Theorem ply1fermltlchr 22377

Description: Fermat's little theorem for polynomials in a commutative ring 𝐹 of characteristic 𝑃 prime: we have the polynomial equation (𝑋 + 𝐴)↑𝑃 = ((𝑋↑𝑃) + 𝐴). (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1fermltlchr.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝐹)
ply1fermltlchr.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐹)
ply1fermltlchr.l	⊢ + = (+g‘𝑊)
ply1fermltlchr.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑊)
ply1fermltlchr.t	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
ply1fermltlchr.c	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑊)
ply1fermltlchr.a	⊢ 𝐴 = (𝐶‘((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸))
ply1fermltlchr.p	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐹)
ply1fermltlchr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ CRing)
ply1fermltlchr.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
ply1fermltlchr.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
ply1fermltlchr	⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝐴)) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + 𝐴))

Proof of Theorem ply1fermltlchr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2764	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		ply1fermltlchr.l	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		ply1fermltlchr.t	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
4		ply1fermltlchr.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑊)
5	4	fveq2i 6872	. . . 4 ⊢ (.g‘𝑁) = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
6	3, 5	eqtri 2787	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
7		eqid 2764	. . 3 ⊢ (chr‘𝑊) = (chr‘𝑊)
8		ply1fermltlchr.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ CRing)
9		ply1fermltlchr.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝐹)
10	9	ply1crng 22262	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → 𝑊 ∈ CRing)
11	8, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ CRing)
12	9	ply1chr 22371	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → (chr‘𝑊) = (chr‘𝐹))
13	8, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝑊) = (chr‘𝐹))
14		ply1fermltlchr.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝐹)
15	13, 14	eqtr4di 2817	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝑊) = 𝑃)
16		ply1fermltlchr.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
17	15, 16	eqeltrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝑊) ∈ ℙ)
18	8	crngringd 20298	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
19		ply1fermltlchr.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐹)
20	19, 9, 1	vr1cl 22281	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
21	18, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
22		ply1fermltlchr.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝐶‘((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸))
23		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤRHom‘𝐹) = (ℤRHom‘𝐹)
24	23	zrhrhm 21565	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring RingHom 𝐹))
25		zringbas 21507	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
26		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
27	25, 26	rhmf 20535	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring RingHom 𝐹) → (ℤRHom‘𝐹):ℤ⟶(Base‘𝐹))
28	18, 24, 27	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝐹):ℤ⟶(Base‘𝐹))
29		ply1fermltlchr.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
30	28, 29	ffvelcdmd 7068	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸) ∈ (Base‘𝐹))
31		ply1fermltlchr.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑊)
32	9, 31, 26, 1	ply1sclcl 22351	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸) ∈ (Base‘𝐹)) → (𝐶‘((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) ∈ (Base‘𝑊))
33	18, 30, 32	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) ∈ (Base‘𝑊))
34	22, 33	eqeltrid 2868	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑊))
35	1, 2, 6, 7, 11, 17, 21, 34	freshmansdream 21628	. 2 ⊢ (𝜑 → ((chr‘𝑊) ↑ (𝑋 + 𝐴)) = (((chr‘𝑊) ↑ 𝑋) + ((chr‘𝑊) ↑ 𝐴)))
36	15	oveq1d 7413	. 2 ⊢ (𝜑 → ((chr‘𝑊) ↑ (𝑋 + 𝐴)) = (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝐴)))
37	15	oveq1d 7413	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((chr‘𝑊) ↑ 𝑋) = (𝑃 ↑ 𝑋))
38	15	oveq1d 7413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((chr‘𝑊) ↑ 𝐴) = (𝑃 ↑ 𝐴))
39	9	ply1assa 22263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → 𝑊 ∈ AssAlg)
40		eqid 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
41	31, 40	asclrhm 21944	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑊) RingHom 𝑊))
42	8, 39, 41	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑊) RingHom 𝑊))
43	8	crnggrpd 20299	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
44	9	ply1sca 22316	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Grp → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))
