Theorem fermltlchr 21745

Description: A generalization of Fermat's little theorem in a commutative ring 𝐹 of prime characteristic. See fermltl 16878. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fermltlchr.z	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐹)
fermltlchr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
fermltlchr.p	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝐹))
fermltlchr.1	⊢ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)
fermltlchr.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
fermltlchr.3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
fermltlchr.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
fermltlchr	⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem fermltlchr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fermltlchr.1	. 2 ⊢ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)
2		fermltlchr.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
3		prmnn 16767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 12592	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
5	2, 4	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
6	5	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
7		fermltlchr.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
8	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → 𝐸 ∈ ℤ)
9		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
10		zsscn 12626	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
11		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
12		cnfldbas 21592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
13	11, 12	mgpbas 20281	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
14	10, 13	sseqtri 3979	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ⊆ (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
15		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
16		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘(mulGrp‘ℂfld)) = (invg‘(mulGrp‘ℂfld))
17		cnring 21610	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ Ring
18	11	ringmgp 20381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
20		cnfld1 21613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
21	11, 20	ringidval 20325	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
22		1z 12651	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
23	21, 22	eqeltrri 2857	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) ∈ ℤ
24		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
25	9, 13, 24	ress0g 18870	. . . . . . . . 9 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) ∈ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)))
26	19, 23, 10, 25	mp3an 1490	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
27	9, 14, 15, 16, 26	ressmulgnn0 19203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐸) = (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐸))
28	6, 8, 27	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐸) = (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐸))
29	8	zcnd 12729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → 𝐸 ∈ ℂ)
30		cnfldexp 21621	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐸) = (𝐸↑𝑃))
31	29, 6, 30	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (𝑃(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐸) = (𝐸↑𝑃))
32	28, 31	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐸) = (𝐸↑𝑃))
33	32	fveq2d 6883	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐸)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)))
34		fermltlchr.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ CRing)
35	34	crngringd 20388	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
36		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤRHom‘𝐹) = (ℤRHom‘𝐹)
37	36	zrhrhm 21727	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring RingHom 𝐹))
38	35, 37	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring RingHom 𝐹))
39		zringmpg 21687	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
40		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝐹) = (mulGrp‘𝐹)
41	39, 40	rhmmhm 20624	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring RingHom 𝐹) → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝐹)))
42	38, 41	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝐹)))
43	42	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝐹)))
44	9, 13	ressbas2 17333	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)))
45	10, 44	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
46		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
47		fermltlchr.p	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝐹))
48	45, 46, 47	mhmmulg 19241	. . . . 5 ⊢ (((ℤRHom‘𝐹) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝐹)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐸)) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
49	43, 6, 8, 48	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝑃(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐸)) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
50	7, 5	zexpcld 14154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑𝑃) ∈ ℤ)
51		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-g‘ℤring) = (-g‘ℤring)
52	51	zringsubgval 21686	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐸↑𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) = ((𝐸↑𝑃)(-g‘ℤring)𝐸))
53	50, 7, 52	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) = ((𝐸↑𝑃)(-g‘ℤring)𝐸))
54	53	fveq2d 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃) − 𝐸)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃)(-g‘ℤring)𝐸)))
55	50	zred 12728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑𝑃) ∈ ℝ)
56	7	zred 12728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
57	2, 3	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
58	57	nnrpd 13087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+)
59		fermltl 16878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → ((𝐸↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐸 mod 𝑃))
60	2, 7, 59	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐸 mod 𝑃))
