Theorem cnmpt1mulr 24507

Description: Continuity of ring multiplication; analogue of cnmpt12f 23991 which cannot be used directly because ._r is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulrcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
cnmpt1mulr.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
cnmpt1mulr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TopRing)
cnmpt1mulr.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt1mulr.a	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cnmpt1mulr.b	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
cnmpt1mulr	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   · (𝑥)

Proof of Theorem cnmpt1mulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		mulrcn.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
3	1, 2	mgptopn 20374	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(mulGrp‘𝑅))
4		cnmpt1mulr.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5	1, 4	mgpplusg 20370	. 2 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
6		cnmpt1mulr.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TopRing)
7	1	trgtmd 24490	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd)
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd)
9		cnmpt1mulr.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
10		cnmpt1mulr.a	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
11		cnmpt1mulr.b	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
12	3, 5, 8, 9, 10, 11	cnmpt1plusg 24412	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ._rcmulr 17435  TopOpenctopn 17598  mulGrpcmgp 20366  TopOnctopon 23234   Cn ccn 23548  TopMndctmd 24395  TopRingctrg 24481

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-plusg 17447  df-tset 17453  df-rest 17599  df-topn 17600  df-topgen 17620  df-plusf 18821  df-mgp 20367  df-top 23218  df-topon 23235  df-topsp 23257  df-bases 23270  df-cn 23551  df-tx 23887  df-tmd 24397  df-trg 24485

This theorem is used by: (None)