Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1fermltlchr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1fermltlchr 32339
Description: Fermat's little theorem for polynomials in a commutative ring 𝐹 of characteristic 𝑃 prime: we have the polynomial equation (𝑋 + 𝐴)↑𝑃 = ((𝑋↑𝑃) + 𝐴). (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1fermltlchr.w π‘Š = (Poly1β€˜πΉ)
ply1fermltlchr.x 𝑋 = (var1β€˜πΉ)
ply1fermltlchr.l + = (+gβ€˜π‘Š)
ply1fermltlchr.n 𝑁 = (mulGrpβ€˜π‘Š)
ply1fermltlchr.t ↑ = (.gβ€˜π‘)
ply1fermltlchr.c 𝐢 = (algScβ€˜π‘Š)
ply1fermltlchr.a 𝐴 = (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))
ply1fermltlchr.p 𝑃 = (chrβ€˜πΉ)
ply1fermltlchr.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ CRing)
ply1fermltlchr.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
ply1fermltlchr.2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„€)
Assertion
Ref Expression
ply1fermltlchr (πœ‘ β†’ (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝐴)) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + 𝐴))

Proof of Theorem ply1fermltlchr
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2 ply1fermltlchr.l . . 3 + = (+gβ€˜π‘Š)
3 ply1fermltlchr.t . . . 4 ↑ = (.gβ€˜π‘)
4 ply1fermltlchr.n . . . . 5 𝑁 = (mulGrpβ€˜π‘Š)
54fveq2i 6849 . . . 4 (.gβ€˜π‘) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))
63, 5eqtri 2761 . . 3 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))
7 eqid 2733 . . 3 (chrβ€˜π‘Š) = (chrβ€˜π‘Š)
8 ply1fermltlchr.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ CRing)
9 ply1fermltlchr.w . . . . 5 π‘Š = (Poly1β€˜πΉ)
109ply1crng 21592 . . . 4 (𝐹 ∈ CRing β†’ π‘Š ∈ CRing)
118, 10syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ CRing)
129ply1chr 32338 . . . . . 6 (𝐹 ∈ CRing β†’ (chrβ€˜π‘Š) = (chrβ€˜πΉ))
138, 12syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (chrβ€˜π‘Š) = (chrβ€˜πΉ))
14 ply1fermltlchr.p . . . . 5 𝑃 = (chrβ€˜πΉ)
1513, 14eqtr4di 2791 . . . 4 (πœ‘ β†’ (chrβ€˜π‘Š) = 𝑃)
16 ply1fermltlchr.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
1715, 16eqeltrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ (chrβ€˜π‘Š) ∈ β„™)
188crngringd 19985 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Ring)
19 ply1fermltlchr.x . . . . 5 𝑋 = (var1β€˜πΉ)
2019, 9, 1vr1cl 21611 . . . 4 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
2118, 20syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
22 ply1fermltlchr.a . . . 4 𝐴 = (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))
23 eqid 2733 . . . . . . . 8 (β„€RHomβ€˜πΉ) = (β„€RHomβ€˜πΉ)
2423zrhrhm 20935 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Ring β†’ (β„€RHomβ€˜πΉ) ∈ (β„€ring RingHom 𝐹))
25 zringbas 20898 . . . . . . . 8 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
26 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
2725, 26rhmf 20168 . . . . . . 7 ((β„€RHomβ€˜πΉ) ∈ (β„€ring RingHom 𝐹) β†’ (β„€RHomβ€˜πΉ):β„€βŸΆ(Baseβ€˜πΉ))
2818, 24, 273syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„€RHomβ€˜πΉ):β„€βŸΆ(Baseβ€˜πΉ))
29 ply1fermltlchr.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„€)
3028, 29ffvelcdmd 7040 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
31 ply1fermltlchr.c . . . . . 6 𝐢 = (algScβ€˜π‘Š)
329, 31, 26, 1ply1sclcl 21680 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Ring ∧ ((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ)) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
3318, 30, 32syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ)) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
3422, 33eqeltrid 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
351, 2, 6, 7, 11, 17, 21, 34freshmansdream 32123 . 2 (πœ‘ β†’ ((chrβ€˜π‘Š) ↑ (𝑋 + 𝐴)) = (((chrβ€˜π‘Š) ↑ 𝑋) + ((chrβ€˜π‘Š) ↑ 𝐴)))
3615oveq1d 7376 . 2 (πœ‘ β†’ ((chrβ€˜π‘Š) ↑ (𝑋 + 𝐴)) = (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝐴)))
3715oveq1d 7376 . . 3 (πœ‘ β†’ ((chrβ€˜π‘Š) ↑ 𝑋) = (𝑃 ↑ 𝑋))
3815oveq1d 7376 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((chrβ€˜π‘Š) ↑ 𝐴) = (𝑃 ↑ 𝐴))
399ply1assa 21593 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ CRing β†’ π‘Š ∈ AssAlg)
40 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
4131, 40asclrhm 21316 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ AssAlg β†’ 𝐢 ∈ ((Scalarβ€˜π‘Š) RingHom π‘Š))
428, 39, 413syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((Scalarβ€˜π‘Š) RingHom π‘Š))
