Theorem cnf2 23170

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnf2	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn 23156	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
2	1	simprbda 498	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
3	2	3impa 1109	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  TopOnctopon 22831   Cn ccn 23145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-map 8778  df-top 22815  df-topon 22832  df-cn 23148

This theorem is referenced by:  iscncl  23190  cncls2  23194  cncls  23195  cnntr  23196  cnrest2  23207  cnrest2r  23208  ptcn  23548  txdis1cn  23556  lmcn2  23570  cnmpt11  23584  cnmpt1t  23586  cnmpt12  23588  cnmpt21  23592  cnmpt2t  23594  cnmpt22  23595  cnmpt22f  23596  cnmptcom  23599  cnmptkp  23601  cnmptk1  23602  cnmpt1k  23603  cnmptkk  23604  cnmptk1p  23606  cnmptk2  23607  cnmpt2k  23609  qtopss  23636  qtopeu  23637  qtopomap  23639  qtopcmap  23640  hmeof1o2  23684  xpstopnlem1  23730  xkocnv  23735  xkohmeo  23736  qtophmeo  23738  cnmpt1plusg  24008  cnmpt2plusg  24009  tsmsmhm  24067  cnmpt1vsca  24115  cnmpt2vsca  24116  cnmpt1ds  24765  cnmpt2ds  24766  fsumcn  24795  cnmpopc  24856  htpyco1  24911  htpyco2  24912  phtpyco2  24923  pi1xfrf  24987  pi1xfr  24989  pi1xfrcnvlem  24990  pi1xfrcnv  24991  pi1cof  24993  pi1coghm  24995  cnmpt1ip  25181  cnmpt2ip  25182  txsconnlem  35221  txsconn  35222  cvmlift3lem6  35305  fcnre  45013  refsumcn  45018  refsum2cnlem1  45025  fprodcnlem  45591  icccncfext  45879  itgsubsticclem  45967