Theorem mdetrsca 22729

Description: The determinant function is homogeneous for each row: If the matrices 𝑋 and 𝑍 are identical except for the 𝐼-th row, and the 𝐼-th row of the matrix 𝑋 is the componentwise product of the 𝐼-th row of the matrix 𝑍 and the scalar 𝑌, then the determinant of 𝑋 is the determinant of 𝑍 multiplied by 𝑌. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetrsca.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetrsca.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetrsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetrsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetrsca.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetrsca.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mdetrsca.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mdetrsca.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)
mdetrsca.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
mdetrsca.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
mdetrsca.eq	⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = ((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))))
mdetrsca.ne	⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))

Assertion

Ref	Expression
mdetrsca	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = (𝑌 · (𝐷‘𝑍)))

Proof of Theorem mdetrsca

Dummy variables 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetrsca.eq	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = ((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))))
2	1	oveqd 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = (𝐼((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝‘𝐼)))
3	2	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = (𝐼((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝‘𝐼)))
4		mdetrsca.i	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
5	4	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝐼 ∈ 𝑁)
6		snidg 4629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑁 → 𝐼 ∈ {𝐼})
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝐼 ∈ {𝐼})
8		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
9		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
10	8, 9	symgbasf1o 19445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) → 𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁)
11	10	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁)
12		f1of 6821	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝑝:𝑁⟶𝑁)
13	11, 12	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝:𝑁⟶𝑁)
14	13, 5	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑝‘𝐼) ∈ 𝑁)
15		ovres 7577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ {𝐼} ∧ (𝑝‘𝐼) ∈ 𝑁) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)))
16	7, 14, 15	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)))
17	7, 14	opelxpd 5701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩ ∈ ({𝐼} × 𝑁))
18		snfi 9040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝐼} ∈ Fin
19		mdetrsca.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
20		mdetrsca.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
21		mdetrsca.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
22	20, 21	matrcl 22538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
23	19, 22	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
24	23	simpld 499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
25	24	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
26		xpfi 9279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (({𝐼} ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ({𝐼} × 𝑁) ∈ Fin)
27	18, 25, 26	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} × 𝑁) ∈ Fin)
28		mdetrsca.y	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)
29	28	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑌 ∈ 𝐾)
30		mdetrsca.z	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
31		mdetrsca.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
32	20, 31, 21	matbas2i 22548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐵 → 𝑍 ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
33		elmapi 8846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑍 ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
34	30, 32, 33	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
35	34	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
36	35	ffnd 6707	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑁))
37	5	snssd 4755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → {𝐼} ⊆ 𝑁)
38		xpss1 5681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({𝐼} ⊆ 𝑁 → ({𝐼} × 𝑁) ⊆ (𝑁 × 𝑁))
39	37, 38	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} × 𝑁) ⊆ (𝑁 × 𝑁))
40	36, 39	fnssresd 6660	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) Fn ({𝐼} × 𝑁))
41		eqidd 2770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩ ∈ ({𝐼} × 𝑁)) → ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩) = ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩))
42	27, 29, 40, 41	ofc1 7703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩ ∈ ({𝐼} × 𝑁)) → (((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩) = (𝑌 · ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩)))
43	17, 42	mpdan 699	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩) = (𝑌 · ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩)))
44		df-ov 7414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝‘𝐼)) = (((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩)
45		df-ov 7414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩)
46	45	oveq2i 7422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 · (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼))) = (𝑌 · ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩))
47	43, 44, 46	3eqtr4g 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝‘𝐼)) = (𝑌 · (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼))))
48	3, 16, 47	3eqtr3d 2812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)) = (𝑌 · (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼))))
49		ovres 7577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ {𝐼} ∧ (𝑝‘𝐼) ∈ 𝑁) → (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)))
50	7, 14, 49	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)))
51	50	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑌 · (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼))) = (𝑌 · (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼))))
