Theorem fermltlchr 21847

Description: A generalization of Fermat's little theorem in a commutative ring 𝐹 of prime characteristic. See fermltl 16973. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fermltlchr.z	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐹)
fermltlchr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
fermltlchr.p	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝐹))
fermltlchr.1	⊢ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)
fermltlchr.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
fermltlchr.3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
fermltlchr.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
fermltlchr	⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem fermltlchr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fermltlchr.1	. 2 ⊢ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)
2		fermltlchr.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
3		prmnn 16861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 12677	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
5	2, 4	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
6	5	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
7		fermltlchr.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
8	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → 𝐸 ∈ ℤ)
9		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
10		zsscn 12711	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
11		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
12		cnfldbas 21694	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
13	11, 12	mgpbas 20377	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
14	10, 13	sseqtri 3960	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ⊆ (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
15		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
16		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘(mulGrp‘ℂfld)) = (invg‘(mulGrp‘ℂfld))
17		cnring 21712	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ Ring
18	11	ringmgp 20477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
20		cnfld1 21715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
21	11, 20	ringidval 20421	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
22		1z 12736	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
23	21, 22	eqeltrri 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) ∈ ℤ
24		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
25	9, 13, 24	ress0g 18966	. . . . . . . . 9 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) ∈ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)))
26	19, 23, 10, 25	mp3an 1490	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
27	9, 14, 15, 16, 26	ressmulgnn0 19299	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐸) = (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐸))
28	6, 8, 27	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐸) = (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐸))
29	8	zcnd 12814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → 𝐸 ∈ ℂ)
30		cnfldexp 21723	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐸) = (𝐸↑𝑃))
31	29, 6, 30	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐸) = (𝐸↑𝑃))
32	28, 31	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐸) = (𝐸↑𝑃))
33	32	fveq2d 6897	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐸)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)))
34		fermltlchr.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ CRing)
35	34	crngringd 20485	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
36		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤRHom‘𝐹) = (ℤRHom‘𝐹)
37	36	zrhrhm 21829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring RingHom 𝐹))
38	35, 37	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring RingHom 𝐹))
39		zringmpg 21789	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
40		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝐹) = (mulGrp‘𝐹)
41	39, 40	rhmmhm 20722	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring RingHom 𝐹) → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝐹)))
42	38, 41	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝐹)))
43	42	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝐹)))
44	9, 13	ressbas2 17428	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)))
45	10, 44	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
46		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
47		fermltlchr.p	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝐹))
48	45, 46, 47	mhmmulg 19337	. . . . 5 ⊢ (((ℤRHom‘𝐹) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝐹)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐸)) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
49	43, 6, 8, 48	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐸)) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
50	7, 5	zexpcld 14240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑𝑃) ∈ ℤ)
51		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-g‘ℤring) = (-g‘ℤring)
52	51	zringsubgval 21788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐸↑𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) = ((𝐸↑𝑃)(-g‘ℤring)𝐸))
53	50, 7, 52	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) = ((𝐸↑𝑃)(-g‘ℤring)𝐸))
54	53	fveq2d 6897	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃) − 𝐸)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃)(-g‘ℤring)𝐸)))
55	50	zred 12813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑𝑃) ∈ ℝ)
56	7	zred 12813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
57	2, 3	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
58	57	nnrpd 13172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+)
59		fermltl 16973	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → ((𝐸↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐸 mod 𝑃))
60	2, 7, 59	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐸 mod 𝑃))
61		eqidd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 mod 𝑃) = (𝐸 mod 𝑃))
62	55, 56, 56, 56, 58, 60, 61	modsub12d 14081	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑𝑃) − 𝐸) mod 𝑃) = ((𝐸 − 𝐸) mod 𝑃))
