MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetrsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetrsca 22424
Description: The determinant function is homogeneous for each row: If the matrices 𝑋 and 𝑍 are identical except for the 𝐼-th row, and the 𝐼-th row of the matrix 𝑋 is the componentwise product of the 𝐼-th row of the matrix 𝑍 and the scalar 𝑌, then the determinant of 𝑋 is the determinant of 𝑍 multiplied by 𝑌. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetrsca.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetrsca.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetrsca.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetrsca.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetrsca.t · = (.r𝑅)
mdetrsca.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mdetrsca.x (𝜑𝑋𝐵)
mdetrsca.y (𝜑𝑌𝐾)
mdetrsca.z (𝜑𝑍𝐵)
mdetrsca.i (𝜑𝐼𝑁)
mdetrsca.eq (𝜑 → (𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = ((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))))
mdetrsca.ne (𝜑 → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
Assertion
Ref Expression
mdetrsca (𝜑 → (𝐷𝑋) = (𝑌 · (𝐷𝑍)))

Proof of Theorem mdetrsca
Dummy variables 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetrsca.eq . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = ((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))))
21oveqd 7429 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = (𝐼((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝𝐼)))
32adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = (𝐼((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝𝐼)))
4 mdetrsca.i . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐼𝑁)
54adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝐼𝑁)
6 snidg 4662 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼𝑁𝐼 ∈ {𝐼})
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝐼 ∈ {𝐼})
8 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
9 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
108, 9symgbasf1o 19290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) → 𝑝:𝑁1-1-onto𝑁)
1110adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝:𝑁1-1-onto𝑁)
12 f1of 6833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝:𝑁1-1-onto𝑁𝑝:𝑁𝑁)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝:𝑁𝑁)
1413, 5ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑝𝐼) ∈ 𝑁)
15 ovres 7577 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ {𝐼} ∧ (𝑝𝐼) ∈ 𝑁) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = (𝐼𝑋(𝑝𝐼)))
167, 14, 15syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = (𝐼𝑋(𝑝𝐼)))
177, 14opelxpd 5715 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩ ∈ ({𝐼} × 𝑁))
18 snfi 9050 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝐼} ∈ Fin
19 mdetrsca.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋𝐵)
20 mdetrsca.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
21 mdetrsca.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐵 = (Base‘𝐴)
2220, 21matrcl 22231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
2319, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
2423simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
2524adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
26 xpfi 9323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (({𝐼} ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ({𝐼} × 𝑁) ∈ Fin)
2718, 25, 26sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} × 𝑁) ∈ Fin)
28 mdetrsca.y . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌𝐾)
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑌𝐾)
30 mdetrsca.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑍𝐵)
31 mdetrsca.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐾 = (Base‘𝑅)
3220, 31, 21matbas2i 22243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑍𝐵𝑍 ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)))
33 elmapi 8849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑍 ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
3430, 32, 333syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
3534adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
3635ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑁))
375snssd 4812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → {𝐼} ⊆ 𝑁)
38 xpss1 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({𝐼} ⊆ 𝑁 → ({𝐼} × 𝑁) ⊆ (𝑁 × 𝑁))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} × 𝑁) ⊆ (𝑁 × 𝑁))
4036, 39fnssresd 6674 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) Fn ({𝐼} × 𝑁))
41 eqidd 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩ ∈ ({𝐼} × 𝑁)) → ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩) = ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩))
4227, 29, 40, 41ofc1 7700 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩ ∈ ({𝐼} × 𝑁)) → (((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩) = (𝑌 · ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩)))
4317, 42mpdan 684 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩) = (𝑌 · ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩)))
44 df-ov 7415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝𝐼)) = (((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩)
45 df-ov 7415 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩)
4645oveq2i 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 · (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼))) = (𝑌 · ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩))
4743, 44, 463eqtr4g 2796 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝𝐼)) = (𝑌 · (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼))))
483, 16, 473eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑋(𝑝𝐼)) = (𝑌 · (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼))))
49 ovres 7577 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ {𝐼} ∧ (𝑝𝐼) ∈ 𝑁) → (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = (𝐼𝑍(𝑝𝐼)))
507, 14, 49syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = (𝐼𝑍(𝑝𝐼)))
5150oveq2d 7428 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑌 · (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼))) = (𝑌 · (𝐼𝑍(𝑝𝐼))))