438crnggrpd 19986 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Grp)
449ply1sca 21647 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Grp β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š))
4645oveq1d 7376 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 RingHom π‘Š) = ((Scalarβ€˜π‘Š) RingHom π‘Š))
4742, 46eleqtrrd 2837 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐹 RingHom π‘Š))
48 eqid 2733 . . . . . . . 8 (mulGrpβ€˜πΉ) = (mulGrpβ€˜πΉ)
4948, 4rhmmhm 20163 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ (𝐹 RingHom π‘Š) β†’ 𝐢 ∈ ((mulGrpβ€˜πΉ) MndHom 𝑁))
5047, 49syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((mulGrpβ€˜πΉ) MndHom 𝑁))
51 prmnn 16558 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
52 nnnn0 12428 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„• β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
5316, 51, 523syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
5448, 26mgpbas 19910 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ))
55 eqid 2733 . . . . . . 7 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ))
5654, 55, 3mhmmulg 18925 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ ((mulGrpβ€˜πΉ) MndHom 𝑁) ∧ 𝑃 ∈ β„•0 ∧ ((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ (πΆβ€˜(𝑃(.gβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ))((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))) = (𝑃 ↑ (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))))
5750, 53, 30, 56syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜(𝑃(.gβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ))((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))) = (𝑃 ↑ (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))))
5822a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ)))
5958oveq2d 7377 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 ↑ 𝐴) = (𝑃 ↑ (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))))
6057, 59eqtr4d 2776 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜(𝑃(.gβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ))((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))) = (𝑃 ↑ 𝐴))
61 eqid 2733 . . . . . . 7 ((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ) = ((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ)
6214, 26, 55, 61, 16, 29, 8fermltlchr 32208 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑃(.gβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ))((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ)) = ((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))
6362fveq2d 6850 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜(𝑃(.gβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ))((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))) = (πΆβ€˜((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ)))
6463, 22eqtr4di 2791 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜(𝑃(.gβ€˜(mulGrpβ€˜πΉ))((β„€RHomβ€˜πΉ)β€˜πΈ))) = 𝐴)
6538, 60, 643eqtr2d 2779 . . 3 (πœ‘ β†’ ((chrβ€˜π‘Š) ↑ 𝐴) = 𝐴)
6637, 65oveq12d 7379 . 2 (πœ‘ β†’ (((chrβ€˜π‘Š) ↑ 𝑋) + ((chrβ€˜π‘Š) ↑ 𝐴)) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + 𝐴))
6735, 36, 663eqtr3d 2781 1 (πœ‘ β†’ (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝐴)) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„•cn 12161  β„•0cn0 12421  β„€cz 12507  β„™cprime 16555  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  Scalarcsca 17144   MndHom cmhm 18607  Grpcgrp 18756  .gcmg 18880  mulGrpcmgp 19904  Ringcrg 19972  CRingccrg 19973   RingHom crh 20153  β„€ringczring 20892  β„€RHomczrh 20923  chrcchr 20925  AssAlgcasa 21279  algSccascl 21281  var1cv1 21570  Poly1cpl1 21571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-dvds 16145  df-gcd 16383  df-prm 16556  df-phi 16646  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cntz 19105  df-od 19318  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-srg 19926  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-rnghom 20156  df-drng 20221  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-cnfld 20820  df-zring 20893  df-zrh 20927  df-chr 20929  df-assa 21282  df-ascl 21284  df-psr 21334  df-mvr 21335  df-mpl 21336  df-opsr 21338  df-psr1 21574  df-vr1 21575  df-ply1 21576  df-coe1 21577
This theorem is referenced by:  ply1fermltl  32340
  Copyright terms: Public domain W3C validator