u |
. . . . 5
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
2 | | simp1l 1198 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β πΎ β HL) |
3 | 2 | hllatd 37829 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β πΎ β Lat) |
4 | | simp2ll 1241 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β π β π΄) |
5 | | simp2rl 1243 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β π β π΄) |
6 | | eqid 2737 |
. . . . . . . 8
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
7 | | cdleme0.j |
. . . . . . . 8
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
8 | | cdleme0.a |
. . . . . . . 8
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
9 | 6, 7, 8 | hlatjcl 37832 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
10 | 2, 4, 5, 9 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
11 | | simp1r 1199 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β π β π») |
12 | | cdleme0.h |
. . . . . . . 8
β’ π» = (LHypβπΎ) |
13 | 6, 12 | lhpbase 38464 |
. . . . . . 7
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
14 | 11, 13 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β π β (BaseβπΎ)) |
15 | | cdleme0.l |
. . . . . . 7
β’ β€ =
(leβπΎ) |
16 | | cdleme0.m |
. . . . . . 7
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
17 | 6, 15, 16 | latmle2 18355 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ π) β€ π) |
18 | 3, 10, 14, 17 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β ((π β¨ π) β§ π) β€ π) |
19 | 1, 18 | eqbrtrid 5141 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β π β€ π) |
20 | | simp2lr 1242 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β Β¬ π β€ π) |
21 | | nbrne2 5126 |
. . . 4
β’ ((π β€ π β§ Β¬ π β€ π) β π β π) |
22 | 19, 20, 21 | syl2anc 585 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β π β π) |
23 | | simp2rr 1244 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β Β¬ π β€ π) |
24 | | nbrne2 5126 |
. . . 4
β’ ((π β€ π β§ Β¬ π β€ π) β π β π) |
25 | 19, 23, 24 | syl2anc 585 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β π β π) |
26 | | simp1 1137 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
27 | 15, 7, 16, 8, 12, 1 | cdlemeulpq 38686 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β π β€ (π β¨ π)) |
28 | 26, 4, 5, 27 | syl12anc 836 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β π β€ (π β¨ π)) |
29 | 22, 25, 28 | 3jca 1129 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) |
30 | 29, 19 | jca 513 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β ((π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π)) β§ π β€ π)) |