Theorem climeqmpt 46525

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climeqmpt.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
climeqmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
climeqmpt.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
climeqmpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climeqmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climeqmpt.s	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐴)
climeqmpt.t	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐵)
climeqmpt.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
climeqmpt	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ⇝ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem climeqmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climeqmpt.x	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfmpt1 5204	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
3		nfmpt1 5204	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
4		climeqmpt.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		climeqmpt.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		climeqmpt.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7	6	mptexd 7223	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ V)
8		climeqmpt.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
9	8	mptexd 7223	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)
10		climeqmpt.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐴)
11	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
12		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ 𝑍)
13	11, 12	sseldd 3932	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14		climeqmpt.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ 𝑈)
15		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
16	15	fvmpt2 6998	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
17	13, 14, 16	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
18		climeqmpt.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐵)
19	18	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝑍 ⊆ 𝐵)
20	19, 12	sseldd 3932	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ 𝐵)
21		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
22	21	fvmpt2 6998	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
23	20, 14, 22	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
24	23	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐶 = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥))
25	17, 24	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥))
26	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 25	climeqf 46516	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ⇝ 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12887   ⇝ cli 15571

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-neg 11468  df-z 12616  df-uz 12888  df-clim 15575

This theorem is used by:  smflimsuplem6  47653  smflimsuplem8  47655