Theorem cnf2 23273

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnf2	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn 23259	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
2	1	simprbda 498	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
3	2	3impa 1109	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ^◡ccnv 5688   “ cima 5692  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  TopOnctopon 22932   Cn ccn 23248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-top 22916  df-topon 22933  df-cn 23251

This theorem is referenced by:  iscncl  23293  cncls2  23297  cncls  23298  cnntr  23299  cnrest2  23310  cnrest2r  23311  ptcn  23651  txdis1cn  23659  lmcn2  23673  cnmpt11  23687  cnmpt1t  23689  cnmpt12  23691  cnmpt21  23695  cnmpt2t  23697  cnmpt22  23698  cnmpt22f  23699  cnmptcom  23702  cnmptkp  23704  cnmptk1  23705  cnmpt1k  23706  cnmptkk  23707  cnmptk1p  23709  cnmptk2  23710  cnmpt2k  23712  qtopss  23739  qtopeu  23740  qtopomap  23742  qtopcmap  23743  hmeof1o2  23787  xpstopnlem1  23833  xkocnv  23838  xkohmeo  23839  qtophmeo  23841  cnmpt1plusg  24111  cnmpt2plusg  24112  tsmsmhm  24170  cnmpt1vsca  24218  cnmpt2vsca  24219  cnmpt1ds  24878  cnmpt2ds  24879  fsumcn  24908  cnmpopc  24969  htpyco1  25024  htpyco2  25025  phtpyco2  25036  pi1xfrf  25100  pi1xfr  25102  pi1xfrcnvlem  25103  pi1xfrcnv  25104  pi1cof  25106  pi1coghm  25108  cnmpt1ip  25295  cnmpt2ip  25296  txsconnlem  35225  txsconn  35226  cvmlift3lem6  35309  fcnre  44963  refsumcn  44968  refsum2cnlem1  44975  fprodcnlem  45555  icccncfext  45843  itgsubsticclem  45931