Theorem smflimsuplem6 47397

Description: The superior limit of a sequence of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (d) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smflimsuplem6.a	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
smflimsuplem6.b	⊢ Ⅎ𝑚𝜑
smflimsuplem6.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smflimsuplem6.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smflimsuplem6.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smflimsuplem6.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflimsuplem6.e	⊢ 𝐸 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
smflimsuplem6.h	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
smflimsuplem6.r	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
smflimsuplem6.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
smflimsuplem6.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)dom (𝐹‘𝑚))

Assertion

Ref	Expression
smflimsuplem6	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑥   𝑚,𝑀   𝑚,𝑁,𝑛   𝑚,𝑋,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐸(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑚)   𝐻(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem smflimsuplem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smflimsuplem6.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	fvexi 6885	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
4	3	mptexd 7212	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ∈ V)
5		fvexd 6886	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ∈ V)
6		smflimsuplem6.a	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
7		smflimsuplem6.b	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
8		smflimsuplem6.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9		smflimsuplem6.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
10		smflimsuplem6.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
11		smflimsuplem6.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
12		smflimsuplem6.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
13		smflimsuplem6.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
14		smflimsuplem6.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
15		smflimsuplem6.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)dom (𝐹‘𝑚))
16	6, 7, 8, 1, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	smflimsuplem5 47396	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
17		fvexd 6886	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ∈ V)
18	1	eluzelz2 45975	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ ℤ)
19	14, 18	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
20		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
21	1	eleq2i 2857	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
22	21	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
23		uzss 12876	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
24	22, 23	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
25	24, 1	sseqtrrdi 3980	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ 𝑍)
26	14, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ 𝑍)
27		ssid 3961	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑁)
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
29		fvexd 6886	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝐻‘𝑛)‘𝑋) ∈ V)
30	6, 3, 17, 19, 20, 26, 28, 29	climeqmpt 46269	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)))))
31	16, 30	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
32		breldmg 5890	. 2 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ∈ V ∧ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ∈ V ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)))) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
33	4, 5, 31, 32	syl3anc 1394	1 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563  Ⅎwnf 1806   ∈ wcel 2145  {crab 3417  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907  ∩ ciin 4953   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5652  ran crn 5653  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  supcsup 9388  ℝcr 11087  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12853  lim supclsp 15511   ⇝ cli 15525  SAlgcsalg 46880  SMblFncsmblfn 47267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-ioo 13367  df-ico 13369  df-fz 13527  df-fl 13816  df-ceil 13817  df-seq 14029  df-exp 14089  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-limsup 15512  df-clim 15529  df-smblfn 47268

This theorem is referenced by:  smflimsuplem7  47398