Theorem limsupresre 45977

Description: The supremum limit of a function only depends on the real part of its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
limsupresre.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
limsupresre	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)) = (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem limsupresre

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℝ)
2		pnfxr 11188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
4		icossre 13346	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑘[,)+∞) ⊆ ℝ)
5	1, 3, 4	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘[,)+∞) ⊆ ℝ)
6		resima2 5974	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘[,)+∞) ⊆ ℝ → ((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → ((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
8	7	ineq1d 4170	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
9	8	supeq1d 9351	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → sup((((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
10	9	mpteq2ia 5192	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
12	11	rneqd 5886	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
13	12	infeq1d 9383	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
14		limsupresre.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
15	14	resexd 5986	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ V)
16		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
17	16	limsupval 15399	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ ℝ) ∈ V → (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
18	15, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
19		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
20	19	limsupval 15399	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
21	14, 20	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
22	13, 18, 21	3eqtr4d 2780	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)) = (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3439   ∩ cin 3899   ⊆ wss 3900   ↦ cmpt 5178  ran crn 5624   ↾ cres 5625   “ cima 5626  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  supcsup 9345  infcinf 9346  ℝcr 11027  +∞cpnf 11165  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168  [,)cico 13265  lim supclsp 15395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-sup 9347  df-inf 9348  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-ico 13269  df-limsup 15396

This theorem is referenced by:  limsupresuz  45984