Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smflimsuplem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smflimsuplem6 41826
Description: The superior limit of a sequence of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (d) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smflimsuplem6.a 𝑛𝜑
smflimsuplem6.b 𝑚𝜑
smflimsuplem6.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smflimsuplem6.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smflimsuplem6.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smflimsuplem6.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflimsuplem6.e 𝐸 = (𝑛𝑍 ↦ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
smflimsuplem6.h 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
smflimsuplem6.r (𝜑 → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
smflimsuplem6.n (𝜑𝑁𝑍)
smflimsuplem6.x (𝜑𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑁)dom (𝐹𝑚))
Assertion
Ref Expression
smflimsuplem6 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑥   𝑚,𝑀   𝑚,𝑁,𝑛   𝑚,𝑋,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐸(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑚)   𝐻(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem smflimsuplem6
StepHypRef Expression
1 smflimsuplem6.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
21fvexi 6448 . . . 4 𝑍 ∈ V
32a1i 11 . . 3 (𝜑𝑍 ∈ V)
43mptexd 6744 . 2 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ∈ V)
5 fvexd 6449 . 2 (𝜑 → (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ V)
6 smflimsuplem6.a . . . 4 𝑛𝜑
7 smflimsuplem6.b . . . 4 𝑚𝜑
8 smflimsuplem6.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9 smflimsuplem6.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
10 smflimsuplem6.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
11 smflimsuplem6.e . . . 4 𝐸 = (𝑛𝑍 ↦ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
12 smflimsuplem6.h . . . 4 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
13 smflimsuplem6.r . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
14 smflimsuplem6.n . . . 4 (𝜑𝑁𝑍)
15 smflimsuplem6.x . . . 4 (𝜑𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑁)dom (𝐹𝑚))
166, 7, 8, 1, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15smflimsuplem5 41825 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
17 fvexd 6449 . . . 4 (𝜑 → (ℤ𝑁) ∈ V)
181eluzelz2 40423 . . . . 5 (𝑁𝑍𝑁 ∈ ℤ)
1914, 18syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
20 eqid 2826 . . . 4 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
211eleq2i 2899 . . . . . . . 8 (𝑁𝑍𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2221biimpi 208 . . . . . . 7 (𝑁𝑍𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
23 uzss 11990 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (𝑁𝑍 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
2524, 1syl6sseqr 3878 . . . . 5 (𝑁𝑍 → (ℤ𝑁) ⊆ 𝑍)
2614, 25syl 17 . . . 4 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ 𝑍)
27 ssid 3849 . . . . 5 (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑁)
2827a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑁))
29 fvexd 6449 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝐻𝑛)‘𝑋) ∈ V)
306, 3, 17, 19, 20, 26, 28, 29climeqmpt 40725 . . 3 (𝜑 → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)))))
3116, 30mpbird 249 . 2 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
32 breldmg 5563 . 2 (((𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ∈ V ∧ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ V ∧ (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)))) → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
334, 5, 31, 32syl3anc 1496 1 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wnf 1884  wcel 2166  {crab 3122  Vcvv 3415  wss 3799   ciin 4742   class class class wbr 4874  cmpt 4953  dom cdm 5343  ran crn 5344  wf 6120  cfv 6124  supcsup 8616  cr 10252  *cxr 10391   < clt 10392  cz 11705  cuz 11969  lim supclsp 14579  cli 14593  SAlgcsalg 41320  SMblFncsmblfn 41704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-pm 8126  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-sup 8618  df-inf 8619  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-q 12073  df-rp 12114  df-ioo 12468  df-ico 12470  df-fz 12621  df-fl 12889  df-ceil 12890  df-seq 13097  df-exp 13156  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-limsup 14580  df-clim 14597  df-smblfn 41705
This theorem is referenced by:  smflimsuplem7  41827
  Copyright terms: Public domain W3C validator