Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlvvvallem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlvvvallem 41719
Description: Lemma for theorems using evlvvval 41718. Version of evlsvvvallem2 41707 using df-evl 21997. (Contributed by SN, 11-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evlvvvallem.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
evlvvvallem.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlvvvallem.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
evlvvvallem.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
evlvvvallem.m 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
evlvvvallem.w ↑ = (.gβ€˜π‘€)
evlvvvallem.x Β· = (.rβ€˜π‘…)
evlvvvallem.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
evlvvvallem.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
evlvvvallem.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
evlvvvallem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
Assertion
Ref Expression
evlvvvallem (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
Distinct variable groups:   𝐡,β„Ž   β„Ž,𝐼,𝑣   πœ‘,𝑏,𝑣   𝑣,𝐡   𝑅,𝑏,β„Ž,𝑣   𝐾,𝑏,β„Ž,𝑣   𝐹,𝑏   𝐷,𝑏,𝑣
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž)   𝐴(𝑣,β„Ž,𝑏)   𝐡(𝑏)   𝐷(β„Ž)   𝑃(𝑣,β„Ž,𝑏)   Β· (𝑣,β„Ž,𝑏)   ↑ (𝑣,β„Ž,𝑏)   𝐹(𝑣,β„Ž)   𝐼(𝑏)   𝑀(𝑣,β„Ž,𝑏)   𝑉(𝑣,β„Ž,𝑏)

Proof of Theorem evlvvvallem
StepHypRef Expression
1 evlvvvallem.d . 2 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
2 eqid 2727 . 2 (𝐼 mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐾)) = (𝐼 mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐾))
3 eqid 2727 . 2 (𝑅 β†Ύs 𝐾) = (𝑅 β†Ύs 𝐾)
4 eqid 2727 . 2 (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐾))) = (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐾)))
5 evlvvvallem.k . 2 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
6 evlvvvallem.m . 2 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
7 evlvvvallem.w . 2 ↑ = (.gβ€˜π‘€)
8 evlvvvallem.x . 2 Β· = (.rβ€˜π‘…)
9 evlvvvallem.i . 2 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
10 evlvvvallem.r . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
1110crngringd 20170 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
125subrgid 20494 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
1311, 12syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
14 evlvvvallem.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
155ressid 17210 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐾) = 𝑅)
1610, 15syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐾) = 𝑅)
1716oveq2d 7430 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐼 mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐾)) = (𝐼 mPoly 𝑅))
18 evlvvvallem.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
1917, 18eqtr4di 2785 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐼 mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐾)) = 𝑃)
2019fveq2d 6895 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐾))) = (Baseβ€˜π‘ƒ))
21 evlvvvallem.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
2220, 21eqtr4di 2785 . . 3 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐾))) = 𝐡)
2314, 22eleqtrrd 2831 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐾))))
24 evlvvvallem.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
251, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 23, 24evlsvvvallem2 41707 1 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3427   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  β—‘ccnv 5671   β€œ cima 5675  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8834  Fincfn 8953   finSupp cfsupp 9375  β„•cn 12228  β„•0cn0 12488  Basecbs 17165   β†Ύs cress 17194  .rcmulr 17219  0gc0g 17406   Ξ£g cgsu 17407  .gcmg 19007  mulGrpcmgp 20058  Ringcrg 20157  CRingccrg 20158  SubRingcsubrg 20488   mPoly cmpl 21819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-hash 14308  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-tset 17237  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-mulg 19008  df-subg 19062  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-cring 20160  df-subrg 20490  df-psr 21822  df-mpl 21824
This theorem is referenced by:  evlselv  41732
  Copyright terms: Public domain W3C validator