5248, 51eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑋(𝑝𝐼)) = (𝑌 · (𝐼𝑍(𝑝𝐼))))
5352oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝐼𝑋(𝑝𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = ((𝑌 · (𝐼𝑍(𝑝𝐼))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))
54 mdetrsca.r . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
5554crngringd 20147 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5655adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
5735, 5, 14fovcdmd 7583 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑍(𝑝𝐼)) ∈ 𝐾)
58 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5958, 31mgpbas 20041 . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
6058crngmgp 20142 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
6154, 60syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
6261adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
63 difssd 4132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁)
6425, 63ssfid 9273 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
65 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑟𝑁)
6634ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
67 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → 𝑟𝑁)
6813ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → (𝑝𝑟) ∈ 𝑁)
6966, 67, 68fovcdmd 7583 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → (𝑟𝑍(𝑝𝑟)) ∈ 𝐾)
7065, 69sylan2 592 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟𝑍(𝑝𝑟)) ∈ 𝐾)
7170ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ∀𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})(𝑟𝑍(𝑝𝑟)) ∈ 𝐾)
7259, 62, 64, 71gsummptcl 19883 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) ∈ 𝐾)
73 mdetrsca.t . . . . . . . . . . 11 · = (.r𝑅)
7431, 73ringass 20154 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝐾 ∧ (𝐼𝑍(𝑝𝐼)) ∈ 𝐾 ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) ∈ 𝐾)) → ((𝑌 · (𝐼𝑍(𝑝𝐼))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = (𝑌 · ((𝐼𝑍(𝑝𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
7556, 29, 57, 72, 74syl13anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝑌 · (𝐼𝑍(𝑝𝐼))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = (𝑌 · ((𝐼𝑍(𝑝𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
7653, 75eqtrd 2771 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝐼𝑋(𝑝𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = (𝑌 · ((𝐼𝑍(𝑝𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
7758, 73mgpplusg 20039 . . . . . . . . . 10 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
7820, 31, 21matbas2i 22243 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)))
79 elmapi 8849 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
8019, 78, 793syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
8180ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
8281, 67, 68fovcdmd 7583 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → (𝑟𝑋(𝑝𝑟)) ∈ 𝐾)
83 disjdif 4471 . . . . . . . . . . 11 ({𝐼} ∩ (𝑁 ∖ {𝐼})) = ∅
8483a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} ∩ (𝑁 ∖ {𝐼})) = ∅)
85 undif 4481 . . . . . . . . . . . 12 ({𝐼} ⊆ 𝑁 ↔ ({𝐼} ∪ (𝑁 ∖ {𝐼})) = 𝑁)
8637, 85sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} ∪ (𝑁 ∖ {𝐼})) = 𝑁)
8786eqcomd 2737 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑁 = ({𝐼} ∪ (𝑁 ∖ {𝐼})))
8859, 77, 62, 25, 82, 84, 87gsummptfidmsplit 19846 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))
8962cmnmndd 19720 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
9080adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
9190, 5, 14fovcdmd 7583 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑋(𝑝𝐼)) ∈ 𝐾)
92 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝐼𝑟 = 𝐼)
93 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝐼 → (𝑝𝑟) = (𝑝𝐼))
9492, 93oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝐼 → (𝑟𝑋(𝑝𝑟)) = (𝐼𝑋(𝑝𝐼)))
9559, 94gsumsn 19870 . . . . . . . . . . 11 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑁 ∧ (𝐼𝑋(𝑝𝐼)) ∈ 𝐾) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) = (𝐼𝑋(𝑝𝐼)))
9689, 5, 91, 95syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) = (𝐼𝑋(𝑝𝐼)))
97 mdetrsca.ne . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
9897oveqd 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)))
9998ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)))
100 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}))
10165, 68sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑝𝑟) ∈ 𝑁)
102 ovres 7577 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ (𝑝𝑟) ∈ 𝑁) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))
103100, 101, 102syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))
104 ovres 7577 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ (𝑝𝑟) ∈ 𝑁) → (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))
105100, 101, 104syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))
10699, 103, 1053eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟𝑋(𝑝𝑟)) = (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))
107106mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))) = (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))
108107oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))
10996, 108oveq12d 7430 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))) = ((𝐼𝑋(𝑝𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))
11088, 109eqtrd 2771 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) = ((𝐼𝑋(𝑝𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))
11159, 77, 62, 25, 69, 84, 87gsummptfidmsplit 19846 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))
11292, 93oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝐼 → (𝑟𝑍(𝑝𝑟)) = (𝐼𝑍(𝑝𝐼)))
11359, 112gsumsn 19870 . . . . . . . . . . . 12 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑁 ∧ (𝐼𝑍(𝑝𝐼)) ∈ 𝐾) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) = (𝐼𝑍(𝑝𝐼)))
11489, 5, 57, 113syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) = (𝐼𝑍(𝑝𝐼)))
115114oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = ((𝐼𝑍(𝑝𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))
