Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pwsgprod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsgprod 41112
Description: Finite products in a power structure are taken componentwise. Compare pwsgsum 19845. (Contributed by SN, 30-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsgprod.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsgprod.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsgprod.o 1 = (1r𝑌)
pwsgprod.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
pwsgprod.t 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
pwsgprod.i (𝜑𝐼𝑉)
pwsgprod.j (𝜑𝐽𝑊)
pwsgprod.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
pwsgprod.f ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐽)) → 𝑈𝐵)
pwsgprod.w (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 1 )
Assertion
Ref Expression
pwsgprod (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑇 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑀   𝑦,𝑌   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑇(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   1 (𝑥,𝑦)   𝑀(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pwsgprod
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsgprod.y . . . . 5 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
2 pwsgprod.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2733 . . . . 5 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
4 pwsgprod.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
5 pwsgprod.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
6 pwsgprod.m . . . . . . 7 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
76, 3mgpbas 19988 . . . . . 6 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑀)
8 pwsgprod.o . . . . . . 7 1 = (1r𝑌)
96, 8ringidval 20001 . . . . . 6 1 = (0g𝑀)
101pwscrng 20133 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 ∈ CRing)
114, 5, 10syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ CRing)
126crngmgp 20058 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ CMnd)
14 pwsgprod.j . . . . . 6 (𝜑𝐽𝑊)
154adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐽) → 𝑅 ∈ CRing)
165adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐽) → 𝐼𝑉)
17 pwsgprod.f . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐽)) → 𝑈𝐵)
1817anassrs 469 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑈𝐵)
1918an32s 651 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐽) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑈𝐵)
2019fmpttd 7112 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑥𝐼𝑈):𝐼𝐵)
211, 2, 3, 15, 16, 20pwselbasr 41111 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑥𝐼𝑈) ∈ (Base‘𝑌))
2221fmpttd 7112 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)):𝐽⟶(Base‘𝑌))
23 pwsgprod.w . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 1 )
247, 9, 13, 14, 22, 23gsumcl 19778 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) ∈ (Base‘𝑌))
251, 2, 3, 4, 5, 24pwselbas 17432 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))):𝐼𝐵)
2625ffnd 6716 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) Fn 𝐼)
27 nfcv 2904 . . . . 5 𝑥𝑀
28 nfcv 2904 . . . . 5 𝑥 Σg
29 nfcv 2904 . . . . . 6 𝑥𝐽
30 nfmpt1 5256 . . . . . 6 𝑥(𝑥𝐼𝑈)
3129, 30nfmpt 5255 . . . . 5 𝑥(𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))
3227, 28, 31nfov 7436 . . . 4 𝑥(𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))
3332dffn5f 6961 . . 3 ((𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) Fn 𝐼 ↔ (𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥)))
3426, 33sylib 217 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥)))
35 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
36 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑥𝐼𝑈) = (𝑥𝐼𝑈)
3736fvmpt2 7007 . . . . . . 7 ((𝑥𝐼𝑈𝐵) → ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥) = 𝑈)
3835, 18, 37syl2an2r 684 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥) = 𝑈)
3938mpteq2dva 5248 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑦𝐽 ↦ ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥)) = (𝑦𝐽𝑈))
4039oveq2d 7422 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 Σg (𝑦𝐽 ↦ ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥))) = (𝑇 Σg (𝑦𝐽𝑈)))
4113adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑀 ∈ CMnd)
42 pwsgprod.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
4342crngmgp 20058 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
444, 43syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
4544cmnmndd 19667 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ Mnd)
4645adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑇 ∈ Mnd)
4714adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐽𝑊)
484crngringd 20063 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4948adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
505adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐼𝑉)
511, 3, 6, 42, 49, 50, 35pwspjmhmmgpd 20135 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ↦ (𝑎𝑥)) ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))
5221adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑥𝐼𝑈) ∈ (Base‘𝑌))
5323adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 1 )
54 fveq1 6888 . . . . 5 (𝑎 = (𝑥𝐼𝑈) → (𝑎𝑥) = ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥))
55 fveq1 6888 . . . . 5 (𝑎 = (𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) → (𝑎𝑥) = ((𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥))
567, 9, 41, 46, 47, 51, 52, 53, 54, 55gsummhm2 19802 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 Σg (𝑦𝐽 ↦ ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥))) = ((𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥))
5740, 56eqtr3d 2775 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 Σg (𝑦𝐽𝑈)) = ((𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥))
5857mpteq2dva 5248 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑇 Σg (𝑦𝐽𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥)))
5934, 58eqtr4d 2776 1 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑇 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5148  cmpt 5231   Fn wfn 6536  cfv 6541  (class class class)co 7406   finSupp cfsupp 9358  Basecbs 17141   Σg cgsu 17383  s cpws 17389  Mndcmnd 18622  CMndccmn 19643  mulGrpcmgp 19982  1rcur 19999  Ringcrg 20050  CRingccrg 20051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-hom 17218  df-cco 17219  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-prds 17390  df-pws 17392  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-mhm 18668  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-cring 20053
This theorem is referenced by:  evlsvvval  41133
  Copyright terms: Public domain W3C validator