Theorem pwsgprod 42527

Description: Finite products in a power structure are taken componentwise. Compare pwsgsum 19861. (Contributed by SN, 30-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsgprod.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsgprod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsgprod.o	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
pwsgprod.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
pwsgprod.t	⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
pwsgprod.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
pwsgprod.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
pwsgprod.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
pwsgprod.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
pwsgprod.w	⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 1 )

Assertion

Ref	Expression
pwsgprod	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑀   𝑦,𝑌   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑇(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   1 (𝑥,𝑦)   𝑀(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pwsgprod

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsgprod.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
2		pwsgprod.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
4		pwsgprod.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5		pwsgprod.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		pwsgprod.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
7	6, 3	mgpbas 20030	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑀)
8		pwsgprod.o	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
9	6, 8	ringidval 20068	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0g‘𝑀)
10	1	pwscrng 20211	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ CRing)
11	4, 5, 10	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)
12	6	crngmgp 20126	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
14		pwsgprod.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
15	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑅 ∈ CRing)
16	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝐼 ∈ 𝑉)
17		pwsgprod.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
18	17	anassrs 467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑈 ∈ 𝐵)
19	18	an32s 652	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑈 ∈ 𝐵)
20	19	fmpttd 7049	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈):𝐼⟶𝐵)
21	1, 2, 3, 15, 16, 20	pwselbasr 42526	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ (Base‘𝑌))
22	21	fmpttd 7049	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)):𝐽⟶(Base‘𝑌))
23		pwsgprod.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 1 )
24	7, 9, 13, 14, 22, 23	gsumcl 19794	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) ∈ (Base‘𝑌))
25	1, 2, 3, 4, 5, 24	pwselbas 17393	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))):𝐼⟶𝐵)
26	25	ffnd 6653	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) Fn 𝐼)
27		nfcv 2891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑀
28		nfcv 2891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 Σg
29		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐽
30		nfmpt1 5191	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)
31	29, 30	nfmpt 5190	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))
32	27, 28, 31	nfov 7379	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))
33	32	dffn5f 6894	. . 3 ⊢ ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) Fn 𝐼 ↔ (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥)))
34	26, 33	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥)))
35		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
36		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)
37	36	fvmpt2 6941	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥) = 𝑈)
38	35, 18, 37	syl2an2r 685	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥) = 𝑈)
39	38	mpteq2dva 5185	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))
40	39	oveq2d 7365	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥))) = (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈)))
41	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑀 ∈ CMnd)
42		pwsgprod.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
43	42	crngmgp 20126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
44	4, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
45	44	cmnmndd 19683	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
46	45	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑇 ∈ Mnd)
47	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐽 ∈ 𝑊)
48	4	crngringd 20131	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
49	48	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
50	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
51	1, 3, 6, 42, 49, 50, 35	pwspjmhmmgpd 20213	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ↦ (𝑎‘𝑥)) ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))
52	21	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ (Base‘𝑌))
53	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 1 )
54		fveq1 6821	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) → (𝑎‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥))
55		fveq1 6821	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) → (𝑎‘𝑥) = ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥))
56	7, 9, 41, 46, 47, 51, 52, 53, 54, 55	gsummhm2 19818	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥))) = ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥))
57	40, 56	eqtr3d 2766	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈)) = ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥))
58	57	mpteq2dva 5185	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥)))
59	34, 58	eqtr4d 2767	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173   Fn wfn 6477  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   finSupp cfsupp 9251  Basecbs 17120   Σ_g cgsu 17344   ↑_s cpws 17350  Mndcmnd 18608  CMndccmn 19659  mulGrpcmgp 20025  1_rcur 20066  Ringcrg 20118  CRingccrg 20119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121

This theorem is referenced by:  evlsvvval  42546