Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme02N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme02N 39606
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 9-Nov-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme0.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme0.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme0.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme0.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme0.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme0.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdleme02N (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) = (𝑄 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š))

Proof of Theorem cdleme02N
StepHypRef Expression
1 cdleme0.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 cdleme0.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 cdleme0.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
4 cdleme0.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 cdleme0.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
6 cdleme0.u . . 3 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
71, 2, 3, 4, 5, 6cdleme01N 39605 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ ((π‘ˆ β‰  𝑃 ∧ π‘ˆ β‰  𝑄 ∧ π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š))
8 simp1l 1194 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ 𝐾 ∈ HL)
9 hlcvl 38742 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
108, 9syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
11 simp2ll 1237 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
12 simp2rl 1239 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
13 simp1 1133 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
14 simp2l 1196 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
15 simp3 1135 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
161, 2, 3, 4, 5, 6lhpat2 39429 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
1713, 14, 12, 15, 16syl112anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
184, 1, 2cvlsupr2 38726 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) = (𝑄 ∨ π‘ˆ) ↔ (π‘ˆ β‰  𝑃 ∧ π‘ˆ β‰  𝑄 ∧ π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))))
1910, 11, 12, 17, 15, 18syl131anc 1380 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) = (𝑄 ∨ π‘ˆ) ↔ (π‘ˆ β‰  𝑃 ∧ π‘ˆ β‰  𝑄 ∧ π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))))
2019anbi1d 629 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (((𝑃 ∨ π‘ˆ) = (𝑄 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ↔ ((π‘ˆ β‰  𝑃 ∧ π‘ˆ β‰  𝑄 ∧ π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)))
217, 20mpbird 257 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) = (𝑄 ∨ π‘ˆ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  lecple 17213  joincjn 18276  meetcmee 18277  Atomscatm 38646  CvLatclc 38648  HLchlt 38733  LHypclh 39368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-lhyp 39372
This theorem is referenced by:  cdleme0moN  39609
  Copyright terms: Public domain W3C validator