Theorem cnmpt1mulr 24229

Description: Continuity of ring multiplication; analogue of cnmpt12f 23713 which cannot be used directly because ._r is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulrcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
cnmpt1mulr.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
cnmpt1mulr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TopRing)
cnmpt1mulr.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt1mulr.a	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cnmpt1mulr.b	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
cnmpt1mulr	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   · (𝑥)

Proof of Theorem cnmpt1mulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		mulrcn.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
3	1, 2	mgptopn 20184	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(mulGrp‘𝑅))
4		cnmpt1mulr.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5	1, 4	mgpplusg 20180	. 2 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
6		cnmpt1mulr.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TopRing)
7	1	trgtmd 24212	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd)
9		cnmpt1mulr.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
10		cnmpt1mulr.a	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
11		cnmpt1mulr.b	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
12	3, 5, 8, 9, 10, 11	cnmpt1plusg 24134	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ↦ cmpt 5178  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  ._rcmulr 17277  TopOpenctopn 17440  mulGrpcmgp 20176  TopOnctopon 22957   Cn ccn 23271  TopMndctmd 24117  TopRingctrg 24203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-plusg 17289  df-tset 17295  df-rest 17441  df-topn 17442  df-topgen 17462  df-plusf 18663  df-mgp 20177  df-top 22941  df-topon 22958  df-topsp 22980  df-bases 22993  df-cn 23274  df-tx 23609  df-tmd 24119  df-trg 24207

This theorem is referenced by: (None)