Theorem cnf2 23136

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnf2	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn 23122	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
2	1	simprbda 498	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
3	2	3impa 1109	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ^◡ccnv 5637   “ cima 5641  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  TopOnctopon 22797   Cn ccn 23111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-map 8801  df-top 22781  df-topon 22798  df-cn 23114

This theorem is referenced by:  iscncl  23156  cncls2  23160  cncls  23161  cnntr  23162  cnrest2  23173  cnrest2r  23174  ptcn  23514  txdis1cn  23522  lmcn2  23536  cnmpt11  23550  cnmpt1t  23552  cnmpt12  23554  cnmpt21  23558  cnmpt2t  23560  cnmpt22  23561  cnmpt22f  23562  cnmptcom  23565  cnmptkp  23567  cnmptk1  23568  cnmpt1k  23569  cnmptkk  23570  cnmptk1p  23572  cnmptk2  23573  cnmpt2k  23575  qtopss  23602  qtopeu  23603  qtopomap  23605  qtopcmap  23606  hmeof1o2  23650  xpstopnlem1  23696  xkocnv  23701  xkohmeo  23702  qtophmeo  23704  cnmpt1plusg  23974  cnmpt2plusg  23975  tsmsmhm  24033  cnmpt1vsca  24081  cnmpt2vsca  24082  cnmpt1ds  24731  cnmpt2ds  24732  fsumcn  24761  cnmpopc  24822  htpyco1  24877  htpyco2  24878  phtpyco2  24889  pi1xfrf  24953  pi1xfr  24955  pi1xfrcnvlem  24956  pi1xfrcnv  24957  pi1cof  24959  pi1coghm  24961  cnmpt1ip  25147  cnmpt2ip  25148  txsconnlem  35227  txsconn  35228  cvmlift3lem6  35311  fcnre  45019  refsumcn  45024  refsum2cnlem1  45031  fprodcnlem  45597  icccncfext  45885  itgsubsticclem  45973