Theorem fermltlchr 21522

Description: A generalization of Fermat's little theorem in a commutative ring 𝐹 of prime characteristic. See fermltl 16748. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fermltlchr.z	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐹)
fermltlchr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
fermltlchr.p	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝐹))
fermltlchr.1	⊢ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)
fermltlchr.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
fermltlchr.3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
fermltlchr.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
fermltlchr	⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem fermltlchr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fermltlchr.1	. 2 ⊢ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)
2		fermltlchr.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
3		prmnn 16637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 12492	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
5	2, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
7		fermltlchr.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → 𝐸 ∈ ℤ)
9		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
10		zsscn 12526	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
11		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
12		cnfldbas 21351	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
13	11, 12	mgpbas 20120	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
14	10, 13	sseqtri 3971	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ⊆ (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
15		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
16		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘(mulGrp‘ℂfld)) = (invg‘(mulGrp‘ℂfld))
17		cnring 21383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ Ring
18	11	ringmgp 20214	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
20		cnfld1 21386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
21	11, 20	ringidval 20158	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
22		1z 12551	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
23	21, 22	eqeltrri 2834	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) ∈ ℤ
24		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
25	9, 13, 24	ress0g 18724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) ∈ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)))
26	19, 23, 10, 25	mp3an 1464	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
27	9, 14, 15, 16, 26	ressmulgnn0 19047	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐸) = (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐸))
28	6, 8, 27	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐸) = (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐸))
29	8	zcnd 12628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → 𝐸 ∈ ℂ)
30		cnfldexp 21397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐸) = (𝐸↑𝑃))
31	29, 6, 30	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐸) = (𝐸↑𝑃))
32	28, 31	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐸) = (𝐸↑𝑃))
33	32	fveq2d 6839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐸)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)))
34		fermltlchr.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ CRing)
35	34	crngringd 20221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
36		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤRHom‘𝐹) = (ℤRHom‘𝐹)
37	36	zrhrhm 21504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring RingHom 𝐹))
38	35, 37	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring RingHom 𝐹))
39		zringmpg 21464	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
40		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝐹) = (mulGrp‘𝐹)
41	39, 40	rhmmhm 20453	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring RingHom 𝐹) → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝐹)))
42	38, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝐹)))
43	42	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝐹)))
44	9, 13	ressbas2 17202	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)))
45	10, 44	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
46		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
47		fermltlchr.p	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝐹))
48	45, 46, 47	mhmmulg 19085	. . . . 5 ⊢ (((ℤRHom‘𝐹) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝐹)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐸)) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
49	43, 6, 8, 48	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐸)) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
50	7, 5	zexpcld 14043	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑𝑃) ∈ ℤ)
51		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-g‘ℤring) = (-g‘ℤring)
52	51	zringsubgval 21463	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐸↑𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) = ((𝐸↑𝑃)(-g‘ℤring)𝐸))
53	50, 7, 52	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) = ((𝐸↑𝑃)(-g‘ℤring)𝐸))
54	53	fveq2d 6839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃) − 𝐸)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃)(-g‘ℤring)𝐸)))
55	50	zred 12627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑𝑃) ∈ ℝ)
56	7	zred 12627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
57	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
58	57	nnrpd 12978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+)
59		fermltl 16748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → ((𝐸↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐸 mod 𝑃))
