Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme20h Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme20h 39700
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, last paragraph on p. 114, antepenultimate line. 𝐷, 𝐹, π‘Œ, 𝐺 represent s2, f(s), t2, f(t). (Contributed by NM, 18-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme19.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme19.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme19.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme19.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme19.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme19.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme19.f 𝐹 = ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
cdleme19.g 𝐺 = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)))
cdleme19.d 𝐷 = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)
cdleme19.y π‘Œ = ((𝑅 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)
cdleme20.v 𝑉 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdleme20h ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ (((𝑆 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑅)) ∨ ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ))) = (𝑅 ∨ π‘ˆ))

Proof of Theorem cdleme20h
StepHypRef Expression
1 simp11l 1281 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp21l 1287 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
3 simp22l 1289 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
4 simp23l 1291 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
5 simp31r 1294 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ 𝑆 β‰  𝑇)
6 simp33l 1297 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
7 cdleme19.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 cdleme19.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
9 cdleme19.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
10 cdleme19.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
117, 8, 9, 10cdleme20y 39686 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑅)) = 𝑅)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 11syl132anc 1385 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑅)) = 𝑅)
13 simp11r 1282 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
14 simp12l 1283 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
15 simp12r 1284 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)
16 simp13l 1285 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
17 simp31l 1293 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
18 cdleme19.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
19 cdleme19.u . . . . 5 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
207, 8, 9, 10, 18, 19lhpat2 39429 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
211, 13, 14, 15, 16, 17, 20syl222anc 1383 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
22 simp33r 1298 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
237, 8, 9, 10cdleme20y 39686 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) = π‘ˆ)
241, 21, 3, 4, 5, 22, 23syl132anc 1385 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) = π‘ˆ)
2512, 24oveq12d 7423 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ (((𝑆 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑅)) ∨ ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ))) = (𝑅 ∨ π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  lecple 17213  joincjn 18276  meetcmee 18277  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LHypclh 39368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-lhyp 39372
This theorem is referenced by:  cdleme20i  39701
  Copyright terms: Public domain W3C validator