Theorem smflimsuplem6 46480

Description: The superior limit of a sequence of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (d) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smflimsuplem6.a	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
smflimsuplem6.b	⊢ Ⅎ𝑚𝜑
smflimsuplem6.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smflimsuplem6.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smflimsuplem6.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smflimsuplem6.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflimsuplem6.e	⊢ 𝐸 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
smflimsuplem6.h	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
smflimsuplem6.r	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
smflimsuplem6.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
smflimsuplem6.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)dom (𝐹‘𝑚))

Assertion

Ref	Expression
smflimsuplem6	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑥   𝑚,𝑀   𝑚,𝑁,𝑛   𝑚,𝑋,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐸(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑚)   𝐻(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem smflimsuplem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smflimsuplem6.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	fvexi 6905	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
4	3	mptexd 7231	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ∈ V)
5		fvexd 6906	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ∈ V)
6		smflimsuplem6.a	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
7		smflimsuplem6.b	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
8		smflimsuplem6.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9		smflimsuplem6.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
10		smflimsuplem6.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
11		smflimsuplem6.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ {𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
12		smflimsuplem6.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
13		smflimsuplem6.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
14		smflimsuplem6.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
15		smflimsuplem6.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁)dom (𝐹‘𝑚))
16	6, 7, 8, 1, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	smflimsuplem5 46479	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
17		fvexd 6906	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ∈ V)
18	1	eluzelz2 45052	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ ℤ)
19	14, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
20		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
21	1	eleq2i 2818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
22	21	biimpi 215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
23		uzss 12889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
24	22, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
25	24, 1	sseqtrrdi 4031	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ 𝑍)
26	14, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ 𝑍)
27		ssid 4002	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑁)
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
29		fvexd 6906	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝐻‘𝑛)‘𝑋) ∈ V)
30	6, 3, 17, 19, 20, 26, 28, 29	climeqmpt 45352	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)))))
31	16, 30	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))))
32		breldmg 5907	. 2 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ∈ V ∧ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))) ∈ V ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)))) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
33	4, 5, 31, 32	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐻‘𝑛)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534  Ⅎwnf 1778   ∈ wcel 2099  {crab 3420  Vcvv 3463   ⊆ wss 3947  ∩ ciin 4995   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227  dom cdm 5673  ran crn 5674  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  supcsup 9474  ℝcr 11146  ℝ^*cxr 11286   < clt 11287  ℤcz 12602  ℤ_≥cuz 12866  lim supclsp 15465   ⇝ cli 15479  SAlgcsalg 45963  SMblFncsmblfn 46350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224  ax-pre-sup 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-iin 4997  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9476  df-inf 9477  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11911  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-n0 12517  df-z 12603  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-ioo 13374  df-ico 13376  df-fz 13531  df-fl 13804  df-ceil 13805  df-seq 14014  df-exp 14074  df-cj 15097  df-re 15098  df-im 15099  df-sqrt 15233  df-abs 15234  df-limsup 15466  df-clim 15483  df-smblfn 46351

This theorem is referenced by:  smflimsuplem7  46481