Theorem cnf2 23258

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnf2	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn 23244	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
2	1	simprbda 498	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
3	2	3impa 1109	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  ^◡ccnv 5683   “ cima 5687  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  TopOnctopon 22917   Cn ccn 23233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-map 8869  df-top 22901  df-topon 22918  df-cn 23236

This theorem is referenced by:  iscncl  23278  cncls2  23282  cncls  23283  cnntr  23284  cnrest2  23295  cnrest2r  23296  ptcn  23636  txdis1cn  23644  lmcn2  23658  cnmpt11  23672  cnmpt1t  23674  cnmpt12  23676  cnmpt21  23680  cnmpt2t  23682  cnmpt22  23683  cnmpt22f  23684  cnmptcom  23687  cnmptkp  23689  cnmptk1  23690  cnmpt1k  23691  cnmptkk  23692  cnmptk1p  23694  cnmptk2  23695  cnmpt2k  23697  qtopss  23724  qtopeu  23725  qtopomap  23727  qtopcmap  23728  hmeof1o2  23772  xpstopnlem1  23818  xkocnv  23823  xkohmeo  23824  qtophmeo  23826  cnmpt1plusg  24096  cnmpt2plusg  24097  tsmsmhm  24155  cnmpt1vsca  24203  cnmpt2vsca  24204  cnmpt1ds  24865  cnmpt2ds  24866  fsumcn  24895  cnmpopc  24956  htpyco1  25011  htpyco2  25012  phtpyco2  25023  pi1xfrf  25087  pi1xfr  25089  pi1xfrcnvlem  25090  pi1xfrcnv  25091  pi1cof  25093  pi1coghm  25095  cnmpt1ip  25282  cnmpt2ip  25283  txsconnlem  35246  txsconn  35247  cvmlift3lem6  35330  fcnre  45035  refsumcn  45040  refsum2cnlem1  45047  fprodcnlem  45619  icccncfext  45907  itgsubsticclem  45995