Theorem pwsgprod 20506

Description: Finite products in a power structure are taken componentwise. Compare pwsgsum 20143. (Contributed by SN, 30-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsgprod.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsgprod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsgprod.o	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
pwsgprod.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
pwsgprod.t	⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
pwsgprod.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
pwsgprod.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
pwsgprod.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
pwsgprod.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
pwsgprod.w	⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 1 )

Assertion

Ref	Expression
pwsgprod	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑀   𝑦,𝑌   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝑅(𝑥, 𝑦)   𝑇(𝑥, 𝑦)   𝑈(𝑥, 𝑦)   1 (𝑥, 𝑦)   𝑀(𝑦)   𝑉(𝑥, 𝑦)   𝑊(𝑥, 𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pwsgprod

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsgprod.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
2		pwsgprod.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
4		pwsgprod.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5		pwsgprod.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		pwsgprod.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
7	6, 3	mgpbas 20312	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑀)
8		pwsgprod.o	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
9	6, 8	ringidval 20356	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0g‘𝑀)
10	1	pwscrng 20502	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ CRing)
11	4, 5, 10	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)
12	6	crngmgp 20414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
13	11, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
14		pwsgprod.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
15	4	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑅 ∈ CRing)
16	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝐼 ∈ 𝑉)
17		pwsgprod.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
18	17	anassrs 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑈 ∈ 𝐵)
19	18	an32s 665	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑈 ∈ 𝐵)
20	19	fmpttd 7104	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈):𝐼⟶𝐵)
21	1, 2, 3, 15, 16, 20	pwselbasr 17608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ (Base‘𝑌))
22	21	fmpttd 7104	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)):𝐽⟶(Base‘𝑌))
23		pwsgprod.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 1 )
24	7, 9, 13, 14, 22, 23	gsumcl 20076	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) ∈ (Base‘𝑌))
25	1, 2, 3, 4, 5, 24	pwselbas 17607	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))):𝐼⟶𝐵)
26	25	ffnd 6699	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) Fn 𝐼)
27		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑀
28		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 Σg
29		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐽
30		nfmpt1 5204	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)
31	29, 30	nfmpt 5203	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))
32	27, 28, 31	nfov 7439	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))
33	32	dffn5f 6945	. . 3 ⊢ ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) Fn 𝐼 ↔ (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥)))
34	26, 33	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥)))
35		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
36		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)
37	36	fvmpt2 6994	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥) = 𝑈)
38	35, 18, 37	syl2an2r 698	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥) = 𝑈)
39	38	mpteq2dva 5198	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))
40	39	oveq2d 7425	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥))) = (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈)))
41	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑀 ∈ CMnd)
42		pwsgprod.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
43	42	crngmgp 20414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
44	4, 43	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
45	44	cmnmndd 19965	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
46	45	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑇 ∈ Mnd)
47	14	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐽 ∈ 𝑊)
48	4	crngringd 20420	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
49	48	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
50	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
51	1, 3, 6, 42, 49, 50, 35	pwspjmhmmgpd 20504	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ↦ (𝑎‘𝑥)) ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))
52	21	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ (Base‘𝑌))
53	23	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 1 )
54		fveq1 6873	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) → (𝑎‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥))
55		fveq1 6873	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) → (𝑎‘𝑥) = ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥))
56	7, 9, 41, 46, 47, 51, 52, 53, 54, 55	gsummhm2 20100	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥))) = ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥))
57	40, 56	eqtr3d 2797	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈)) = ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥))
58	57	mpteq2dva 5198	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥)))
59	34, 58	eqtr4d 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   Fn wfn 6523  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409   finSupp cfsupp 9331  Basecbs 17334   Σ_g cgsu 17558   ↑_s cpws 17564  Mndcmnd 18870  CMndccmn 19941  mulGrpcmgp 20307  1_rcur 20354  Ringcrg 20406  CRingccrg 20407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-seq 14099  df-hash 14428  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-ip 17393  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-hom 17399  df-cco 17400  df-0g 17559  df-gsum 17560  df-prds 17565  df-pws 17567  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-mhm 18925  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-cntz 19478  df-cmn 19943  df-abl 19944  df-mgp 20308  df-rng 20322  df-ur 20355  df-ring 20408  df-cring 20409

This theorem is used by:  evlsvvval  22349