Theorem limsupresre 44398

Description: The supremum limit of a function only depends on the real part of its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
limsupresre.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
limsupresre	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)) = (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem limsupresre

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℝ)
2		pnfxr 11264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
4		icossre 13401	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑘[,)+∞) ⊆ ℝ)
5	1, 3, 4	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘[,)+∞) ⊆ ℝ)
6		resima2 6014	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘[,)+∞) ⊆ ℝ → ((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → ((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
8	7	ineq1d 4210	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
9	8	supeq1d 9437	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → sup((((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
10	9	mpteq2ia 5250	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
12	11	rneqd 5935	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
13	12	infeq1d 9468	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
14		limsupresre.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
15	14	resexd 6026	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ V)
16		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
17	16	limsupval 15414	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ ℝ) ∈ V → (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
18	15, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
19		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
20	19	limsupval 15414	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
21	14, 20	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
22	13, 18, 21	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)) = (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676   ↾ cres 5677   “ cima 5678  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  supcsup 9431  infcinf 9432  ℝcr 11105  +∞cpnf 11241  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244  [,)cico 13322  lim supclsp 15410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-ico 13326  df-limsup 15411

This theorem is referenced by:  limsupresuz  44405