Theorem cnf2 23164

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnf2	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn 23150	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
2	1	simprbda 498	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
3	2	3impa 1109	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ^◡ccnv 5613   “ cima 5617  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  TopOnctopon 22825   Cn ccn 23139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-map 8752  df-top 22809  df-topon 22826  df-cn 23142

This theorem is referenced by:  iscncl  23184  cncls2  23188  cncls  23189  cnntr  23190  cnrest2  23201  cnrest2r  23202  ptcn  23542  txdis1cn  23550  lmcn2  23564  cnmpt11  23578  cnmpt1t  23580  cnmpt12  23582  cnmpt21  23586  cnmpt2t  23588  cnmpt22  23589  cnmpt22f  23590  cnmptcom  23593  cnmptkp  23595  cnmptk1  23596  cnmpt1k  23597  cnmptkk  23598  cnmptk1p  23600  cnmptk2  23601  cnmpt2k  23603  qtopss  23630  qtopeu  23631  qtopomap  23633  qtopcmap  23634  hmeof1o2  23678  xpstopnlem1  23724  xkocnv  23729  xkohmeo  23730  qtophmeo  23732  cnmpt1plusg  24002  cnmpt2plusg  24003  tsmsmhm  24061  cnmpt1vsca  24109  cnmpt2vsca  24110  cnmpt1ds  24758  cnmpt2ds  24759  fsumcn  24788  cnmpopc  24849  htpyco1  24904  htpyco2  24905  phtpyco2  24916  pi1xfrf  24980  pi1xfr  24982  pi1xfrcnvlem  24983  pi1xfrcnv  24984  pi1cof  24986  pi1coghm  24988  cnmpt1ip  25174  cnmpt2ip  25175  txsconnlem  35284  txsconn  35285  cvmlift3lem6  35368  fcnre  45121  refsumcn  45126  refsum2cnlem1  45133  fprodcnlem  45698  icccncfext  45984  itgsubsticclem  46072