Theorem pwsgprod 20469

Description: Finite products in a power structure are taken componentwise. Compare pwsgsum 20108. (Contributed by SN, 30-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsgprod.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsgprod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsgprod.o	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
pwsgprod.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
pwsgprod.t	⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
pwsgprod.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
pwsgprod.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
pwsgprod.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
pwsgprod.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
pwsgprod.w	⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 1 )

Assertion

Ref	Expression
pwsgprod	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑀   𝑦,𝑌   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝑅(𝑥, 𝑦)   𝑇(𝑥, 𝑦)   𝑈(𝑥, 𝑦)   1 (𝑥, 𝑦)   𝑀(𝑦)   𝑉(𝑥, 𝑦)   𝑊(𝑥, 𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pwsgprod

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsgprod.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
2		pwsgprod.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
4		pwsgprod.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5		pwsgprod.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		pwsgprod.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
7	6, 3	mgpbas 20277	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑀)
8		pwsgprod.o	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
9	6, 8	ringidval 20321	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0g‘𝑀)
10	1	pwscrng 20465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ CRing)
11	4, 5, 10	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)
12	6	crngmgp 20379	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
13	11, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
14		pwsgprod.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
15	4	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑅 ∈ CRing)
16	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝐼 ∈ 𝑉)
17		pwsgprod.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
18	17	anassrs 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑈 ∈ 𝐵)
19	18	an32s 665	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑈 ∈ 𝐵)
20	19	fmpttd 7111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈):𝐼⟶𝐵)
21	1, 2, 3, 15, 16, 20	pwselbasr 17577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ (Base‘𝑌))
22	21	fmpttd 7111	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)):𝐽⟶(Base‘𝑌))
23		pwsgprod.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 1 )
24	7, 9, 13, 14, 22, 23	gsumcl 20041	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) ∈ (Base‘𝑌))
25	1, 2, 3, 4, 5, 24	pwselbas 17576	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))):𝐼⟶𝐵)
26	25	ffnd 6707	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) Fn 𝐼)
27		nfcv 2924	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑀
28		nfcv 2924	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 Σg
29		nfcv 2924	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐽
30		nfmpt1 5208	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)
31	29, 30	nfmpt 5207	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))
32	27, 28, 31	nfov 7446	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))
33	32	dffn5f 6953	. . 3 ⊢ ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) Fn 𝐼 ↔ (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥)))
34	26, 33	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥)))
35		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
36		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)
37	36	fvmpt2 7002	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥) = 𝑈)
38	35, 18, 37	syl2an2r 698	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥) = 𝑈)
39	38	mpteq2dva 5202	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))
40	39	oveq2d 7432	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥))) = (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈)))
41	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑀 ∈ CMnd)
42		pwsgprod.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
43	42	crngmgp 20379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
44	4, 43	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
45	44	cmnmndd 19930	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
46	45	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑇 ∈ Mnd)
47	14	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐽 ∈ 𝑊)
48	4	crngringd 20384	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
49	48	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
50	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
51	1, 3, 6, 42, 49, 50, 35	pwspjmhmmgpd 20467	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ↦ (𝑎‘𝑥)) ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))
52	21	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ (Base‘𝑌))
53	23	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 1 )
54		fveq1 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) → (𝑎‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥))
55		fveq1 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) → (𝑎‘𝑥) = ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥))
56	7, 9, 41, 46, 47, 51, 52, 53, 54, 55	gsummhm2 20065	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥))) = ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥))
57	40, 56	eqtr3d 2799	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈)) = ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥))
58	57	mpteq2dva 5202	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥)))
59	34, 58	eqtr4d 2800	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   finSupp cfsupp 9334  Basecbs 17303   Σ_g cgsu 17527   ↑_s cpws 17533  Mndcmnd 18836  CMndccmn 19906  mulGrpcmgp 20272  1_rcur 20319  Ringcrg 20371  CRingccrg 20372

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-hash 14395  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-sca 17360  df-vsca 17361  df-ip 17362  df-tset 17363  df-ple 17364  df-ds 17366  df-hom 17368  df-cco 17369  df-0g 17528  df-gsum 17529  df-prds 17534  df-pws 17536  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18890  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-cntz 19443  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-ring 20373  df-cring 20374

This theorem is used by:  evlsvvval  22308