Theorem climeqmpt 45941

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climeqmpt.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
climeqmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
climeqmpt.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
climeqmpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climeqmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climeqmpt.s	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐴)
climeqmpt.t	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐵)
climeqmpt.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
climeqmpt	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ⇝ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem climeqmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climeqmpt.x	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfmpt1 5197	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
3		nfmpt1 5197	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
4		climeqmpt.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		climeqmpt.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		climeqmpt.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7	6	mptexd 7170	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ V)
8		climeqmpt.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
9	8	mptexd 7170	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)
10		climeqmpt.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐴)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
12		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ 𝑍)
13	11, 12	sseldd 3934	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14		climeqmpt.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ 𝑈)
15		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
16	15	fvmpt2 6952	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
17	13, 14, 16	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
18		climeqmpt.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐵)
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝑍 ⊆ 𝐵)
20	19, 12	sseldd 3934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ 𝐵)
21		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
22	21	fvmpt2 6952	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
23	20, 14, 22	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
24	23	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐶 = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥))
25	17, 24	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥))
26	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 25	climeqf 45932	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ⇝ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751   ⇝ cli 15407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-neg 11367  df-z 12489  df-uz 12752  df-clim 15411

This theorem is referenced by:  smflimsuplem6  47069  smflimsuplem8  47071