Theorem evlsvvvallem 41706

Description: Lemma for evlsvvval 41708 akin to psrbagev2 22001. (Contributed by SN, 6-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsvvvallem.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlsvvvallem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsvvvallem.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
evlsvvvallem.w	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
evlsvvvallem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsvvvallem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsvvvallem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsvvvallem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
evlsvvvallem	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾)

Distinct variable groups:   𝐵,ℎ   ℎ,𝐼   𝑣,𝐼   𝜑,𝑣   𝑣,𝐵   𝑣,𝑆   𝑣,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(𝑣,ℎ)   𝐷(𝑣,ℎ)   𝑆(ℎ)   ↑ (𝑣,ℎ)   𝐾(ℎ)   𝑀(𝑣,ℎ)   𝑉(𝑣,ℎ)

Proof of Theorem evlsvvvallem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsvvvallem.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
2		evlsvvvallem.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
3	1, 2	mgpbas 20064	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)
4		eqid 2727	. . 3 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
5	1, 4	ringidval 20107	. 2 ⊢ (1r‘𝑆) = (0g‘𝑀)
6		evlsvvvallem.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
7	1	crngmgp 20165	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
9		evlsvvvallem.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
10		evlsvvvallem.w	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
11	6	crngringd 20170	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
12	1	ringmgp 20163	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → 𝑀 ∈ Mnd)
15		evlsvvvallem.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
16		evlsvvvallem.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
17	16	psrbagf 21831	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
18	15, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
19	18	ffvelcdmda 7088	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → (𝐵‘𝑣) ∈ ℕ0)
20		evlsvvvallem.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
21		elmapi 8857	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → 𝐴:𝐼⟶𝐾)
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐾)
23	22	ffvelcdmda 7088	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → (𝐴‘𝑣) ∈ 𝐾)
24	3, 10, 14, 19, 23	mulgnn0cld 19034	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)) ∈ 𝐾)
25	24	fmpttd 7119	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))):𝐼⟶𝐾)
26	9	mptexd 7230	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))) ∈ V)
27		fvexd 6906	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ V)
28	25	ffund 6720	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))))
29	16	psrbagfsupp 21833	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵 finSupp 0)
30	15, 29	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 finSupp 0)
31		ssidd 4001	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 supp 0) ⊆ (𝐵 supp 0))
32		0zd 12586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
33	18, 31, 9, 32	suppssr 8192	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐼 ∖ (𝐵 supp 0))) → (𝐵‘𝑣) = 0)
34	33	oveq1d 7429	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐼 ∖ (𝐵 supp 0))) → ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)) = (0 ↑ (𝐴‘𝑣)))
35		eldifi 4122	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ (𝐼 ∖ (𝐵 supp 0)) → 𝑣 ∈ 𝐼)
36	35, 23	sylan2 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐼 ∖ (𝐵 supp 0))) → (𝐴‘𝑣) ∈ 𝐾)
37	3, 5, 10	mulg0 19014	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴‘𝑣) ∈ 𝐾 → (0 ↑ (𝐴‘𝑣)) = (1r‘𝑆))
38	36, 37	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐼 ∖ (𝐵 supp 0))) → (0 ↑ (𝐴‘𝑣)) = (1r‘𝑆))
39	34, 38	eqtrd 2767	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐼 ∖ (𝐵 supp 0))) → ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)) = (1r‘𝑆))
40	39, 9	suppss2 8197	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))) supp (1r‘𝑆)) ⊆ (𝐵 supp 0))
41	26, 27, 28, 30, 40	fsuppsssuppgd 41641	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣))) finSupp (1r‘𝑆))
42	3, 5, 8, 9, 25, 41	gsumcl 19854	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐵‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3427  Vcvv 3469   ∖ cdif 3941   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  ^◡ccnv 5671   “ cima 5675  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   supp csupp 8157   ↑_m cmap 8834  Fincfn 8953   finSupp cfsupp 9375  0cc0 11124  ℕcn 12228  ℕ₀cn0 12488  ℤcz 12574  Basecbs 17165   Σ_g cgsu 17407  Mndcmnd 18679  ._gcmg 19007  CMndccmn 19719  mulGrpcmgp 20058  1_rcur 20105  Ringcrg 20157  CRingccrg 20158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-hash 14308  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-plusg 17231  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mulg 19008  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-mgp 20059  df-ur 20106  df-ring 20159  df-cring 20160

This theorem is referenced by:  evlsvvvallem2  41707  evlsvvval  41708  evlsbagval  41711  evlselv  41732  evlsmhpvvval  41740  mhphf  41742