Theorem cnf2 23169

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnf2	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn 23155	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
2	1	simprbda 498	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
3	2	3impa 1109	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  TopOnctopon 22830   Cn ccn 23144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-map 8778  df-top 22814  df-topon 22831  df-cn 23147

This theorem is referenced by:  iscncl  23189  cncls2  23193  cncls  23194  cnntr  23195  cnrest2  23206  cnrest2r  23207  ptcn  23547  txdis1cn  23555  lmcn2  23569  cnmpt11  23583  cnmpt1t  23585  cnmpt12  23587  cnmpt21  23591  cnmpt2t  23593  cnmpt22  23594  cnmpt22f  23595  cnmptcom  23598  cnmptkp  23600  cnmptk1  23601  cnmpt1k  23602  cnmptkk  23603  cnmptk1p  23605  cnmptk2  23606  cnmpt2k  23608  qtopss  23635  qtopeu  23636  qtopomap  23638  qtopcmap  23639  hmeof1o2  23683  xpstopnlem1  23729  xkocnv  23734  xkohmeo  23735  qtophmeo  23737  cnmpt1plusg  24007  cnmpt2plusg  24008  tsmsmhm  24066  cnmpt1vsca  24114  cnmpt2vsca  24115  cnmpt1ds  24764  cnmpt2ds  24765  fsumcn  24794  cnmpopc  24855  htpyco1  24910  htpyco2  24911  phtpyco2  24922  pi1xfrf  24986  pi1xfr  24988  pi1xfrcnvlem  24989  pi1xfrcnv  24990  pi1cof  24992  pi1coghm  24994  cnmpt1ip  25180  cnmpt2ip  25181  txsconnlem  35220  txsconn  35221  cvmlift3lem6  35304  fcnre  45012  refsumcn  45017  refsum2cnlem1  45024  fprodcnlem  45590  icccncfext  45878  itgsubsticclem  45966