Theorem cdleme20zN 38324

Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Utility lemma. (Contributed by NM, 17-Nov-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme20z.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdleme20z.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdleme20z.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdleme20z.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cdleme20zN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ((𝑆 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇) = (0.‘𝐾))

Proof of Theorem cdleme20zN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 37386	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simp1 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝐾 ∈ HL)
4		simp22 1206	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
5		simp21 1205	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
6		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7		cdleme20z.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8		cdleme20z.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9	6, 7, 8	hlatjcl 37390	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑆 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
10	3, 4, 5, 9	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑆 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
11		simp23 1207	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑇 ∈ 𝐴)
12	6, 8	atbase 37312	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
14		cdleme20z.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
15	6, 14	latmcom 18192	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑆 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇) = (𝑇 ∧ (𝑆 ∨ 𝑅)))
16	2, 10, 13, 15	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ((𝑆 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇) = (𝑇 ∧ (𝑆 ∨ 𝑅)))
17		simp3r 1201	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))
18		hlcvl 37382	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat)
19	18	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝐾 ∈ CvLat)
20		simp3l 1200	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑆 ≠ 𝑇)
21	20	necomd 3001	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑇 ≠ 𝑆)
22		cdleme20z.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
23	22, 7, 8	cvlatexch1 37359	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑇 ≠ 𝑆) → (𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑅) → 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))
24	19, 11, 5, 4, 21, 23	syl131anc 1382	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑅) → 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))
25	17, 24	mtod 197	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ¬ 𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑅))
26		hlatl 37383	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
27	26	3ad2ant1 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝐾 ∈ AtLat)
28		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
29	6, 22, 14, 28, 8	atnle 37340	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (¬ 𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑅) ↔ (𝑇 ∧ (𝑆 ∨ 𝑅)) = (0.‘𝐾)))
30	27, 11, 10, 29	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (¬ 𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑅) ↔ (𝑇 ∧ (𝑆 ∨ 𝑅)) = (0.‘𝐾)))
31	25, 30	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑇 ∧ (𝑆 ∨ 𝑅)) = (0.‘𝐾))
32	16, 31	eqtrd 2780	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ((𝑆 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇) = (0.‘𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945   class class class wbr 5079  ‘cfv 6432  (class class class)co 7272  Basecbs 16923  lecple 16980  joincjn 18040  meetcmee 18041  0.cp0 18152  Latclat 18160  Atomscatm 37286  AtLatcal 37287  CvLatclc 37288  HLchlt 37373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-proset 18024  df-poset 18042  df-plt 18059  df-lub 18075  df-glb 18076  df-join 18077  df-meet 18078  df-p0 18154  df-lat 18161  df-covers 37289  df-ats 37290  df-atl 37321  df-cvlat 37345  df-hlat 37374

This theorem is referenced by: (None)