Theorem cnf2 23278

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnf2	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn 23264	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
2	1	simprbda 498	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
3	2	3impa 1110	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ^◡ccnv 5699   “ cima 5703  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  TopOnctopon 22937   Cn ccn 23253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-map 8886  df-top 22921  df-topon 22938  df-cn 23256

This theorem is referenced by:  iscncl  23298  cncls2  23302  cncls  23303  cnntr  23304  cnrest2  23315  cnrest2r  23316  ptcn  23656  txdis1cn  23664  lmcn2  23678  cnmpt11  23692  cnmpt1t  23694  cnmpt12  23696  cnmpt21  23700  cnmpt2t  23702  cnmpt22  23703  cnmpt22f  23704  cnmptcom  23707  cnmptkp  23709  cnmptk1  23710  cnmpt1k  23711  cnmptkk  23712  cnmptk1p  23714  cnmptk2  23715  cnmpt2k  23717  qtopss  23744  qtopeu  23745  qtopomap  23747  qtopcmap  23748  hmeof1o2  23792  xpstopnlem1  23838  xkocnv  23843  xkohmeo  23844  qtophmeo  23846  cnmpt1plusg  24116  cnmpt2plusg  24117  tsmsmhm  24175  cnmpt1vsca  24223  cnmpt2vsca  24224  cnmpt1ds  24883  cnmpt2ds  24884  fsumcn  24913  cnmpopc  24974  htpyco1  25029  htpyco2  25030  phtpyco2  25041  pi1xfrf  25105  pi1xfr  25107  pi1xfrcnvlem  25108  pi1xfrcnv  25109  pi1cof  25111  pi1coghm  25113  cnmpt1ip  25300  cnmpt2ip  25301  txsconnlem  35208  txsconn  35209  cvmlift3lem6  35292  fcnre  44925  refsumcn  44930  refsum2cnlem1  44937  fprodcnlem  45520  icccncfext  45808  itgsubsticclem  45896