Theorem climeqmpt 45735

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climeqmpt.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
climeqmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
climeqmpt.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
climeqmpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climeqmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climeqmpt.s	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐴)
climeqmpt.t	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐵)
climeqmpt.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
climeqmpt	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ⇝ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem climeqmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climeqmpt.x	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfmpt1 5185	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
3		nfmpt1 5185	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
4		climeqmpt.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		climeqmpt.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		climeqmpt.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7	6	mptexd 7153	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ V)
8		climeqmpt.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
9	8	mptexd 7153	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)
10		climeqmpt.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐴)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
12		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ 𝑍)
13	11, 12	sseldd 3930	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14		climeqmpt.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ 𝑈)
15		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
16	15	fvmpt2 6935	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
17	13, 14, 16	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
18		climeqmpt.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐵)
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝑍 ⊆ 𝐵)
20	19, 12	sseldd 3930	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ 𝐵)
21		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
22	21	fvmpt2 6935	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
23	20, 14, 22	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
24	23	eqcomd 2737	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐶 = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥))
25	17, 24	eqtrd 2766	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥))
26	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 25	climeqf 45726	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ⇝ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6476  ℤcz 12463  ℤ_≥cuz 12727   ⇝ cli 15386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7344  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-neg 11342  df-z 12464  df-uz 12728  df-clim 15390

This theorem is referenced by:  smflimsuplem6  46863  smflimsuplem8  46865