Theorem smflimsuplem6 47271

Description: The superior limit of a sequence of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (d) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smflimsuplem6.a	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
smflimsuplem6.b	⊢ Ⅎ𝑚𝜑
smflimsuplem6.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smflimsuplem6.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smflimsuplem6.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smflimsuplem6.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflimsuplem6.e	⊢ 𝐸 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
smflimsuplem6.h	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
smflimsuplem6.r	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
smflimsuplem6.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
smflimsuplem6.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)dom (𝐹‘𝑚))

Assertion

Ref	Expression
smflimsuplem6	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑥   𝑚,𝑀   𝑚,𝑁,𝑛   𝑚,𝑋,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐸(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑚)   𝐻(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem smflimsuplem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smflimsuplem6.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	fvexi 6848	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
4	3	mptexd 7172	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ∈ V)
5		fvexd 6849	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ∈ V)
6		smflimsuplem6.a	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
7		smflimsuplem6.b	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
8		smflimsuplem6.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9		smflimsuplem6.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
10		smflimsuplem6.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
11		smflimsuplem6.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
12		smflimsuplem6.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
13		smflimsuplem6.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
14		smflimsuplem6.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
15		smflimsuplem6.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)dom (𝐹‘𝑚))
16	6, 7, 8, 1, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	smflimsuplem5 47270	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
17		fvexd 6849	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ∈ V)
18	1	eluzelz2 45849	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ ℤ)
19	14, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
20		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
21	1	eleq2i 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
22	21	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
23		uzss 12802	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
24	22, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
25	24, 1	sseqtrrdi 3964	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ 𝑍)
26	14, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ 𝑍)
27		ssid 3945	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑁)
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
29		fvexd 6849	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝐻‘𝑛)‘𝑋) ∈ V)
30	6, 3, 17, 19, 20, 26, 28, 29	climeqmpt 46143	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)))))
31	16, 30	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
32		breldmg 5858	. 2 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ∈ V ∧ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ∈ V ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)))) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
33	4, 5, 31, 32	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  {crab 3390  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ∩ ciin 4935   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5624  ran crn 5625  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  supcsup 9346  ℝcr 11028  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  lim supclsp 15423   ⇝ cli 15437  SAlgcsalg 46754  SMblFncsmblfn 47141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-fz 13453  df-fl 13742  df-ceil 13743  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-smblfn 47142

This theorem is referenced by:  smflimsuplem7  47272