Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smflimsuplem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smflimsuplem6 46480
Description: The superior limit of a sequence of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (d) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smflimsuplem6.a 𝑛𝜑
smflimsuplem6.b 𝑚𝜑
smflimsuplem6.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smflimsuplem6.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smflimsuplem6.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smflimsuplem6.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflimsuplem6.e 𝐸 = (𝑛𝑍 ↦ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
smflimsuplem6.h 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
smflimsuplem6.r (𝜑 → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
smflimsuplem6.n (𝜑𝑁𝑍)
smflimsuplem6.x (𝜑𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑁)dom (𝐹𝑚))
Assertion
Ref Expression
smflimsuplem6 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑥   𝑚,𝑀   𝑚,𝑁,𝑛   𝑚,𝑋,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐸(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑚)   𝐻(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem smflimsuplem6
StepHypRef Expression
1 smflimsuplem6.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
21fvexi 6905 . . . 4 𝑍 ∈ V
32a1i 11 . . 3 (𝜑𝑍 ∈ V)
43mptexd 7231 . 2 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ∈ V)
5 fvexd 6906 . 2 (𝜑 → (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ V)
6 smflimsuplem6.a . . . 4 𝑛𝜑
7 smflimsuplem6.b . . . 4 𝑚𝜑
8 smflimsuplem6.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9 smflimsuplem6.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
10 smflimsuplem6.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
11 smflimsuplem6.e . . . 4 𝐸 = (𝑛𝑍 ↦ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
12 smflimsuplem6.h . . . 4 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
13 smflimsuplem6.r . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
14 smflimsuplem6.n . . . 4 (𝜑𝑁𝑍)
15 smflimsuplem6.x . . . 4 (𝜑𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑁)dom (𝐹𝑚))
166, 7, 8, 1, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15smflimsuplem5 46479 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
17 fvexd 6906 . . . 4 (𝜑 → (ℤ𝑁) ∈ V)
181eluzelz2 45052 . . . . 5 (𝑁𝑍𝑁 ∈ ℤ)
1914, 18syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
20 eqid 2726 . . . 4 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
211eleq2i 2818 . . . . . . . 8 (𝑁𝑍𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2221biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑁𝑍𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
23 uzss 12889 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (𝑁𝑍 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
2524, 1sseqtrrdi 4031 . . . . 5 (𝑁𝑍 → (ℤ𝑁) ⊆ 𝑍)
2614, 25syl 17 . . . 4 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ 𝑍)
27 ssid 4002 . . . . 5 (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑁)
2827a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑁))
29 fvexd 6906 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝐻𝑛)‘𝑋) ∈ V)
306, 3, 17, 19, 20, 26, 28, 29climeqmpt 45352 . . 3 (𝜑 → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)))))
3116, 30mpbird 256 . 2 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
32 breldmg 5907 . 2 (((𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ∈ V ∧ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ V ∧ (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)))) → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
334, 5, 31, 32syl3anc 1368 1 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wnf 1778  wcel 2099  {crab 3420  Vcvv 3463  wss 3947   ciin 4995   class class class wbr 5144  cmpt 5227  dom cdm 5673  ran crn 5674  wf 6540  cfv 6544  supcsup 9474  cr 11146  *cxr 11286   < clt 11287  cz 12602  cuz 12866  lim supclsp 15465  cli 15479  SAlgcsalg 45963  SMblFncsmblfn 46350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224  ax-pre-sup 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-iin 4997  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9476  df-inf 9477  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11911  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-n0 12517  df-z 12603  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-ioo 13374  df-ico 13376  df-fz 13531  df-fl 13804  df-ceil 13805  df-seq 14014  df-exp 14074  df-cj 15097  df-re 15098  df-im 15099  df-sqrt 15233  df-abs 15234  df-limsup 15466  df-clim 15483  df-smblfn 46351
This theorem is referenced by:  smflimsuplem7  46481
  Copyright terms: Public domain W3C validator