Theorem evlsvvvallem2 42549

Description: Lemma for theorems using evlsvvval 42550. (Contributed by SN, 8-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsvvvallem2.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlsvvvallem2.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsvvvallem2.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsvvvallem2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsvvvallem2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsvvvallem2.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
evlsvvvallem2.w	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
evlsvvvallem2.x	⊢ · = (.r‘𝑆)
evlsvvvallem2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsvvvallem2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsvvvallem2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsvvvallem2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
evlsvvvallem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
evlsvvvallem2	⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) finSupp (0g‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝐵,ℎ   ℎ,𝐼   𝑣,𝐼   𝜑,𝑏,𝑣   𝑣,𝐵   𝑆,𝑏,𝑣   𝑣,𝐾   𝑈,𝑏   𝐹,𝑏   𝐷,𝑏,𝑣   ℎ,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(𝑣,ℎ,𝑏)   𝐵(𝑏)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑣,ℎ,𝑏)   𝑅(𝑣,ℎ,𝑏)   𝑆(ℎ)   · (𝑣,ℎ,𝑏)   𝑈(𝑣,ℎ)   ↑ (𝑣,ℎ,𝑏)   𝐹(𝑣,ℎ)   𝐼(𝑏)   𝐾(ℎ,𝑏)   𝑀(𝑣,ℎ,𝑏)   𝑉(𝑣,ℎ,𝑏)

Proof of Theorem evlsvvvallem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsvvvallem2.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
2		ovex 7464	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
3	1, 2	rabex2 5347	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
4	3	mptex 7243	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) ∈ V
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) ∈ V)
6		fvexd 6922	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ V)
7		funmpt 6606	. . 3 ⊢ Fun (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))))
9		evlsvvvallem2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
10		evlsvvvallem2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
11		eqid 2735	. . 3 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
12		evlsvvvallem2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
13	9, 10, 11, 12	mplelsfi 22033	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp (0g‘𝑈))
14		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
15	9, 14, 10, 1, 12	mplelf 22036	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑈))
16		ssidd 4019	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp (0g‘𝑈)) ⊆ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))
17		fvexd 6922	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) ∈ V)
18	15, 16, 12, 17	suppssrg 8220	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → (𝐹‘𝑏) = (0g‘𝑈))
19		evlsvvvallem2.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
20		evlsvvvallem2.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
21		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
22	20, 21	subrg0 20596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
23	19, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
24	23	eqcomd 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) = (0g‘𝑆))
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → (0g‘𝑈) = (0g‘𝑆))
26	18, 25	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → (𝐹‘𝑏) = (0g‘𝑆))
27	26	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = ((0g‘𝑆) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))
28		evlsvvvallem2.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
29		evlsvvvallem2.x	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑆)
30		evlsvvvallem2.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
31	30	crngringd 20264	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
32	31	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → 𝑆 ∈ Ring)
33		eldifi 4141	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈))) → 𝑏 ∈ 𝐷)
34		evlsvvvallem2.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
35		evlsvvvallem2.w	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
36		evlsvvvallem2.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
37	36	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑉)
38	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ CRing)
39		evlsvvvallem2.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
40	39	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
41		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ 𝐷)
42	1, 28, 34, 35, 37, 38, 40, 41	evlsvvvallem 42548	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾)
43	33, 42	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾)
44	28, 29, 21, 32, 43	ringlzd 20309	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → ((0g‘𝑆) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = (0g‘𝑆))
45	27, 44	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = (0g‘𝑆))
46	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
47	45, 46	suppss2 8224	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) supp (0g‘𝑆)) ⊆ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))
48	5, 6, 8, 13, 47	fsuppsssuppgd 9420	1 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) finSupp (0g‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478   ∖ cdif 3960   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5688   “ cima 5692  Fun wfun 6557  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   supp csupp 8184   ↑_m cmap 8865  Fincfn 8984   finSupp cfsupp 9399  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274  ._rcmulr 17299  0_gc0g 17486   Σ_g cgsu 17487  ._gcmg 19098  mulGrpcmgp 20152  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  SubRingcsubrg 20586   mPoly cmpl 21944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-tset 17317  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-subrg 20587  df-psr 21947  df-mpl 21949

This theorem is referenced by:  evlsbagval  42553  evlvvvallem  42561  evlsmhpvvval  42582  mhphf  42584