MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1fermltlchr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ply1fermltlchr 22186
Description: Fermat's little theorem for polynomials in a commutative ring 𝐹 of characteristic 𝑃 prime: we have the polynomial equation (𝑋 + 𝐴)↑𝑃 = ((𝑋↑𝑃) + 𝐴). (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1fermltlchr.w π‘Š = (Poly1β€˜πΉ)
ply1fermltlchr.x 𝑋 = (var1β€˜πΉ)
ply1fermltlchr.l + = (+gβ€˜π‘Š)
ply1fermltlchr.n 𝑁 = (mulGrpβ€˜π‘Š)
ply1fermltlchr.t ↑ = (.gβ€˜π‘)
ply1fermltlchr.c 𝐢 = (algScβ€˜π‘Š)
ply1fermltlchr.a 𝐴 = (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))
ply1fermltlchr.p 𝑃 = (chrβ€˜πΉ)
ply1fermltlchr.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ CRing)
ply1fermltlchr.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
ply1fermltlchr.2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„€)
Assertion
Ref Expression
ply1fermltlchr (πœ‘ β†’ (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝐴)) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + 𝐴))
Proof of Theorem ply1fermltlchr
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . 3 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2 ply1fermltlchr.l . . 3 + = (+gβ€˜π‘Š)
3 ply1fermltlchr.t . . . 4 ↑ = (.gβ€˜π‘)
4 ply1fermltlchr.n . . . . 5 𝑁 = (mulGrpβ€˜π‘Š)
54fveq2i 6888 . . . 4 (.gβ€˜π‘) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))
63, 5eqtri 2754 . . 3 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))
7 eqid 2726 . . 3 (chrβ€˜π‘Š) = (chrβ€˜π‘Š)
8 ply1fermltlchr.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ CRing)
9 ply1fermltlchr.w . . . . 5 π‘Š = (Poly1β€˜πΉ)
109ply1crng 22072 . . . 4 (𝐹 ∈ CRing β†’ π‘Š ∈ CRing)
118, 10syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ CRing)
129ply1chr 22180 . . . . . 6 (𝐹 ∈ CRing β†’ (chrβ€˜π‘Š) = (chrβ€˜πΉ))
138, 12syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (chrβ€˜π‘Š) = (chrβ€˜πΉ))
14 ply1fermltlchr.p . . . . 5 𝑃 = (chrβ€˜πΉ)
1513, 14eqtr4di 2784 . . . 4 (πœ‘ β†’ (chrβ€˜π‘Š) = 𝑃)
16 ply1fermltlchr.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
1715, 16eqeltrd 2827 . . 3 (πœ‘ β†’ (chrβ€˜π‘Š) ∈ β„™)
188crngringd 20151 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Ring)
19 ply1fermltlchr.x . . . . 5 𝑋 = (var1β€˜πΉ)
2019, 9, 1vr1cl 22091 . . . 4 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
2118, 20syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
22 ply1fermltlchr.a . . . 4 𝐴 = (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))
23 eqid 2726 . . . . . . . 8 (β„€RHomβ€˜πΉ) = (β„€RHomβ€˜πΉ)
2423zrhrhm 21398 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Ring β†’ (β„€RHomβ€˜πΉ) ∈ (β„€ring RingHom 𝐹))
25 zringbas 21340 . . . . . . . 8 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
26 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
2725, 26rhmf 20387 . . . . . . 7 ((β„€RHomβ€˜πΉ) ∈ (β„€ring RingHom 𝐹) β†’ (β„€RHomβ€˜πΉ):β„€βŸΆ(Baseβ€˜πΉ))
2818, 24, 273syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„€RHomβ€˜πΉ):β„€βŸΆ(Baseβ€˜πΉ))
29 ply1fermltlchr.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„€)
3028, 29ffvelcdmd 7081 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
31 ply1fermltlchr.c . . . . . 6 𝐢 = (algScβ€˜π‘Š)
329, 31, 26, 1ply1sclcl 22160 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Ring ∧ ((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ)) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
3318, 30, 32syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ)) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
3422, 33eqeltrid 2831 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
351, 2, 6, 7, 11, 17, 21, 34freshmansdream 21469 . 2 (πœ‘ β†’ ((chrβ€˜π‘Š) ↑ (𝑋 + 𝐴)) = (((chrβ€˜π‘Š) ↑ 𝑋) + ((chrβ€˜π‘Š) ↑ 𝐴)))
3615oveq1d 7420 . 2 (πœ‘ β†’ ((chrβ€˜π‘Š) ↑ (𝑋 + 𝐴)) = (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝐴)))
3715oveq1d 7420 . . 3 (πœ‘ β†’ ((chrβ€˜π‘Š) ↑ 𝑋) = (𝑃 ↑ 𝑋))
3815oveq1d 7420 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((chrβ€˜π‘Š) ↑ 𝐴) = (𝑃 ↑ 𝐴))
399ply1assa 22073 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ CRing β†’ π‘Š ∈ AssAlg)
40 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
4131, 40asclrhm 21784 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ 𝐢 ∈ ((Scalarβ€˜π‘Š) RingHom π‘Š))
