Theorem cnf2 23074

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnf2	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn 23060	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
2	1	simprbda 498	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
3	2	3impa 1107	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053  ^◡ccnv 5665   “ cima 5669  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  TopOnctopon 22733   Cn ccn 23049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-map 8817  df-top 22717  df-topon 22734  df-cn 23052

This theorem is referenced by:  iscncl  23094  cncls2  23098  cncls  23099  cnntr  23100  cnrest2  23111  cnrest2r  23112  ptcn  23452  txdis1cn  23460  lmcn2  23474  cnmpt11  23488  cnmpt1t  23490  cnmpt12  23492  cnmpt21  23496  cnmpt2t  23498  cnmpt22  23499  cnmpt22f  23500  cnmptcom  23503  cnmptkp  23505  cnmptk1  23506  cnmpt1k  23507  cnmptkk  23508  cnmptk1p  23510  cnmptk2  23511  cnmpt2k  23513  qtopss  23540  qtopeu  23541  qtopomap  23543  qtopcmap  23544  hmeof1o2  23588  xpstopnlem1  23634  xkocnv  23639  xkohmeo  23640  qtophmeo  23642  cnmpt1plusg  23912  cnmpt2plusg  23913  tsmsmhm  23971  cnmpt1vsca  24019  cnmpt2vsca  24020  cnmpt1ds  24679  cnmpt2ds  24680  fsumcn  24709  cnmpopc  24770  htpyco1  24825  htpyco2  24826  phtpyco2  24837  pi1xfrf  24901  pi1xfr  24903  pi1xfrcnvlem  24904  pi1xfrcnv  24905  pi1cof  24907  pi1coghm  24909  cnmpt1ip  25096  cnmpt2ip  25097  txsconnlem  34686  txsconn  34687  cvmlift3lem6  34770  fcnre  44164  refsumcn  44169  refsum2cnlem1  44176  fprodcnlem  44766  icccncfext  45054  itgsubsticclem  45142