116111, 115eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) = ((𝐼𝑍(𝑝𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))
117116oveq2d 7428 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = (𝑌 · ((𝐼𝑍(𝑝𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
11876, 110, 1173eqtr4d 2781 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) = (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))
119118oveq2d 7428 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
12054adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑅 ∈ CRing)
121 zrhpsgnmhm 21446 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
12255, 24, 121syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
1239, 59mhmf 18717 . . . . . . . . . . 11 (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
125124ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾)
12631, 73crngcom 20152 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾𝑌𝐾) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · 𝑌) = (𝑌 · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)))
127120, 125, 29, 126syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · 𝑌) = (𝑌 · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)))
128127oveq1d 7427 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · 𝑌) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = ((𝑌 · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))
12969ralrimiva 3145 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ∀𝑟𝑁 (𝑟𝑍(𝑝𝑟)) ∈ 𝐾)
13059, 62, 25, 129gsummptcl 19883 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) ∈ 𝐾)
13131, 73ringass 20154 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾𝑌𝐾 ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) ∈ 𝐾)) → (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · 𝑌) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
13256, 125, 29, 130, 131syl13anc 1371 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · 𝑌) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
13331, 73ringass 20154 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝐾 ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾 ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) ∈ 𝐾)) → ((𝑌 · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
13456, 29, 125, 130, 133syl13anc 1371 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝑌 · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
135128, 132, 1343eqtr3d 2779 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))) = (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
136119, 135eqtrd 2771 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))) = (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
137136mpteq2dva 5248 . . . 4 (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))))
138137oveq2d 7428 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))))
139 eqid 2731 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
1408, 9symgbasfi 19294 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
14124, 140syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
14231, 73, 56, 125, 130ringcld 20158 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) ∈ 𝐾)
143 eqid 2731 . . . . 5 (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))
144 ovexd 7447 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) ∈ V)
145 fvexd 6906 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ V)
146143, 141, 144, 145fsuppmptdm 9380 . . . 4 (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))) finSupp (0g𝑅))
14731, 139, 73, 55, 141, 28, 142, 146gsummulc2 20212 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))))
148138, 147eqtrd 2771 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))))
149 mdetrsca.d . . . 4 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
150 eqid 2731 . . . 4 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
151 eqid 2731 . . . 4 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
152149, 20, 21, 9, 150, 151, 73, 58mdetleib2 22409 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝐷𝑋) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))))
15354, 19, 152syl2anc 583 . 2 (𝜑 → (𝐷𝑋) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))))
154149, 20, 21, 9, 150, 151, 73, 58mdetleib2 22409 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑍𝐵) → (𝐷𝑍) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))))
15554, 30, 154syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝑍) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))))
156155oveq2d 7428 . 2 (𝜑 → (𝑌 · (𝐷𝑍)) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))))
157148, 153, 1563eqtr4d 2781 1 (𝜑 → (𝐷𝑋) = (𝑌 · (𝐷𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3473  cdif 3945  cun 3946  cin 3947  wss 3948  c0 4322  {csn 4628  cop 4634  cmpt 5231   × cxp 5674  cres 5678  ccom 5680  wf 6539  1-1-ontowf1o 6542  cfv 6543  (class class class)co 7412  f cof 7672  m cmap 8826  Fincfn 8945  Basecbs 17151  .rcmulr 17205  0gc0g 17392   Σg cgsu 17393  Mndcmnd 18665   MndHom cmhm 18709  SymGrpcsymg 19282  pmSgncpsgn 19405  CMndccmn 19696  mulGrpcmgp 20035  Ringcrg 20134  CRingccrg 20135  ℤRHomczrh 21358   Mat cmat 22226   maDet cmdat 22405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-addf 11195  ax-mulf 11196
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-word 14472  df-lsw 14520  df-concat 14528  df-s1 14553  df-substr 14598  df-pfx 14628  df-splice 14707  df-reverse 14716  df-s2 14806  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-efmnd 18792  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-mulg 18994  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-gim 19180  df-cntz 19229  df-oppg 19258  df-symg 19283  df-pmtr 19358  df-psgn 19407  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-rhm 20370  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-drng 20585  df-sra 21018  df-rgmod 21019  df-cnfld 21233  df-zring 21306  df-zrh 21362  df-dsmm 21596  df-frlm 21611  df-mat 22227  df-mdet 22406
This theorem is referenced by:  mdetrsca2  22425  mdetuni0  22442  mdetmul  22444  smadiadetg  22494
  Copyright terms: Public domain W3C validator