Theorem elirng 33653

Description: Property for an element 𝑋 of a field 𝑅 to be integral over a subring 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
irngval.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
irngval.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
irngval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
irngval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
elirng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
elirng.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
elirng	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑓)‘𝑋) = 0 )))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝑂   𝑅,𝑓   𝑆,𝑓   𝑈,𝑓   𝑓,𝑋   𝜑,𝑓

Allowed substitution hint:   0 (𝑓)

Proof of Theorem elirng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		irngval.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
2		irngval.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
3		irngval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		irngval.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		elirng.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6	5	crngringd 20131	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		elirng.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
8	3	subrgss 20457	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
10	1, 2, 3, 4, 6, 9	irngval 33652	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 IntgRing 𝑆) = ∪ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)(◡(𝑂‘𝑓) “ { 0 }))
11	10	eleq2d 2814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ 𝑋 ∈ ∪ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)(◡(𝑂‘𝑓) “ { 0 })))
12		eliun 4945	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ∪ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)(◡(𝑂‘𝑓) “ { 0 }) ↔ ∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)𝑋 ∈ (◡(𝑂‘𝑓) “ { 0 }))
13	11, 12	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ ∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)𝑋 ∈ (◡(𝑂‘𝑓) “ { 0 })))
14		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
15		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
16	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
17	3	fvexi 6836	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)) → 𝐵 ∈ V)
19		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Poly1‘𝑈) = (Poly1‘𝑈)
20	1, 3, 14, 2, 19	evls1rhm 22207	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑂 ∈ ((Poly1‘𝑈) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
21	5, 7, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ((Poly1‘𝑈) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
22		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑈)) = (Base‘(Poly1‘𝑈))
23	22, 15	rhmf 20370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂 ∈ ((Poly1‘𝑈) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑂:(Base‘(Poly1‘𝑈))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
24	21, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂:(Base‘(Poly1‘𝑈))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
25	24	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)) → 𝑂:(Base‘(Poly1‘𝑈))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
26		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Monic1p‘𝑈) = (Monic1p‘𝑈)
27	19, 22, 26	mon1pcl 26048	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈) → 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑈)))
28	27	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)) → 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑈)))
29	25, 28	ffvelcdmd 7019	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)) → (𝑂‘𝑓) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
30	14, 3, 15, 16, 18, 29	pwselbas 17393	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)) → (𝑂‘𝑓):𝐵⟶𝐵)
31		ffn 6652	. . . . 5 ⊢ ((𝑂‘𝑓):𝐵⟶𝐵 → (𝑂‘𝑓) Fn 𝐵)
32		fniniseg 6994	. . . . 5 ⊢ ((𝑂‘𝑓) Fn 𝐵 → (𝑋 ∈ (◡(𝑂‘𝑓) “ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑓)‘𝑋) = 0 )))
33	30, 31, 32	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)) → (𝑋 ∈ (◡(𝑂‘𝑓) “ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑓)‘𝑋) = 0 )))
34	33	rexbidva 3151	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)𝑋 ∈ (◡(𝑂‘𝑓) “ { 0 }) ↔ ∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)(𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑓)‘𝑋) = 0 )))
35	13, 34	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ ∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)(𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑓)‘𝑋) = 0 )))
36		r19.42v 3161	. 2 ⊢ (∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)(𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑓)‘𝑋) = 0 ) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑓)‘𝑋) = 0 ))
37	35, 36	bitrdi 287	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑓)‘𝑋) = 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903  {csn 4577  ∪ ciun 4941  ^◡ccnv 5618   “ cima 5622   Fn wfn 6477  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  0_gc0g 17343   ↑_s cpws 17350  Ringcrg 20118  CRingccrg 20119   RingHom crh 20354  SubRingcsubrg 20454  Poly₁cpl1 22059   evalSub₁ ces1 22198  Monic_1pcmn1 26029   IntgRing cirng 33650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-ofr 7614  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-mulg 18947  df-subg 19002  df-ghm 19092  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-srg 20072  df-ring 20120  df-cring 20121  df-rhm 20357  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-lsp 20875  df-assa 21760  df-asp 21761  df-ascl 21762  df-psr 21816  df-mvr 21817  df-mpl 21818  df-opsr 21820  df-evls 21979  df-psr1 22062  df-ply1 22064  df-evls1 22200  df-mon1 26034  df-irng 33651

This theorem is referenced by:  irngss  33654  irngssv  33655  0ringirng  33656  irngnzply1lem  33657  irngnzply1  33658  minplyelirng  33682  irredminply  33683  rtelextdg2lem  33693