Theorem evlsvvvallem 42534

Description: Lemma for evlsvvval 42536 akin to psrbagev2 21983. (Contributed by SN, 6-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsvvvallem.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlsvvvallem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsvvvallem.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
evlsvvvallem.w	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
evlsvvvallem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsvvvallem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsvvvallem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsvvvallem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
evlsvvvallem	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾)

Distinct variable groups:   𝐵,ℎ   ℎ,𝐼   𝑣,𝐼   𝜑,𝑣   𝑣,𝐵   𝑣,𝑆   𝑣,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(𝑣,ℎ)   𝐷(𝑣,ℎ)   𝑆(ℎ)   ↑ (𝑣,ℎ)   𝐾(ℎ)   𝑀(𝑣,ℎ)   𝑉(𝑣,ℎ)

Proof of Theorem evlsvvvallem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsvvvallem.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
2		evlsvvvallem.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
3	1, 2	mgpbas 20030	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
5	1, 4	ringidval 20068	. 2 ⊢ (1r‘𝑆) = (0g‘𝑀)
6		evlsvvvallem.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
7	1	crngmgp 20126	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
9		evlsvvvallem.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
10		evlsvvvallem.w	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
11	6	crngringd 20131	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
12	1	ringmgp 20124	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → 𝑀 ∈ Mnd)
15		evlsvvvallem.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
16		evlsvvvallem.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
17	16	psrbagf 21825	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
18	15, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
19	18	ffvelcdmda 7018	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → (𝐵‘𝑣) ∈ ℕ0)
20		evlsvvvallem.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
21		elmapi 8776	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → 𝐴:𝐼⟶𝐾)
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐾)
23	22	ffvelcdmda 7018	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → (𝐴‘𝑣) ∈ 𝐾)
24	3, 10, 14, 19, 23	mulgnn0cld 18974	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)) ∈ 𝐾)
25	24	fmpttd 7049	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))):𝐼⟶𝐾)
26	9	mptexd 7160	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))) ∈ V)
27		fvexd 6837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ V)
28	25	ffund 6656	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))
29	16	psrbagfsupp 21826	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵 finSupp 0)
30	15, 29	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 finSupp 0)
31		ssidd 3959	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 supp 0) ⊆ (𝐵 supp 0))
32		0zd 12483	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
33	18, 31, 9, 32	suppssr 8128	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐼 ∖ (𝐵 supp 0))) → (𝐵‘𝑣) = 0)
34	33	oveq1d 7364	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐼 ∖ (𝐵 supp 0))) → ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)) = (0 ↑ (𝐴‘𝑣)))
35		eldifi 4082	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ (𝐼 ∖ (𝐵 supp 0)) → 𝑣 ∈ 𝐼)
36	35, 23	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐼 ∖ (𝐵 supp 0))) → (𝐴‘𝑣) ∈ 𝐾)
37	3, 5, 10	mulg0 18953	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴‘𝑣) ∈ 𝐾 → (0 ↑ (𝐴‘𝑣)) = (1r‘𝑆))
38	36, 37	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐼 ∖ (𝐵 supp 0))) → (0 ↑ (𝐴‘𝑣)) = (1r‘𝑆))
39	34, 38	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐼 ∖ (𝐵 supp 0))) → ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)) = (1r‘𝑆))
40	39, 9	suppss2 8133	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))) supp (1r‘𝑆)) ⊆ (𝐵 supp 0))
41	26, 27, 28, 30, 40	fsuppsssuppgd 9272	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))) finSupp (1r‘𝑆))
42	3, 5, 8, 9, 25, 41	gsumcl 19794	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3394  Vcvv 3436   ∖ cdif 3900   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  ^◡ccnv 5618   “ cima 5622  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   supp csupp 8093   ↑_m cmap 8753  Fincfn 8872   finSupp cfsupp 9251  0cc0 11009  ℕcn 12128  ℕ₀cn0 12384  ℤcz 12471  Basecbs 17120   Σ_g cgsu 17344  Mndcmnd 18608  ._gcmg 18946  CMndccmn 19659  mulGrpcmgp 20025  1_rcur 20066  Ringcrg 20118  CRingccrg 20119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-hash 14238  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mulg 18947  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-mgp 20026  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121

This theorem is referenced by:  evlsvvvallem2  42535  evlsvvval  42536  evlsbagval  42539  evlselv  42560  evlsmhpvvval  42568  mhphf  42570