Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt1mulr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmpt1mulr 22790
 Description: Continuity of ring multiplication; analogue of cnmpt12f 22274 which cannot be used directly because .r is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulrcn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
cnmpt1mulr.t · = (.r𝑅)
cnmpt1mulr.r (𝜑𝑅 ∈ TopRing)
cnmpt1mulr.k (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt1mulr.a (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cnmpt1mulr.b (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
Assertion
Ref Expression
cnmpt1mulr (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   · (𝑥)

Proof of Theorem cnmpt1mulr
StepHypRef Expression
1 eqid 2801 . . 3 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2 mulrcn.j . . 3 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
31, 2mgptopn 19244 . 2 𝐽 = (TopOpen‘(mulGrp‘𝑅))
4 cnmpt1mulr.t . . 3 · = (.r𝑅)
51, 4mgpplusg 19239 . 2 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
6 cnmpt1mulr.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ TopRing)
71trgtmd 22773 . . 3 (𝑅 ∈ TopRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd)
86, 7syl 17 . 2 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd)
9 cnmpt1mulr.k . 2 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
10 cnmpt1mulr.a . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
11 cnmpt1mulr.b . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
123, 5, 8, 9, 10, 11cnmpt1plusg 22695 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ↦ cmpt 5113  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  .rcmulr 16561  TopOpenctopn 16690  mulGrpcmgp 19235  TopOnctopon 21518   Cn ccn 21832  TopMndctmd 22678  TopRingctrg 22764 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-plusg 16573  df-tset 16579  df-rest 16691  df-topn 16692  df-topgen 16712  df-plusf 17846  df-mgp 19236  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cn 21835  df-tx 22170  df-tmd 22680  df-trg 22768 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator