Theorem elirng 34076

Description: Property for an element 𝑋 of a field 𝑅 to be integral over a subring 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
irngval.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
irngval.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
irngval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
irngval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
elirng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
elirng.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
elirng	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑓)‘𝑋) = 0 )))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝑂   𝑅,𝑓   𝑆,𝑓   𝑈,𝑓   𝑓,𝑋   𝜑,𝑓

Allowed substitution hint:   0 (𝑓)

Proof of Theorem elirng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		irngval.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
2		irngval.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
3		irngval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		irngval.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		elirng.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6	5	crngringd 20323	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		elirng.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
8	3	subrgss 20671	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
9	7, 8	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
10	1, 2, 3, 4, 6, 9	irngval 34075	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 IntgRing 𝑆) = ∪ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)(◡(𝑂‘𝑓) “ { 0 }))
11	10	eleq2d 2849	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ 𝑋 ∈ ∪ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)(◡(𝑂‘𝑓) “ { 0 })))
12		eliun 4960	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ∪ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)(◡(𝑂‘𝑓) “ { 0 }) ↔ ∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)𝑋 ∈ (◡(𝑂‘𝑓) “ { 0 }))
13	11, 12	bitrdi 290	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ ∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)𝑋 ∈ (◡(𝑂‘𝑓) “ { 0 })))
14		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
15		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
16	6	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
17	3	fvexi 6895	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)) → 𝐵 ∈ V)
19		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Poly1‘𝑈) = (Poly1‘𝑈)
20	1, 3, 14, 2, 19	evls1rhm 22482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑂 ∈ ((Poly1‘𝑈) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
21	5, 7, 20	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ((Poly1‘𝑈) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
22		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑈)) = (Base‘(Poly1‘𝑈))
23	22, 15	rhmf 20563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂 ∈ ((Poly1‘𝑈) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑂:(Base‘(Poly1‘𝑈))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
24	21, 23	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂:(Base‘(Poly1‘𝑈))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
25	24	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)) → 𝑂:(Base‘(Poly1‘𝑈))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
26		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Monic1p‘𝑈) = (Monic1p‘𝑈)
27	19, 22, 26	mon1pcl 26302	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈) → 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑈)))
28	27	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)) → 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑈)))
29	25, 28	ffvelcdmd 7080	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)) → (𝑂‘𝑓) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
30	14, 3, 15, 16, 18, 29	pwselbas 17537	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)) → (𝑂‘𝑓):𝐵⟶𝐵)
31		ffn 6705	. . . . 5 ⊢ ((𝑂‘𝑓):𝐵⟶𝐵 → (𝑂‘𝑓) Fn 𝐵)
32		fniniseg 7055	. . . . 5 ⊢ ((𝑂‘𝑓) Fn 𝐵 → (𝑋 ∈ (◡(𝑂‘𝑓) “ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑓)‘𝑋) = 0 )))
33	30, 31, 32	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)) → (𝑋 ∈ (◡(𝑂‘𝑓) “ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑓)‘𝑋) = 0 )))
34	33	rexbidva 3187	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)𝑋 ∈ (◡(𝑂‘𝑓) “ { 0 }) ↔ ∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)(𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑓)‘𝑋) = 0 )))
35	13, 34	bitrd 282	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ ∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)(𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑓)‘𝑋) = 0 )))
36		r19.42v 3197	. 2 ⊢ (∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)(𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑓)‘𝑋) = 0 ) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑓)‘𝑋) = 0 ))
37	35, 36	bitrdi 290	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑓)‘𝑋) = 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  {csn 4589  ∪ ciun 4956  ^◡ccnv 5660   “ cima 5664   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264   ↾_s cress 17285  0_gc0g 17487   ↑_s cpws 17494  Ringcrg 20310  CRingccrg 20311   RingHom crh 20547  SubRingcsubrg 20668  Poly₁cpl1 22337   evalSub₁ ces1 22473  Monic_1pcmn1 26283   IntgRing cirng 34073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-hom 17329  df-cco 17330  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-prds 17495  df-pws 17497  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-mulg 19129  df-subg 19184  df-ghm 19279  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-srg 20264  df-ring 20312  df-cring 20313  df-rhm 20550  df-subrng 20645  df-subrg 20669  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lsp 21093  df-assa 22003  df-asp 22004  df-ascl 22005  df-psr 22059  df-mvr 22060  df-mpl 22061  df-opsr 22063  df-evls 22225  df-psr1 22340  df-ply1 22342  df-evls1 22475  df-mon1 26288  df-irng 34074

This theorem is referenced by:  irngss  34077  irngssv  34078  0ringirng  34079  irngnzply1lem  34080  irngnzply1  34081  minplyelirng  34105  irredminply  34106  rtelextdg2lem  34116