Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlsvvvallem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlsvvvallem 41855
Description: Lemma for evlsvvval 41857 akin to psrbagev2 22025. (Contributed by SN, 6-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsvvvallem.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
evlsvvvallem.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
evlsvvvallem.m 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘†)
evlsvvvallem.w ↑ = (.gβ€˜π‘€)
evlsvvvallem.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsvvvallem.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
evlsvvvallem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsvvvallem.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
evlsvvvallem (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))) ∈ 𝐾)
Distinct variable groups:   𝐡,β„Ž   β„Ž,𝐼   𝑣,𝐼   πœ‘,𝑣   𝑣,𝐡   𝑣,𝑆   𝑣,𝐾
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž)   𝐴(𝑣,β„Ž)   𝐷(𝑣,β„Ž)   𝑆(β„Ž)   ↑ (𝑣,β„Ž)   𝐾(β„Ž)   𝑀(𝑣,β„Ž)   𝑉(𝑣,β„Ž)

Proof of Theorem evlsvvvallem
StepHypRef Expression
1 evlsvvvallem.m . . 3 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘†)
2 evlsvvvallem.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
31, 2mgpbas 20079 . 2 𝐾 = (Baseβ€˜π‘€)
4 eqid 2725 . . 3 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
51, 4ringidval 20122 . 2 (1rβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘€)
6 evlsvvvallem.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
71crngmgp 20180 . . 3 (𝑆 ∈ CRing β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
86, 7syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
9 evlsvvvallem.i . 2 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
10 evlsvvvallem.w . . . 4 ↑ = (.gβ€˜π‘€)
116crngringd 20185 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
121ringmgp 20178 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Ring β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
1311, 12syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
1413adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
15 evlsvvvallem.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
16 evlsvvvallem.d . . . . . . 7 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
1716psrbagf 21850 . . . . . 6 (𝐡 ∈ 𝐷 β†’ 𝐡:πΌβŸΆβ„•0)
1815, 17syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡:πΌβŸΆβ„•0)
1918ffvelcdmda 7087 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) β†’ (π΅β€˜π‘£) ∈ β„•0)
20 evlsvvvallem.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
21 elmapi 8861 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐾)
2220, 21syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐾)
2322ffvelcdmda 7087 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) β†’ (π΄β€˜π‘£) ∈ 𝐾)
243, 10, 14, 19, 23mulgnn0cld 19049 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) β†’ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)) ∈ 𝐾)
2524fmpttd 7118 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))):𝐼⟢𝐾)
269mptexd 7230 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))) ∈ V)
27 fvexd 6905 . . 3 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ V)
2825ffund 6721 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))))
2916psrbagfsupp 21852 . . . 4 (𝐡 ∈ 𝐷 β†’ 𝐡 finSupp 0)
3015, 29syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 finSupp 0)
31 ssidd 3997 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡 supp 0) βŠ† (𝐡 supp 0))
32 0zd 12595 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
3318, 31, 9, 32suppssr 8194 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐼 βˆ– (𝐡 supp 0))) β†’ (π΅β€˜π‘£) = 0)
3433oveq1d 7428 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐼 βˆ– (𝐡 supp 0))) β†’ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)) = (0 ↑ (π΄β€˜π‘£)))
35 eldifi 4120 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (𝐼 βˆ– (𝐡 supp 0)) β†’ 𝑣 ∈ 𝐼)
3635, 23sylan2 591 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐼 βˆ– (𝐡 supp 0))) β†’ (π΄β€˜π‘£) ∈ 𝐾)
373, 5, 10mulg0 19029 . . . . . 6 ((π΄β€˜π‘£) ∈ 𝐾 β†’ (0 ↑ (π΄β€˜π‘£)) = (1rβ€˜π‘†))
3836, 37syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐼 βˆ– (𝐡 supp 0))) β†’ (0 ↑ (π΄β€˜π‘£)) = (1rβ€˜π‘†))
3934, 38eqtrd 2765 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝐼 βˆ– (𝐡 supp 0))) β†’ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)) = (1rβ€˜π‘†))
4039, 9suppss2 8199 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))) supp (1rβ€˜π‘†)) βŠ† (𝐡 supp 0))
4126, 27, 28, 30, 40fsuppsssuppgd 9400 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£))) finSupp (1rβ€˜π‘†))
423, 5, 8, 9, 25, 41gsumcl 19869 1 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π΅β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419  Vcvv 3463   βˆ– cdif 3938   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227  β—‘ccnv 5672   β€œ cima 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   supp csupp 8158   ↑m cmap 8838  Fincfn 8957   finSupp cfsupp 9380  0cc0 11133  β„•cn 12237  β„•0cn0 12497  β„€cz 12583  Basecbs 17174   Ξ£g cgsu 17416  Mndcmnd 18688  .gcmg 19022  CMndccmn 19734  mulGrpcmgp 20073  1rcur 20120  Ringcrg 20172  CRingccrg 20173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-plusg 17240  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-mgp 20074  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175
This theorem is referenced by:  evlsvvvallem2  41856  evlsvvval  41857  evlsbagval  41860  evlselv  41881  evlsmhpvvval  41889  mhphf  41891
  Copyright terms: Public domain W3C validator