Theorem mdetrsca 22424

Description: The determinant function is homogeneous for each row: If the matrices 𝑋 and 𝑍 are identical except for the 𝐼-th row, and the 𝐼-th row of the matrix 𝑋 is the componentwise product of the 𝐼-th row of the matrix 𝑍 and the scalar 𝑌, then the determinant of 𝑋 is the determinant of 𝑍 multiplied by 𝑌. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetrsca.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetrsca.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetrsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetrsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetrsca.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetrsca.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mdetrsca.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mdetrsca.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)
mdetrsca.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
mdetrsca.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
mdetrsca.eq	⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = ((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))))
mdetrsca.ne	⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))

Assertion

Ref	Expression
mdetrsca	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = (𝑌 · (𝐷‘𝑍)))

Proof of Theorem mdetrsca

Dummy variables 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetrsca.eq	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = ((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))))
2	1	oveqd 7429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = (𝐼((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝‘𝐼)))
3	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = (𝐼((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝‘𝐼)))
4		mdetrsca.i	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
5	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝐼 ∈ 𝑁)
6		snidg 4662	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑁 → 𝐼 ∈ {𝐼})
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝐼 ∈ {𝐼})
8		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
9		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
10	8, 9	symgbasf1o 19290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) → 𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁)
12		f1of 6833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝑝:𝑁⟶𝑁)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝:𝑁⟶𝑁)
14	13, 5	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑝‘𝐼) ∈ 𝑁)
15		ovres 7577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ {𝐼} ∧ (𝑝‘𝐼) ∈ 𝑁) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)))
16	7, 14, 15	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)))
17	7, 14	opelxpd 5715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩ ∈ ({𝐼} × 𝑁))
18		snfi 9050	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝐼} ∈ Fin
19		mdetrsca.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
20		mdetrsca.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
21		mdetrsca.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
22	20, 21	matrcl 22231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
23	19, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
24	23	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
26		xpfi 9323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (({𝐼} ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ({𝐼} × 𝑁) ∈ Fin)
27	18, 25, 26	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} × 𝑁) ∈ Fin)
28		mdetrsca.y	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑌 ∈ 𝐾)
30		mdetrsca.z	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
31		mdetrsca.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
32	20, 31, 21	matbas2i 22243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐵 → 𝑍 ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
33		elmapi 8849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑍 ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
34	30, 32, 33	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
36	35	ffnd 6718	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑁))
37	5	snssd 4812	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → {𝐼} ⊆ 𝑁)
38		xpss1 5695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({𝐼} ⊆ 𝑁 → ({𝐼} × 𝑁) ⊆ (𝑁 × 𝑁))
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} × 𝑁) ⊆ (𝑁 × 𝑁))
40	36, 39	fnssresd 6674	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) Fn ({𝐼} × 𝑁))
41		eqidd 2732	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩ ∈ ({𝐼} × 𝑁)) → ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩) = ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩))
42	27, 29, 40, 41	ofc1 7700	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩ ∈ ({𝐼} × 𝑁)) → (((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩) = (𝑌 · ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩)))
43	17, 42	mpdan 684	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩) = (𝑌 · ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩)))
44		df-ov 7415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝‘𝐼)) = (((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩)
45		df-ov 7415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩)
46	45	oveq2i 7423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 · (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼))) = (𝑌 · ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝‘𝐼)⟩))
47	43, 44, 46	3eqtr4g 2796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘f · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝‘𝐼)) = (𝑌 · (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼))))
48	3, 16, 47	3eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)) = (𝑌 · (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼))))
49		ovres 7577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ {𝐼} ∧ (𝑝‘𝐼) ∈ 𝑁) → (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)))
50	7, 14, 49	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼)) = (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)))
51	50	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑌 · (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝‘𝐼))) = (𝑌 · (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼))))
52	48, 51	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)) = (𝑌 · (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼))))
53	52	oveq1d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = ((𝑌 · (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))
54		mdetrsca.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
55	54	crngringd 20147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
57	35, 5, 14	fovcdmd 7583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)) ∈ 𝐾)
58		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
59	58, 31	mgpbas 20041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
60	58	crngmgp 20142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
61	54, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
62	61	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
63		difssd 4132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁)
64	25, 63	ssfid 9273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
65		eldifi 4126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑟 ∈ 𝑁)
66	34	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
67		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → 𝑟 ∈ 𝑁)
68	13	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → (𝑝‘𝑟) ∈ 𝑁)
69	66, 67, 68	fovcdmd 7583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)) ∈ 𝐾)
70	65, 69	sylan2 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)) ∈ 𝐾)
71	70	ralrimiva 3145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ∀𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})(𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)) ∈ 𝐾)
72	59, 62, 64, 71	gsummptcl 19883	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) ∈ 𝐾)
73		mdetrsca.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘𝑅)
74	31, 73	ringass 20154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)) ∈ 𝐾 ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) ∈ 𝐾)) → ((𝑌 · (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = (𝑌 · ((𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
75	56, 29, 57, 72, 74	syl13anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝑌 · (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = (𝑌 · ((𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
76	53, 75	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = (𝑌 · ((𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
77	58, 73	mgpplusg 20039	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
78	20, 31, 21	matbas2i 22243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
79		elmapi 8849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
80	19, 78, 79	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
81	80	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
82	81, 67, 68	fovcdmd 7583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ 𝑁) → (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)) ∈ 𝐾)
83		disjdif 4471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝐼} ∩ (𝑁 ∖ {𝐼})) = ∅
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} ∩ (𝑁 ∖ {𝐼})) = ∅)
85		undif 4481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝐼} ⊆ 𝑁 ↔ ({𝐼} ∪ (𝑁 ∖ {𝐼})) = 𝑁)
86	37, 85	sylib 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} ∪ (𝑁 ∖ {𝐼})) = 𝑁)