52	48, 51	eqtrd 2804	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)) = (𝑌 · (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼))))
53	52	oveq1d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = ((𝑌 · (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))
54		mdetrsca.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
55	54	crngringd 20328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
56	55	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
57	35, 5, 14	fovcdmd 7583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)) ∈ 𝐾)
58		eqid 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
59	58, 31	mgpbas 20221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
60	58	crngmgp 20323	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
61	54, 60	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
62	61	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
63		difssd 4097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁)
64	25, 63	ssfid 9229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
65		eldifi 4091	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑟 ∈ 𝑁)
66	34	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
67		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → 𝑟 ∈ 𝑁)
68	13	ffvelcdmda 7080	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → (𝑝‘𝑟) ∈ 𝑁)
69	66, 67, 68	fovcdmd 7583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)) ∈ 𝐾)
70	65, 69	sylan2 604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)) ∈ 𝐾)
71	70	ralrimiva 3163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ∀𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})(𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)) ∈ 𝐾)
72	59, 62, 64, 71	gsummptcl 20037	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) ∈ 𝐾)
73		mdetrsca.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘𝑅)
74	31, 73	ringass 20335	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)) ∈ 𝐾 ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) ∈ 𝐾)) → ((𝑌 · (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = (𝑌 · ((𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
75	56, 29, 57, 72, 74	syl13anc 1397	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝑌 · (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = (𝑌 · ((𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
76	53, 75	eqtrd 2804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = (𝑌 · ((𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
77	58, 73	mgpplusg 20220	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
78	20, 31, 21	matbas2i 22548	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
79		elmapi 8846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
80	19, 78, 79	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
81	80	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
82	81, 67, 68	fovcdmd 7583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)) ∈ 𝐾)
83		disjdif 4436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝐼} ∩ (𝑁 ∖ {𝐼})) = ∅
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} ∩ (𝑁 ∖ {𝐼})) = ∅)
85		undif 4446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝐼} ⊆ 𝑁 ↔ ({𝐼} ∪ (𝑁 ∖ {𝐼})) = 𝑁)
86	37, 85	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} ∪ (𝑁 ∖ {𝐼})) = 𝑁)
87	86	eqcomd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑁 = ({𝐼} ∪ (𝑁 ∖ {𝐼})))
88	59, 77, 62, 25, 82, 84, 87	gsummptfidmsplit 20000	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))
89	62	cmnmndd 19874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
90	80	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
91	90, 5, 14	fovcdmd 7583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)) ∈ 𝐾)
92		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝐼 → 𝑟 = 𝐼)
93		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝐼 → (𝑝‘𝑟) = (𝑝‘𝐼))
94	92, 93	oveq12d 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝐼 → (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)) = (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)))
95	59, 94	gsumsn 20024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)) ∈ 𝐾) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) = (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)))
96	89, 5, 91, 95	syl3anc 1396	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) = (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)))
97		mdetrsca.ne	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
98	97	oveqd 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)))
99	98	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)))
100		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}))
101	65, 68	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑝‘𝑟) ∈ 𝑁)
102		ovres 7577	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ (𝑝‘𝑟) ∈ 𝑁) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))
103	100, 101, 102	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))
104		ovres 7577	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ (𝑝‘𝑟) ∈ 𝑁) → (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))
105	100, 101, 104	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))
106	99, 103, 105	3eqtr3d 2812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)) = (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))
107	106	mpteq2dva 5206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))) = (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))
108	107	oveq2d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))
109	96, 108	oveq12d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))) = ((𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))
110	88, 109	eqtrd 2804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) = ((𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))
111	59, 77, 62, 25, 69, 84, 87	gsummptfidmsplit 20000	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))
112	92, 93	oveq12d 7429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝐼 → (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)) = (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)))
113	59, 112	gsumsn 20024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)) ∈ 𝐾) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) = (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)))
114	89, 5, 57, 113	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) = (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)))