63		zcn 12708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → 𝐸 ∈ ℂ)
64	63	subidd 11667	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸 − 𝐸) = 0)
65	7, 64	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐸) = 0)
66	65	oveq1d 7442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 − 𝐸) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
67		0mod 14052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑃) = 0)
68	58, 67	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 mod 𝑃) = 0)
69	62, 66, 68	3eqtrd 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑𝑃) − 𝐸) mod 𝑃) = 0)
70	50, 7	zsubcld 12818	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ∈ ℤ)
71		dvdsval3 16438	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ↔ (((𝐸↑𝑃) − 𝐸) mod 𝑃) = 0))
72	57, 70, 71	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ↔ (((𝐸↑𝑃) − 𝐸) mod 𝑃) = 0))
73	69, 72	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸))
74		fermltlchr.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝐹)
75		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
76	74, 36, 75	chrdvds 21844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ↔ ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃) − 𝐸)) = (0g‘𝐹)))
77	35, 70, 76	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ↔ ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃) − 𝐸)) = (0g‘𝐹)))
78	73, 77	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃) − 𝐸)) = (0g‘𝐹))
79		rhmghm 20726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring RingHom 𝐹) → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring GrpHom 𝐹))
80	38, 79	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring GrpHom 𝐹))
81		zringbas 21771	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
82		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (-g‘𝐹) = (-g‘𝐹)
83	81, 51, 82	ghmsub 19450	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring GrpHom 𝐹) ∧ (𝐸↑𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃)(-g‘ℤring)𝐸)) = (((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃))(-g‘𝐹)((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
84	80, 50, 7, 83	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃)(-g‘ℤring)𝐸)) = (((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃))(-g‘𝐹)((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
85	54, 78, 84	3eqtr3rd 2807	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃))(-g‘𝐹)((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) = (0g‘𝐹))
86	34	crnggrpd 20486	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
87		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
88	81, 87	rhmf 20727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring RingHom 𝐹) → (ℤRHom‘𝐹):ℤ⟶(Base‘𝐹))
89	38, 88	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝐹):ℤ⟶(Base‘𝐹))
90	89, 50	ffvelcdmd 7093	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)) ∈ (Base‘𝐹))
91	89, 7	ffvelcdmd 7093	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸) ∈ (Base‘𝐹))
92	87, 75, 82	grpsubeq0 19248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸) ∈ (Base‘𝐹)) → ((((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃))(-g‘𝐹)((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) = (0g‘𝐹) ↔ ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
93	86, 90, 91, 92	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃))(-g‘𝐹)((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) = (0g‘𝐹) ↔ ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
94	85, 93	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸))
95	94	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸))
96	33, 49, 95	3eqtr3d 2806	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸))
97		oveq2 7435	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸) → (𝑃 ↑ 𝐴) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
98	97	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (𝑃 ↑ 𝐴) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
99		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸))
100	96, 98, 99	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (𝑃 ↑ 𝐴) = 𝐴)
101	1, 100	mpan2 704	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ 𝐴) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5105  ⟶wf 6542  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  ℂcc 11208  0cc0 11210  1c1 11211   − cmin 11551  ℕcn 12345  ℕ₀cn0 12616  ℤcz 12703  ℝ⁺crp 13130   mod cmo 14019  ↑cexp 14214   ∥ cdvds 16434  ℙcprime 16858  Basecbs 17399   ↾_s cress 17420  0_gc0g 17622  Mndcmnd 18935   MndHom cmhm 18988  Grpcgrp 19156  inv_gcminusg 19157  -_gcsg 19158  ._gcmg 19289   GrpHom cghm 19439  mulGrpcmgp 20372  Ringcrg 20471  CRingccrg 20472   RingHom crh 20711  ℂ_fldccnfld 21690  ℤ_ringczring 21764  ℤRHomczrh 21817  chrcchr 21819

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288  ax-addf 11289  ax-mulf 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-tpos 8254  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8728  df-map 8860  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9444  df-inf 9445  df-dju 9992  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-xnn0 12690  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-rp 13131  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-fl 13942  df-mod 14020  df-seq 14155  df-exp 14215  df-hash 14485  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-dvds 16435  df-gcd 16677  df-prm 16859  df-phi 16955  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-starv 17455  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ds 17462  df-unif 17463  df-0g 17624  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-mhm 18990  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-sbg 19161  df-mulg 19290  df-subg 19345  df-ghm 19440  df-od 19754  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-mgp 20373  df-rng 20387  df-ur 20420  df-ring 20473  df-cring 20474  df-oppr 20579  df-dvdsr 20599  df-unit 20600  df-invr 20630  df-dvr 20643  df-rhm 20714  df-subrng 20810  df-subrg 20834  df-drng 20994  df-cnfld 21691  df-zring 21765  df-zrh 21821  df-chr 21823

This theorem is used by:  ply1fermltlchr  22642  aks6d1c1p3  43300