46	45	oveq1d 7413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 RingHom 𝑊) = ((Scalar‘𝑊) RingHom 𝑊))
47	42, 46	eleqtrrd 2867	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹 RingHom 𝑊))
48		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝐹) = (mulGrp‘𝐹)
49	48, 4	rhmmhm 20530	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐹 RingHom 𝑊) → 𝐶 ∈ ((mulGrp‘𝐹) MndHom 𝑁))
50	47, 49	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((mulGrp‘𝐹) MndHom 𝑁))
51		prmnn 16710	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
52		nnnn0 12490	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
53	16, 51, 52	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
54	48, 26	mgpbas 20193	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘(mulGrp‘𝐹))
55		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝐹)) = (.g‘(mulGrp‘𝐹))
56	54, 55, 3	mhmmulg 19159	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ((mulGrp‘𝐹) MndHom 𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸) ∈ (Base‘𝐹)) → (𝐶‘(𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐹))((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸))) = (𝑃 ↑ (𝐶‘((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸))))
57	50, 53, 30, 56	syl3anc 1392	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐹))((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸))) = (𝑃 ↑ (𝐶‘((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸))))
58	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶‘((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
59	58	oveq2d 7414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ 𝐴) = (𝑃 ↑ (𝐶‘((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸))))
60	57, 59	eqtr4d 2802	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐹))((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸))) = (𝑃 ↑ 𝐴))
61		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸) = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)
62	14, 26, 55, 61, 16, 29, 8	fermltlchr 21583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐹))((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸))
63	62	fveq2d 6873	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐹))((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸))) = (𝐶‘((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
64	63, 22	eqtr4di 2817	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐹))((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸))) = 𝐴)
65	38, 60, 64	3eqtr2d 2805	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((chr‘𝑊) ↑ 𝐴) = 𝐴)
66	37, 65	oveq12d 7416	. 2 ⊢ (𝜑 → (((chr‘𝑊) ↑ 𝑋) + ((chr‘𝑊) ↑ 𝐴)) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + 𝐴))
67	35, 36, 66	3eqtr3d 2807	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝐴)) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℕcn 12212  ℕ₀cn0 12483  ℤcz 12570  ℙcprime 16707  Basecbs 17247  +_gcplusg 17288  Scalarcsca 17291   MndHom cmhm 18817  Grpcgrp 18977  ._gcmg 19111  mulGrpcmgp 20188  Ringcrg 20285  CRingccrg 20286   RingHom crh 20520  ℤ_ringczring 21500  ℤRHomczrh 21553  chrcchr 21555  AssAlgcasa 21904  algSccascl 21906  var₁cv1 22240  Poly₁cpl1 22241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-ofr 7663  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8143  df-tpos 8208  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-oadd 8443  df-er 8680  df-map 8812  df-pm 8813  df-ixp 8882  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-xnn0 12557  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-rp 12996  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-fl 13804  df-mod 13882  df-seq 14017  df-exp 14077  df-fac 14289  df-bc 14318  df-hash 14346  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-dvds 16289  df-gcd 16531  df-prm 16708  df-phi 16803  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-starv 17303  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-ip 17306  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-unif 17311  df-hom 17312  df-cco 17313  df-0g 17472  df-gsum 17473  df-prds 17478  df-pws 17480  df-mre 17616  df-mrc 17617  df-acs 17619  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-mhm 18819  df-submnd 18820  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-sbg 18982  df-mulg 19112  df-subg 19167  df-ghm 19256  df-cntz 19359  df-od 19570  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-ur 20234  df-srg 20239  df-ring 20287  df-cring 20288  df-oppr 20388  df-dvdsr 20408  df-unit 20409  df-invr 20439  df-dvr 20452  df-rhm 20523  df-subrng 20598  df-subrg 20622  df-drng 20783  df-lmod 20931  df-lss 21001  df-cnfld 21427  df-zring 21501  df-zrh 21557  df-chr 21559  df-assa 21907  df-ascl 21909  df-psr 21963  df-mvr 21964  df-mpl 21965  df-opsr 21967  df-psr1 22244  df-vr1 22245  df-ply1 22246  df-coe1 22247

This theorem is referenced by:  ply1fermltl  33784  aks6d1c1p2  42731