Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlsexpval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlsexpval 39875
Description: Polynomial evaluation builder for exponentiation. (Contributed by SN, 27-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsaddval.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsaddval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsaddval.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
evlsaddval.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsaddval.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsaddval.i (𝜑𝐼𝑍)
evlsaddval.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evlsaddval.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsaddval.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
evlsaddval.m (𝜑 → (𝑀𝐵 ∧ ((𝑄𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
evlsexpval.g = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
evlsexpval.f = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
evlsexpval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
evlsexpval (𝜑 → ((𝑁 𝑀) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑁 𝑀))‘𝐴) = (𝑁 𝑉)))

Proof of Theorem evlsexpval
StepHypRef Expression
1 evlsaddval.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑍)
2 evlsaddval.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
3 evlsaddval.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4 evlsaddval.q . . . . . 6 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
5 evlsaddval.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
6 evlsaddval.u . . . . . 6 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
7 eqid 2738 . . . . . 6 (𝑆s (𝐾m 𝐼)) = (𝑆s (𝐾m 𝐼))
8 evlsaddval.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑆)
94, 5, 6, 7, 8evlsrhm 20902 . . . . 5 ((𝐼𝑍𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))))
101, 2, 3, 9syl3anc 1372 . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))))
11 rhmrcl1 19593 . . . 4 (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))) → 𝑃 ∈ Ring)
12 eqid 2738 . . . . 5 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
1312ringmgp 19422 . . . 4 (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
1410, 11, 133syl 18 . . 3 (𝜑 → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
15 evlsexpval.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
16 evlsaddval.m . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐵 ∧ ((𝑄𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
1716simpld 498 . . 3 (𝜑𝑀𝐵)
18 evlsaddval.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
1912, 18mgpbas 19364 . . . 4 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
20 evlsexpval.g . . . 4 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
2119, 20mulgnn0cl 18362 . . 3 (((mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝐵) → (𝑁 𝑀) ∈ 𝐵)
2214, 15, 17, 21syl3anc 1372 . 2 (𝜑 → (𝑁 𝑀) ∈ 𝐵)
23 eqid 2738 . . . . 5 (mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) = (mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))
244, 5, 12, 20, 6, 7, 23, 8, 18, 1, 2, 3, 15, 17evlspw 20907 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 𝑀)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑄𝑀)))
2524fveq1d 6676 . . 3 (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 𝑀))‘𝐴) = ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑄𝑀))‘𝐴))
26 eqid 2738 . . . 4 (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) = (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))
27 eqid 2738 . . . 4 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
28 eqid 2738 . . . 4 (.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))) = (.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
29 evlsexpval.f . . . 4 = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
302crngringd 19429 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
31 ovexd 7205 . . . 4 (𝜑 → (𝐾m 𝐼) ∈ V)
3218, 26rhmf 19600 . . . . . 6 (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))) → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
3310, 32syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
3433, 17ffvelrnd 6862 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
35 evlsaddval.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
367, 26, 23, 27, 28, 29, 30, 31, 15, 34, 35pwsexpg 39869 . . 3 (𝜑 → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑄𝑀))‘𝐴) = (𝑁 ((𝑄𝑀)‘𝐴)))
3716simprd 499 . . . 4 (𝜑 → ((𝑄𝑀)‘𝐴) = 𝑉)
3837oveq2d 7186 . . 3 (𝜑 → (𝑁 ((𝑄𝑀)‘𝐴)) = (𝑁 𝑉))
3925, 36, 383eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 𝑀))‘𝐴) = (𝑁 𝑉))
4022, 39jca 515 1 (𝜑 → ((𝑁 𝑀) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑁 𝑀))‘𝐴) = (𝑁 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  Vcvv 3398  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7170  m cmap 8437  0cn0 11976  Basecbs 16586  s cress 16587  s cpws 16823  Mndcmnd 18027  .gcmg 18342  mulGrpcmgp 19358  Ringcrg 19416  CRingccrg 19417   RingHom crh 19586  SubRingcsubrg 19650   mPoly cmpl 20719   evalSub ces 20884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-ofr 7426  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-sup 8979  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-seq 13461  df-hash 13783  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-hom 16692  df-cco 16693  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-prds 16824  df-pws 16826  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-mhm 18072  df-submnd 18073  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-mulg 18343  df-subg 18394  df-ghm 18474  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-abl 19027  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-srg 19375  df-ring 19418  df-cring 19419  df-rnghom 19589  df-subrg 19652  df-lmod 19755  df-lss 19823  df-lsp 19863  df-assa 20669  df-asp 20670  df-ascl 20671  df-psr 20722  df-mvr 20723  df-mpl 20724  df-evls 20886
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator