MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1fermltlchr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ply1fermltlchr 22238
Description: Fermat's little theorem for polynomials in a commutative ring 𝐹 of characteristic 𝑃 prime: we have the polynomial equation (𝑋 + 𝐴)↑𝑃 = ((𝑋↑𝑃) + 𝐴). (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1fermltlchr.w π‘Š = (Poly1β€˜πΉ)
ply1fermltlchr.x 𝑋 = (var1β€˜πΉ)
ply1fermltlchr.l + = (+gβ€˜π‘Š)
ply1fermltlchr.n 𝑁 = (mulGrpβ€˜π‘Š)
ply1fermltlchr.t ↑ = (.gβ€˜π‘)
ply1fermltlchr.c 𝐢 = (algScβ€˜π‘Š)
ply1fermltlchr.a 𝐴 = (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))
ply1fermltlchr.p 𝑃 = (chrβ€˜πΉ)
ply1fermltlchr.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ CRing)
ply1fermltlchr.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
ply1fermltlchr.2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„€)
Assertion
Ref Expression
ply1fermltlchr (πœ‘ β†’ (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝐴)) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + 𝐴))
Proof of Theorem ply1fermltlchr
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . 3 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2 ply1fermltlchr.l . . 3 + = (+gβ€˜π‘Š)
3 ply1fermltlchr.t . . . 4 ↑ = (.gβ€˜π‘)
4 ply1fermltlchr.n . . . . 5 𝑁 = (mulGrpβ€˜π‘Š)
54fveq2i 6894 . . . 4 (.gβ€˜π‘) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))
63, 5eqtri 2753 . . 3 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))
7 eqid 2725 . . 3 (chrβ€˜π‘Š) = (chrβ€˜π‘Š)
8 ply1fermltlchr.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ CRing)
9 ply1fermltlchr.w . . . . 5 π‘Š = (Poly1β€˜πΉ)
109ply1crng 22124 . . . 4 (𝐹 ∈ CRing β†’ π‘Š ∈ CRing)
118, 10syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ CRing)
129ply1chr 22232 . . . . . 6 (𝐹 ∈ CRing β†’ (chrβ€˜π‘Š) = (chrβ€˜πΉ))
138, 12syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (chrβ€˜π‘Š) = (chrβ€˜πΉ))
14 ply1fermltlchr.p . . . . 5 𝑃 = (chrβ€˜πΉ)
1513, 14eqtr4di 2783 . . . 4 (πœ‘ β†’ (chrβ€˜π‘Š) = 𝑃)
16 ply1fermltlchr.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
1715, 16eqeltrd 2825 . . 3 (πœ‘ β†’ (chrβ€˜π‘Š) ∈ β„™)
188crngringd 20188 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Ring)
19 ply1fermltlchr.x . . . . 5 𝑋 = (var1β€˜πΉ)
2019, 9, 1vr1cl 22143 . . . 4 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
2118, 20syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
22 ply1fermltlchr.a . . . 4 𝐴 = (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))
23 eqid 2725 . . . . . . . 8 (β„€RHomβ€˜πΉ) = (β„€RHomβ€˜πΉ)
2423zrhrhm 21439 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Ring β†’ (β„€RHomβ€˜πΉ) ∈ (β„€ring RingHom 𝐹))
25 zringbas 21381 . . . . . . . 8 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
26 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
2725, 26rhmf 20426 . . . . . . 7 ((β„€RHomβ€˜πΉ) ∈ (β„€ring RingHom 𝐹) β†’ (β„€RHomβ€˜πΉ):β„€βŸΆ(Baseβ€˜πΉ))
2818, 24, 273syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„€RHomβ€˜πΉ):β„€βŸΆ(Baseβ€˜πΉ))
29 ply1fermltlchr.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„€)
3028, 29ffvelcdmd 7089 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
31 ply1fermltlchr.c . . . . . 6 𝐢 = (algScβ€˜π‘Š)
329, 31, 26, 1ply1sclcl 22212 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Ring ∧ ((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ)) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
3318, 30, 32syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ)) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
3422, 33eqeltrid 2829 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
351, 2, 6, 7, 11, 17, 21, 34freshmansdream 21510 . 2 (πœ‘ β†’ ((chrβ€˜π‘Š) ↑ (𝑋 + 𝐴)) = (((chrβ€˜π‘Š) ↑ 𝑋) + ((chrβ€˜π‘Š) ↑ 𝐴)))
3615oveq1d 7430 . 2 (πœ‘ β†’ ((chrβ€˜π‘Š) ↑ (𝑋 + 𝐴)) = (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝐴)))
3715oveq1d 7430 . . 3 (πœ‘ β†’ ((chrβ€˜π‘Š) ↑ 𝑋) = (𝑃 ↑ 𝑋))
3815oveq1d 7430 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((chrβ€˜π‘Š) ↑ 𝐴) = (𝑃 ↑ 𝐴))
399ply1assa 22125 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ CRing β†’ π‘Š ∈ AssAlg)
40 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
4131, 40asclrhm 21825 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ 𝐢 ∈ ((Scalarβ€˜π‘Š) RingHom π‘Š))
428, 39, 413syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((Scalarβ€˜π‘Š) RingHom π‘Š))
438crnggrpd 20189 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Grp)
449ply1sca 22178 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Grp β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š))
