Theorem cnf2 23594

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnf2	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn 23580	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
2	1	simprbda 504	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
3	2	3impa 1127	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  TopOnctopon 23255   Cn ccn 23569

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-map 8874  df-top 23239  df-topon 23256  df-cn 23572

This theorem is used by:  iscncl  23614  cncls2  23618  cncls  23619  cnntr  23620  cnrest2  23631  cnrest2r  23632  ptcn  23973  txdis1cn  23981  lmcn2  23995  cnmpt11  24009  cnmpt1t  24011  cnmpt12  24013  cnmpt21  24017  cnmpt2t  24019  cnmpt22  24020  cnmpt22f  24021  cnmptcom  24024  cnmptkp  24026  cnmptk1  24027  cnmpt1k  24028  cnmptkk  24029  cnmptk1p  24031  cnmptk2  24032  cnmpt2k  24034  qtopss  24061  qtopeu  24062  qtopomap  24064  qtopcmap  24065  hmeof1o2  24109  xpstopnlem1  24155  xkocnv  24160  xkohmeo  24161  qtophmeo  24163  cnmpt1plusg  24433  cnmpt2plusg  24434  tsmsmhm  24492  cnmpt1vsca  24540  cnmpt2vsca  24541  cnmpt1ds  25189  cnmpt2ds  25190  fsumcn  25218  cnmpopc  25276  htpyco1  25326  htpyco2  25327  phtpyco2  25338  pi1xfrf  25401  pi1xfr  25403  pi1xfrcnvlem  25404  pi1xfrcnv  25405  pi1cof  25407  pi1coghm  25409  cnmpt1ip  25595  cnmpt2ip  25596  txsconnlem  36171  txsconn  36172  cvmlift3lem6  36255  fcnre  46245  refsumcn  46250  refsum2cnlem1  46257  fprodcnlem  46814  icccncfext  47100  itgsubsticclem  47188