Theorem cdleme20zN 40806

Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Utility lemma. (Contributed by NM, 17-Nov-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme20z.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdleme20z.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdleme20z.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdleme20z.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cdleme20zN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ((𝑆 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇) = (0.‘𝐾))

Proof of Theorem cdleme20zN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39868	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	3ad2ant1 1140	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simp1 1143	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝐾 ∈ HL)
4		simp22 1215	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
5		simp21 1214	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
6		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7		cdleme20z.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8		cdleme20z.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9	6, 7, 8	hlatjcl 39872	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑆 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
10	3, 4, 5, 9	syl3anc 1380	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑆 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
11		simp23 1216	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑇 ∈ 𝐴)
12	6, 8	atbase 39794	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
14		cdleme20z.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
15	6, 14	latmcom 18424	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑆 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇) = (𝑇 ∧ (𝑆 ∨ 𝑅)))
16	2, 10, 13, 15	syl3anc 1380	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ((𝑆 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇) = (𝑇 ∧ (𝑆 ∨ 𝑅)))
17		simp3r 1210	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))
18		hlcvl 39864	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat)
19	18	3ad2ant1 1140	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝐾 ∈ CvLat)
20		simp3l 1209	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑆 ≠ 𝑇)
21	20	necomd 2991	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑇 ≠ 𝑆)
22		cdleme20z.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
23	22, 7, 8	cvlatexch1 39841	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑇 ≠ 𝑆) → (𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑅) → 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))
24	19, 11, 5, 4, 21, 23	syl131anc 1392	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑅) → 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))
25	17, 24	mtod 200	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ¬ 𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑅))
26		hlatl 39865	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
27	26	3ad2ant1 1140	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝐾 ∈ AtLat)
28		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
29	6, 22, 14, 28, 8	atnle 39822	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (¬ 𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑅) ↔ (𝑇 ∧ (𝑆 ∨ 𝑅)) = (0.‘𝐾)))
30	27, 11, 10, 29	syl3anc 1380	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (¬ 𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑅) ↔ (𝑇 ∧ (𝑆 ∨ 𝑅)) = (0.‘𝐾)))
31	25, 30	mpbid 234	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑇 ∧ (𝑆 ∨ 𝑅)) = (0.‘𝐾))
32	16, 31	eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ((𝑆 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇) = (0.‘𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936   class class class wbr 5074  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  Basecbs 17174  lecple 17222  joincjn 18272  meetcmee 18273  0.cp0 18382  Latclat 18392  Atomscatm 39768  AtLatcal 39769  CvLatclc 39770  HLchlt 39855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-lat 18393  df-covers 39771  df-ats 39772  df-atl 39803  df-cvlat 39827  df-hlat 39856

This theorem is referenced by: (None)