Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | hllat 37871 |
. . . 4
β’ (πΎ β HL β πΎ β Lat) |
2 | 1 | 3ad2ant1 1134 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β πΎ β Lat) |
3 | | simp1 1137 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
4 | | simp22 1208 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
5 | | simp21 1207 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π
β π΄) |
6 | | eqid 2733 |
. . . . 5
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
7 | | cdleme20z.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
8 | | cdleme20z.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
9 | 6, 7, 8 | hlatjcl 37875 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
10 | 3, 4, 5, 9 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
11 | | simp23 1209 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
12 | 6, 8 | atbase 37797 |
. . . 4
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
13 | 11, 12 | syl 17 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
14 | | cdleme20z.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
15 | 6, 14 | latmcom 18357 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π
) β§ π) = (π β§ (π β¨ π
))) |
16 | 2, 10, 13, 15 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π
) β§ π) = (π β§ (π β¨ π
))) |
17 | | simp3r 1203 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β Β¬ π
β€ (π β¨ π)) |
18 | | hlcvl 37867 |
. . . . . 6
β’ (πΎ β HL β πΎ β CvLat) |
19 | 18 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β πΎ β CvLat) |
20 | | simp3l 1202 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π β π) |
21 | 20 | necomd 2996 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π β π) |
22 | | cdleme20z.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
23 | 22, 7, 8 | cvlatexch1 37844 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β CvLat β§ (π β π΄ β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β€ (π β¨ π
) β π
β€ (π β¨ π))) |
24 | 19, 11, 5, 4, 21, 23 | syl131anc 1384 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (π β€ (π β¨ π
) β π
β€ (π β¨ π))) |
25 | 17, 24 | mtod 197 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π
)) |
26 | | hlatl 37868 |
. . . . 5
β’ (πΎ β HL β πΎ β AtLat) |
27 | 26 | 3ad2ant1 1134 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β πΎ β AtLat) |
28 | | eqid 2733 |
. . . . 5
β’
(0.βπΎ) =
(0.βπΎ) |
29 | 6, 22, 14, 28, 8 | atnle 37825 |
. . . 4
β’ ((πΎ β AtLat β§ π β π΄ β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) β (Β¬ π β€ (π β¨ π
) β (π β§ (π β¨ π
)) = (0.βπΎ))) |
30 | 27, 11, 10, 29 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (Β¬ π β€ (π β¨ π
) β (π β§ (π β¨ π
)) = (0.βπΎ))) |
31 | 25, 30 | mpbid 231 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (π β§ (π β¨ π
)) = (0.βπΎ)) |
32 | 16, 31 | eqtrd 2773 |
1
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π
) β§ π) = (0.βπΎ)) |