Theorem cnf2 23417

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnf2	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn 23403	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
2	1	simprbda 503	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
3	2	3impa 1126	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  ^◡ccnv 5659   “ cima 5663  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  TopOnctopon 23078   Cn ccn 23392

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8824  df-top 23062  df-topon 23079  df-cn 23395

This theorem is used by:  iscncl  23437  cncls2  23441  cncls  23442  cnntr  23443  cnrest2  23454  cnrest2r  23455  ptcn  23795  txdis1cn  23803  lmcn2  23817  cnmpt11  23831  cnmpt1t  23833  cnmpt12  23835  cnmpt21  23839  cnmpt2t  23841  cnmpt22  23842  cnmpt22f  23843  cnmptcom  23846  cnmptkp  23848  cnmptk1  23849  cnmpt1k  23850  cnmptkk  23851  cnmptk1p  23853  cnmptk2  23854  cnmpt2k  23856  qtopss  23883  qtopeu  23884  qtopomap  23886  qtopcmap  23887  hmeof1o2  23931  xpstopnlem1  23977  xkocnv  23982  xkohmeo  23983  qtophmeo  23985  cnmpt1plusg  24255  cnmpt2plusg  24256  tsmsmhm  24314  cnmpt1vsca  24362  cnmpt2vsca  24363  cnmpt1ds  25011  cnmpt2ds  25012  fsumcn  25040  cnmpopc  25098  htpyco1  25148  htpyco2  25149  phtpyco2  25160  pi1xfrf  25223  pi1xfr  25225  pi1xfrcnvlem  25226  pi1xfrcnv  25227  pi1cof  25229  pi1coghm  25231  cnmpt1ip  25417  cnmpt2ip  25418  txsconnlem  35740  txsconn  35741  cvmlift3lem6  35824  fcnre  45773  refsumcn  45778  refsum2cnlem1  45785  fprodcnlem  46343  icccncfext  46629  itgsubsticclem  46717