Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1fermltlchr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ply1fermltlchr 32657
Description: Fermat's little theorem for polynomials in a commutative ring 𝐹 of characteristic 𝑃 prime: we have the polynomial equation (𝑋 + 𝐴)↑𝑃 = ((𝑋↑𝑃) + 𝐴). (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1fermltlchr.w π‘Š = (Poly1β€˜πΉ)
ply1fermltlchr.x 𝑋 = (var1β€˜πΉ)
ply1fermltlchr.l + = (+gβ€˜π‘Š)
ply1fermltlchr.n 𝑁 = (mulGrpβ€˜π‘Š)
ply1fermltlchr.t ↑ = (.gβ€˜π‘)
ply1fermltlchr.c 𝐢 = (algScβ€˜π‘Š)
ply1fermltlchr.a 𝐴 = (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))
ply1fermltlchr.p 𝑃 = (chrβ€˜πΉ)
ply1fermltlchr.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ CRing)
ply1fermltlchr.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
ply1fermltlchr.2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„€)
Assertion
Ref Expression
ply1fermltlchr (πœ‘ β†’ (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝐴)) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + 𝐴))
Proof of Theorem ply1fermltlchr
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . 3 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2 ply1fermltlchr.l . . 3 + = (+gβ€˜π‘Š)
3 ply1fermltlchr.t . . . 4 ↑ = (.gβ€˜π‘)
4 ply1fermltlchr.n . . . . 5 𝑁 = (mulGrpβ€˜π‘Š)
54fveq2i 6894 . . . 4 (.gβ€˜π‘) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))
63, 5eqtri 2760 . . 3 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))
7 eqid 2732 . . 3 (chrβ€˜π‘Š) = (chrβ€˜π‘Š)
8 ply1fermltlchr.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ CRing)
9 ply1fermltlchr.w . . . . 5 π‘Š = (Poly1β€˜πΉ)
109ply1crng 21721 . . . 4 (𝐹 ∈ CRing β†’ π‘Š ∈ CRing)
118, 10syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ CRing)
129ply1chr 32656 . . . . . 6 (𝐹 ∈ CRing β†’ (chrβ€˜π‘Š) = (chrβ€˜πΉ))
138, 12syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (chrβ€˜π‘Š) = (chrβ€˜πΉ))
14 ply1fermltlchr.p . . . . 5 𝑃 = (chrβ€˜πΉ)
1513, 14eqtr4di 2790 . . . 4 (πœ‘ β†’ (chrβ€˜π‘Š) = 𝑃)
16 ply1fermltlchr.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
1715, 16eqeltrd 2833 . . 3 (πœ‘ β†’ (chrβ€˜π‘Š) ∈ β„™)
188crngringd 20068 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Ring)
19 ply1fermltlchr.x . . . . 5 𝑋 = (var1β€˜πΉ)
2019, 9, 1vr1cl 21740 . . . 4 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
2118, 20syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
22 ply1fermltlchr.a . . . 4 𝐴 = (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))
23 eqid 2732 . . . . . . . 8 (β„€RHomβ€˜πΉ) = (β„€RHomβ€˜πΉ)
2423zrhrhm 21060 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Ring β†’ (β„€RHomβ€˜πΉ) ∈ (β„€ring RingHom 𝐹))
25 zringbas 21022 . . . . . . . 8 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
26 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
2725, 26rhmf 20262 . . . . . . 7 ((β„€RHomβ€˜πΉ) ∈ (β„€ring RingHom 𝐹) β†’ (β„€RHomβ€˜πΉ):β„€βŸΆ(Baseβ€˜πΉ))
2818, 24, 273syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„€RHomβ€˜πΉ):β„€βŸΆ(Baseβ€˜πΉ))
29 ply1fermltlchr.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„€)
3028, 29ffvelcdmd 7087 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
31 ply1fermltlchr.c . . . . . 6 𝐢 = (algScβ€˜π‘Š)
329, 31, 26, 1ply1sclcl 21807 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Ring ∧ ((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ)) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
3318, 30, 32syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ)) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
3422, 33eqeltrid 2837 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
351, 2, 6, 7, 11, 17, 21, 34freshmansdream 32376 . 2 (πœ‘ β†’ ((chrβ€˜π‘Š) ↑ (𝑋 + 𝐴)) = (((chrβ€˜π‘Š) ↑ 𝑋) + ((chrβ€˜π‘Š) ↑ 𝐴)))
3615oveq1d 7423 . 2 (πœ‘ β†’ ((chrβ€˜π‘Š) ↑ (𝑋 + 𝐴)) = (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝐴)))
3715oveq1d 7423 . . 3 (πœ‘ β†’ ((chrβ€˜π‘Š) ↑ 𝑋) = (𝑃 ↑ 𝑋))
3815oveq1d 7423 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((chrβ€˜π‘Š) ↑ 𝐴) = (𝑃 ↑ 𝐴))
399ply1assa 21722 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ CRing β†’ π‘Š ∈ AssAlg)
40 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
4131, 40asclrhm 21443 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ 𝐢 ∈ ((Scalarβ€˜π‘Š) RingHom π‘Š))