115	114	oveq1d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = ((𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))
116	111, 115	eqtrd 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) = ((𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))
117	116	oveq2d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = (𝑌 · ((𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
118	76, 110, 117	3eqtr4d 2814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) = (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))
119	118	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
120	54	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑅 ∈ CRing)
121		zrhpsgnmhm 21703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
122	55, 24, 121	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
123	9, 59	mhmf 18847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
124	122, 123	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
125	124	ffvelcdmda 7080	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾)
126	31, 73	crngcom 20333	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · 𝑌) = (𝑌 · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)))
127	120, 125, 29, 126	syl3anc 1396	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · 𝑌) = (𝑌 · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)))
128	127	oveq1d 7426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · 𝑌) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = ((𝑌 · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))
129	69	ralrimiva 3163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ∀𝑟 ∈ 𝑁 (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)) ∈ 𝐾)
130	59, 62, 25, 129	gsummptcl 20037	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) ∈ 𝐾)
131	31, 73	ringass 20335	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) ∈ 𝐾)) → (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · 𝑌) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
132	56, 125, 29, 130, 131	syl13anc 1397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · 𝑌) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
133	31, 73	ringass 20335	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾 ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) ∈ 𝐾)) → ((𝑌 · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
134	56, 29, 125, 130, 133	syl13anc 1397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝑌 · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
135	128, 132, 134	3eqtr3d 2812	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))) = (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
136	119, 135	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))) = (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
137	136	mpteq2dva 5206	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))))
138	137	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))))
139		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
140	8, 9	symgbasfi 19449	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
141	24, 140	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
142	31, 73, 56, 125, 130	ringcld 20342	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) ∈ 𝐾)
143		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))
144		ovexd 7446	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) ∈ V)
145		fvexd 6897	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
146	143, 141, 144, 145	fsuppmptdm 9336	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))) finSupp (0g‘𝑅))
147	31, 139, 73, 55, 141, 28, 142, 146	gsummulc2 20398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))))
148	138, 147	eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))))
149		mdetrsca.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
150		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
151		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
152	149, 20, 21, 9, 150, 151, 73, 58	mdetleib2 22714	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))))
153	54, 19, 152	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))))
154	149, 20, 21, 9, 150, 151, 73, 58	mdetleib2 22714	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑍) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))))
155	54, 30, 154	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑍) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))))
156	155	oveq2d 7427	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (𝐷‘𝑍)) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))))
157	148, 153, 156	3eqtr4d 2814	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = (𝑌 · (𝐷‘𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3461   ∖ cdif 3908   ∪ cun 3909   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  {csn 4592  ⟨cop 4598   ↦ cmpt 5194   × cxp 5660   ↾ cres 5664   ∘ ccom 5666  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∘_f cof 7673   ↑_m cmap 8824  Fincfn 8943  Basecbs 17269  ._rcmulr 17311  0_gc0g 17492   Σ_g cgsu 17493  Mndcmnd 18792   MndHom cmhm 18839  SymGrpcsymg 19439  pmSgncpsgn 19559  CMndccmn 19850  mulGrpcmgp 20216  Ringcrg 20315  CRingccrg 20316  ℤRHomczrh 21618   Mat cmat 22533   maDet cmdat 22710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-addf 11179  ax-mulf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-xor 1539  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-ot 4601  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-sup 9402  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-word 14551  df-lsw 14600  df-concat 14608  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-splice 14787  df-reverse 14796  df-s2 14885  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-prds 17500  df-pws 17502  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-submnd 18842  df-efmnd 18928  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-mulg 19134  df-subg 19189  df-ghm 19284  df-gim 19329  df-cntz 19387  df-oppg 19416  df-symg 19440  df-pmtr 19512  df-psgn 19561  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-cring 20318  df-oppr 20419  df-dvdsr 20439  df-unit 20440  df-invr 20470  df-dvr 20483  df-rhm 20554  df-subrng 20631  df-subrg 20655  df-drng 20815  df-sra 21272  df-rgmod 21273  df-cnfld 21492  df-zring 21566  df-zrh 21622  df-dsmm 21851  df-frlm 21866  df-mat 22534  df-mdet 22711

This theorem is referenced by:  mdetrsca2  22730  mdetuni0  22747  mdetmul  22749  smadiadetg  22799