Theorem elirng 33736

Description: Property for an element 𝑋 of a field 𝑅 to be integral over a subring 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
irngval.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
irngval.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
irngval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
irngval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
elirng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
elirng.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
elirng	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑓)‘𝑋) = 0 )))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝑂   𝑅,𝑓   𝑆,𝑓   𝑈,𝑓   𝑓,𝑋   𝜑,𝑓

Allowed substitution hint:   0 (𝑓)

Proof of Theorem elirng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		irngval.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
2		irngval.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
3		irngval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		irngval.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		elirng.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6	5	crngringd 20243	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		elirng.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
8	3	subrgss 20572	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
10	1, 2, 3, 4, 6, 9	irngval 33735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 IntgRing 𝑆) = ∪ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)(◡(𝑂‘𝑓) “ { 0 }))
11	10	eleq2d 2827	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ 𝑋 ∈ ∪ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)(◡(𝑂‘𝑓) “ { 0 })))
12		eliun 4995	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ∪ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)(◡(𝑂‘𝑓) “ { 0 }) ↔ ∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)𝑋 ∈ (◡(𝑂‘𝑓) “ { 0 }))
13	11, 12	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ ∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)𝑋 ∈ (◡(𝑂‘𝑓) “ { 0 })))
14		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
15		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
16	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
17	3	fvexi 6920	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)) → 𝐵 ∈ V)
19		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Poly1‘𝑈) = (Poly1‘𝑈)
20	1, 3, 14, 2, 19	evls1rhm 22326	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑂 ∈ ((Poly1‘𝑈) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
21	5, 7, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ((Poly1‘𝑈) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
22		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑈)) = (Base‘(Poly1‘𝑈))
23	22, 15	rhmf 20485	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂 ∈ ((Poly1‘𝑈) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑂:(Base‘(Poly1‘𝑈))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
24	21, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂:(Base‘(Poly1‘𝑈))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
25	24	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)) → 𝑂:(Base‘(Poly1‘𝑈))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
26		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Monic1p‘𝑈) = (Monic1p‘𝑈)
27	19, 22, 26	mon1pcl 26184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈) → 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑈)))
28	27	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)) → 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑈)))
29	25, 28	ffvelcdmd 7105	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)) → (𝑂‘𝑓) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
30	14, 3, 15, 16, 18, 29	pwselbas 17534	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)) → (𝑂‘𝑓):𝐵⟶𝐵)
31		ffn 6736	. . . . 5 ⊢ ((𝑂‘𝑓):𝐵⟶𝐵 → (𝑂‘𝑓) Fn 𝐵)
32		fniniseg 7080	. . . . 5 ⊢ ((𝑂‘𝑓) Fn 𝐵 → (𝑋 ∈ (◡(𝑂‘𝑓) “ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑓)‘𝑋) = 0 )))
33	30, 31, 32	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)) → (𝑋 ∈ (◡(𝑂‘𝑓) “ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑓)‘𝑋) = 0 )))
34	33	rexbidva 3177	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)𝑋 ∈ (◡(𝑂‘𝑓) “ { 0 }) ↔ ∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)(𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑓)‘𝑋) = 0 )))
35	13, 34	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ ∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)(𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑓)‘𝑋) = 0 )))
36		r19.42v 3191	. 2 ⊢ (∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)(𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑓)‘𝑋) = 0 ) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑓)‘𝑋) = 0 ))
37	35, 36	bitrdi 287	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑓)‘𝑋) = 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  {csn 4626  ∪ ciun 4991  ^◡ccnv 5684   “ cima 5688   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  0_gc0g 17484   ↑_s cpws 17491  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231   RingHom crh 20469  SubRingcsubrg 20569  Poly₁cpl1 22178   evalSub₁ ces1 22317  Monic_1pcmn1 26165   IntgRing cirng 33733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-srg 20184  df-ring 20232  df-cring 20233  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-assa 21873  df-asp 21874  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-evls 22098  df-psr1 22181  df-ply1 22183  df-evls1 22319  df-mon1 26170  df-irng 33734

This theorem is referenced by:  irngss  33737  irngssv  33738  0ringirng  33739  irngnzply1lem  33740  irngnzply1  33741  irredminply  33757  rtelextdg2lem  33767