MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetrsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetrsca 21952
Description: The determinant function is homogeneous for each row: If the matrices 𝑋 and 𝑍 are identical except for the 𝐼-th row, and the 𝐼-th row of the matrix 𝑋 is the componentwise product of the 𝐼-th row of the matrix 𝑍 and the scalar 𝑌, then the determinant of 𝑋 is the determinant of 𝑍 multiplied by 𝑌. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetrsca.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetrsca.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetrsca.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetrsca.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetrsca.t · = (.r𝑅)
mdetrsca.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mdetrsca.x (𝜑𝑋𝐵)
mdetrsca.y (𝜑𝑌𝐾)
mdetrsca.z (𝜑𝑍𝐵)
mdetrsca.i (𝜑𝐼𝑁)
mdetrsca.eq (𝜑 → (𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = ((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))))
mdetrsca.ne (𝜑 → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
Assertion
Ref Expression
mdetrsca (𝜑 → (𝐷𝑋) = (𝑌 · (𝐷𝑍)))

Proof of Theorem mdetrsca
Dummy variables 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetrsca.eq . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = ((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))))
21oveqd 7374 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = (𝐼((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝𝐼)))
32adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = (𝐼((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝𝐼)))
4 mdetrsca.i . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐼𝑁)
54adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝐼𝑁)
6 snidg 4620 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼𝑁𝐼 ∈ {𝐼})
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝐼 ∈ {𝐼})
8 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
9 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
108, 9symgbasf1o 19156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) → 𝑝:𝑁1-1-onto𝑁)
1110adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝:𝑁1-1-onto𝑁)
12 f1of 6784 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝:𝑁1-1-onto𝑁𝑝:𝑁𝑁)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝:𝑁𝑁)
1413, 5ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑝𝐼) ∈ 𝑁)
15 ovres 7520 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ {𝐼} ∧ (𝑝𝐼) ∈ 𝑁) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = (𝐼𝑋(𝑝𝐼)))
167, 14, 15syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = (𝐼𝑋(𝑝𝐼)))
177, 14opelxpd 5671 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩ ∈ ({𝐼} × 𝑁))
18 snfi 8988 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝐼} ∈ Fin
19 mdetrsca.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋𝐵)
20 mdetrsca.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
21 mdetrsca.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐵 = (Base‘𝐴)
2220, 21matrcl 21759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
2319, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
2423simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
2524adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
26 xpfi 9261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (({𝐼} ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ({𝐼} × 𝑁) ∈ Fin)
2718, 25, 26sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} × 𝑁) ∈ Fin)
28 mdetrsca.y . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌𝐾)
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑌𝐾)
30 mdetrsca.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑍𝐵)
31 mdetrsca.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐾 = (Base‘𝑅)
3220, 31, 21matbas2i 21771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑍𝐵𝑍 ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)))
33 elmapi 8787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑍 ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
3430, 32, 333syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
3534adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
3635ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑁))
375snssd 4769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → {𝐼} ⊆ 𝑁)
38 xpss1 5652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({𝐼} ⊆ 𝑁 → ({𝐼} × 𝑁) ⊆ (𝑁 × 𝑁))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} × 𝑁) ⊆ (𝑁 × 𝑁))
40 fnssres 6624 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑍 Fn (𝑁 × 𝑁) ∧ ({𝐼} × 𝑁) ⊆ (𝑁 × 𝑁)) → (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) Fn ({𝐼} × 𝑁))
4136, 39, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) Fn ({𝐼} × 𝑁))
42 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩ ∈ ({𝐼} × 𝑁)) → ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩) = ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩))
4327, 29, 41, 42ofc1 7643 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩ ∈ ({𝐼} × 𝑁)) → (((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩) = (𝑌 · ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩)))
4417, 43mpdan 685 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩) = (𝑌 · ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩)))
45 df-ov 7360 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝𝐼)) = (((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩)
46 df-ov 7360 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩)
4746oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 · (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼))) = (𝑌 · ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩))
4844, 45, 473eqtr4g 2801 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝𝐼)) = (𝑌 · (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼))))
493, 16, 483eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑋(𝑝𝐼)) = (𝑌 · (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼))))
50 ovres 7520 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ {𝐼} ∧ (𝑝𝐼) ∈ 𝑁) → (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = (𝐼𝑍(𝑝𝐼)))
517, 14, 50syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = (𝐼𝑍(𝑝𝐼)))
