Theorem elirng 33699

Description: Property for an element 𝑋 of a field 𝑅 to be integral over a subring 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
irngval.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
irngval.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
irngval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
irngval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
elirng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
elirng.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
elirng	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑓)‘𝑋) = 0 )))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝑂   𝑅,𝑓   𝑆,𝑓   𝑈,𝑓   𝑓,𝑋   𝜑,𝑓

Allowed substitution hint:   0 (𝑓)

Proof of Theorem elirng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		irngval.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
2		irngval.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
3		irngval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		irngval.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		elirng.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6	5	crngringd 20164	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		elirng.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
8	3	subrgss 20487	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
10	1, 2, 3, 4, 6, 9	irngval 33698	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 IntgRing 𝑆) = ∪ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)(◡(𝑂‘𝑓) “ { 0 }))
11	10	eleq2d 2817	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ 𝑋 ∈ ∪ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)(◡(𝑂‘𝑓) “ { 0 })))
12		eliun 4943	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ∪ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)(◡(𝑂‘𝑓) “ { 0 }) ↔ ∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)𝑋 ∈ (◡(𝑂‘𝑓) “ { 0 }))
13	11, 12	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ ∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)𝑋 ∈ (◡(𝑂‘𝑓) “ { 0 })))
14		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
15		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
16	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
17	3	fvexi 6836	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)) → 𝐵 ∈ V)
19		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Poly1‘𝑈) = (Poly1‘𝑈)
20	1, 3, 14, 2, 19	evls1rhm 22237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑂 ∈ ((Poly1‘𝑈) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
21	5, 7, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ((Poly1‘𝑈) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
22		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑈)) = (Base‘(Poly1‘𝑈))
23	22, 15	rhmf 20402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂 ∈ ((Poly1‘𝑈) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑂:(Base‘(Poly1‘𝑈))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
24	21, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂:(Base‘(Poly1‘𝑈))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
25	24	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)) → 𝑂:(Base‘(Poly1‘𝑈))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
26		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (Monic1p‘𝑈) = (Monic1p‘𝑈)
27	19, 22, 26	mon1pcl 26077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈) → 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑈)))
28	27	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)) → 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑈)))
29	25, 28	ffvelcdmd 7018	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)) → (𝑂‘𝑓) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
30	14, 3, 15, 16, 18, 29	pwselbas 17393	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)) → (𝑂‘𝑓):𝐵⟶𝐵)
31		ffn 6651	. . . . 5 ⊢ ((𝑂‘𝑓):𝐵⟶𝐵 → (𝑂‘𝑓) Fn 𝐵)
32		fniniseg 6993	. . . . 5 ⊢ ((𝑂‘𝑓) Fn 𝐵 → (𝑋 ∈ (◡(𝑂‘𝑓) “ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑓)‘𝑋) = 0 )))
33	30, 31, 32	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)) → (𝑋 ∈ (◡(𝑂‘𝑓) “ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑓)‘𝑋) = 0 )))
34	33	rexbidva 3154	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)𝑋 ∈ (◡(𝑂‘𝑓) “ { 0 }) ↔ ∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)(𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑓)‘𝑋) = 0 )))
35	13, 34	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ ∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)(𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑓)‘𝑋) = 0 )))
36		r19.42v 3164	. 2 ⊢ (∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)(𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑓)‘𝑋) = 0 ) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑓)‘𝑋) = 0 ))
37	35, 36	bitrdi 287	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑓)‘𝑋) = 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  {csn 4573  ∪ ciun 4939  ^◡ccnv 5613   “ cima 5617   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  0_gc0g 17343   ↑_s cpws 17350  Ringcrg 20151  CRingccrg 20152   RingHom crh 20387  SubRingcsubrg 20484  Poly₁cpl1 22089   evalSub₁ ces1 22228  Monic_1pcmn1 26058   IntgRing cirng 33696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-mulg 18981  df-subg 19036  df-ghm 19125  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-srg 20105  df-ring 20153  df-cring 20154  df-rhm 20390  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-lsp 20905  df-assa 21790  df-asp 21791  df-ascl 21792  df-psr 21846  df-mvr 21847  df-mpl 21848  df-opsr 21850  df-evls 22009  df-psr1 22092  df-ply1 22094  df-evls1 22230  df-mon1 26063  df-irng 33697

This theorem is referenced by:  irngss  33700  irngssv  33701  0ringirng  33702  irngnzply1lem  33703  irngnzply1  33704  minplyelirng  33728  irredminply  33729  rtelextdg2lem  33739