Theorem cnf2 23197

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnf2	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn 23183	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
2	1	simprbda 498	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
3	2	3impa 1110	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ^◡ccnv 5624   “ cima 5628  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  TopOnctopon 22858   Cn ccn 23172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-map 8769  df-top 22842  df-topon 22859  df-cn 23175

This theorem is referenced by:  iscncl  23217  cncls2  23221  cncls  23222  cnntr  23223  cnrest2  23234  cnrest2r  23235  ptcn  23575  txdis1cn  23583  lmcn2  23597  cnmpt11  23611  cnmpt1t  23613  cnmpt12  23615  cnmpt21  23619  cnmpt2t  23621  cnmpt22  23622  cnmpt22f  23623  cnmptcom  23626  cnmptkp  23628  cnmptk1  23629  cnmpt1k  23630  cnmptkk  23631  cnmptk1p  23633  cnmptk2  23634  cnmpt2k  23636  qtopss  23663  qtopeu  23664  qtopomap  23666  qtopcmap  23667  hmeof1o2  23711  xpstopnlem1  23757  xkocnv  23762  xkohmeo  23763  qtophmeo  23765  cnmpt1plusg  24035  cnmpt2plusg  24036  tsmsmhm  24094  cnmpt1vsca  24142  cnmpt2vsca  24143  cnmpt1ds  24791  cnmpt2ds  24792  fsumcn  24821  cnmpopc  24882  htpyco1  24937  htpyco2  24938  phtpyco2  24949  pi1xfrf  25013  pi1xfr  25015  pi1xfrcnvlem  25016  pi1xfrcnv  25017  pi1cof  25019  pi1coghm  25021  cnmpt1ip  25207  cnmpt2ip  25208  txsconnlem  35436  txsconn  35437  cvmlift3lem6  35520  fcnre  45337  refsumcn  45342  refsum2cnlem1  45349  fprodcnlem  45912  icccncfext  46198  itgsubsticclem  46286