Theorem smflimsuplem6 46947

Description: The superior limit of a sequence of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (d) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smflimsuplem6.a	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
smflimsuplem6.b	⊢ Ⅎ𝑚𝜑
smflimsuplem6.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smflimsuplem6.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smflimsuplem6.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smflimsuplem6.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflimsuplem6.e	⊢ 𝐸 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
smflimsuplem6.h	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
smflimsuplem6.r	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
smflimsuplem6.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
smflimsuplem6.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)dom (𝐹‘𝑚))

Assertion

Ref	Expression
smflimsuplem6	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑥   𝑚,𝑀   𝑚,𝑁,𝑛   𝑚,𝑋,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐸(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑚)   𝐻(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem smflimsuplem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smflimsuplem6.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	fvexi 6842	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
4	3	mptexd 7164	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ∈ V)
5		fvexd 6843	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ∈ V)
6		smflimsuplem6.a	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
7		smflimsuplem6.b	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
8		smflimsuplem6.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9		smflimsuplem6.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
10		smflimsuplem6.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
11		smflimsuplem6.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
12		smflimsuplem6.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
13		smflimsuplem6.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
14		smflimsuplem6.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
15		smflimsuplem6.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)dom (𝐹‘𝑚))
16	6, 7, 8, 1, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	smflimsuplem5 46946	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
17		fvexd 6843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ∈ V)
18	1	eluzelz2 45525	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ ℤ)
19	14, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
20		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
21	1	eleq2i 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
22	21	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
23		uzss 12761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
24	22, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
25	24, 1	sseqtrrdi 3972	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ 𝑍)
26	14, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ 𝑍)
27		ssid 3953	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑁)
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
29		fvexd 6843	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝐻‘𝑛)‘𝑋) ∈ V)
30	6, 3, 17, 19, 20, 26, 28, 29	climeqmpt 45819	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)))))
31	16, 30	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
32		breldmg 5853	. 2 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ∈ V ∧ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ∈ V ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)))) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
33	4, 5, 31, 32	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2113  {crab 3396  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898  ∩ ciin 4942   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174  dom cdm 5619  ran crn 5620  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  supcsup 9331  ℝcr 11012  ℝ^*cxr 11152   < clt 11153  ℤcz 12475  ℤ_≥cuz 12738  lim supclsp 15379   ⇝ cli 15393  SAlgcsalg 46430  SMblFncsmblfn 46817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-pm 8759  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9333  df-inf 9334  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-q 12849  df-rp 12893  df-ioo 13251  df-ico 13253  df-fz 13410  df-fl 13698  df-ceil 13699  df-seq 13911  df-exp 13971  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-limsup 15380  df-clim 15397  df-smblfn 46818

This theorem is referenced by:  smflimsuplem7  46948