Theorem evlsvvvallem2 42552

Description: Lemma for theorems using evlsvvval 42553. (Contributed by SN, 8-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsvvvallem2.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlsvvvallem2.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsvvvallem2.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsvvvallem2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsvvvallem2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsvvvallem2.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
evlsvvvallem2.w	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
evlsvvvallem2.x	⊢ · = (.r‘𝑆)
evlsvvvallem2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsvvvallem2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsvvvallem2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsvvvallem2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
evlsvvvallem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
evlsvvvallem2	⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) finSupp (0g‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝐵,ℎ   ℎ,𝐼   𝑣,𝐼   𝜑,𝑏,𝑣   𝑣,𝐵   𝑆,𝑏,𝑣   𝑣,𝐾   𝑈,𝑏   𝐹,𝑏   𝐷,𝑏,𝑣   ℎ,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(𝑣,ℎ,𝑏)   𝐵(𝑏)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑣,ℎ,𝑏)   𝑅(𝑣,ℎ,𝑏)   𝑆(ℎ)   · (𝑣,ℎ,𝑏)   𝑈(𝑣,ℎ)   ↑ (𝑣,ℎ,𝑏)   𝐹(𝑣,ℎ)   𝐼(𝑏)   𝐾(ℎ,𝑏)   𝑀(𝑣,ℎ,𝑏)   𝑉(𝑣,ℎ,𝑏)

Proof of Theorem evlsvvvallem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsvvvallem2.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
2		ovex 7443	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
3	1, 2	rabex2 5316	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
4	3	mptex 7220	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) ∈ V
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) ∈ V)
6		fvexd 6896	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ V)
7		funmpt 6579	. . 3 ⊢ Fun (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))))
9		evlsvvvallem2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
10		evlsvvvallem2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
11		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
12		evlsvvvallem2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
13	9, 10, 11, 12	mplelsfi 21960	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp (0g‘𝑈))
14		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
15	9, 14, 10, 1, 12	mplelf 21963	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑈))
16		ssidd 3987	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp (0g‘𝑈)) ⊆ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))
17		fvexd 6896	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) ∈ V)
18	15, 16, 12, 17	suppssrg 8200	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → (𝐹‘𝑏) = (0g‘𝑈))
19		evlsvvvallem2.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
20		evlsvvvallem2.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
21		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
22	20, 21	subrg0 20544	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
23	19, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
24	23	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) = (0g‘𝑆))
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → (0g‘𝑈) = (0g‘𝑆))
26	18, 25	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → (𝐹‘𝑏) = (0g‘𝑆))
27	26	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = ((0g‘𝑆) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))))
28		evlsvvvallem2.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
29		evlsvvvallem2.x	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑆)
30		evlsvvvallem2.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
31	30	crngringd 20211	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
32	31	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → 𝑆 ∈ Ring)
33		eldifi 4111	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈))) → 𝑏 ∈ 𝐷)
34		evlsvvvallem2.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
35		evlsvvvallem2.w	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
36		evlsvvvallem2.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
37	36	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑉)
38	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ CRing)
39		evlsvvvallem2.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
40	39	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
41		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ 𝐷)
42	1, 28, 34, 35, 37, 38, 40, 41	evlsvvvallem 42551	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾)
43	33, 42	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾)
44	28, 29, 21, 32, 43	ringlzd 20260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → ((0g‘𝑆) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = (0g‘𝑆))
45	27, 44	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))) = (0g‘𝑆))
46	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
47	45, 46	suppss2 8204	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) supp (0g‘𝑆)) ⊆ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))
48	5, 6, 8, 13, 47	fsuppsssuppgd 9399	1 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) finSupp (0g‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3420  Vcvv 3464   ∖ cdif 3928   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  Fun wfun 6530  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   supp csupp 8164   ↑_m cmap 8845  Fincfn 8964   finSupp cfsupp 9378  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12506  Basecbs 17233   ↾_s cress 17256  ._rcmulr 17277  0_gc0g 17458   Σ_g cgsu 17459  ._gcmg 19055  mulGrpcmgp 20105  Ringcrg 20198  CRingccrg 20199  SubRingcsubrg 20534   mPoly cmpl 21871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14354  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-tset 17295  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-cring 20201  df-subrg 20535  df-psr 21874  df-mpl 21876

This theorem is referenced by:  evlsbagval  42556  evlvvvallem  42564  evlsmhpvvval  42585  mhphf  42587