MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt1mulr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmpt1mulr 24104
Description: Continuity of ring multiplication; analogue of cnmpt12f 23588 which cannot be used directly because .r is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulrcn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
cnmpt1mulr.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
cnmpt1mulr.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ TopRing)
cnmpt1mulr.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
cnmpt1mulr.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cnmpt1mulr.b (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
Assertion
Ref Expression
cnmpt1mulr (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝐾   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   Β· (π‘₯)

Proof of Theorem cnmpt1mulr
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . 3 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
2 mulrcn.j . . 3 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
31, 2mgptopn 20090 . 2 𝐽 = (TopOpenβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
4 cnmpt1mulr.t . . 3 Β· = (.rβ€˜π‘…)
51, 4mgpplusg 20082 . 2 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
6 cnmpt1mulr.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ TopRing)
71trgtmd 24087 . . 3 (𝑅 ∈ TopRing β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ TopMnd)
86, 7syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ TopMnd)
9 cnmpt1mulr.k . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
10 cnmpt1mulr.a . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
11 cnmpt1mulr.b . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
123, 5, 8, 9, 10, 11cnmpt1plusg 24009 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 Β· 𝐡)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5226  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  .rcmulr 17233  TopOpenctopn 17402  mulGrpcmgp 20078  TopOnctopon 22830   Cn ccn 23146  TopMndctmd 23992  TopRingctrg 24078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-tset 17251  df-rest 17403  df-topn 17404  df-topgen 17424  df-plusf 18598  df-mgp 20079  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cn 23149  df-tx 23484  df-tmd 23994  df-trg 24082
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator