Theorem fermltlchr 21648

Description: A generalization of Fermat's little theorem in a commutative ring 𝐹 of prime characteristic. See fermltl 16843. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fermltlchr.z	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐹)
fermltlchr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
fermltlchr.p	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝐹))
fermltlchr.1	⊢ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)
fermltlchr.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
fermltlchr.3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
fermltlchr.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
fermltlchr	⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem fermltlchr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fermltlchr.1	. 2 ⊢ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)
2		fermltlchr.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
3		prmnn 16732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 12565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
5	2, 4	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
6	5	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
7		fermltlchr.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
8	7	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → 𝐸 ∈ ℤ)
9		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
10		zsscn 12599	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
11		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
12		cnfldbas 21495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
13	11, 12	mgpbas 20221	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
14	10, 13	sseqtri 3993	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ⊆ (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
15		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
16		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘(mulGrp‘ℂfld)) = (invg‘(mulGrp‘ℂfld))
17		cnring 21513	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ Ring
18	11	ringmgp 20321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
20		cnfld1 21516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
21	11, 20	ringidval 20265	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
22		1z 12624	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
23	21, 22	eqeltrri 2866	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) ∈ ℤ
24		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
25	9, 13, 24	ress0g 18820	. . . . . . . . 9 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) ∈ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)))
26	19, 23, 10, 25	mp3an 1487	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
27	9, 14, 15, 16, 26	ressmulgnn0 19143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐸) = (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐸))
28	6, 8, 27	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐸) = (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐸))
29	8	zcnd 12701	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → 𝐸 ∈ ℂ)
30		cnfldexp 21524	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐸) = (𝐸↑𝑃))
31	29, 6, 30	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐸) = (𝐸↑𝑃))
32	28, 31	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐸) = (𝐸↑𝑃))
33	32	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐸)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)))
34		fermltlchr.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ CRing)
35	34	crngringd 20328	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
36		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤRHom‘𝐹) = (ℤRHom‘𝐹)
37	36	zrhrhm 21630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring RingHom 𝐹))
38	35, 37	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring RingHom 𝐹))
39		zringmpg 21590	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
40		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝐹) = (mulGrp‘𝐹)
41	39, 40	rhmmhm 20561	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring RingHom 𝐹) → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝐹)))
42	38, 41	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝐹)))
43	42	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝐹)))
44	9, 13	ressbas2 17298	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)))
45	10, 44	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
46		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
47		fermltlchr.p	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝐹))
48	45, 46, 47	mhmmulg 19181	. . . . 5 ⊢ (((ℤRHom‘𝐹) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝐹)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐸)) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
49	43, 6, 8, 48	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐸)) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
50	7, 5	zexpcld 14123	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑𝑃) ∈ ℤ)
51		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-g‘ℤring) = (-g‘ℤring)
52	51	zringsubgval 21589	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐸↑𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) = ((𝐸↑𝑃)(-g‘ℤring)𝐸))
53	50, 7, 52	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) = ((𝐸↑𝑃)(-g‘ℤring)𝐸))
54	53	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃) − 𝐸)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃)(-g‘ℤring)𝐸)))
55	50	zred 12700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑𝑃) ∈ ℝ)
56	7	zred 12700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
57	2, 3	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
58	57	nnrpd 13058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+)