5251oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑌 · (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼))) = (𝑌 · (𝐼𝑍(𝑝𝐼))))
5349, 52eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑋(𝑝𝐼)) = (𝑌 · (𝐼𝑍(𝑝𝐼))))
5453oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝐼𝑋(𝑝𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = ((𝑌 · (𝐼𝑍(𝑝𝐼))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))
55 mdetrsca.r . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
56 crngring 19976 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5857adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
5935, 5, 14fovcdmd 7526 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑍(𝑝𝐼)) ∈ 𝐾)
60 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
6160, 31mgpbas 19902 . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
6260crngmgp 19972 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
6355, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
6463adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
65 difssd 4092 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁)
6625, 65ssfid 9211 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
67 eldifi 4086 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑟𝑁)
6834ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
69 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → 𝑟𝑁)
7013ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → (𝑝𝑟) ∈ 𝑁)
7168, 69, 70fovcdmd 7526 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → (𝑟𝑍(𝑝𝑟)) ∈ 𝐾)
7267, 71sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟𝑍(𝑝𝑟)) ∈ 𝐾)
7372ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ∀𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})(𝑟𝑍(𝑝𝑟)) ∈ 𝐾)
7461, 64, 66, 73gsummptcl 19744 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) ∈ 𝐾)
75 mdetrsca.t . . . . . . . . . . 11 · = (.r𝑅)
7631, 75ringass 19984 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝐾 ∧ (𝐼𝑍(𝑝𝐼)) ∈ 𝐾 ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) ∈ 𝐾)) → ((𝑌 · (𝐼𝑍(𝑝𝐼))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = (𝑌 · ((𝐼𝑍(𝑝𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
7758, 29, 59, 74, 76syl13anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝑌 · (𝐼𝑍(𝑝𝐼))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = (𝑌 · ((𝐼𝑍(𝑝𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
7854, 77eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝐼𝑋(𝑝𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = (𝑌 · ((𝐼𝑍(𝑝𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
7960, 75mgpplusg 19900 . . . . . . . . . 10 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
8020, 31, 21matbas2i 21771 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)))
81 elmapi 8787 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
8219, 80, 813syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
8382ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
8483, 69, 70fovcdmd 7526 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → (𝑟𝑋(𝑝𝑟)) ∈ 𝐾)
85 disjdif 4431 . . . . . . . . . . 11 ({𝐼} ∩ (𝑁 ∖ {𝐼})) = ∅
8685a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} ∩ (𝑁 ∖ {𝐼})) = ∅)
87 undif 4441 . . . . . . . . . . . 12 ({𝐼} ⊆ 𝑁 ↔ ({𝐼} ∪ (𝑁 ∖ {𝐼})) = 𝑁)
8837, 87sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} ∪ (𝑁 ∖ {𝐼})) = 𝑁)
8988eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑁 = ({𝐼} ∪ (𝑁 ∖ {𝐼})))
9061, 79, 64, 25, 84, 86, 89gsummptfidmsplit 19707 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))
91 cmnmnd 19579 . . . . . . . . . . . 12 ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
9264, 91syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
9382adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
9493, 5, 14fovcdmd 7526 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑋(𝑝𝐼)) ∈ 𝐾)
95 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝐼𝑟 = 𝐼)
96 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝐼 → (𝑝𝑟) = (𝑝𝐼))
9795, 96oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝐼 → (𝑟𝑋(𝑝𝑟)) = (𝐼𝑋(𝑝𝐼)))
9861, 97gsumsn 19731 . . . . . . . . . . 11 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑁 ∧ (𝐼𝑋(𝑝𝐼)) ∈ 𝐾) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) = (𝐼𝑋(𝑝𝐼)))
9992, 5, 94, 98syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) = (𝐼𝑋(𝑝𝐼)))
100 mdetrsca.ne . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
101100oveqd 7374 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)))
102101ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)))
103 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}))
10467, 70sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑝𝑟) ∈ 𝑁)
105 ovres 7520 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ (𝑝𝑟) ∈ 𝑁) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))
106103, 104, 105syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))
107 ovres 7520 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ (𝑝𝑟) ∈ 𝑁) → (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))
108103, 104, 107syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))
109102, 106, 1083eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟𝑋(𝑝𝑟)) = (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))
110109mpteq2dva 5205 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))) = (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))
111110oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))
11299, 111oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))) = ((𝐼𝑋(𝑝𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))
11390, 112eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) = ((𝐼𝑋(𝑝𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))
11461, 79, 64, 25, 71, 86, 89gsummptfidmsplit 19707 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))
11595, 96oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝐼 → (𝑟𝑍(𝑝𝑟)) = (𝐼𝑍(𝑝𝐼)))
11661, 115gsumsn 19731 . . . . . . . . . . . 12 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑁 ∧ (𝐼𝑍(𝑝𝐼)) ∈ 𝐾) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) = (𝐼𝑍(𝑝𝐼)))
11792, 5, 59, 116syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) = (𝐼𝑍(𝑝𝐼)))