87	86	eqcomd 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑁 = ({𝐼} ∪ (𝑁 ∖ {𝐼})))
88	59, 77, 62, 25, 82, 84, 87	gsummptfidmsplit 19846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))
89	62	cmnmndd 19720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
90	80	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
91	90, 5, 14	fovcdmd 7583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)) ∈ 𝐾)
92		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝐼 → 𝑟 = 𝐼)
93		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝐼 → (𝑝‘𝑟) = (𝑝‘𝐼))
94	92, 93	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝐼 → (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)) = (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)))
95	59, 94	gsumsn 19870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)) ∈ 𝐾) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) = (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)))
96	89, 5, 91, 95	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) = (𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)))
97		mdetrsca.ne	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
98	97	oveqd 7429	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)))
99	98	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)))
100		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}))
101	65, 68	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑝‘𝑟) ∈ 𝑁)
102		ovres 7577	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ (𝑝‘𝑟) ∈ 𝑁) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))
103	100, 101, 102	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))
104		ovres 7577	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ (𝑝‘𝑟) ∈ 𝑁) → (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))
105	100, 101, 104	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝‘𝑟)) = (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))
106	99, 103, 105	3eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)) = (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))
107	106	mpteq2dva 5248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))) = (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))
108	107	oveq2d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))
109	96, 108	oveq12d 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))) = ((𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))
110	88, 109	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) = ((𝐼𝑋(𝑝‘𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))
111	59, 77, 62, 25, 69, 84, 87	gsummptfidmsplit 19846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))
112	92, 93	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝐼 → (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)) = (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)))
113	59, 112	gsumsn 19870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)) ∈ 𝐾) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) = (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)))
114	89, 5, 57, 113	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) = (𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)))
115	114	oveq1d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = ((𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))
116	111, 115	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) = ((𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))
117	116	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = (𝑌 · ((𝐼𝑍(𝑝‘𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
118	76, 110, 117	3eqtr4d 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))) = (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))
119	118	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
120	54	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑅 ∈ CRing)
121		zrhpsgnmhm 21446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
122	55, 24, 121	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
123	9, 59	mhmf 18717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
124	122, 123	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
125	124	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾)
126	31, 73	crngcom 20152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · 𝑌) = (𝑌 · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)))
127	120, 125, 29, 126	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · 𝑌) = (𝑌 · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)))
128	127	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · 𝑌) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = ((𝑌 · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))
129	69	ralrimiva 3145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ∀𝑟 ∈ 𝑁 (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)) ∈ 𝐾)
130	59, 62, 25, 129	gsummptcl 19883	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) ∈ 𝐾)
131	31, 73	ringass 20154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) ∈ 𝐾)) → (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · 𝑌) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
132	56, 125, 29, 130, 131	syl13anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · 𝑌) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
133	31, 73	ringass 20154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 ∈ 𝐾 ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾 ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))) ∈ 𝐾)) → ((𝑌 · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
134	56, 29, 125, 130, 133	syl13anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝑌 · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) = (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
135	128, 132, 134	3eqtr3d 2779	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))) = (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
136	119, 135	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))) = (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))
137	136	mpteq2dva 5248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟)))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))))
138	137	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))))
139		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
140	8, 9	symgbasfi 19294	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
141	24, 140	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
142	31, 73, 56, 125, 130	ringcld 20158	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) ∈ 𝐾)
143		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))
144		ovexd 7447	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))) ∈ V)
145		fvexd 6906	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
146	143, 141, 144, 145	fsuppmptdm 9380	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))) finSupp (0g‘𝑅))
147	31, 139, 73, 55, 141, 28, 142, 146	gsummulc2 20212	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))))
148	138, 147	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))))
149		mdetrsca.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
150		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
151		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
152	149, 20, 21, 9, 150, 151, 73, 58	mdetleib2 22409	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))))
153	54, 19, 152	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝‘𝑟))))))))
154	149, 20, 21, 9, 150, 151, 73, 58	mdetleib2 22409	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑍) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))))
155	54, 30, 154	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑍) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟))))))))
156	155	oveq2d 7428	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (𝐷‘𝑍)) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ 𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝‘𝑟)))))))))
157	148, 153, 156	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = (𝑌 · (𝐷‘𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   ∖ cdif 3945   ∪ cun 3946   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  {csn 4628  ⟨cop 4634   ↦ cmpt 5231   × cxp 5674   ↾ cres 5678   ∘ ccom 5680  ⟶wf 6539  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7672   ↑_m cmap 8826  Fincfn 8945  Basecbs 17151  ._rcmulr 17205  0_gc0g 17392   Σ_g cgsu 17393  Mndcmnd 18665   MndHom cmhm 18709  SymGrpcsymg 19282  pmSgncpsgn 19405  CMndccmn 19696  mulGrpcmgp 20035  Ringcrg 20134  CRingccrg 20135  ℤRHomczrh 21358   Mat cmat 22226   maDet cmdat 22405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-addf 11195  ax-mulf 11196

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-word 14472  df-lsw 14520  df-concat 14528  df-s1 14553  df-substr 14598  df-pfx 14628  df-splice 14707  df-reverse 14716  df-s2 14806  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-efmnd 18792  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-mulg 18994  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-gim 19180  df-cntz 19229  df-oppg 19258  df-symg 19283  df-pmtr 19358  df-psgn 19407  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-rhm 20370  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-drng 20585  df-sra 21018  df-rgmod 21019  df-cnfld 21233  df-zring 21306  df-zrh 21362  df-dsmm 21596  df-frlm 21611  df-mat 22227  df-mdet 22406

This theorem is referenced by:  mdetrsca2  22425  mdetuni0  22442  mdetmul  22444  smadiadetg  22494