Theorem fermltlchr 21679

Description: A generalization of Fermat's little theorem in a commutative ring 𝐹 of prime characteristic. See fermltl 16838. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fermltlchr.z	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐹)
fermltlchr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
fermltlchr.p	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝐹))
fermltlchr.1	⊢ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)
fermltlchr.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
fermltlchr.3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
fermltlchr.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
fermltlchr	⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem fermltlchr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fermltlchr.1	. 2 ⊢ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)
2		fermltlchr.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
3		prmnn 16727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 12560	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
5	2, 4	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
6	5	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
7		fermltlchr.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
8	7	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → 𝐸 ∈ ℤ)
9		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
10		zsscn 12594	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
11		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
12		cnfldbas 21526	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
13	11, 12	mgpbas 20216	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
14	10, 13	sseqtri 3985	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ⊆ (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
15		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
16		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘(mulGrp‘ℂfld)) = (invg‘(mulGrp‘ℂfld))
17		cnring 21544	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ Ring
18	11	ringmgp 20316	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
20		cnfld1 21547	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
21	11, 20	ringidval 20260	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
22		1z 12619	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
23	21, 22	eqeltrri 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) ∈ ℤ
24		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
25	9, 13, 24	ress0g 18815	. . . . . . . . 9 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) ∈ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)))
26	19, 23, 10, 25	mp3an 1490	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
27	9, 14, 15, 16, 26	ressmulgnn0 19138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐸) = (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐸))
28	6, 8, 27	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐸) = (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐸))
29	8	zcnd 12696	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → 𝐸 ∈ ℂ)
30		cnfldexp 21555	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐸) = (𝐸↑𝑃))
31	29, 6, 30	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐸) = (𝐸↑𝑃))
32	28, 31	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐸) = (𝐸↑𝑃))
33	32	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐸)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)))
34		fermltlchr.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ CRing)
35	34	crngringd 20323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
36		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤRHom‘𝐹) = (ℤRHom‘𝐹)
37	36	zrhrhm 21661	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring RingHom 𝐹))
38	35, 37	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring RingHom 𝐹))
39		zringmpg 21621	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
40		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝐹) = (mulGrp‘𝐹)
41	39, 40	rhmmhm 20558	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring RingHom 𝐹) → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝐹)))
42	38, 41	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝐹)))
43	42	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝐹)))
44	9, 13	ressbas2 17293	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)))
45	10, 44	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
46		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
47		fermltlchr.p	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝐹))
48	45, 46, 47	mhmmulg 19176	. . . . 5 ⊢ (((ℤRHom‘𝐹) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝐹)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐸)) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
49	43, 6, 8, 48	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐸)) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
50	7, 5	zexpcld 14119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑𝑃) ∈ ℤ)
51		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-g‘ℤring) = (-g‘ℤring)
52	51	zringsubgval 21620	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐸↑𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) = ((𝐸↑𝑃)(-g‘ℤring)𝐸))
53	50, 7, 52	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) = ((𝐸↑𝑃)(-g‘ℤring)𝐸))
54	53	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃) − 𝐸)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃)(-g‘ℤring)𝐸)))
55	50	zred 12695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑𝑃) ∈ ℝ)
56	7	zred 12695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
57	2, 3	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
58	57	nnrpd 13053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+)