60	2, 7, 59	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐸 mod 𝑃))
61		eqidd 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 mod 𝑃) = (𝐸 mod 𝑃))
62	55, 56, 56, 56, 58, 60, 61	modsub12d 13884	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑𝑃) − 𝐸) mod 𝑃) = ((𝐸 − 𝐸) mod 𝑃))
63		zcn 12523	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → 𝐸 ∈ ℂ)
64	63	subidd 11487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸 − 𝐸) = 0)
65	7, 64	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐸) = 0)
66	65	oveq1d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 − 𝐸) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
67		0mod 13855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑃) = 0)
68	58, 67	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 mod 𝑃) = 0)
69	62, 66, 68	3eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑𝑃) − 𝐸) mod 𝑃) = 0)
70	50, 7	zsubcld 12632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ∈ ℤ)
71		dvdsval3 16219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ↔ (((𝐸↑𝑃) − 𝐸) mod 𝑃) = 0))
72	57, 70, 71	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ↔ (((𝐸↑𝑃) − 𝐸) mod 𝑃) = 0))
73	69, 72	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸))
74		fermltlchr.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝐹)
75		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
76	74, 36, 75	chrdvds 21519	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ↔ ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃) − 𝐸)) = (0g‘𝐹)))
77	35, 70, 76	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ↔ ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃) − 𝐸)) = (0g‘𝐹)))
78	73, 77	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃) − 𝐸)) = (0g‘𝐹))
79		rhmghm 20457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring RingHom 𝐹) → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring GrpHom 𝐹))
80	38, 79	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring GrpHom 𝐹))
81		zringbas 21446	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
82		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (-g‘𝐹) = (-g‘𝐹)
83	81, 51, 82	ghmsub 19193	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring GrpHom 𝐹) ∧ (𝐸↑𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃)(-g‘ℤring)𝐸)) = (((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃))(-g‘𝐹)((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
84	80, 50, 7, 83	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃)(-g‘ℤring)𝐸)) = (((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃))(-g‘𝐹)((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
85	54, 78, 84	3eqtr3rd 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃))(-g‘𝐹)((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) = (0g‘𝐹))
86	34	crnggrpd 20222	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
87		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
88	81, 87	rhmf 20458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring RingHom 𝐹) → (ℤRHom‘𝐹):ℤ⟶(Base‘𝐹))
89	38, 88	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝐹):ℤ⟶(Base‘𝐹))
90	89, 50	ffvelcdmd 7032	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)) ∈ (Base‘𝐹))
91	89, 7	ffvelcdmd 7032	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸) ∈ (Base‘𝐹))
92	87, 75, 82	grpsubeq0 18996	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸) ∈ (Base‘𝐹)) → ((((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃))(-g‘𝐹)((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) = (0g‘𝐹) ↔ ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
93	86, 90, 91, 92	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃))(-g‘𝐹)((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) = (0g‘𝐹) ↔ ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
94	85, 93	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸))
95	94	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸))
96	33, 49, 95	3eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸))
97		oveq2 7369	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸) → (𝑃 ↑ 𝐴) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
98	97	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (𝑃 ↑ 𝐴) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
99		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸))
100	96, 98, 99	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (𝑃 ↑ 𝐴) = 𝐴)
101	1, 100	mpan2 692	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  0cc0 11032  1c1 11033   − cmin 11371  ℕcn 12168  ℕ₀cn0 12431  ℤcz 12518  ℝ⁺crp 12936   mod cmo 13822  ↑cexp 14017   ∥ cdvds 16215  ℙcprime 16634  Basecbs 17173   ↾_s cress 17194  0_gc0g 17396  Mndcmnd 18696   MndHom cmhm 18743  Grpcgrp 18903  inv_gcminusg 18904  -_gcsg 18905  ._gcmg 19037   GrpHom cghm 19181  mulGrpcmgp 20115  Ringcrg 20208  CRingccrg 20209   RingHom crh 20443  ℂ_fldccnfld 21347  ℤ_ringczring 21439  ℤRHomczrh 21492  chrcchr 21494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111  ax-mulf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-dju 9819  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-xnn0 12505  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-fl 13745  df-mod 13823  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-dvds 16216  df-gcd 16458  df-prm 16635  df-phi 16730  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-0g 17398  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-ghm 19182  df-od 19497  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-dvr 20375  df-rhm 20446  df-subrng 20517  df-subrg 20541  df-drng 20702  df-cnfld 21348  df-zring 21440  df-zrh 21496  df-chr 21498

This theorem is referenced by:  ply1fermltlchr  22290  aks6d1c1p3  42566