Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smflimsuplem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smflimsuplem6 45156
Description: The superior limit of a sequence of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (d) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smflimsuplem6.a 𝑛𝜑
smflimsuplem6.b 𝑚𝜑
smflimsuplem6.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smflimsuplem6.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smflimsuplem6.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smflimsuplem6.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflimsuplem6.e 𝐸 = (𝑛𝑍 ↦ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
smflimsuplem6.h 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
smflimsuplem6.r (𝜑 → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
smflimsuplem6.n (𝜑𝑁𝑍)
smflimsuplem6.x (𝜑𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑁)dom (𝐹𝑚))
Assertion
Ref Expression
smflimsuplem6 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑥   𝑚,𝑀   𝑚,𝑁,𝑛   𝑚,𝑋,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐸(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑚)   𝐻(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem smflimsuplem6
StepHypRef Expression
1 smflimsuplem6.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
21fvexi 6860 . . . 4 𝑍 ∈ V
32a1i 11 . . 3 (𝜑𝑍 ∈ V)
43mptexd 7178 . 2 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ∈ V)
5 fvexd 6861 . 2 (𝜑 → (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ V)
6 smflimsuplem6.a . . . 4 𝑛𝜑
7 smflimsuplem6.b . . . 4 𝑚𝜑
8 smflimsuplem6.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9 smflimsuplem6.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
10 smflimsuplem6.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
11 smflimsuplem6.e . . . 4 𝐸 = (𝑛𝑍 ↦ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
12 smflimsuplem6.h . . . 4 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
13 smflimsuplem6.r . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
14 smflimsuplem6.n . . . 4 (𝜑𝑁𝑍)
15 smflimsuplem6.x . . . 4 (𝜑𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑁)dom (𝐹𝑚))
166, 7, 8, 1, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15smflimsuplem5 45155 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
17 fvexd 6861 . . . 4 (𝜑 → (ℤ𝑁) ∈ V)
181eluzelz2 43728 . . . . 5 (𝑁𝑍𝑁 ∈ ℤ)
1914, 18syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
20 eqid 2733 . . . 4 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
211eleq2i 2826 . . . . . . . 8 (𝑁𝑍𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2221biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑁𝑍𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
23 uzss 12794 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (𝑁𝑍 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
2524, 1sseqtrrdi 3999 . . . . 5 (𝑁𝑍 → (ℤ𝑁) ⊆ 𝑍)
2614, 25syl 17 . . . 4 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ 𝑍)
27 ssid 3970 . . . . 5 (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑁)
2827a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑁))
29 fvexd 6861 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝐻𝑛)‘𝑋) ∈ V)
306, 3, 17, 19, 20, 26, 28, 29climeqmpt 44028 . . 3 (𝜑 → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)))))
3116, 30mpbird 257 . 2 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
32 breldmg 5869 . 2 (((𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ∈ V ∧ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ V ∧ (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)))) → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
334, 5, 31, 32syl3anc 1372 1 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3447  wss 3914   ciin 4959   class class class wbr 5109  cmpt 5192  dom cdm 5637  ran crn 5638  wf 6496  cfv 6500  supcsup 9384  cr 11058  *cxr 11196   < clt 11197  cz 12507  cuz 12771  lim supclsp 15361  cli 15375  SAlgcsalg 44639  SMblFncsmblfn 45026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-fz 13434  df-fl 13706  df-ceil 13707  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-smblfn 45027
This theorem is referenced by:  smflimsuplem7  45157
  Copyright terms: Public domain W3C validator