Theorem pwsgprod 42499

Description: Finite products in a power structure are taken componentwise. Compare pwsgsum 20024. (Contributed by SN, 30-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsgprod.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsgprod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsgprod.o	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
pwsgprod.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
pwsgprod.t	⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
pwsgprod.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
pwsgprod.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
pwsgprod.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
pwsgprod.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
pwsgprod.w	⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 1 )

Assertion

Ref	Expression
pwsgprod	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑀   𝑦,𝑌   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑇(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   1 (𝑥,𝑦)   𝑀(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pwsgprod

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsgprod.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
2		pwsgprod.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
4		pwsgprod.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5		pwsgprod.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		pwsgprod.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
7	6, 3	mgpbas 20167	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑀)
8		pwsgprod.o	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
9	6, 8	ringidval 20210	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0g‘𝑀)
10	1	pwscrng 20349	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ CRing)
11	4, 5, 10	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)
12	6	crngmgp 20268	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
14		pwsgprod.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
15	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑅 ∈ CRing)
16	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝐼 ∈ 𝑉)
17		pwsgprod.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
18	17	anassrs 467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑈 ∈ 𝐵)
19	18	an32s 651	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑈 ∈ 𝐵)
20	19	fmpttd 7149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈):𝐼⟶𝐵)
21	1, 2, 3, 15, 16, 20	pwselbasr 42498	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ (Base‘𝑌))
22	21	fmpttd 7149	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)):𝐽⟶(Base‘𝑌))
23		pwsgprod.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 1 )
24	7, 9, 13, 14, 22, 23	gsumcl 19957	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) ∈ (Base‘𝑌))
25	1, 2, 3, 4, 5, 24	pwselbas 17549	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))):𝐼⟶𝐵)
26	25	ffnd 6748	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) Fn 𝐼)
27		nfcv 2908	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑀
28		nfcv 2908	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 Σg
29		nfcv 2908	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐽
30		nfmpt1 5274	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)
31	29, 30	nfmpt 5273	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))
32	27, 28, 31	nfov 7478	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))
33	32	dffn5f 6993	. . 3 ⊢ ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) Fn 𝐼 ↔ (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥)))
34	26, 33	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥)))
35		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
36		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)
37	36	fvmpt2 7040	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥) = 𝑈)
38	35, 18, 37	syl2an2r 684	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥) = 𝑈)
39	38	mpteq2dva 5266	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))
40	39	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥))) = (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈)))
41	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑀 ∈ CMnd)
42		pwsgprod.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
43	42	crngmgp 20268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
44	4, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
45	44	cmnmndd 19846	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
46	45	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑇 ∈ Mnd)
47	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐽 ∈ 𝑊)
48	4	crngringd 20273	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
49	48	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
50	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
51	1, 3, 6, 42, 49, 50, 35	pwspjmhmmgpd 20351	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ↦ (𝑎‘𝑥)) ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))
52	21	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ (Base‘𝑌))
53	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 1 )
54		fveq1 6919	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) → (𝑎‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥))
55		fveq1 6919	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) → (𝑎‘𝑥) = ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥))
56	7, 9, 41, 46, 47, 51, 52, 53, 54, 55	gsummhm2 19981	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥))) = ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥))
57	40, 56	eqtr3d 2782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈)) = ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥))
58	57	mpteq2dva 5266	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥)))
59	34, 58	eqtr4d 2783	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   Fn wfn 6568  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   finSupp cfsupp 9431  Basecbs 17258   Σ_g cgsu 17500   ↑_s cpws 17506  Mndcmnd 18772  CMndccmn 19822  mulGrpcmgp 20161  1_rcur 20208  Ringcrg 20260  CRingccrg 20261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263

This theorem is referenced by:  evlsvvval  42518