Theorem cnf2 23475

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnf2	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn 23461	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
2	1	simprbda 504	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
3	2	3impa 1127	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  TopOnctopon 23136   Cn ccn 23450

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-map 8831  df-top 23120  df-topon 23137  df-cn 23453

This theorem is used by:  iscncl  23495  cncls2  23499  cncls  23500  cnntr  23501  cnrest2  23512  cnrest2r  23513  ptcn  23854  txdis1cn  23862  lmcn2  23876  cnmpt11  23890  cnmpt1t  23892  cnmpt12  23894  cnmpt21  23898  cnmpt2t  23900  cnmpt22  23901  cnmpt22f  23902  cnmptcom  23905  cnmptkp  23907  cnmptk1  23908  cnmpt1k  23909  cnmptkk  23910  cnmptk1p  23912  cnmptk2  23913  cnmpt2k  23915  qtopss  23942  qtopeu  23943  qtopomap  23945  qtopcmap  23946  hmeof1o2  23990  xpstopnlem1  24036  xkocnv  24041  xkohmeo  24042  qtophmeo  24044  cnmpt1plusg  24314  cnmpt2plusg  24315  tsmsmhm  24373  cnmpt1vsca  24421  cnmpt2vsca  24422  cnmpt1ds  25070  cnmpt2ds  25071  fsumcn  25099  cnmpopc  25157  htpyco1  25207  htpyco2  25208  phtpyco2  25219  pi1xfrf  25282  pi1xfr  25284  pi1xfrcnvlem  25285  pi1xfrcnv  25286  pi1cof  25288  pi1coghm  25290  cnmpt1ip  25476  cnmpt2ip  25477  txsconnlem  35806  txsconn  35807  cvmlift3lem6  35890  fcnre  45846  refsumcn  45851  refsum2cnlem1  45858  fprodcnlem  46416  icccncfext  46702  itgsubsticclem  46790