Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  crng12d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crng12d 41545
Description: Commutative/associative law that swaps the first two factors in a triple product. (Contributed by SN, 8-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
crng12d.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
crng12d.t · = (.r𝑅)
crng12d.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
crng12d.1 (𝜑𝑋𝐵)
crng12d.2 (𝜑𝑌𝐵)
crng12d.3 (𝜑𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
crng12d (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)) = (𝑌 · (𝑋 · 𝑍)))

Proof of Theorem crng12d
StepHypRef Expression
1 crng12d.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 crng12d.t . . . 4 · = (.r𝑅)
3 crng12d.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
4 crng12d.1 . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
5 crng12d.2 . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
61, 2, 3, 4, 5crngcomd 41544 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))
76oveq1d 7416 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = ((𝑌 · 𝑋) · 𝑍))
83crngringd 20136 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
9 crng12d.3 . . 3 (𝜑𝑍𝐵)
101, 2, 8, 4, 5, 9ringassd 20146 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)))
111, 2, 8, 5, 4, 9ringassd 20146 . 2 (𝜑 → ((𝑌 · 𝑋) · 𝑍) = (𝑌 · (𝑋 · 𝑍)))
127, 10, 113eqtr3d 2772 1 (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)) = (𝑌 · (𝑋 · 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  CRingccrg 20124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-cmn 19687  df-mgp 20025  df-ring 20125  df-cring 20126
This theorem is referenced by:  mhphf  41624
  Copyright terms: Public domain W3C validator