Theorem cnf2 23143

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnf2	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn 23129	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
2	1	simprbda 498	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
3	2	3impa 1109	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ^◡ccnv 5640   “ cima 5644  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  TopOnctopon 22804   Cn ccn 23118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-map 8804  df-top 22788  df-topon 22805  df-cn 23121

This theorem is referenced by:  iscncl  23163  cncls2  23167  cncls  23168  cnntr  23169  cnrest2  23180  cnrest2r  23181  ptcn  23521  txdis1cn  23529  lmcn2  23543  cnmpt11  23557  cnmpt1t  23559  cnmpt12  23561  cnmpt21  23565  cnmpt2t  23567  cnmpt22  23568  cnmpt22f  23569  cnmptcom  23572  cnmptkp  23574  cnmptk1  23575  cnmpt1k  23576  cnmptkk  23577  cnmptk1p  23579  cnmptk2  23580  cnmpt2k  23582  qtopss  23609  qtopeu  23610  qtopomap  23612  qtopcmap  23613  hmeof1o2  23657  xpstopnlem1  23703  xkocnv  23708  xkohmeo  23709  qtophmeo  23711  cnmpt1plusg  23981  cnmpt2plusg  23982  tsmsmhm  24040  cnmpt1vsca  24088  cnmpt2vsca  24089  cnmpt1ds  24738  cnmpt2ds  24739  fsumcn  24768  cnmpopc  24829  htpyco1  24884  htpyco2  24885  phtpyco2  24896  pi1xfrf  24960  pi1xfr  24962  pi1xfrcnvlem  24963  pi1xfrcnv  24964  pi1cof  24966  pi1coghm  24968  cnmpt1ip  25154  cnmpt2ip  25155  txsconnlem  35234  txsconn  35235  cvmlift3lem6  35318  fcnre  45026  refsumcn  45031  refsum2cnlem1  45038  fprodcnlem  45604  icccncfext  45892  itgsubsticclem  45980