Theorem crng12d 20161

Description: Commutative/associative law that swaps the first two factors in a triple product in a commutative ring. See also mul12d 11343. (Contributed by SN, 8-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
crng12d.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
crng12d.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
crng12d.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
crng12d.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
crng12d.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
crng12d.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
crng12d	⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)) = (𝑌 · (𝑋 · 𝑍)))

Proof of Theorem crng12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crng12d.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		crng12d.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		crng12d.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
4		crng12d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		crng12d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	crngcomd 20158	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))
7	6	oveq1d 7368	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = ((𝑌 · 𝑋) · 𝑍))
8	3	crngringd 20149	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		crng12d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
10	1, 2, 8, 4, 5, 9	ringassd 20160	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)))
11	1, 2, 8, 5, 4, 9	ringassd 20160	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝑋) · 𝑍) = (𝑌 · (𝑋 · 𝑍)))
12	7, 10, 11	3eqtr3d 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)) = (𝑌 · (𝑋 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  ._rcmulr 17180  CRingccrg 20137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-cmn 19679  df-mgp 20044  df-ring 20138  df-cring 20139

This theorem is referenced by:  erler  33215  rloccring  33220  rprmasso2  33473  1arithufdlem3  33493  mhphf  42570