428, 39, 413syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((Scalarβ€˜π‘Š) RingHom π‘Š))
438crnggrpd 20152 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Grp)
449ply1sca 22126 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Grp β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š))
4645oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 RingHom π‘Š) = ((Scalarβ€˜π‘Š) RingHom π‘Š))
4742, 46eleqtrrd 2830 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐹 RingHom π‘Š))
48 eqid 2726 . . . . . . . 8 (mulGrpβ€˜πΉ) = (mulGrpβ€˜πΉ)
4948, 4rhmmhm 20381 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ (𝐹 RingHom π‘Š) β†’ 𝐢 ∈ ((mulGrpβ€˜πΉ) MndHom 𝑁))
5047, 49syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((mulGrpβ€˜πΉ) MndHom 𝑁))
51 prmnn 16618 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
52 nnnn0 12483 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„• β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
5316, 51, 523syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
5448, 26mgpbas 20045 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ))
55 eqid 2726 . . . . . . 7 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ))
5654, 55, 3mhmmulg 19042 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ ((mulGrpβ€˜πΉ) MndHom 𝑁) ∧ 𝑃 ∈ β„•0 ∧ ((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ (πΆβ€˜(𝑃(.gβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ))((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))) = (𝑃 ↑ (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))))
5750, 53, 30, 56syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜(𝑃(.gβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ))((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))) = (𝑃 ↑ (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))))
5822a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ)))
5958oveq2d 7421 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 ↑ 𝐴) = (𝑃 ↑ (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))))
6057, 59eqtr4d 2769 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜(𝑃(.gβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ))((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))) = (𝑃 ↑ 𝐴))
61 eqid 2726 . . . . . . 7 ((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ) = ((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ)
6214, 26, 55, 61, 16, 29, 8fermltlchr 21420 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃(.gβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ))((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ)) = ((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))
6362fveq2d 6889 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜(𝑃(.gβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ))((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))) = (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ)))
6463, 22eqtr4di 2784 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜(𝑃(.gβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ))((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))) = 𝐴)
6538, 60, 643eqtr2d 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ ((chrβ€˜π‘Š) ↑ 𝐴) = 𝐴)
6637, 65oveq12d 7423 . 2 (πœ‘ β†’ (((chrβ€˜π‘Š) ↑ 𝑋) + ((chrβ€˜π‘Š) ↑ 𝐴)) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + 𝐴))
6735, 36, 663eqtr3d 2774 1 (πœ‘ β†’ (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝐴)) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„™cprime 16615  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  Scalarcsca 17209   MndHom cmhm 18711  Grpcgrp 18863  .gcmg 18995  mulGrpcmgp 20039  Ringcrg 20138  CRingccrg 20139   RingHom crh 20371  β„€ringczring 21333  β„€RHomczrh 21386  chrcchr 21388  AssAlgcasa 21745  algSccascl 21747  var1cv1 22050  Poly1cpl1 22051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-phi 16708  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-od 19448  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-srg 20092  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-cnfld 21241  df-zring 21334  df-zrh 21390  df-chr 21392  df-assa 21748  df-ascl 21750  df-psr 21803  df-mvr 21804  df-mpl 21805  df-opsr 21807  df-psr1 22054  df-vr1 22055  df-ply1 22056  df-coe1 22057
This theorem is referenced by:  ply1fermltl  33167  aks6d1c1p2  41487
  Copyright terms: Public domain W3C validator