Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smflimsuplem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smflimsuplem6 42976
Description: The superior limit of a sequence of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (d) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smflimsuplem6.a 𝑛𝜑
smflimsuplem6.b 𝑚𝜑
smflimsuplem6.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smflimsuplem6.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smflimsuplem6.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smflimsuplem6.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflimsuplem6.e 𝐸 = (𝑛𝑍 ↦ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
smflimsuplem6.h 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
smflimsuplem6.r (𝜑 → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
smflimsuplem6.n (𝜑𝑁𝑍)
smflimsuplem6.x (𝜑𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑁)dom (𝐹𝑚))
Assertion
Ref Expression
smflimsuplem6 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑥   𝑚,𝑀   𝑚,𝑁,𝑛   𝑚,𝑋,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐸(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑚)   𝐻(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem smflimsuplem6
StepHypRef Expression
1 smflimsuplem6.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
21fvexi 6677 . . . 4 𝑍 ∈ V
32a1i 11 . . 3 (𝜑𝑍 ∈ V)
43mptexd 6978 . 2 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ∈ V)
5 fvexd 6678 . 2 (𝜑 → (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ V)
6 smflimsuplem6.a . . . 4 𝑛𝜑
7 smflimsuplem6.b . . . 4 𝑚𝜑
8 smflimsuplem6.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9 smflimsuplem6.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
10 smflimsuplem6.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
11 smflimsuplem6.e . . . 4 𝐸 = (𝑛𝑍 ↦ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
12 smflimsuplem6.h . . . 4 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
13 smflimsuplem6.r . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
14 smflimsuplem6.n . . . 4 (𝜑𝑁𝑍)
15 smflimsuplem6.x . . . 4 (𝜑𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑁)dom (𝐹𝑚))
166, 7, 8, 1, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15smflimsuplem5 42975 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
17 fvexd 6678 . . . 4 (𝜑 → (ℤ𝑁) ∈ V)
181eluzelz2 41552 . . . . 5 (𝑁𝑍𝑁 ∈ ℤ)
1914, 18syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
20 eqid 2818 . . . 4 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
211eleq2i 2901 . . . . . . . 8 (𝑁𝑍𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2221biimpi 217 . . . . . . 7 (𝑁𝑍𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
23 uzss 12253 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (𝑁𝑍 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
2524, 1sseqtrrdi 4015 . . . . 5 (𝑁𝑍 → (ℤ𝑁) ⊆ 𝑍)
2614, 25syl 17 . . . 4 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ 𝑍)
27 ssid 3986 . . . . 5 (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑁)
2827a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑁))
29 fvexd 6678 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝐻𝑛)‘𝑋) ∈ V)
306, 3, 17, 19, 20, 26, 28, 29climeqmpt 41854 . . 3 (𝜑 → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)))))
3116, 30mpbird 258 . 2 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
32 breldmg 5771 . 2 (((𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ∈ V ∧ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ V ∧ (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)))) → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
334, 5, 31, 32syl3anc 1363 1 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wnf 1775  wcel 2105  {crab 3139  Vcvv 3492  wss 3933   ciin 4911   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548  ran crn 5549  wf 6344  cfv 6348  supcsup 8892  cr 10524  *cxr 10662   < clt 10663  cz 11969  cuz 12231  lim supclsp 14815  cli 14829  SAlgcsalg 42470  SMblFncsmblfn 42854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-fz 12881  df-fl 13150  df-ceil 13151  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-smblfn 42855
This theorem is referenced by:  smflimsuplem7  42977
  Copyright terms: Public domain W3C validator