Theorem mdetrsca 21952

Description: The determinant function is homogeneous for each row: If the matrices 𝑋 and 𝑍 are identical except for the 𝐼-th row, and the 𝐼-th row of the matrix 𝑋 is the componentwise product of the 𝐼-th row of the matrix 𝑍 and the scalar 𝑌, then the determinant of 𝑋 is the determinant of 𝑍 multiplied by 𝑌. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetrsca.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetrsca.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetrsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetrsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetrsca.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetrsca.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mdetrsca.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mdetrsca.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)
mdetrsca.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
mdetrsca.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
mdetrsca.eq	⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = ((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))))
mdetrsca.ne	⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))

Assertion

Ref	Expression
mdetrsca	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = (𝑌 · (𝐷‘𝑍)))

Proof of Theorem mdetrsca

Dummy variables 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetrsca.eq	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = ((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))))
2	1	oveqd 7374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = (𝐼((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝‘𝐼)))
3	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = (𝐼((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝‘𝐼)))
4		mdetrsca.i	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
5	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝐼 ∈ 𝑁)
6		snidg 4620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑁 → 𝐼 ∈ {𝐼})
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝐼 ∈ {𝐼})
8		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
9		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
10	8, 9	symgbasf1o 19156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) → 𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁)
11	10	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁)
12		f1of 6784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝑝:𝑁⟶𝑁)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝:𝑁⟶𝑁)
14	13, 5	ffvelcdmd 7036	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑝‘𝐼) ∈ 𝑁)
15		ovres 7520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ {𝐼} ∧ (𝑝‘𝐼) ∈ 𝑁) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)))
16	7, 14, 15	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)))
17	7, 14	opelxpd 5671	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩ ∈ ({𝐼} × 𝑁))
18		snfi 8988	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝐼} ∈ Fin
19		mdetrsca.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
20		mdetrsca.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
21		mdetrsca.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
22	20, 21	matrcl 21759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
23	19, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
24	23	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
26		xpfi 9261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (({𝐼} ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ({𝐼} × 𝑁) ∈ Fin)
27	18, 25, 26	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} × 𝑁) ∈ Fin)
28		mdetrsca.y	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑌 ∈ 𝐾)
30		mdetrsca.z	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
31		mdetrsca.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
32	20, 31, 21	matbas2i 21771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐵 → 𝑍 ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
33		elmapi 8787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑍 ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
34	30, 32, 33	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
36	35	ffnd 6669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑁))
37	5	snssd 4769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → {𝐼} ⊆ 𝑁)
38		xpss1 5652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({𝐼} ⊆ 𝑁 → ({𝐼} × 𝑁) ⊆ (𝑁 × 𝑁))
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} × 𝑁) ⊆ (𝑁 × 𝑁))
40		fnssres 6624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑍 Fn (𝑁 × 𝑁) ∧ ({𝐼} × 𝑁) ⊆ (𝑁 × 𝑁)) → (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) Fn ({𝐼} × 𝑁))
41	36, 39, 40	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) Fn ({𝐼} × 𝑁))
42		eqidd 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩ ∈ ({𝐼} × 𝑁)) → ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩) = ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩))
43	27, 29, 41, 42	ofc1 7643	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩ ∈ ({𝐼} × 𝑁)) → (((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩) = (𝑌 · ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩)))
44	17, 43	mpdan 685	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩) = (𝑌 · ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩)))
45		df-ov 7360	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝‘𝐼)) = (((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩)
46		df-ov 7360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩)
47	46	oveq2i 7368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 · (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼))) = (𝑌 · ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩))
48	44, 45, 47	3eqtr4g 2801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝‘𝐼)) = (𝑌 · (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼))))
49	3, 16, 48	3eqtr3d 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)) = (𝑌 · (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼))))
50		ovres 7520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ {𝐼} ∧ (𝑝‘𝐼) ∈ 𝑁) → (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)))
51	7, 14, 50	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)))
52	51	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑌 · (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼))) = (𝑌 · (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼))))
53	49, 52	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)) = (𝑌 · (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼))))
54	53	oveq1d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = ((𝑌 · (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))
55		mdetrsca.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
56		crngring 19976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
59	35, 5, 14	fovcdmd 7526	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)) ∈ 𝐾)
60		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
61	60, 31	mgpbas 19902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
62	60	crngmgp 19972	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
63	55, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
65		difssd 4092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁)
66	25, 65	ssfid 9211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
67		eldifi 4086	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑟 ∈ 𝑁)
68	34	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
69		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → 𝑟 ∈ 𝑁)
70	13	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → (𝑝‘𝑟) ∈ 𝑁)
71	68, 69, 70	fovcdmd 7526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)) ∈ 𝐾)
72	67, 71	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)) ∈ 𝐾)
73	72	ralrimiva 3143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ∀𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})(𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)) ∈ 𝐾)
74	61, 64, 66, 73	gsummptcl 19744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) ∈ 𝐾)
75		mdetrsca.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘𝑅)
76	31, 75	ringass 19984	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)) ∈ 𝐾 ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) ∈ 𝐾)) → ((𝑌 · (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = (𝑌 · ((𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
77	58, 29, 59, 74, 76	syl13anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝑌 · (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = (𝑌 · ((𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
78	54, 77	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = (𝑌 · ((𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
79	60, 75	mgpplusg 19900	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
80	20, 31, 21	matbas2i 21771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
81		elmapi 8787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
82	19, 80, 81	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
83	82	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
84	83, 69, 70	fovcdmd 7526	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)) ∈ 𝐾)
85		disjdif 4431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝐼} ∩ (𝑁 ∖ {𝐼})) = ∅
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} ∩ (𝑁 ∖ {𝐼})) = ∅)
87		undif 4441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝐼} ⊆ 𝑁 ↔ ({𝐼} ∪ (𝑁 ∖ {𝐼})) = 𝑁)
