Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elirng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elirng 33205
Description: Property for an element 𝑋 of a field 𝑅 to be integral over a subring 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
irngval.o 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
irngval.u π‘ˆ = (𝑅 β†Ύs 𝑆)
irngval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
irngval.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
elirng.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
elirng.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
Assertion
Ref Expression
elirng (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘“ ∈ (Monic1pβ€˜π‘ˆ)((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π‘‹) = 0 )))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑓,𝑂   𝑅,𝑓   𝑆,𝑓   π‘ˆ,𝑓   𝑓,𝑋   πœ‘,𝑓
Allowed substitution hint:   0 (𝑓)

Proof of Theorem elirng
StepHypRef Expression
1 irngval.o . . . . . 6 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
2 irngval.u . . . . . 6 π‘ˆ = (𝑅 β†Ύs 𝑆)
3 irngval.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
4 irngval.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘…)
5 elirng.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
65crngringd 20147 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
7 elirng.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
83subrgss 20470 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
97, 8syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
101, 2, 3, 4, 6, 9irngval 33204 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑅 IntgRing 𝑆) = βˆͺ 𝑓 ∈ (Monic1pβ€˜π‘ˆ)(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ { 0 }))
1110eleq2d 2818 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ 𝑋 ∈ βˆͺ 𝑓 ∈ (Monic1pβ€˜π‘ˆ)(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ { 0 })))
12 eliun 5001 . . . 4 (𝑋 ∈ βˆͺ 𝑓 ∈ (Monic1pβ€˜π‘ˆ)(β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ { 0 }) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (Monic1pβ€˜π‘ˆ)𝑋 ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ { 0 }))
1311, 12bitrdi 287 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (Monic1pβ€˜π‘ˆ)𝑋 ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ { 0 })))
14 eqid 2731 . . . . . 6 (𝑅 ↑s 𝐡) = (𝑅 ↑s 𝐡)
15 eqid 2731 . . . . . 6 (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐡)) = (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐡))
166adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Monic1pβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
173fvexi 6905 . . . . . . 7 𝐡 ∈ V
1817a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Monic1pβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝐡 ∈ V)
19 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (Poly1β€˜π‘ˆ) = (Poly1β€˜π‘ˆ)
201, 3, 14, 2, 19evls1rhm 22161 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝑂 ∈ ((Poly1β€˜π‘ˆ) RingHom (𝑅 ↑s 𝐡)))
215, 7, 20syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ ((Poly1β€˜π‘ˆ) RingHom (𝑅 ↑s 𝐡)))
22 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘ˆ)) = (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘ˆ))
2322, 15rhmf 20383 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ ((Poly1β€˜π‘ˆ) RingHom (𝑅 ↑s 𝐡)) β†’ 𝑂:(Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘ˆ))⟢(Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐡)))
2421, 23syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑂:(Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘ˆ))⟢(Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐡)))
2524adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Monic1pβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝑂:(Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘ˆ))⟢(Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐡)))
26 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (Monic1pβ€˜π‘ˆ) = (Monic1pβ€˜π‘ˆ)
2719, 22, 26mon1pcl 26000 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (Monic1pβ€˜π‘ˆ) β†’ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘ˆ)))
2827adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Monic1pβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘ˆ)))
2925, 28ffvelcdmd 7087 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Monic1pβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘‚β€˜π‘“) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐡)))
3014, 3, 15, 16, 18, 29pwselbas 17442 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Monic1pβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘‚β€˜π‘“):𝐡⟢𝐡)
31 ffn 6717 . . . . 5 ((π‘‚β€˜π‘“):𝐡⟢𝐡 β†’ (π‘‚β€˜π‘“) Fn 𝐡)
32 fniniseg 7061 . . . . 5 ((π‘‚β€˜π‘“) Fn 𝐡 β†’ (𝑋 ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π‘‹) = 0 )))
3330, 31, 323syl 18 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Monic1pβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑋 ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π‘‹) = 0 )))
3433rexbidva 3175 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (Monic1pβ€˜π‘ˆ)𝑋 ∈ (β—‘(π‘‚β€˜π‘“) β€œ { 0 }) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (Monic1pβ€˜π‘ˆ)(𝑋 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π‘‹) = 0 )))
3513, 34bitrd 279 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (Monic1pβ€˜π‘ˆ)(𝑋 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π‘‹) = 0 )))
36 r19.42v 3189 . 2 (βˆƒπ‘“ ∈ (Monic1pβ€˜π‘ˆ)(𝑋 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π‘‹) = 0 ) ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘“ ∈ (Monic1pβ€˜π‘ˆ)((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π‘‹) = 0 ))
3735, 36bitrdi 287 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘“ ∈ (Monic1pβ€˜π‘ˆ)((π‘‚β€˜π‘“)β€˜π‘‹) = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βˆͺ ciun 4997  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151   β†Ύs cress 17180  0gc0g 17392   ↑s cpws 17399  Ringcrg 20134  CRingccrg 20135   RingHom crh 20367  SubRingcsubrg 20465  Poly1cpl1 22020   evalSub1 ces1 22152  Monic1pcmn1 25981   IntgRing cirng 33202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-hash 14298  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-srg 20088  df-ring 20136  df-cring 20137  df-rhm 20370  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-assa 21718  df-asp 21719  df-ascl 21720  df-psr 21772  df-mvr 21773  df-mpl 21774  df-opsr 21776  df-evls 21946  df-psr1 22023  df-ply1 22025  df-evls1 22154  df-mon1 25986  df-irng 33203
This theorem is referenced by:  irngss  33206  irngssv  33207  0ringirng  33208  irngnzply1lem  33209  irngnzply1  33210
  Copyright terms: Public domain W3C validator