61		eqidd 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 mod 𝑃) = (𝐸 mod 𝑃))
62	55, 56, 56, 56, 58, 60, 61	modsub12d 13995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑𝑃) − 𝐸) mod 𝑃) = ((𝐸 − 𝐸) mod 𝑃))
63		zcn 12623	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → 𝐸 ∈ ℂ)
64	63	subidd 11584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸 − 𝐸) = 0)
65	7, 64	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐸) = 0)
66	65	oveq1d 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 − 𝐸) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
67		0mod 13966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑃) = 0)
68	58, 67	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 mod 𝑃) = 0)
69	62, 66, 68	3eqtrd 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑𝑃) − 𝐸) mod 𝑃) = 0)
70	50, 7	zsubcld 12733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ∈ ℤ)
71		dvdsval3 16349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ↔ (((𝐸↑𝑃) − 𝐸) mod 𝑃) = 0))
72	57, 70, 71	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ↔ (((𝐸↑𝑃) − 𝐸) mod 𝑃) = 0))
73	69, 72	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸))
74		fermltlchr.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝐹)
75		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
76	74, 36, 75	chrdvds 21742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ↔ ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃) − 𝐸)) = (0g‘𝐹)))
77	35, 70, 76	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐸↑𝑃) − 𝐸) ↔ ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃) − 𝐸)) = (0g‘𝐹)))
78	73, 77	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃) − 𝐸)) = (0g‘𝐹))
79		rhmghm 20628	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring RingHom 𝐹) → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring GrpHom 𝐹))
80	38, 79	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring GrpHom 𝐹))
81		zringbas 21669	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
82		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (-g‘𝐹) = (-g‘𝐹)
83	81, 51, 82	ghmsub 19354	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring GrpHom 𝐹) ∧ (𝐸↑𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃)(-g‘ℤring)𝐸)) = (((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃))(-g‘𝐹)((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
84	80, 50, 7, 83	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐹)‘((𝐸↑𝑃)(-g‘ℤring)𝐸)) = (((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃))(-g‘𝐹)((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
85	54, 78, 84	3eqtr3rd 2804	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃))(-g‘𝐹)((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) = (0g‘𝐹))
86	34	crnggrpd 20389	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
87		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
88	81, 87	rhmf 20629	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤRHom‘𝐹) ∈ (ℤring RingHom 𝐹) → (ℤRHom‘𝐹):ℤ⟶(Base‘𝐹))
89	38, 88	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝐹):ℤ⟶(Base‘𝐹))
90	89, 50	ffvelcdmd 7079	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)) ∈ (Base‘𝐹))
91	89, 7	ffvelcdmd 7079	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸) ∈ (Base‘𝐹))
92	87, 75, 82	grpsubeq0 19152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸) ∈ (Base‘𝐹)) → ((((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃))(-g‘𝐹)((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) = (0g‘𝐹) ↔ ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
93	86, 90, 91, 92	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃))(-g‘𝐹)((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) = (0g‘𝐹) ↔ ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
94	85, 93	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸))
95	94	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → ((ℤRHom‘𝐹)‘(𝐸↑𝑃)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸))
96	33, 49, 95	3eqtr3d 2803	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸))
97		oveq2 7422	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸) → (𝑃 ↑ 𝐴) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
98	97	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (𝑃 ↑ 𝐴) = (𝑃 ↑ ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)))
99		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸))
100	96, 98, 99	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ((ℤRHom‘𝐹)‘𝐸)) → (𝑃 ↑ 𝐴) = 𝐴)
101	1, 100	mpan2 704	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ 𝐴) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11125  0cc0 11127  1c1 11128   − cmin 11468  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618  ℝ⁺crp 13045   mod cmo 13933  ↑cexp 14128   ∥ cdvds 16345  ℙcprime 16764  Basecbs 17304   ↾_s cress 17325  0_gc0g 17527  Mndcmnd 18839   MndHom cmhm 18892  Grpcgrp 19060  inv_gcminusg 19061  -_gcsg 19062  ._gcmg 19193   GrpHom cghm 19343  mulGrpcmgp 20276  Ringcrg 20375  CRingccrg 20376   RingHom crh 20613  ℂ_fldccnfld 21588  ℤ_ringczring 21662  ℤRHomczrh 21715  chrcchr 21717

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-rp 13046  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-fl 13856  df-mod 13934  df-seq 14069  df-exp 14129  df-hash 14398  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-dvds 16346  df-gcd 16588  df-prm 16765  df-phi 16860  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-starv 17360  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-unif 17368  df-0g 17529  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-mhm 18894  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-sbg 19065  df-mulg 19194  df-subg 19249  df-ghm 19344  df-od 19658  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-cring 20378  df-oppr 20481  df-dvdsr 20501  df-unit 20502  df-invr 20532  df-dvr 20545  df-rhm 20616  df-subrng 20711  df-subrg 20735  df-drng 20895  df-cnfld 21589  df-zring 21663  df-zrh 21719  df-chr 21721

This theorem is used by:  ply1fermltlchr  22540  aks6d1c1p3  42979