Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlsvvvallem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem evlsvvvallem2 41717
Description: Lemma for theorems using evlsvvval 41718. (Contributed by SN, 8-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsvvvallem2.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
evlsvvvallem2.p 𝑃 = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
evlsvvvallem2.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
evlsvvvallem2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
evlsvvvallem2.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
evlsvvvallem2.m 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘†)
evlsvvvallem2.w ↑ = (.gβ€˜π‘€)
evlsvvvallem2.x Β· = (.rβ€˜π‘†)
evlsvvvallem2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsvvvallem2.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
evlsvvvallem2.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
evlsvvvallem2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
evlsvvvallem2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
Assertion
Ref Expression
evlsvvvallem2 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) finSupp (0gβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   𝐡,β„Ž   β„Ž,𝐼   𝑣,𝐼   πœ‘,𝑏,𝑣   𝑣,𝐡   𝑆,𝑏,𝑣   𝑣,𝐾   π‘ˆ,𝑏   𝐹,𝑏   𝐷,𝑏,𝑣   β„Ž,𝑏
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž)   𝐴(𝑣,β„Ž,𝑏)   𝐡(𝑏)   𝐷(β„Ž)   𝑃(𝑣,β„Ž,𝑏)   𝑅(𝑣,β„Ž,𝑏)   𝑆(β„Ž)   Β· (𝑣,β„Ž,𝑏)   π‘ˆ(𝑣,β„Ž)   ↑ (𝑣,β„Ž,𝑏)   𝐹(𝑣,β„Ž)   𝐼(𝑏)   𝐾(β„Ž,𝑏)   𝑀(𝑣,β„Ž,𝑏)   𝑉(𝑣,β„Ž,𝑏)
Proof of Theorem evlsvvvallem2
StepHypRef Expression
1 evlsvvvallem2.d . . . . 5 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
2 ovex 7447 . . . . 5 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
31, 2rabex2 5330 . . . 4 𝐷 ∈ V
43mptex 7229 . . 3 (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) ∈ V
54a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) ∈ V)
6 fvexd 6906 . 2 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘†) ∈ V)
7 funmpt 6585 . . 3 Fun (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))
87a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ Fun (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))))
9 evlsvvvallem2.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
10 evlsvvvallem2.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
11 eqid 2727 . . 3 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
12 evlsvvvallem2.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
13 evlsvvvallem2.u . . . . 5 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
1413ovexi 7448 . . . 4 π‘ˆ ∈ V
1514a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ V)
169, 10, 11, 12, 15mplelsfi 21924 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘ˆ))
17 eqid 2727 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
189, 17, 10, 1, 12mplelf 21927 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
19 ssidd 4001 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)) βŠ† (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))
20 fvexd 6906 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ˆ) ∈ V)
2118, 19, 12, 20suppssrg 8195 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (0gβ€˜π‘ˆ))
22 evlsvvvallem2.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
23 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
2413, 23subrg0 20507 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
2522, 24syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
2625eqcomd 2733 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘†))
2726adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘†))
2821, 27eqtrd 2767 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (0gβ€˜π‘†))
2928oveq1d 7429 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) = ((0gβ€˜π‘†) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))
30 evlsvvvallem2.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
31 evlsvvvallem2.x . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘†)
32 evlsvvvallem2.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
3332crngringd 20177 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
3433adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
35 eldifi 4122 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ))) β†’ 𝑏 ∈ 𝐷)
36 evlsvvvallem2.m . . . . . . 7 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘†)
37 evlsvvvallem2.w . . . . . . 7 ↑ = (.gβ€˜π‘€)
38 evlsvvvallem2.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
3938adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
4032adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
41 evlsvvvallem2.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
4241adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
43 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑏 ∈ 𝐷)
441, 30, 36, 37, 39, 40, 42, 43evlsvvvallem 41716 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))) ∈ 𝐾)
4535, 44sylan2 592 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))) ∈ 𝐾)
4630, 31, 23, 34, 45ringlzd 20220 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ ((0gβ€˜π‘†) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) = (0gβ€˜π‘†))
4729, 46eqtrd 2767 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) = (0gβ€˜π‘†))
483a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ V)
4947, 48suppss2 8199 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) supp (0gβ€˜π‘†)) βŠ† (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))
505, 6, 8, 16, 49fsuppsssuppgd 9397 1 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) finSupp (0gβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3427  Vcvv 3469   βˆ– cdif 3941   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  β—‘ccnv 5671   β€œ cima 5675  Fun wfun 6536  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   supp csupp 8159   ↑m cmap 8836  Fincfn 8955   finSupp cfsupp 9377  β„•cn 12234  β„•0cn0 12494  Basecbs 17171   β†Ύs cress 17200  .rcmulr 17225  0gc0g 17412   Ξ£g cgsu 17413  .gcmg 19014  mulGrpcmgp 20065  Ringcrg 20164  CRingccrg 20165  SubRingcsubrg 20495   mPoly cmpl 21826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-tset 17243  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-subrg 20497  df-psr 21829  df-mpl 21831
This theorem is referenced by:  evlsbagval  41721  evlvvvallem  41729  evlsmhpvvval  41750  mhphf  41752
  Copyright terms: Public domain W3C validator