Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlsvvvallem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem evlsvvvallem2 41131
Description: Lemma for theorems using evlsvvval 41132. (Contributed by SN, 8-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsvvvallem2.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
evlsvvvallem2.p 𝑃 = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
evlsvvvallem2.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
evlsvvvallem2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
evlsvvvallem2.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
evlsvvvallem2.m 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘†)
evlsvvvallem2.w ↑ = (.gβ€˜π‘€)
evlsvvvallem2.x Β· = (.rβ€˜π‘†)
evlsvvvallem2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsvvvallem2.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
evlsvvvallem2.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
evlsvvvallem2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
evlsvvvallem2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
Assertion
Ref Expression
evlsvvvallem2 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) finSupp (0gβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   𝐡,β„Ž   β„Ž,𝐼   𝑣,𝐼   πœ‘,𝑏,𝑣   𝑣,𝐡   𝑆,𝑏,𝑣   𝑣,𝐾   π‘ˆ,𝑏   𝐹,𝑏   𝐷,𝑏,𝑣   β„Ž,𝑏
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž)   𝐴(𝑣,β„Ž,𝑏)   𝐡(𝑏)   𝐷(β„Ž)   𝑃(𝑣,β„Ž,𝑏)   𝑅(𝑣,β„Ž,𝑏)   𝑆(β„Ž)   Β· (𝑣,β„Ž,𝑏)   π‘ˆ(𝑣,β„Ž)   ↑ (𝑣,β„Ž,𝑏)   𝐹(𝑣,β„Ž)   𝐼(𝑏)   𝐾(β„Ž,𝑏)   𝑀(𝑣,β„Ž,𝑏)   𝑉(𝑣,β„Ž,𝑏)
Proof of Theorem evlsvvvallem2
StepHypRef Expression
1 evlsvvvallem2.d . . . . 5 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
2 ovex 7438 . . . . 5 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
31, 2rabex2 5333 . . . 4 𝐷 ∈ V
43mptex 7221 . . 3 (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) ∈ V
54a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) ∈ V)
6 fvexd 6903 . 2 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘†) ∈ V)
7 funmpt 6583 . . 3 Fun (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))
87a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ Fun (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))))
9 evlsvvvallem2.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
10 evlsvvvallem2.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
11 eqid 2732 . . 3 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
12 evlsvvvallem2.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
13 evlsvvvallem2.u . . . . 5 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
1413ovexi 7439 . . . 4 π‘ˆ ∈ V
1514a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ V)
169, 10, 11, 12, 15mplelsfi 21545 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘ˆ))
17 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
189, 17, 10, 1, 12mplelf 21548 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
19 ssidd 4004 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)) βŠ† (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))
20 fvexd 6903 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ˆ) ∈ V)
2118, 19, 12, 20suppssrg 8178 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (0gβ€˜π‘ˆ))
22 evlsvvvallem2.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
23 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
2413, 23subrg0 20362 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
2522, 24syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
2625eqcomd 2738 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘†))
2726adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘†))
2821, 27eqtrd 2772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (0gβ€˜π‘†))
2928oveq1d 7420 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) = ((0gβ€˜π‘†) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))))
30 evlsvvvallem2.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
31 evlsvvvallem2.x . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘†)
32 evlsvvvallem2.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
3332crngringd 20062 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
3433adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
35 eldifi 4125 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ))) β†’ 𝑏 ∈ 𝐷)
36 evlsvvvallem2.m . . . . . . 7 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘†)
37 evlsvvvallem2.w . . . . . . 7 ↑ = (.gβ€˜π‘€)
38 evlsvvvallem2.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
3938adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
4032adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
41 evlsvvvallem2.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
4241adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
43 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑏 ∈ 𝐷)
441, 30, 36, 37, 39, 40, 42, 43evlsvvvallem 41130 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))) ∈ 𝐾)
4535, 44sylan2 593 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))) ∈ 𝐾)
4630, 31, 23, 34, 45ringlzd 41082 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ ((0gβ€˜π‘†) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) = (0gβ€˜π‘†))
4729, 46eqtrd 2772 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))) = (0gβ€˜π‘†))
483a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ V)
4947, 48suppss2 8181 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) supp (0gβ€˜π‘†)) βŠ† (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))
505, 6, 8, 16, 49fsuppsssuppgd 41061 1 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) finSupp (0gβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β—‘ccnv 5674   β€œ cima 5678  Fun wfun 6534  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   supp csupp 8142   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935   finSupp cfsupp 9357  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  .rcmulr 17194  0gc0g 17381   Ξ£g cgsu 17382  .gcmg 18944  mulGrpcmgp 19981  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050  SubRingcsubrg 20351   mPoly cmpl 21450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-tset 17212  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-subrg 20353  df-psr 21453  df-mpl 21455
This theorem is referenced by:  evlsbagval  41135  evlvvvallem  41143  evlsmhpvvval  41164  mhphf  41166
  Copyright terms: Public domain W3C validator