Theorem cnf2 23134

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnf2	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn 23120	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
2	1	simprbda 498	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
3	2	3impa 1109	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ^◡ccnv 5618   “ cima 5622  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  TopOnctopon 22795   Cn ccn 23109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-map 8755  df-top 22779  df-topon 22796  df-cn 23112

This theorem is referenced by:  iscncl  23154  cncls2  23158  cncls  23159  cnntr  23160  cnrest2  23171  cnrest2r  23172  ptcn  23512  txdis1cn  23520  lmcn2  23534  cnmpt11  23548  cnmpt1t  23550  cnmpt12  23552  cnmpt21  23556  cnmpt2t  23558  cnmpt22  23559  cnmpt22f  23560  cnmptcom  23563  cnmptkp  23565  cnmptk1  23566  cnmpt1k  23567  cnmptkk  23568  cnmptk1p  23570  cnmptk2  23571  cnmpt2k  23573  qtopss  23600  qtopeu  23601  qtopomap  23603  qtopcmap  23604  hmeof1o2  23648  xpstopnlem1  23694  xkocnv  23699  xkohmeo  23700  qtophmeo  23702  cnmpt1plusg  23972  cnmpt2plusg  23973  tsmsmhm  24031  cnmpt1vsca  24079  cnmpt2vsca  24080  cnmpt1ds  24729  cnmpt2ds  24730  fsumcn  24759  cnmpopc  24820  htpyco1  24875  htpyco2  24876  phtpyco2  24887  pi1xfrf  24951  pi1xfr  24953  pi1xfrcnvlem  24954  pi1xfrcnv  24955  pi1cof  24957  pi1coghm  24959  cnmpt1ip  25145  cnmpt2ip  25146  txsconnlem  35233  txsconn  35234  cvmlift3lem6  35317  fcnre  45023  refsumcn  45028  refsum2cnlem1  45035  fprodcnlem  45600  icccncfext  45888  itgsubsticclem  45976