59		fermltl 16843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → ((𝐸↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐸 mod 𝑃))
60	2, 7, 59	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐸 mod 𝑃))
61		eqidd 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 mod 𝑃) = (𝐸 mod 𝑃))
62	55, 56, 56, 56, 58, 60, 61	modsub12d 13964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑𝑃) − 𝐸) mod 𝑃) = ((𝐸 − 𝐸) mod 𝑃))
63		zcn 12596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → 𝐸 ∈ ℂ)
64	63	subidd 11557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸 − 𝐸) = 0)
65	7, 64	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐸) = 0)
66	65	oveq1d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 − 𝐸) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
67		0mod 13935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑃) = 0)
68	58, 67	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 mod 𝑃) = 0)
69	62, 66, 68	3eqtrd 2808	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑𝑃) − 𝐸) mod 𝑃) = 0)
70	50, 7	zsubcld 12705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ∈ ℤ)
71		dvdsval3 16314	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ↔ (((𝐸↑𝑃) − 𝐸) mod 𝑃) = 0))
72	57, 70, 71	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ↔ (((𝐸↑𝑃) − 𝐸) mod 𝑃) = 0))
73	69, 72	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸))
74		fermltlchr.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝐹)
75		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
76	74, 36, 75	chrdvds 21645	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ↔ ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃) − 𝐸)) = (0g‘𝐹)))
77	35, 70, 76	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ↔ ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃) − 𝐸)) = (0g‘𝐹)))
78	73, 77	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃) − 𝐸)) = (0g‘𝐹))
79		rhmghm 20565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring RingHom 𝐹) → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring GrpHom 𝐹))
80	38, 79	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring GrpHom 𝐹))
81		zringbas 21572	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
82		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (-g‘𝐹) = (-g‘𝐹)
83	81, 51, 82	ghmsub 19294	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring GrpHom 𝐹) ∧ (𝐸↑𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃)(-g‘ℤring)𝐸)) = (((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃))(-g‘𝐹)((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
84	80, 50, 7, 83	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃)(-g‘ℤring)𝐸)) = (((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃))(-g‘𝐹)((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
85	54, 78, 84	3eqtr3rd 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃))(-g‘𝐹)((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) = (0g‘𝐹))
86	34	crnggrpd 20329	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
87		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
88	81, 87	rhmf 20566	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring RingHom 𝐹) → (ℤRHom‘𝐹):ℤ⟶(Base‘𝐹))
89	38, 88	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝐹):ℤ⟶(Base‘𝐹))
90	89, 50	ffvelcdmd 7081	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)) ∈ (Base‘𝐹))
91	89, 7	ffvelcdmd 7081	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸) ∈ (Base‘𝐹))
92	87, 75, 82	grpsubeq0 19092	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸) ∈ (Base‘𝐹)) → ((((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃))(-g‘𝐹)((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) = (0g‘𝐹) ↔ ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
93	86, 90, 91, 92	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃))(-g‘𝐹)((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) = (0g‘𝐹) ↔ ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
94	85, 93	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸))
95	94	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸))
96	33, 49, 95	3eqtr3d 2812	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸))
97		oveq2 7419	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸) → (𝑃 ↑ 𝐴) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
98	97	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (𝑃 ↑ 𝐴) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
99		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸))
100	96, 98, 99	3eqtr4d 2814	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (𝑃 ↑ 𝐴) = 𝐴)
101	1, 100	mpan2 703	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  0cc0 11100  1c1 11101   − cmin 11441  ℕcn 12233  ℕ₀cn0 12504  ℤcz 12591  ℝ⁺crp 13016   mod cmo 13902  ↑cexp 14097   ∥ cdvds 16310  ℙcprime 16729  Basecbs 17269   ↾_s cress 17290  0_gc0g 17492  Mndcmnd 18792   MndHom cmhm 18839  Grpcgrp 19000  inv_gcminusg 19001  -_gcsg 19002  ._gcmg 19133   GrpHom cghm 19283  mulGrpcmgp 20216  Ringcrg 20315  CRingccrg 20316   RingHom crh 20551  ℂ_fldccnfld 21491  ℤ_ringczring 21565  ℤRHomczrh 21618  chrcchr 21620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179  ax-mulf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-dju 9887  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-dvds 16311  df-gcd 16553  df-prm 16730  df-phi 16825  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-mulg 19134  df-subg 19189  df-ghm 19284  df-od 19598  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-cring 20318  df-oppr 20419  df-dvdsr 20439  df-unit 20440  df-invr 20470  df-dvr 20483  df-rhm 20554  df-subrng 20631  df-subrg 20655  df-drng 20815  df-cnfld 21492  df-zring 21566  df-zrh 21622  df-chr 21624

This theorem is referenced by:  ply1fermltlchr  22441  aks6d1c1p3  42767