Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlsvvvallem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem evlsvvvallem2 41856
Description: Lemma for theorems using evlsvvval 41857. (Contributed by SN, 8-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsvvvallem2.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
evlsvvvallem2.p 𝑃 = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
evlsvvvallem2.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
evlsvvvallem2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
evlsvvvallem2.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
evlsvvvallem2.m 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘†)
evlsvvvallem2.w ↑ = (.gβ€˜π‘€)
evlsvvvallem2.x Β· = (.rβ€˜π‘†)
evlsvvvallem2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsvvvallem2.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
evlsvvvallem2.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
evlsvvvallem2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
evlsvvvallem2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
Assertion
Ref Expression
evlsvvvallem2 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) finSupp (0gβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   𝐡,β„Ž   β„Ž,𝐼   𝑣,𝐼   πœ‘,𝑏,𝑣   𝑣,𝐡   𝑆,𝑏,𝑣   𝑣,𝐾   π‘ˆ,𝑏   𝐹,𝑏   𝐷,𝑏,𝑣   β„Ž,𝑏
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž)   𝐴(𝑣,β„Ž,𝑏)   𝐡(𝑏)   𝐷(β„Ž)   𝑃(𝑣,β„Ž,𝑏)   𝑅(𝑣,β„Ž,𝑏)   𝑆(β„Ž)   Β· (𝑣,β„Ž,𝑏)   π‘ˆ(𝑣,β„Ž)   ↑ (𝑣,β„Ž,𝑏)   𝐹(𝑣,β„Ž)   𝐼(𝑏)   𝐾(β„Ž,𝑏)   𝑀(𝑣,β„Ž,𝑏)   𝑉(𝑣,β„Ž,𝑏)
Proof of Theorem evlsvvvallem2
StepHypRef Expression
1 evlsvvvallem2.d . . . . 5 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
2 ovex 7446 . . . . 5 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
31, 2rabex2 5332 . . . 4 𝐷 ∈ V
43mptex 7229 . . 3 (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) ∈ V
54a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) ∈ V)
6 fvexd 6905 . 2 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘†) ∈ V)
7 funmpt 6586 . . 3 Fun (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))
87a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ Fun (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))))
9 evlsvvvallem2.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
10 evlsvvvallem2.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
11 eqid 2725 . . 3 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
12 evlsvvvallem2.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
13 evlsvvvallem2.u . . . . 5 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
1413ovexi 7447 . . . 4 π‘ˆ ∈ V
1514a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ V)
169, 10, 11, 12, 15mplelsfi 21939 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘ˆ))
17 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
189, 17, 10, 1, 12mplelf 21942 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
19 ssidd 3997 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)) βŠ† (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))
20 fvexd 6905 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ˆ) ∈ V)
2118, 19, 12, 20suppssrg 8195 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (0gβ€˜π‘ˆ))
22 evlsvvvallem2.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
23 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
2413, 23subrg0 20517 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
2522, 24syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
2625eqcomd 2731 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘†))
2726adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘†))
2821, 27eqtrd 2765 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (0gβ€˜π‘†))
2928oveq1d 7428 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) = ((0gβ€˜π‘†) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))
30 evlsvvvallem2.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
31 evlsvvvallem2.x . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘†)
32 evlsvvvallem2.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
3332crngringd 20185 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
3433adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
35 eldifi 4120 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ))) β†’ 𝑏 ∈ 𝐷)
36 evlsvvvallem2.m . . . . . . 7 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘†)
37 evlsvvvallem2.w . . . . . . 7 ↑ = (.gβ€˜π‘€)
38 evlsvvvallem2.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
3938adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
4032adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
41 evlsvvvallem2.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
4241adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
43 simpr 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑏 ∈ 𝐷)
441, 30, 36, 37, 39, 40, 42, 43evlsvvvallem 41855 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))) ∈ 𝐾)
4535, 44sylan2 591 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))) ∈ 𝐾)
4630, 31, 23, 34, 45ringlzd 20230 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ ((0gβ€˜π‘†) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) = (0gβ€˜π‘†))
4729, 46eqtrd 2765 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) = (0gβ€˜π‘†))
483a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ V)
4947, 48suppss2 8199 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) supp (0gβ€˜π‘†)) βŠ† (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))
505, 6, 8, 16, 49fsuppsssuppgd 9400 1 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) finSupp (0gβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419  Vcvv 3463   βˆ– cdif 3938   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227  β—‘ccnv 5672   β€œ cima 5676  Fun wfun 6537  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   supp csupp 8158   ↑m cmap 8838  Fincfn 8957   finSupp cfsupp 9380  β„•cn 12237  β„•0cn0 12497  Basecbs 17174   β†Ύs cress 17203  .rcmulr 17228  0gc0g 17415   Ξ£g cgsu 17416  .gcmg 19022  mulGrpcmgp 20073  Ringcrg 20172  CRingccrg 20173  SubRingcsubrg 20505   mPoly cmpl 21838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-tset 17246  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-subrg 20507  df-psr 21841  df-mpl 21843
This theorem is referenced by:  evlsbagval  41860  evlvvvallem  41868  evlsmhpvvval  41889  mhphf  41891
  Copyright terms: Public domain W3C validator