Theorem cnf2 23567

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnf2	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn 23553	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
2	1	simprbda 504	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
3	2	3impa 1127	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ^◡ccnv 5649   “ cima 5653  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  TopOnctopon 23228   Cn ccn 23542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8849  df-top 23212  df-topon 23229  df-cn 23545

This theorem is used by:  iscncl  23587  cncls2  23591  cncls  23592  cnntr  23593  cnrest2  23604  cnrest2r  23605  ptcn  23946  txdis1cn  23954  lmcn2  23968  cnmpt11  23982  cnmpt1t  23984  cnmpt12  23986  cnmpt21  23990  cnmpt2t  23992  cnmpt22  23993  cnmpt22f  23994  cnmptcom  23997  cnmptkp  23999  cnmptk1  24000  cnmpt1k  24001  cnmptkk  24002  cnmptk1p  24004  cnmptk2  24005  cnmpt2k  24007  qtopss  24034  qtopeu  24035  qtopomap  24037  qtopcmap  24038  hmeof1o2  24082  xpstopnlem1  24128  xkocnv  24133  xkohmeo  24134  qtophmeo  24136  cnmpt1plusg  24406  cnmpt2plusg  24407  tsmsmhm  24465  cnmpt1vsca  24513  cnmpt2vsca  24514  cnmpt1ds  25162  cnmpt2ds  25163  fsumcn  25191  cnmpopc  25249  htpyco1  25299  htpyco2  25300  phtpyco2  25311  pi1xfrf  25374  pi1xfr  25376  pi1xfrcnvlem  25377  pi1xfrcnv  25378  pi1cof  25380  pi1coghm  25382  cnmpt1ip  25568  cnmpt2ip  25569  txsconnlem  36005  txsconn  36006  cvmlift3lem6  36089  fcnre  46042  refsumcn  46047  refsum2cnlem1  46054  fprodcnlem  46611  icccncfext  46897  itgsubsticclem  46985