Theorem cnf2 23514

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnf2	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn 23500	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
2	1	simprbda 504	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
3	2	3impa 1127	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ^◡ccnv 5647   “ cima 5651  ⟶wf 6524  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  TopOnctopon 23175   Cn ccn 23489

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-fv 6536  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8828  df-top 23159  df-topon 23176  df-cn 23492

This theorem is used by:  iscncl  23534  cncls2  23538  cncls  23539  cnntr  23540  cnrest2  23551  cnrest2r  23552  ptcn  23893  txdis1cn  23901  lmcn2  23915  cnmpt11  23929  cnmpt1t  23931  cnmpt12  23933  cnmpt21  23937  cnmpt2t  23939  cnmpt22  23940  cnmpt22f  23941  cnmptcom  23944  cnmptkp  23946  cnmptk1  23947  cnmpt1k  23948  cnmptkk  23949  cnmptk1p  23951  cnmptk2  23952  cnmpt2k  23954  qtopss  23981  qtopeu  23982  qtopomap  23984  qtopcmap  23985  hmeof1o2  24029  xpstopnlem1  24075  xkocnv  24080  xkohmeo  24081  qtophmeo  24083  cnmpt1plusg  24353  cnmpt2plusg  24354  tsmsmhm  24412  cnmpt1vsca  24460  cnmpt2vsca  24461  cnmpt1ds  25109  cnmpt2ds  25110  fsumcn  25138  cnmpopc  25196  htpyco1  25246  htpyco2  25247  phtpyco2  25258  pi1xfrf  25321  pi1xfr  25323  pi1xfrcnvlem  25324  pi1xfrcnv  25325  pi1cof  25327  pi1coghm  25329  cnmpt1ip  25515  cnmpt2ip  25516  txsconnlem  35920  txsconn  35921  cvmlift3lem6  36004  fcnre  45957  refsumcn  45962  refsum2cnlem1  45969  fprodcnlem  46527  icccncfext  46813  itgsubsticclem  46901