Theorem evlsvvvallem 22400

Description: Lemma for evlsvvval 22402 akin to psrbagev2 22387. (Contributed by SN, 6-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsvvvallem.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlsvvvallem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsvvvallem.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
evlsvvvallem.w	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
evlsvvvallem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsvvvallem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsvvvallem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsvvvallem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
evlsvvvallem	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾)

Distinct variable groups:   𝐵,ℎ   ℎ,𝐼   𝑣,𝐼   𝜑,𝑣   𝑣,𝐵   𝑣,𝑆   𝑣,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(𝑣, ℎ)   𝐷(𝑣, ℎ)   𝑆(ℎ)   ↑ (𝑣, ℎ)   𝐾(ℎ)   𝑀(𝑣, ℎ)   𝑉(𝑣, ℎ)

Proof of Theorem evlsvvvallem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsvvvallem.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
2		evlsvvvallem.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
3	1, 2	mgpbas 20365	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
5	1, 4	ringidval 20409	. 2 ⊢ (1r‘𝑆) = (0g‘𝑀)
6		evlsvvvallem.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
7	1	crngmgp 20467	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
9		evlsvvvallem.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
10		evlsvvvallem.w	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
11	6	crngringd 20473	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
12	1	ringmgp 20465	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
13	11, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
14	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → 𝑀 ∈ Mnd)
15		evlsvvvallem.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
16		evlsvvvallem.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
17	16	psrbagf 22226	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
18	15, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
19	18	ffvelcdmda 7084	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → (𝐵‘𝑣) ∈ ℕ0)
20		evlsvvvallem.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
21		elmapi 8869	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → 𝐴:𝐼⟶𝐾)
22	20, 21	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐾)
23	22	ffvelcdmda 7084	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → (𝐴‘𝑣) ∈ 𝐾)
24	3, 10, 14, 19, 23	mulgnn0cld 19305	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)) ∈ 𝐾)
25	24	fmpttd 7115	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))):𝐼⟶𝐾)
26	9	mptexd 7230	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))) ∈ V)
27		fvexd 6900	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ V)
28	25	ffund 6714	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))
29	16	psrbagfsupp 22227	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵 finSupp 0)
30	15, 29	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 finSupp 0)
31		ssidd 3931	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 supp 0) ⊆ (𝐵 supp 0))
32		0zd 12705	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
33	18, 31, 9, 32	suppssr 8212	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐼 ∖ (𝐵 supp 0))) → (𝐵‘𝑣) = 0)
34	33	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐼 ∖ (𝐵 supp 0))) → ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)) = (0 ↑ (𝐴‘𝑣)))
35		eldifi 4067	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ (𝐼 ∖ (𝐵 supp 0)) → 𝑣 ∈ 𝐼)
36	35, 23	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐼 ∖ (𝐵 supp 0))) → (𝐴‘𝑣) ∈ 𝐾)
37	3, 5, 10	mulg0 19284	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴‘𝑣) ∈ 𝐾 → (0 ↑ (𝐴‘𝑣)) = (1r‘𝑆))
38	36, 37	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐼 ∖ (𝐵 supp 0))) → (0 ↑ (𝐴‘𝑣)) = (1r‘𝑆))
39	34, 38	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐼 ∖ (𝐵 supp 0))) → ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)) = (1r‘𝑆))
40	39, 9	suppss2 8217	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))) supp (1r‘𝑆)) ⊆ (𝐵 supp 0))
41	26, 27, 28, 30, 40	fsuppsssuppgd 9374	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))) finSupp (1r‘𝑆))
42	3, 5, 8, 9, 25, 41	gsumcl 20129	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450   ∖ cdif 4045   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5649   “ cima 5653  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   supp csupp 8177   ↑_m cmap 8847  Fincfn 8973   finSupp cfsupp 9353  0cc0 11200  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  Basecbs 17387   Σ_g cgsu 17611  Mndcmnd 18923  ._gcmg 19277  CMndccmn 19994  mulGrpcmgp 20360  1_rcur 20407  Ringcrg 20459  CRingccrg 20460

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-mgp 20361  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462

This theorem is used by:  evlsvvvallem2  22401  evlsvvval  22402  evlsbagval  43615  evlselv  43618  evlsmhpvvval  43624  mhphf  43626