Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pwsgprod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsgprod 39811
 Description: Finite products in a power structure are taken componentwise. Compare pwsgsum 19183. (Contributed by SN, 30-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsgprod.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsgprod.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsgprod.o 1 = (1r𝑌)
pwsgprod.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
pwsgprod.t 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
pwsgprod.i (𝜑𝐼𝑉)
pwsgprod.j (𝜑𝐽𝑊)
pwsgprod.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
pwsgprod.f ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐽)) → 𝑈𝐵)
pwsgprod.w (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 1 )
Assertion
Ref Expression
pwsgprod (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑇 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑀   𝑦,𝑌   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑇(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   1 (𝑥,𝑦)   𝑀(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pwsgprod
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsgprod.y . . . . 5 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
2 pwsgprod.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2758 . . . . 5 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
4 pwsgprod.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
5 pwsgprod.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
6 pwsgprod.m . . . . . . 7 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
76, 3mgpbas 19326 . . . . . 6 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑀)
8 pwsgprod.o . . . . . . 7 1 = (1r𝑌)
96, 8ringidval 19334 . . . . . 6 1 = (0g𝑀)
101pwscrng 19451 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 ∈ CRing)
114, 5, 10syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ CRing)
126crngmgp 19386 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ CMnd)
14 pwsgprod.j . . . . . 6 (𝜑𝐽𝑊)
154adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐽) → 𝑅 ∈ CRing)
165adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐽) → 𝐼𝑉)
17 pwsgprod.f . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐽)) → 𝑈𝐵)
1817anassrs 471 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑈𝐵)
1918an32s 651 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐽) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑈𝐵)
2019fmpttd 6876 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑥𝐼𝑈):𝐼𝐵)
211, 2, 3, 15, 16, 20pwselbasr 39808 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑥𝐼𝑈) ∈ (Base‘𝑌))
2221fmpttd 6876 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)):𝐽⟶(Base‘𝑌))
23 pwsgprod.w . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 1 )
247, 9, 13, 14, 22, 23gsumcl 19116 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) ∈ (Base‘𝑌))
251, 2, 3, 4, 5, 24pwselbas 16833 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))):𝐼𝐵)
2625ffnd 6504 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) Fn 𝐼)
27 nfcv 2919 . . . . 5 𝑥𝑀
28 nfcv 2919 . . . . 5 𝑥 Σg
29 nfcv 2919 . . . . . 6 𝑥𝐽
30 nfmpt1 5134 . . . . . 6 𝑥(𝑥𝐼𝑈)
3129, 30nfmpt 5133 . . . . 5 𝑥(𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))
3227, 28, 31nfov 7186 . . . 4 𝑥(𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))
3332dffn5f 6729 . . 3 ((𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) Fn 𝐼 ↔ (𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥)))
3426, 33sylib 221 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥)))
35 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
36 eqid 2758 . . . . . . . 8 (𝑥𝐼𝑈) = (𝑥𝐼𝑈)
3736fvmpt2 6775 . . . . . . 7 ((𝑥𝐼𝑈𝐵) → ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥) = 𝑈)
3835, 18, 37syl2an2r 684 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥) = 𝑈)
3938mpteq2dva 5131 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑦𝐽 ↦ ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥)) = (𝑦𝐽𝑈))
4039oveq2d 7172 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 Σg (𝑦𝐽 ↦ ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥))) = (𝑇 Σg (𝑦𝐽𝑈)))
4113adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑀 ∈ CMnd)
42 pwsgprod.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
4342crngmgp 19386 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
444, 43syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
4544cmnmndd 19009 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ Mnd)
4645adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑇 ∈ Mnd)
4714adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐽𝑊)
484crngringd 19391 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4948adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
505adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐼𝑉)
511, 3, 6, 42, 49, 50, 35pwspjmhmmgpd 39809 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ↦ (𝑎𝑥)) ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))
5221adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑥𝐼𝑈) ∈ (Base‘𝑌))
5323adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 1 )
54 fveq1 6662 . . . . 5 (𝑎 = (𝑥𝐼𝑈) → (𝑎𝑥) = ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥))
55 fveq1 6662 . . . . 5 (𝑎 = (𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) → (𝑎𝑥) = ((𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥))
567, 9, 41, 46, 47, 51, 52, 53, 54, 55gsummhm2 19140 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 Σg (𝑦𝐽 ↦ ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥))) = ((𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥))
5740, 56eqtr3d 2795 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 Σg (𝑦𝐽𝑈)) = ((𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥))
5857mpteq2dva 5131 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑇 Σg (𝑦𝐽𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥)))
5934, 58eqtr4d 2796 1 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑇 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5036   ↦ cmpt 5116   Fn wfn 6335  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156   finSupp cfsupp 8879  Basecbs 16554   Σg cgsu 16785   ↑s cpws 16791  Mndcmnd 17990  CMndccmn 18986  mulGrpcmgp 19320  1rcur 19332  Ringcrg 19378  CRingccrg 19379 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-sup 8952  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-seq 13432  df-hash 13754  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-sca 16652  df-vsca 16653  df-ip 16654  df-tset 16655  df-ple 16656  df-ds 16658  df-hom 16660  df-cco 16661  df-0g 16786  df-gsum 16787  df-prds 16792  df-pws 16794  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-mhm 18035  df-grp 18185  df-minusg 18186  df-cntz 18527  df-cmn 18988  df-mgp 19321  df-ur 19333  df-ring 19380  df-cring 19381 This theorem is referenced by:  evlsbagval  39815
 Copyright terms: Public domain W3C validator