Theorem cnf2 23480

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnf2	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn 23466	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
2	1	simprbda 504	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
3	2	3impa 1127	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  TopOnctopon 23141   Cn ccn 23455

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-map 8832  df-top 23125  df-topon 23142  df-cn 23458

This theorem is used by:  iscncl  23500  cncls2  23504  cncls  23505  cnntr  23506  cnrest2  23517  cnrest2r  23518  ptcn  23859  txdis1cn  23867  lmcn2  23881  cnmpt11  23895  cnmpt1t  23897  cnmpt12  23899  cnmpt21  23903  cnmpt2t  23905  cnmpt22  23906  cnmpt22f  23907  cnmptcom  23910  cnmptkp  23912  cnmptk1  23913  cnmpt1k  23914  cnmptkk  23915  cnmptk1p  23917  cnmptk2  23918  cnmpt2k  23920  qtopss  23947  qtopeu  23948  qtopomap  23950  qtopcmap  23951  hmeof1o2  23995  xpstopnlem1  24041  xkocnv  24046  xkohmeo  24047  qtophmeo  24049  cnmpt1plusg  24319  cnmpt2plusg  24320  tsmsmhm  24378  cnmpt1vsca  24426  cnmpt2vsca  24427  cnmpt1ds  25075  cnmpt2ds  25076  fsumcn  25104  cnmpopc  25162  htpyco1  25212  htpyco2  25213  phtpyco2  25224  pi1xfrf  25287  pi1xfr  25289  pi1xfrcnvlem  25290  pi1xfrcnv  25291  pi1cof  25293  pi1coghm  25295  cnmpt1ip  25481  cnmpt2ip  25482  txsconnlem  35827  txsconn  35828  cvmlift3lem6  35911  fcnre  45867  refsumcn  45872  refsum2cnlem1  45879  fprodcnlem  46437  icccncfext  46723  itgsubsticclem  46811