4645oveq1d 7430 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 RingHom π‘Š) = ((Scalarβ€˜π‘Š) RingHom π‘Š))
4742, 46eleqtrrd 2828 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐹 RingHom π‘Š))
48 eqid 2725 . . . . . . . 8 (mulGrpβ€˜πΉ) = (mulGrpβ€˜πΉ)
4948, 4rhmmhm 20420 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ (𝐹 RingHom π‘Š) β†’ 𝐢 ∈ ((mulGrpβ€˜πΉ) MndHom 𝑁))
5047, 49syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((mulGrpβ€˜πΉ) MndHom 𝑁))
51 prmnn 16642 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
52 nnnn0 12507 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„• β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
5316, 51, 523syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
5448, 26mgpbas 20082 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ))
55 eqid 2725 . . . . . . 7 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ))
5654, 55, 3mhmmulg 19072 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ ((mulGrpβ€˜πΉ) MndHom 𝑁) ∧ 𝑃 ∈ β„•0 ∧ ((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ (πΆβ€˜(𝑃(.gβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ))((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))) = (𝑃 ↑ (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))))
5750, 53, 30, 56syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜(𝑃(.gβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ))((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))) = (𝑃 ↑ (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))))
5822a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ)))
5958oveq2d 7431 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 ↑ 𝐴) = (𝑃 ↑ (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))))
6057, 59eqtr4d 2768 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜(𝑃(.gβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ))((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))) = (𝑃 ↑ 𝐴))
61 eqid 2725 . . . . . . 7 ((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ) = ((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ)
6214, 26, 55, 61, 16, 29, 8fermltlchr 21461 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃(.gβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ))((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ)) = ((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))
6362fveq2d 6895 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜(𝑃(.gβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ))((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))) = (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ)))
6463, 22eqtr4di 2783 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜(𝑃(.gβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ))((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))) = 𝐴)
6538, 60, 643eqtr2d 2771 . . 3 (πœ‘ β†’ ((chrβ€˜π‘Š) ↑ 𝐴) = 𝐴)
6637, 65oveq12d 7433 . 2 (πœ‘ β†’ (((chrβ€˜π‘Š) ↑ 𝑋) + ((chrβ€˜π‘Š) ↑ 𝐴)) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + 𝐴))
6735, 36, 663eqtr3d 2773 1 (πœ‘ β†’ (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝐴)) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  β„•cn 12240  β„•0cn0 12500  β„€cz 12586  β„™cprime 16639  Basecbs 17177  +gcplusg 17230  Scalarcsca 17233   MndHom cmhm 18735  Grpcgrp 18892  .gcmg 19025  mulGrpcmgp 20076  Ringcrg 20175  CRingccrg 20176   RingHom crh 20410  β„€ringczring 21374  β„€RHomczrh 21427  chrcchr 21429  AssAlgcasa 21786  algSccascl 21788  var1cv1 22101  Poly1cpl1 22102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215  ax-mulf 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-dju 9922  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-fac 14263  df-bc 14292  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-dvds 16229  df-gcd 16467  df-prm 16640  df-phi 16732  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-prds 17426  df-pws 17428  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-mulg 19026  df-subg 19080  df-ghm 19170  df-cntz 19270  df-od 19485  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-srg 20129  df-ring 20177  df-cring 20178  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-dvr 20342  df-rhm 20413  df-subrng 20485  df-subrg 20510  df-drng 20628  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-cnfld 21282  df-zring 21375  df-zrh 21431  df-chr 21433  df-assa 21789  df-ascl 21791  df-psr 21844  df-mvr 21845  df-mpl 21846  df-opsr 21848  df-psr1 22105  df-vr1 22106  df-ply1 22107  df-coe1 22108
This theorem is referenced by:  ply1fermltl  33318  aks6d1c1p2  41635
  Copyright terms: Public domain W3C validator