428, 39, 413syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((Scalarβ€˜π‘Š) RingHom π‘Š))
438crnggrpd 20069 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Grp)
449ply1sca 21774 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Grp β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š))
4645oveq1d 7423 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 RingHom π‘Š) = ((Scalarβ€˜π‘Š) RingHom π‘Š))
4742, 46eleqtrrd 2836 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐹 RingHom π‘Š))
48 eqid 2732 . . . . . . . 8 (mulGrpβ€˜πΉ) = (mulGrpβ€˜πΉ)
4948, 4rhmmhm 20257 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ (𝐹 RingHom π‘Š) β†’ 𝐢 ∈ ((mulGrpβ€˜πΉ) MndHom 𝑁))
5047, 49syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((mulGrpβ€˜πΉ) MndHom 𝑁))
51 prmnn 16610 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
52 nnnn0 12478 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„• β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
5316, 51, 523syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
5448, 26mgpbas 19992 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ))
55 eqid 2732 . . . . . . 7 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ))
5654, 55, 3mhmmulg 18994 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ ((mulGrpβ€˜πΉ) MndHom 𝑁) ∧ 𝑃 ∈ β„•0 ∧ ((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ (πΆβ€˜(𝑃(.gβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ))((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))) = (𝑃 ↑ (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))))
5750, 53, 30, 56syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜(𝑃(.gβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ))((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))) = (𝑃 ↑ (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))))
5822a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ)))
5958oveq2d 7424 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 ↑ 𝐴) = (𝑃 ↑ (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))))
6057, 59eqtr4d 2775 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜(𝑃(.gβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ))((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))) = (𝑃 ↑ 𝐴))
61 eqid 2732 . . . . . . 7 ((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ) = ((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ)
6214, 26, 55, 61, 16, 29, 8fermltlchr 32473 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃(.gβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ))((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ)) = ((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))
6362fveq2d 6895 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜(𝑃(.gβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ))((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))) = (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ)))
6463, 22eqtr4di 2790 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜(𝑃(.gβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ))((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))) = 𝐴)
6538, 60, 643eqtr2d 2778 . . 3 (πœ‘ β†’ ((chrβ€˜π‘Š) ↑ 𝐴) = 𝐴)
6637, 65oveq12d 7426 . 2 (πœ‘ β†’ (((chrβ€˜π‘Š) ↑ 𝑋) + ((chrβ€˜π‘Š) ↑ 𝐴)) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + 𝐴))
6735, 36, 663eqtr3d 2780 1 (πœ‘ β†’ (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝐴)) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„•cn 12211  β„•0cn0 12471  β„€cz 12557  β„™cprime 16607  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  Scalarcsca 17199   MndHom cmhm 18668  Grpcgrp 18818  .gcmg 18949  mulGrpcmgp 19986  Ringcrg 20055  CRingccrg 20056   RingHom crh 20247  β„€ringczring 21016  β„€RHomczrh 21048  chrcchr 21050  AssAlgcasa 21404  algSccascl 21406  var1cv1 21699  Poly1cpl1 21700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-prm 16608  df-phi 16698  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-cntz 19180  df-od 19395  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-srg 20009  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-cnfld 20944  df-zring 21017  df-zrh 21052  df-chr 21054  df-assa 21407  df-ascl 21409  df-psr 21461  df-mvr 21462  df-mpl 21463  df-opsr 21465  df-psr1 21703  df-vr1 21704  df-ply1 21705  df-coe1 21706
This theorem is referenced by:  ply1fermltl  32658
  Copyright terms: Public domain W3C validator