Theorem evlsvvvallem2 42523

Description: Lemma for theorems using evlsvvval 42524. (Contributed by SN, 8-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsvvvallem2.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlsvvvallem2.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsvvvallem2.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsvvvallem2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsvvvallem2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsvvvallem2.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
evlsvvvallem2.w	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
evlsvvvallem2.x	⊢ · = (.r‘𝑆)
evlsvvvallem2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsvvvallem2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsvvvallem2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsvvvallem2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
evlsvvvallem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
evlsvvvallem2	⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) finSupp (0g‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝐵,ℎ   ℎ,𝐼   𝑣,𝐼   𝜑,𝑏,𝑣   𝑣,𝐵   𝑆,𝑏,𝑣   𝑣,𝐾   𝑈,𝑏   𝐹,𝑏   𝐷,𝑏,𝑣   ℎ,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(𝑣,ℎ,𝑏)   𝐵(𝑏)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑣,ℎ,𝑏)   𝑅(𝑣,ℎ,𝑏)   𝑆(ℎ)   · (𝑣,ℎ,𝑏)   𝑈(𝑣,ℎ)   ↑ (𝑣,ℎ,𝑏)   𝐹(𝑣,ℎ)   𝐼(𝑏)   𝐾(ℎ,𝑏)   𝑀(𝑣,ℎ,𝑏)   𝑉(𝑣,ℎ,𝑏)

Proof of Theorem evlsvvvallem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsvvvallem2.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
2		ovex 7402	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
3	1, 2	rabex2 5291	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
4	3	mptex 7179	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) ∈ V
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) ∈ V)
6		fvexd 6855	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ V)
7		funmpt 6538	. . 3 ⊢ Fun (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))))
9		evlsvvvallem2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
10		evlsvvvallem2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
11		eqid 2729	. . 3 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
12		evlsvvvallem2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
13	9, 10, 11, 12	mplelsfi 21880	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp (0g‘𝑈))
14		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
15	9, 14, 10, 1, 12	mplelf 21883	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑈))
16		ssidd 3967	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp (0g‘𝑈)) ⊆ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))
17		fvexd 6855	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) ∈ V)
18	15, 16, 12, 17	suppssrg 8152	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → (𝐹‘𝑏) = (0g‘𝑈))
19		evlsvvvallem2.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
20		evlsvvvallem2.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
21		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
22	20, 21	subrg0 20464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
23	19, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
24	23	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) = (0g‘𝑆))
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → (0g‘𝑈) = (0g‘𝑆))
26	18, 25	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → (𝐹‘𝑏) = (0g‘𝑆))
27	26	oveq1d 7384	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = ((0g‘𝑆) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))
28		evlsvvvallem2.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
29		evlsvvvallem2.x	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑆)
30		evlsvvvallem2.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
31	30	crngringd 20131	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
32	31	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → 𝑆 ∈ Ring)
33		eldifi 4090	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈))) → 𝑏 ∈ 𝐷)
34		evlsvvvallem2.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
35		evlsvvvallem2.w	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
36		evlsvvvallem2.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
37	36	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑉)
38	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ CRing)
39		evlsvvvallem2.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
40	39	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
41		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ 𝐷)
42	1, 28, 34, 35, 37, 38, 40, 41	evlsvvvallem 42522	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾)
43	33, 42	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾)
44	28, 29, 21, 32, 43	ringlzd 20180	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → ((0g‘𝑆) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = (0g‘𝑆))
45	27, 44	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = (0g‘𝑆))
46	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
47	45, 46	suppss2 8156	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) supp (0g‘𝑆)) ⊆ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))
48	5, 6, 8, 13, 47	fsuppsssuppgd 9309	1 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) finSupp (0g‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3402  Vcvv 3444   ∖ cdif 3908   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634  Fun wfun 6493  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   supp csupp 8116   ↑_m cmap 8776  Fincfn 8895   finSupp cfsupp 9288  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418  Basecbs 17155   ↾_s cress 17176  ._rcmulr 17197  0_gc0g 17378   Σ_g cgsu 17379  ._gcmg 18975  mulGrpcmgp 20025  Ringcrg 20118  CRingccrg 20119  SubRingcsubrg 20454   mPoly cmpl 21791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-tset 17215  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-mulg 18976  df-subg 19031  df-cntz 19225  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-subrg 20455  df-psr 21794  df-mpl 21796

This theorem is referenced by:  evlsbagval  42527  evlvvvallem  42535  evlsmhpvvval  42556  mhphf  42558