Theorem limsupresre 45697

Description: The supremum limit of a function only depends on the real part of its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
limsupresre.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
limsupresre	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)) = (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem limsupresre

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℝ)
2		pnfxr 11169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
4		icossre 13331	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑘[,)+∞) ⊆ ℝ)
5	1, 3, 4	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘[,)+∞) ⊆ ℝ)
6		resima2 5967	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘[,)+∞) ⊆ ℝ → ((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → ((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
8	7	ineq1d 4170	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
9	8	supeq1d 9336	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → sup((((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
10	9	mpteq2ia 5187	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
12	11	rneqd 5880	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
13	12	infeq1d 9368	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
14		limsupresre.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
15	14	resexd 5979	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ℝ) ∈ V)
16		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
17	16	limsupval 15381	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ ℝ) ∈ V → (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
18	15, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ ℝ) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
19		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
20	19	limsupval 15381	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
21	14, 20	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
22	13, 18, 21	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ ℝ)) = (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903   ↦ cmpt 5173  ran crn 5620   ↾ cres 5621   “ cima 5622  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  supcsup 9330  infcinf 9331  ℝcr 11008  +∞cpnf 11146  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149  [,)cico 13250  lim supclsp 15377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-ico 13254  df-limsup 15378

This theorem is referenced by:  limsupresuz  45704