88	37, 87	sylib 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} ∪ (𝑁 ∖ {𝐼})) = 𝑁)
89	88	eqcomd 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑁 = ({𝐼} ∪ (𝑁 ∖ {𝐼})))
90	61, 79, 64, 25, 84, 86, 89	gsummptfidmsplit 19707	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))
91		cmnmnd 19579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
92	64, 91	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
93	82	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
94	93, 5, 14	fovcdmd 7526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)) ∈ 𝐾)
95		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝐼 → 𝑟 = 𝐼)
96		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝐼 → (𝑝‘𝑟) = (𝑝‘𝐼))
97	95, 96	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝐼 → (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)) = (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)))
98	61, 97	gsumsn 19731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)) ∈ 𝐾) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) = (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)))
99	92, 5, 94, 98	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) = (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)))
100		mdetrsca.ne	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
101	100	oveqd 7374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)))
102	101	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)))
103		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}))
104	67, 70	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑝‘𝑟) ∈ 𝑁)
105		ovres 7520	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ (𝑝‘𝑟) ∈ 𝑁) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))
106	103, 104, 105	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))
107		ovres 7520	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ (𝑝‘𝑟) ∈ 𝑁) → (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))
108	103, 104, 107	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))
109	102, 106, 108	3eqtr3d 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)) = (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))
110	109	mpteq2dva 5205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))) = (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))
111	110	oveq2d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))
112	99, 111	oveq12d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))) = ((𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))
113	90, 112	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) = ((𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))
114	61, 79, 64, 25, 71, 86, 89	gsummptfidmsplit 19707	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))
115	95, 96	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝐼 → (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)) = (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)))
116	61, 115	gsumsn 19731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)) ∈ 𝐾) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) = (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)))
117	92, 5, 59, 116	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) = (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)))
118	117	oveq1d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = ((𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))
119	114, 118	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) = ((𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))
120	119	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = (𝑌 · ((𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
121	78, 113, 120	3eqtr4d 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) = (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))
122	121	oveq2d 7373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
123	55	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑅 ∈ CRing)
124		zrhpsgnmhm 20988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
125	57, 24, 124	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
126	9, 61	mhmf 18607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
127	125, 126	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
128	127	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾)
129	31, 75	crngcom 19982	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · 𝑌) = (𝑌 · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)))
130	123, 128, 29, 129	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · 𝑌) = (𝑌 · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)))
131	130	oveq1d 7372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · 𝑌) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = ((𝑌 · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))
132	71	ralrimiva 3143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ∀𝑟 ∈ 𝑁 (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)) ∈ 𝐾)
133	61, 64, 25, 132	gsummptcl 19744	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) ∈ 𝐾)
134	31, 75	ringass 19984	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) ∈ 𝐾)) → (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · 𝑌) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
135	58, 128, 29, 133, 134	syl13anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · 𝑌) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
136	31, 75	ringass 19984	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾 ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) ∈ 𝐾)) → ((𝑌 · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
137	58, 29, 128, 133, 136	syl13anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝑌 · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
138	131, 135, 137	3eqtr3d 2784	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))) = (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
139	122, 138	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))) = (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
140	139	mpteq2dva 5205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))))
141	140	oveq2d 7373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))))
142		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
143		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
144	8, 9	symgbasfi 19160	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
145	24, 144	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
146	31, 75	ringcl 19981	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾 ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) ∈ 𝐾) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) ∈ 𝐾)
147	58, 128, 133, 146	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) ∈ 𝐾)
148		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))
149		ovexd 7392	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) ∈ V)
150		fvexd 6857	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
151	148, 145, 149, 150	fsuppmptdm 9316	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))) finSupp (0g‘𝑅))
152	31, 142, 143, 75, 57, 145, 28, 147, 151	gsummulc2 20031	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))))
153	141, 152	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))))
154		mdetrsca.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
155		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
156		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
157	154, 20, 21, 9, 155, 156, 75, 60	mdetleib2 21937	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))))
158	55, 19, 157	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))))
159	154, 20, 21, 9, 155, 156, 75, 60	mdetleib2 21937	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑍) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))))
160	55, 30, 159	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑍) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))))
161	160	oveq2d 7373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (𝐷‘𝑍)) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))))
162	153, 158, 161	3eqtr4d 2786	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = (𝑌 · (𝐷‘𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445   ∖ cdif 3907   ∪ cun 3908   ∩ cin 3909   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282  {csn 4586  ⟨cop 4592   ↦ cmpt 5188   × cxp 5631   ↾ cres 5635   ∘ ccom 5637   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  –1-1-onto→wf1o 6495  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∘_f cof 7615   ↑_m cmap 8765  Fincfn 8883  Basecbs 17083  +_gcplusg 17133  ._rcmulr 17134  0_gc0g 17321   Σ_g cgsu 17322  Mndcmnd 18556   MndHom cmhm 18599  SymGrpcsymg 19148  pmSgncpsgn 19271  CMndccmn 19562  mulGrpcmgp 19896  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965  ℤRHomczrh 20900   Mat cmat 21754   maDet cmdat 21933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-word 14403  df-lsw 14451  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-splice 14638  df-reverse 14647  df-s2 14737  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-efmnd 18679  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-gim 19049  df-cntz 19097  df-oppg 19124  df-symg 19149  df-pmtr 19224  df-psgn 19273  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-mat 21755  df-mdet 21934

This theorem is referenced by:  mdetrsca2  21953  mdetuni0  21970  mdetmul  21972  smadiadetg  22022