Theorem evlsvvvallem2 41589

Description: Lemma for theorems using evlsvvval 41590. (Contributed by SN, 8-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsvvvallem2.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlsvvvallem2.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsvvvallem2.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsvvvallem2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsvvvallem2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsvvvallem2.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
evlsvvvallem2.w	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
evlsvvvallem2.x	⊢ · = (.r‘𝑆)
evlsvvvallem2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsvvvallem2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsvvvallem2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsvvvallem2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
evlsvvvallem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
evlsvvvallem2	⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) finSupp (0g‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝐵,ℎ   ℎ,𝐼   𝑣,𝐼   𝜑,𝑏,𝑣   𝑣,𝐵   𝑆,𝑏,𝑣   𝑣,𝐾   𝑈,𝑏   𝐹,𝑏   𝐷,𝑏,𝑣   ℎ,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(𝑣,ℎ,𝑏)   𝐵(𝑏)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑣,ℎ,𝑏)   𝑅(𝑣,ℎ,𝑏)   𝑆(ℎ)   · (𝑣,ℎ,𝑏)   𝑈(𝑣,ℎ)   ↑ (𝑣,ℎ,𝑏)   𝐹(𝑣,ℎ)   𝐼(𝑏)   𝐾(ℎ,𝑏)   𝑀(𝑣,ℎ,𝑏)   𝑉(𝑣,ℎ,𝑏)

Proof of Theorem evlsvvvallem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsvvvallem2.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
2		ovex 7434	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
3	1, 2	rabex2 5324	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
4	3	mptex 7216	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) ∈ V
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) ∈ V)
6		fvexd 6896	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ V)
7		funmpt 6576	. . 3 ⊢ Fun (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))))
9		evlsvvvallem2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
10		evlsvvvallem2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
11		eqid 2724	. . 3 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
12		evlsvvvallem2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
13		evlsvvvallem2.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
14	13	ovexi 7435	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ V
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
16	9, 10, 11, 12, 15	mplelsfi 21855	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp (0g‘𝑈))
17		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
18	9, 17, 10, 1, 12	mplelf 21858	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑈))
19		ssidd 3997	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp (0g‘𝑈)) ⊆ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))
20		fvexd 6896	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) ∈ V)
21	18, 19, 12, 20	suppssrg 8176	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → (𝐹‘𝑏) = (0g‘𝑈))
22		evlsvvvallem2.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
23		eqid 2724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
24	13, 23	subrg0 20466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
25	22, 24	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
26	25	eqcomd 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) = (0g‘𝑆))
27	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → (0g‘𝑈) = (0g‘𝑆))
28	21, 27	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → (𝐹‘𝑏) = (0g‘𝑆))
29	28	oveq1d 7416	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = ((0g‘𝑆) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))
30		evlsvvvallem2.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
31		evlsvvvallem2.x	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑆)
32		evlsvvvallem2.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
33	32	crngringd 20136	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
34	33	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → 𝑆 ∈ Ring)
35		eldifi 4118	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈))) → 𝑏 ∈ 𝐷)
36		evlsvvvallem2.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
37		evlsvvvallem2.w	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
38		evlsvvvallem2.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
39	38	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑉)
40	32	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ CRing)
41		evlsvvvallem2.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
42	41	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
43		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ 𝐷)
44	1, 30, 36, 37, 39, 40, 42, 43	evlsvvvallem 41588	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾)
45	35, 44	sylan2 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾)
46	30, 31, 23, 34, 45	ringlzd 20179	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → ((0g‘𝑆) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = (0g‘𝑆))
47	29, 46	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = (0g‘𝑆))
48	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
49	47, 48	suppss2 8180	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) supp (0g‘𝑆)) ⊆ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))
50	5, 6, 8, 16, 49	fsuppsssuppgd 41523	1 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) finSupp (0g‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3424  Vcvv 3466   ∖ cdif 3937   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221  ^◡ccnv 5665   “ cima 5669  Fun wfun 6527  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401   supp csupp 8140   ↑_m cmap 8815  Fincfn 8934   finSupp cfsupp 9356  ℕcn 12208  ℕ₀cn0 12468  Basecbs 17140   ↾_s cress 17169  ._rcmulr 17194  0_gc0g 17381   Σ_g cgsu 17382  ._gcmg 18982  mulGrpcmgp 20024  Ringcrg 20123  CRingccrg 20124  SubRingcsubrg 20454   mPoly cmpl 21759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-tset 17212  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-mulg 18983  df-subg 19035  df-cntz 19218  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20025  df-rng 20043  df-ur 20072  df-ring 20125  df-cring 20126  df-subrg 20456  df-psr 21762  df-mpl 21764

This theorem is referenced by:  evlsbagval  41593  evlvvvallem  41601  evlsmhpvvval  41622  mhphf  41624