Theorem evlsvvvallem 22210

Description: Lemma for evlsvvval 22212 akin to psrbagev2 22197. (Contributed by SN, 6-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsvvvallem.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlsvvvallem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsvvvallem.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
evlsvvvallem.w	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
evlsvvvallem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsvvvallem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsvvvallem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsvvvallem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
evlsvvvallem	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾)

Distinct variable groups:   𝐵,ℎ   ℎ,𝐼   𝑣,𝐼   𝜑,𝑣   𝑣,𝐵   𝑣,𝑆   𝑣,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(𝑣,ℎ)   𝐷(𝑣,ℎ)   𝑆(ℎ)   ↑ (𝑣,ℎ)   𝐾(ℎ)   𝑀(𝑣,ℎ)   𝑉(𝑣,ℎ)

Proof of Theorem evlsvvvallem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsvvvallem.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
2		evlsvvvallem.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
3	1, 2	mgpbas 20220	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)
4		eqid 2769	. . 3 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
5	1, 4	ringidval 20264	. 2 ⊢ (1r‘𝑆) = (0g‘𝑀)
6		evlsvvvallem.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
7	1	crngmgp 20322	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
9		evlsvvvallem.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
10		evlsvvvallem.w	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
11	6	crngringd 20327	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
12	1	ringmgp 20320	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
13	11, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
14	13	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → 𝑀 ∈ Mnd)
15		evlsvvvallem.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
16		evlsvvvallem.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
17	16	psrbagf 22036	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
18	15, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
19	18	ffvelcdmda 7080	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → (𝐵‘𝑣) ∈ ℕ0)
20		evlsvvvallem.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
21		elmapi 8845	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → 𝐴:𝐼⟶𝐾)
22	20, 21	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐾)
23	22	ffvelcdmda 7080	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → (𝐴‘𝑣) ∈ 𝐾)
24	3, 10, 14, 19, 23	mulgnn0cld 19160	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)) ∈ 𝐾)
25	24	fmpttd 7111	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))):𝐼⟶𝐾)
26	9	mptexd 7223	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))) ∈ V)
27		fvexd 6897	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ V)
28	25	ffund 6711	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))
29	16	psrbagfsupp 22037	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵 finSupp 0)
30	15, 29	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 finSupp 0)
31		ssidd 3968	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 supp 0) ⊆ (𝐵 supp 0))
32		0zd 12602	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
33	18, 31, 9, 32	suppssr 8190	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐼 ∖ (𝐵 supp 0))) → (𝐵‘𝑣) = 0)
34	33	oveq1d 7426	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐼 ∖ (𝐵 supp 0))) → ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)) = (0 ↑ (𝐴‘𝑣)))
35		eldifi 4093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ (𝐼 ∖ (𝐵 supp 0)) → 𝑣 ∈ 𝐼)
36	35, 23	sylan2 604	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐼 ∖ (𝐵 supp 0))) → (𝐴‘𝑣) ∈ 𝐾)
37	3, 5, 10	mulg0 19139	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴‘𝑣) ∈ 𝐾 → (0 ↑ (𝐴‘𝑣)) = (1r‘𝑆))
38	36, 37	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐼 ∖ (𝐵 supp 0))) → (0 ↑ (𝐴‘𝑣)) = (1r‘𝑆))
39	34, 38	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐼 ∖ (𝐵 supp 0))) → ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)) = (1r‘𝑆))
40	39, 9	suppss2 8195	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))) supp (1r‘𝑆)) ⊆ (𝐵 supp 0))
41	26, 27, 28, 30, 40	fsuppsssuppgd 9341	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))) finSupp (1r‘𝑆))
42	3, 5, 8, 9, 25, 41	gsumcl 19984	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3423  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ^◡ccnv 5661   “ cima 5665  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   supp csupp 8155   ↑_m cmap 8823  Fincfn 8942   finSupp cfsupp 9320  0cc0 11099  ℕcn 12232  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590  Basecbs 17268   Σ_g cgsu 17492  Mndcmnd 18791  ._gcmg 19132  CMndccmn 19849  mulGrpcmgp 20215  1_rcur 20262  Ringcrg 20314  CRingccrg 20315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-hash 14366  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-plusg 17322  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mulg 19133  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-mgp 20216  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317

This theorem is referenced by:  evlsvvvallem2  22211  evlsvvval  22212  evlsbagval  43209  evlselv  43212  evlsmhpvvval  43218  mhphf  43220