Theorem cnf2 23311

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnf2	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn 23297	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
2	1	simprbda 502	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
3	2	3impa 1123	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078  ^◡ccnv 5648   “ cima 5652  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  TopOnctopon 22972   Cn ccn 23286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-map 8812  df-top 22956  df-topon 22973  df-cn 23289

This theorem is referenced by:  iscncl  23331  cncls2  23335  cncls  23336  cnntr  23337  cnrest2  23348  cnrest2r  23349  ptcn  23689  txdis1cn  23697  lmcn2  23711  cnmpt11  23725  cnmpt1t  23727  cnmpt12  23729  cnmpt21  23733  cnmpt2t  23735  cnmpt22  23736  cnmpt22f  23737  cnmptcom  23740  cnmptkp  23742  cnmptk1  23743  cnmpt1k  23744  cnmptkk  23745  cnmptk1p  23747  cnmptk2  23748  cnmpt2k  23750  qtopss  23777  qtopeu  23778  qtopomap  23780  qtopcmap  23781  hmeof1o2  23825  xpstopnlem1  23871  xkocnv  23876  xkohmeo  23877  qtophmeo  23879  cnmpt1plusg  24149  cnmpt2plusg  24150  tsmsmhm  24208  cnmpt1vsca  24256  cnmpt2vsca  24257  cnmpt1ds  24905  cnmpt2ds  24906  fsumcn  24934  cnmpopc  24992  htpyco1  25042  htpyco2  25043  phtpyco2  25054  pi1xfrf  25117  pi1xfr  25119  pi1xfrcnvlem  25120  pi1xfrcnv  25121  pi1cof  25123  pi1coghm  25125  cnmpt1ip  25311  cnmpt2ip  25312  txsconnlem  35595  txsconn  35596  cvmlift3lem6  35679  fcnre  45610  refsumcn  45615  refsum2cnlem1  45622  fprodcnlem  46180  icccncfext  46466  itgsubsticclem  46554