Theorem evlsexpval 41442

Description: Polynomial evaluation builder for exponentiation. (Contributed by SN, 27-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsaddval.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsaddval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsaddval.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsaddval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsaddval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsaddval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)
evlsaddval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsaddval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsaddval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsaddval.m	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
evlsexpval.g	⊢ ∙ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
evlsexpval.f	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
evlsexpval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
evlsexpval	⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∙ 𝑀) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑁 ∙ 𝑀))‘𝐴) = (𝑁 ↑ 𝑉)))

Proof of Theorem evlsexpval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
2		evlsaddval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3	1, 2	mgpbas 20035	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
4		evlsexpval.g	. . 3 ⊢ ∙ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
5		evlsaddval.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)
6		evlsaddval.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
7		evlsaddval.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
8		evlsaddval.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
9		evlsaddval.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
10		evlsaddval.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
11		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
12		evlsaddval.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
13	8, 9, 10, 11, 12	evlsrhm 21871	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
14	5, 6, 7, 13	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
15		rhmrcl1 20368	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) → 𝑃 ∈ Ring)
16	1	ringmgp 20134	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
17	14, 15, 16	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
18		evlsexpval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
19		evlsaddval.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
20	19	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
21	3, 4, 17, 18, 20	mulgnn0cld 19012	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∙ 𝑀) ∈ 𝐵)
22		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
23	8, 9, 1, 4, 10, 11, 22, 12, 2, 5, 6, 7, 18, 20	evlspw 21876	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ∙ 𝑀)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑄‘𝑀)))
24	23	fveq1d 6893	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ∙ 𝑀))‘𝐴) = ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑄‘𝑀))‘𝐴))
25		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
26		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
27		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))) = (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
28		evlsexpval.f	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
29	6	crngringd 20141	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
30		ovexd 7447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
31	2, 25	rhmf 20377	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
32	14, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
33	32, 20	ffvelcdmd 7087	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
34		evlsaddval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
35	11, 25, 22, 26, 27, 28, 29, 30, 18, 33, 34	pwsexpg 20218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑄‘𝑀))‘𝐴) = (𝑁 ↑ ((𝑄‘𝑀)‘𝐴)))
36	19	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑀)‘𝐴) = 𝑉)
37	36	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ ((𝑄‘𝑀)‘𝐴)) = (𝑁 ↑ 𝑉))
38	24, 35, 37	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ∙ 𝑀))‘𝐴) = (𝑁 ↑ 𝑉))
39	21, 38	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∙ 𝑀) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑁 ∙ 𝑀))‘𝐴) = (𝑁 ↑ 𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8824  ℕ₀cn0 12477  Basecbs 17149   ↾_s cress 17178   ↑_s cpws 17397  Mndcmnd 18660  ._gcmg 18987  mulGrpcmgp 20029  Ringcrg 20128  CRingccrg 20129   RingHom crh 20361  SubRingcsubrg 20458   mPoly cmpl 21679   evalSub ces 21853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-srg 20082  df-ring 20130  df-cring 20131  df-rhm 20364  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-assa 21628  df-asp 21629  df-ascl 21630  df-psr 21682  df-mvr 21683  df-mpl 21684  df-evls 21855

This theorem is referenced by: (None)