Theorem cnmpt1mulr 24534

Description: Continuity of ring multiplication; analogue of cnmpt12f 24018 which cannot be used directly because ._r is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulrcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
cnmpt1mulr.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
cnmpt1mulr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TopRing)
cnmpt1mulr.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt1mulr.a	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cnmpt1mulr.b	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
cnmpt1mulr	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   · (𝑥)

Proof of Theorem cnmpt1mulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		mulrcn.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
3	1, 2	mgptopn 20401	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(mulGrp‘𝑅))
4		cnmpt1mulr.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5	1, 4	mgpplusg 20397	. 2 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
6		cnmpt1mulr.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TopRing)
7	1	trgtmd 24517	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd)
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd)
9		cnmpt1mulr.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
10		cnmpt1mulr.a	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
11		cnmpt1mulr.b	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
12	3, 5, 8, 9, 10, 11	cnmpt1plusg 24439	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ._rcmulr 17461  TopOpenctopn 17624  mulGrpcmgp 20393  TopOnctopon 23261   Cn ccn 23575  TopMndctmd 24422  TopRingctrg 24508

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-plusg 17473  df-tset 17479  df-rest 17625  df-topn 17626  df-topgen 17646  df-plusf 18847  df-mgp 20394  df-top 23245  df-topon 23262  df-topsp 23284  df-bases 23297  df-cn 23578  df-tx 23914  df-tmd 24424  df-trg 24512

This theorem is used by: (None)