Theorem cnf2 23236

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnf2	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn 23222	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
2	1	simprbda 500	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
3	2	3impa 1116	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  ^◡ccnv 5620   “ cima 5624  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  TopOnctopon 22897   Cn ccn 23211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-map 8769  df-top 22881  df-topon 22898  df-cn 23214

This theorem is referenced by:  iscncl  23256  cncls2  23260  cncls  23261  cnntr  23262  cnrest2  23273  cnrest2r  23274  ptcn  23614  txdis1cn  23622  lmcn2  23636  cnmpt11  23650  cnmpt1t  23652  cnmpt12  23654  cnmpt21  23658  cnmpt2t  23660  cnmpt22  23661  cnmpt22f  23662  cnmptcom  23665  cnmptkp  23667  cnmptk1  23668  cnmpt1k  23669  cnmptkk  23670  cnmptk1p  23672  cnmptk2  23673  cnmpt2k  23675  qtopss  23702  qtopeu  23703  qtopomap  23705  qtopcmap  23706  hmeof1o2  23750  xpstopnlem1  23796  xkocnv  23801  xkohmeo  23802  qtophmeo  23804  cnmpt1plusg  24074  cnmpt2plusg  24075  tsmsmhm  24133  cnmpt1vsca  24181  cnmpt2vsca  24182  cnmpt1ds  24830  cnmpt2ds  24831  fsumcn  24859  cnmpopc  24917  htpyco1  24967  htpyco2  24968  phtpyco2  24979  pi1xfrf  25042  pi1xfr  25044  pi1xfrcnvlem  25045  pi1xfrcnv  25046  pi1cof  25048  pi1coghm  25050  cnmpt1ip  25236  cnmpt2ip  25237  txsconnlem  35483  txsconn  35484  cvmlift3lem6  35567  fcnre  45488  refsumcn  45493  refsum2cnlem1  45500  fprodcnlem  46058  icccncfext  46344  itgsubsticclem  46432