Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pwsgprod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsgprod 42559
Description: Finite products in a power structure are taken componentwise. Compare pwsgsum 20001. (Contributed by SN, 30-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsgprod.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsgprod.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsgprod.o 1 = (1r𝑌)
pwsgprod.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
pwsgprod.t 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
pwsgprod.i (𝜑𝐼𝑉)
pwsgprod.j (𝜑𝐽𝑊)
pwsgprod.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
pwsgprod.f ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐽)) → 𝑈𝐵)
pwsgprod.w (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 1 )
Assertion
Ref Expression
pwsgprod (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑇 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑀   𝑦,𝑌   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑇(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   1 (𝑥,𝑦)   𝑀(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pwsgprod
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsgprod.y . . . . 5 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
2 pwsgprod.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
4 pwsgprod.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
5 pwsgprod.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
6 pwsgprod.m . . . . . . 7 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
76, 3mgpbas 20143 . . . . . 6 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑀)
8 pwsgprod.o . . . . . . 7 1 = (1r𝑌)
96, 8ringidval 20181 . . . . . 6 1 = (0g𝑀)
101pwscrng 20324 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 ∈ CRing)
114, 5, 10syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ CRing)
126crngmgp 20239 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ CMnd)
14 pwsgprod.j . . . . . 6 (𝜑𝐽𝑊)
154adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐽) → 𝑅 ∈ CRing)
165adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐽) → 𝐼𝑉)
17 pwsgprod.f . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐽)) → 𝑈𝐵)
1817anassrs 467 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑈𝐵)
1918an32s 652 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐽) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑈𝐵)
2019fmpttd 7134 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑥𝐼𝑈):𝐼𝐵)
211, 2, 3, 15, 16, 20pwselbasr 42558 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑥𝐼𝑈) ∈ (Base‘𝑌))
2221fmpttd 7134 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)):𝐽⟶(Base‘𝑌))
23 pwsgprod.w . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 1 )
247, 9, 13, 14, 22, 23gsumcl 19934 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) ∈ (Base‘𝑌))
251, 2, 3, 4, 5, 24pwselbas 17535 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))):𝐼𝐵)
2625ffnd 6736 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) Fn 𝐼)
27 nfcv 2904 . . . . 5 𝑥𝑀
28 nfcv 2904 . . . . 5 𝑥 Σg
29 nfcv 2904 . . . . . 6 𝑥𝐽
30 nfmpt1 5249 . . . . . 6 𝑥(𝑥𝐼𝑈)
3129, 30nfmpt 5248 . . . . 5 𝑥(𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))
3227, 28, 31nfov 7462 . . . 4 𝑥(𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))
3332dffn5f 6979 . . 3 ((𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) Fn 𝐼 ↔ (𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥)))
3426, 33sylib 218 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥)))
35 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
36 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑥𝐼𝑈) = (𝑥𝐼𝑈)
3736fvmpt2 7026 . . . . . . 7 ((𝑥𝐼𝑈𝐵) → ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥) = 𝑈)
3835, 18, 37syl2an2r 685 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥) = 𝑈)
3938mpteq2dva 5241 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑦𝐽 ↦ ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥)) = (𝑦𝐽𝑈))
4039oveq2d 7448 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 Σg (𝑦𝐽 ↦ ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥))) = (𝑇 Σg (𝑦𝐽𝑈)))
4113adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑀 ∈ CMnd)
42 pwsgprod.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
4342crngmgp 20239 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
444, 43syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
4544cmnmndd 19823 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ Mnd)
4645adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑇 ∈ Mnd)
4714adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐽𝑊)
484crngringd 20244 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4948adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
505adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐼𝑉)
511, 3, 6, 42, 49, 50, 35pwspjmhmmgpd 20326 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ↦ (𝑎𝑥)) ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))
5221adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑥𝐼𝑈) ∈ (Base‘𝑌))
5323adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 1 )
54 fveq1 6904 . . . . 5 (𝑎 = (𝑥𝐼𝑈) → (𝑎𝑥) = ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥))
55 fveq1 6904 . . . . 5 (𝑎 = (𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) → (𝑎𝑥) = ((𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥))
567, 9, 41, 46, 47, 51, 52, 53, 54, 55gsummhm2 19958 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 Σg (𝑦𝐽 ↦ ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥))) = ((𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥))
5740, 56eqtr3d 2778 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 Σg (𝑦𝐽𝑈)) = ((𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥))
5857mpteq2dva 5241 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑇 Σg (𝑦𝐽𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥)))
5934, 58eqtr4d 2779 1 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑇 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107   class class class wbr 5142  cmpt 5224   Fn wfn 6555  cfv 6560  (class class class)co 7432   finSupp cfsupp 9402  Basecbs 17248   Σg cgsu 17486  s cpws 17492  Mndcmnd 18748  CMndccmn 19799  mulGrpcmgp 20138  1rcur 20179  Ringcrg 20231  CRingccrg 20232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234
This theorem is referenced by:  evlsvvval  42578
  Copyright terms: Public domain W3C validator