Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme20zN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme20zN 38324
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Utility lemma. (Contributed by NM, 17-Nov-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme20z.l = (le‘𝐾)
cdleme20z.j = (join‘𝐾)
cdleme20z.m = (meet‘𝐾)
cdleme20z.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdleme20zN ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → ((𝑆 𝑅) 𝑇) = (0.‘𝐾))

Proof of Theorem cdleme20zN
StepHypRef Expression
1 hllat 37386 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1132 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simp1 1135 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → 𝐾 ∈ HL)
4 simp22 1206 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → 𝑆𝐴)
5 simp21 1205 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → 𝑅𝐴)
6 eqid 2740 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7 cdleme20z.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
8 cdleme20z.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
96, 7, 8hlatjcl 37390 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑅𝐴) → (𝑆 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
103, 4, 5, 9syl3anc 1370 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → (𝑆 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
11 simp23 1207 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → 𝑇𝐴)
126, 8atbase 37312 . . . 4 (𝑇𝐴𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
1311, 12syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
14 cdleme20z.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
156, 14latmcom 18192 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑆 𝑅) 𝑇) = (𝑇 (𝑆 𝑅)))
162, 10, 13, 15syl3anc 1370 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → ((𝑆 𝑅) 𝑇) = (𝑇 (𝑆 𝑅)))
17 simp3r 1201 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))
18 hlcvl 37382 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat)
19183ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → 𝐾 ∈ CvLat)
20 simp3l 1200 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → 𝑆𝑇)
2120necomd 3001 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → 𝑇𝑆)
22 cdleme20z.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
2322, 7, 8cvlatexch1 37359 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑇𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑇𝑆) → (𝑇 (𝑆 𝑅) → 𝑅 (𝑆 𝑇)))
2419, 11, 5, 4, 21, 23syl131anc 1382 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → (𝑇 (𝑆 𝑅) → 𝑅 (𝑆 𝑇)))
2517, 24mtod 197 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → ¬ 𝑇 (𝑆 𝑅))
26 hlatl 37383 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
27263ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → 𝐾 ∈ AtLat)
28 eqid 2740 . . . . 5 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
296, 22, 14, 28, 8atnle 37340 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑆 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (¬ 𝑇 (𝑆 𝑅) ↔ (𝑇 (𝑆 𝑅)) = (0.‘𝐾)))
3027, 11, 10, 29syl3anc 1370 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → (¬ 𝑇 (𝑆 𝑅) ↔ (𝑇 (𝑆 𝑅)) = (0.‘𝐾)))
3125, 30mpbid 231 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → (𝑇 (𝑆 𝑅)) = (0.‘𝐾))
3216, 31eqtrd 2780 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → ((𝑆 𝑅) 𝑇) = (0.‘𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110  wne 2945   class class class wbr 5079  cfv 6432  (class class class)co 7272  Basecbs 16923  lecple 16980  joincjn 18040  meetcmee 18041  0.cp0 18152  Latclat 18160  Atomscatm 37286  AtLatcal 37287  CvLatclc 37288  HLchlt 37373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-proset 18024  df-poset 18042  df-plt 18059  df-lub 18075  df-glb 18076  df-join 18077  df-meet 18078  df-p0 18154  df-lat 18161  df-covers 37289  df-ats 37290  df-atl 37321  df-cvlat 37345  df-hlat 37374
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator