Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pwsgprod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsgprod 41196
Description: Finite products in a power structure are taken componentwise. Compare pwsgsum 19852. (Contributed by SN, 30-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsgprod.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsgprod.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsgprod.o 1 = (1r𝑌)
pwsgprod.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
pwsgprod.t 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
pwsgprod.i (𝜑𝐼𝑉)
pwsgprod.j (𝜑𝐽𝑊)
pwsgprod.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
pwsgprod.f ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐽)) → 𝑈𝐵)
pwsgprod.w (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 1 )
Assertion
Ref Expression
pwsgprod (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑇 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑀   𝑦,𝑌   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑇(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   1 (𝑥,𝑦)   𝑀(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pwsgprod
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsgprod.y . . . . 5 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
2 pwsgprod.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2732 . . . . 5 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
4 pwsgprod.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
5 pwsgprod.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
6 pwsgprod.m . . . . . . 7 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
76, 3mgpbas 19995 . . . . . 6 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑀)
8 pwsgprod.o . . . . . . 7 1 = (1r𝑌)
96, 8ringidval 20008 . . . . . 6 1 = (0g𝑀)
101pwscrng 20143 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 ∈ CRing)
114, 5, 10syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ CRing)
126crngmgp 20066 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ CMnd)
14 pwsgprod.j . . . . . 6 (𝜑𝐽𝑊)
154adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐽) → 𝑅 ∈ CRing)
165adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐽) → 𝐼𝑉)
17 pwsgprod.f . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐽)) → 𝑈𝐵)
1817anassrs 468 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑈𝐵)
1918an32s 650 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐽) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑈𝐵)
2019fmpttd 7116 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑥𝐼𝑈):𝐼𝐵)
211, 2, 3, 15, 16, 20pwselbasr 41195 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑥𝐼𝑈) ∈ (Base‘𝑌))
2221fmpttd 7116 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)):𝐽⟶(Base‘𝑌))
23 pwsgprod.w . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 1 )
247, 9, 13, 14, 22, 23gsumcl 19785 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) ∈ (Base‘𝑌))
251, 2, 3, 4, 5, 24pwselbas 17437 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))):𝐼𝐵)
2625ffnd 6718 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) Fn 𝐼)
27 nfcv 2903 . . . . 5 𝑥𝑀
28 nfcv 2903 . . . . 5 𝑥 Σg
29 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑥𝐽
30 nfmpt1 5256 . . . . . 6 𝑥(𝑥𝐼𝑈)
3129, 30nfmpt 5255 . . . . 5 𝑥(𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))
3227, 28, 31nfov 7441 . . . 4 𝑥(𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))
3332dffn5f 6963 . . 3 ((𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) Fn 𝐼 ↔ (𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥)))
3426, 33sylib 217 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥)))
35 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
36 eqid 2732 . . . . . . . 8 (𝑥𝐼𝑈) = (𝑥𝐼𝑈)
3736fvmpt2 7009 . . . . . . 7 ((𝑥𝐼𝑈𝐵) → ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥) = 𝑈)
3835, 18, 37syl2an2r 683 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥) = 𝑈)
3938mpteq2dva 5248 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑦𝐽 ↦ ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥)) = (𝑦𝐽𝑈))
4039oveq2d 7427 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 Σg (𝑦𝐽 ↦ ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥))) = (𝑇 Σg (𝑦𝐽𝑈)))
4113adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑀 ∈ CMnd)
42 pwsgprod.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
4342crngmgp 20066 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
444, 43syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
4544cmnmndd 19674 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ Mnd)
4645adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑇 ∈ Mnd)
4714adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐽𝑊)
484crngringd 20071 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4948adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
505adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐼𝑉)
511, 3, 6, 42, 49, 50, 35pwspjmhmmgpd 20145 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ↦ (𝑎𝑥)) ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))
5221adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑥𝐼𝑈) ∈ (Base‘𝑌))
5323adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 1 )
54 fveq1 6890 . . . . 5 (𝑎 = (𝑥𝐼𝑈) → (𝑎𝑥) = ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥))
55 fveq1 6890 . . . . 5 (𝑎 = (𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) → (𝑎𝑥) = ((𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥))
567, 9, 41, 46, 47, 51, 52, 53, 54, 55gsummhm2 19809 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 Σg (𝑦𝐽 ↦ ((𝑥𝐼𝑈)‘𝑥))) = ((𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥))
5740, 56eqtr3d 2774 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 Σg (𝑦𝐽𝑈)) = ((𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥))
5857mpteq2dva 5248 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑇 Σg (𝑦𝐽𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)))‘𝑥)))
5934, 58eqtr4d 2775 1 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑇 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5148  cmpt 5231   Fn wfn 6538  cfv 6543  (class class class)co 7411   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17146   Σg cgsu 17388  s cpws 17394  Mndcmnd 18627  CMndccmn 19650  mulGrpcmgp 19989  1rcur 20006  Ringcrg 20058  CRingccrg 20059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-hash 14293  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-hom 17223  df-cco 17224  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-prds 17395  df-pws 17397  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-cring 20061
This theorem is referenced by:  evlsvvval  41217
  Copyright terms: Public domain W3C validator