59		fermltl 16838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → ((𝐸↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐸 mod 𝑃))
60	2, 7, 59	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐸 mod 𝑃))
61		eqidd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 mod 𝑃) = (𝐸 mod 𝑃))
62	55, 56, 56, 56, 58, 60, 61	modsub12d 13960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑𝑃) − 𝐸) mod 𝑃) = ((𝐸 − 𝐸) mod 𝑃))
63		zcn 12591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → 𝐸 ∈ ℂ)
64	63	subidd 11552	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸 − 𝐸) = 0)
65	7, 64	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐸) = 0)
66	65	oveq1d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 − 𝐸) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
67		0mod 13931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑃) = 0)
68	58, 67	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 mod 𝑃) = 0)
69	62, 66, 68	3eqtrd 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑𝑃) − 𝐸) mod 𝑃) = 0)
70	50, 7	zsubcld 12700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ∈ ℤ)
71		dvdsval3 16309	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ↔ (((𝐸↑𝑃) − 𝐸) mod 𝑃) = 0))
72	57, 70, 71	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ↔ (((𝐸↑𝑃) − 𝐸) mod 𝑃) = 0))
73	69, 72	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸))
74		fermltlchr.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝐹)
75		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
76	74, 36, 75	chrdvds 21676	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ↔ ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃) − 𝐸)) = (0g‘𝐹)))
77	35, 70, 76	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ↔ ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃) − 𝐸)) = (0g‘𝐹)))
78	73, 77	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃) − 𝐸)) = (0g‘𝐹))
79		rhmghm 20562	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring RingHom 𝐹) → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring GrpHom 𝐹))
80	38, 79	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring GrpHom 𝐹))
81		zringbas 21603	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
82		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (-g‘𝐹) = (-g‘𝐹)
83	81, 51, 82	ghmsub 19289	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring GrpHom 𝐹) ∧ (𝐸↑𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃)(-g‘ℤring)𝐸)) = (((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃))(-g‘𝐹)((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
84	80, 50, 7, 83	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃)(-g‘ℤring)𝐸)) = (((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃))(-g‘𝐹)((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
85	54, 78, 84	3eqtr3rd 2807	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃))(-g‘𝐹)((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) = (0g‘𝐹))
86	34	crnggrpd 20324	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
87		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
88	81, 87	rhmf 20563	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring RingHom 𝐹) → (ℤRHom‘𝐹):ℤ⟶(Base‘𝐹))
89	38, 88	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝐹):ℤ⟶(Base‘𝐹))
90	89, 50	ffvelcdmd 7080	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)) ∈ (Base‘𝐹))
91	89, 7	ffvelcdmd 7080	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸) ∈ (Base‘𝐹))
92	87, 75, 82	grpsubeq0 19087	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸) ∈ (Base‘𝐹)) → ((((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃))(-g‘𝐹)((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) = (0g‘𝐹) ↔ ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
93	86, 90, 91, 92	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃))(-g‘𝐹)((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) = (0g‘𝐹) ↔ ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
94	85, 93	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸))
95	94	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸))
96	33, 49, 95	3eqtr3d 2806	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸))
97		oveq2 7418	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸) → (𝑃 ↑ 𝐴) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
98	97	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (𝑃 ↑ 𝐴) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
99		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸))
100	96, 98, 99	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (𝑃 ↑ 𝐴) = 𝐴)
101	1, 100	mpan2 703	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  0cc0 11095  1c1 11096   − cmin 11436  ℕcn 12228  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  ℝ⁺crp 13011   mod cmo 13898  ↑cexp 14093   ∥ cdvds 16305  ℙcprime 16724  Basecbs 17264   ↾_s cress 17285  0_gc0g 17487  Mndcmnd 18787   MndHom cmhm 18834  Grpcgrp 18995  inv_gcminusg 18996  -_gcsg 18997  ._gcmg 19128   GrpHom cghm 19278  mulGrpcmgp 20211  Ringcrg 20310  CRingccrg 20311   RingHom crh 20547  ℂ_fldccnfld 21522  ℤ_ringczring 21596  ℤRHomczrh 21649  chrcchr 21651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174  ax-mulf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16306  df-gcd 16548  df-prm 16725  df-phi 16820  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-mulg 19129  df-subg 19184  df-ghm 19279  df-od 19593  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-cring 20313  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-rhm 20550  df-subrng 20645  df-subrg 20669  df-drng 20829  df-cnfld 21523  df-zring 21597  df-zrh 21653  df-chr 21655

This theorem is referenced by:  ply1fermltlchr  22472  aks6d1c1p3  42897