118117oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = ((𝐼𝑍(𝑝𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))
119114, 118eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) = ((𝐼𝑍(𝑝𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))
120119oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = (𝑌 · ((𝐼𝑍(𝑝𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
12178, 113, 1203eqtr4d 2786 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) = (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))
122121oveq2d 7373 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
12355adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑅 ∈ CRing)
124 zrhpsgnmhm 20988 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
12557, 24, 124syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
1269, 61mhmf 18607 . . . . . . . . . . 11 (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
127125, 126syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
128127ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾)
12931, 75crngcom 19982 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾𝑌𝐾) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · 𝑌) = (𝑌 · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)))
130123, 128, 29, 129syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · 𝑌) = (𝑌 · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)))
131130oveq1d 7372 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · 𝑌) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = ((𝑌 · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))
13271ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ∀𝑟𝑁 (𝑟𝑍(𝑝𝑟)) ∈ 𝐾)
13361, 64, 25, 132gsummptcl 19744 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) ∈ 𝐾)
13431, 75ringass 19984 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾𝑌𝐾 ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) ∈ 𝐾)) → (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · 𝑌) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
13558, 128, 29, 133, 134syl13anc 1372 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · 𝑌) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
13631, 75ringass 19984 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝐾 ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾 ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) ∈ 𝐾)) → ((𝑌 · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
13758, 29, 128, 133, 136syl13anc 1372 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝑌 · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
138131, 135, 1373eqtr3d 2784 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))) = (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
139122, 138eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))) = (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
140139mpteq2dva 5205 . . . 4 (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))))
141140oveq2d 7373 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))))
142 eqid 2736 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
143 eqid 2736 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
1448, 9symgbasfi 19160 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
14524, 144syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
14631, 75ringcl 19981 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾 ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) ∈ 𝐾) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) ∈ 𝐾)
14758, 128, 133, 146syl3anc 1371 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) ∈ 𝐾)
148 eqid 2736 . . . . 5 (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))
149 ovexd 7392 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) ∈ V)
150 fvexd 6857 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ V)
151148, 145, 149, 150fsuppmptdm 9316 . . . 4 (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))) finSupp (0g𝑅))
15231, 142, 143, 75, 57, 145, 28, 147, 151gsummulc2 20031 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))))
153141, 152eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))))
154 mdetrsca.d . . . 4 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
155 eqid 2736 . . . 4 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
156 eqid 2736 . . . 4 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
157154, 20, 21, 9, 155, 156, 75, 60mdetleib2 21937 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝐷𝑋) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))))
15855, 19, 157syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐷𝑋) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))))
159154, 20, 21, 9, 155, 156, 75, 60mdetleib2 21937 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑍𝐵) → (𝐷𝑍) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))))
16055, 30, 159syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝑍) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))))
161160oveq2d 7373 . 2 (𝜑 → (𝑌 · (𝐷𝑍)) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))))
162153, 158, 1613eqtr4d 2786 1 (𝜑 → (𝐷𝑋) = (𝑌 · (𝐷𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  cdif 3907  cun 3908  cin 3909  wss 3910  c0 4282  {csn 4586  cop 4592  cmpt 5188   × cxp 5631  cres 5635  ccom 5637   Fn wfn 6491  wf 6492  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  m cmap 8765  Fincfn 8883  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  Mndcmnd 18556   MndHom cmhm 18599  SymGrpcsymg 19148  pmSgncpsgn 19271  CMndccmn 19562  mulGrpcmgp 19896  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965  ℤRHomczrh 20900   Mat cmat 21754   maDet cmdat 21933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-word 14403  df-lsw 14451  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-splice 14638  df-reverse 14647  df-s2 14737  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-efmnd 18679  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-gim 19049  df-cntz 19097  df-oppg 19124  df-symg 19149  df-pmtr 19224  df-psgn 19273  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-mat 21755  df-mdet 21934
This theorem is referenced by:  mdetrsca2  21953  mdetuni0  21970  mdetmul  21972  smadiadetg  22022
  Copyright terms: Public domain W3C validator