Theorem pwsgprod 20586

Description: Finite products in a power structure are taken componentwise. Compare pwsgsum 20223. (Contributed by SN, 30-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsgprod.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsgprod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsgprod.o	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
pwsgprod.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
pwsgprod.t	⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
pwsgprod.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
pwsgprod.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
pwsgprod.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
pwsgprod.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
pwsgprod.w	⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 1 )

Assertion

Ref	Expression
pwsgprod	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑀   𝑦,𝑌   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝑅(𝑥, 𝑦)   𝑇(𝑥, 𝑦)   𝑈(𝑥, 𝑦)   1 (𝑥, 𝑦)   𝑀(𝑦)   𝑉(𝑥, 𝑦)   𝑊(𝑥, 𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pwsgprod

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsgprod.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
2		pwsgprod.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
4		pwsgprod.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5		pwsgprod.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		pwsgprod.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
7	6, 3	mgpbas 20392	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑀)
8		pwsgprod.o	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
9	6, 8	ringidval 20436	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0g‘𝑀)
10	1	pwscrng 20582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ CRing)
11	4, 5, 10	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)
12	6	crngmgp 20494	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
13	11, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
14		pwsgprod.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
15	4	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑅 ∈ CRing)
16	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝐼 ∈ 𝑉)
17		pwsgprod.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
18	17	anassrs 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑈 ∈ 𝐵)
19	18	an32s 665	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑈 ∈ 𝐵)
20	19	fmpttd 7136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈):𝐼⟶𝐵)
21	1, 2, 3, 15, 16, 20	pwselbasr 17687	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ (Base‘𝑌))
22	21	fmpttd 7136	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)):𝐽⟶(Base‘𝑌))
23		pwsgprod.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 1 )
24	7, 9, 13, 14, 22, 23	gsumcl 20156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) ∈ (Base‘𝑌))
25	1, 2, 3, 4, 5, 24	pwselbas 17686	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))):𝐼⟶𝐵)
26	25	ffnd 6729	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) Fn 𝐼)
27		nfcv 2926	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑀
28		nfcv 2926	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 Σg
29		nfcv 2926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐽
30		nfmpt1 5207	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)
31	29, 30	nfmpt 5206	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))
32	27, 28, 31	nfov 7470	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))
33	32	dffn5f 6976	. . 3 ⊢ ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) Fn 𝐼 ↔ (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥)))
34	26, 33	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥)))
35		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
36		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)
37	36	fvmpt2 7025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥) = 𝑈)
38	35, 18, 37	syl2an2r 698	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥) = 𝑈)
39	38	mpteq2dva 5201	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))
40	39	oveq2d 7456	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥))) = (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈)))
41	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑀 ∈ CMnd)
42		pwsgprod.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
43	42	crngmgp 20494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
44	4, 43	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
45	44	cmnmndd 20045	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
46	45	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑇 ∈ Mnd)
47	14	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐽 ∈ 𝑊)
48	4	crngringd 20500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
49	48	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
50	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
51	1, 3, 6, 42, 49, 50, 35	pwspjmhmmgpd 20584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ↦ (𝑎‘𝑥)) ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))
52	21	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ (Base‘𝑌))
53	23	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 1 )
54		fveq1 6904	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) → (𝑎‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥))
55		fveq1 6904	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) → (𝑎‘𝑥) = ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥))
56	7, 9, 41, 46, 47, 51, 52, 53, 54, 55	gsummhm2 20180	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)‘𝑥))) = ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥))
57	40, 56	eqtr3d 2800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈)) = ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥))
58	57	mpteq2dva 5201	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)))‘𝑥)))
59	34, 58	eqtr4d 2801	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑇 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   Fn wfn 6550  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   finSupp cfsupp 9378  Basecbs 17413   Σ_g cgsu 17637   ↑_s cpws 17643  Mndcmnd 18949  CMndccmn 20021  mulGrpcmgp 20387  1_rcur 20434  Ringcrg 20486  CRingccrg 20487

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-sup 9458  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-hash 14499  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-hom 17478  df-cco 17479  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-prds 17644  df-pws 17646  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-cring 20489

This theorem is used by:  evlsvvval  22429