Theorem evlsvvvallem 42594

Description: Lemma for evlsvvval 42596 akin to psrbagev2 22008. (Contributed by SN, 6-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsvvvallem.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlsvvvallem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsvvvallem.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
evlsvvvallem.w	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
evlsvvvallem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsvvvallem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsvvvallem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsvvvallem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
evlsvvvallem	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾)

Distinct variable groups:   𝐵,ℎ   ℎ,𝐼   𝑣,𝐼   𝜑,𝑣   𝑣,𝐵   𝑣,𝑆   𝑣,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(𝑣,ℎ)   𝐷(𝑣,ℎ)   𝑆(ℎ)   ↑ (𝑣,ℎ)   𝐾(ℎ)   𝑀(𝑣,ℎ)   𝑉(𝑣,ℎ)

Proof of Theorem evlsvvvallem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsvvvallem.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
2		evlsvvvallem.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
3	1, 2	mgpbas 20058	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)
4		eqid 2731	. . 3 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
5	1, 4	ringidval 20096	. 2 ⊢ (1r‘𝑆) = (0g‘𝑀)
6		evlsvvvallem.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
7	1	crngmgp 20154	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
9		evlsvvvallem.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
10		evlsvvvallem.w	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
11	6	crngringd 20159	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
12	1	ringmgp 20152	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → 𝑀 ∈ Mnd)
15		evlsvvvallem.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
16		evlsvvvallem.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
17	16	psrbagf 21850	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
18	15, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
19	18	ffvelcdmda 7012	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → (𝐵‘𝑣) ∈ ℕ0)
20		evlsvvvallem.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
21		elmapi 8768	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → 𝐴:𝐼⟶𝐾)
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐾)
23	22	ffvelcdmda 7012	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → (𝐴‘𝑣) ∈ 𝐾)
24	3, 10, 14, 19, 23	mulgnn0cld 19003	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)) ∈ 𝐾)
25	24	fmpttd 7043	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))):𝐼⟶𝐾)
26	9	mptexd 7153	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))) ∈ V)
27		fvexd 6832	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ V)
28	25	ffund 6650	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))
29	16	psrbagfsupp 21851	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵 finSupp 0)
30	15, 29	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 finSupp 0)
31		ssidd 3953	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 supp 0) ⊆ (𝐵 supp 0))
32		0zd 12475	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
33	18, 31, 9, 32	suppssr 8120	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐼 ∖ (𝐵 supp 0))) → (𝐵‘𝑣) = 0)
34	33	oveq1d 7356	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐼 ∖ (𝐵 supp 0))) → ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)) = (0 ↑ (𝐴‘𝑣)))
35		eldifi 4076	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ (𝐼 ∖ (𝐵 supp 0)) → 𝑣 ∈ 𝐼)
36	35, 23	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐼 ∖ (𝐵 supp 0))) → (𝐴‘𝑣) ∈ 𝐾)
37	3, 5, 10	mulg0 18982	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴‘𝑣) ∈ 𝐾 → (0 ↑ (𝐴‘𝑣)) = (1r‘𝑆))
38	36, 37	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐼 ∖ (𝐵 supp 0))) → (0 ↑ (𝐴‘𝑣)) = (1r‘𝑆))
39	34, 38	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐼 ∖ (𝐵 supp 0))) → ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)) = (1r‘𝑆))
40	39, 9	suppss2 8125	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))) supp (1r‘𝑆)) ⊆ (𝐵 supp 0))
41	26, 27, 28, 30, 40	fsuppsssuppgd 9261	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))) finSupp (1r‘𝑆))
42	3, 5, 8, 9, 25, 41	gsumcl 19822	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ^◡ccnv 5610   “ cima 5614  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   supp csupp 8085   ↑_m cmap 8745  Fincfn 8864   finSupp cfsupp 9240  0cc0 11001  ℕcn 12120  ℕ₀cn0 12376  ℤcz 12463  Basecbs 17115   Σ_g cgsu 17339  Mndcmnd 18637  ._gcmg 18975  CMndccmn 19687  mulGrpcmgp 20053  1_rcur 20094  Ringcrg 20146  CRingccrg 20147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-oi 9391  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-seq 13904  df-hash 14233  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-plusg 17169  df-0g 17340  df-gsum 17341  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mulg 18976  df-cntz 19224  df-cmn 19689  df-mgp 20054  df-ur 20095  df-ring 20148  df-cring 20149

This theorem is referenced by:  evlsvvvallem2  42595  evlsvvval  42596  evlsbagval  42599  evlselv  42620  evlsmhpvvval  42628  mhphf  42630