Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlvvvallem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlvvvallem 41601
Description: Lemma for theorems using evlvvval 41600. Version of evlsvvvallem2 41589 using df-evl 21937. (Contributed by SN, 11-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evlvvvallem.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
evlvvvallem.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlvvvallem.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlvvvallem.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
evlvvvallem.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
evlvvvallem.w = (.g𝑀)
evlvvvallem.x · = (.r𝑅)
evlvvvallem.i (𝜑𝐼𝑉)
evlvvvallem.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evlvvvallem.f (𝜑𝐹𝐵)
evlvvvallem.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
Assertion
Ref Expression
evlvvvallem (𝜑 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣𝐼 ↦ ((𝑏𝑣) (𝐴𝑣)))))) finSupp (0g𝑅))
Distinct variable groups:   𝐵,   ,𝐼,𝑣   𝜑,𝑏,𝑣   𝑣,𝐵   𝑅,𝑏,,𝑣   𝐾,𝑏,,𝑣   𝐹,𝑏   𝐷,𝑏,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐴(𝑣,,𝑏)   𝐵(𝑏)   𝐷()   𝑃(𝑣,,𝑏)   · (𝑣,,𝑏)   (𝑣,,𝑏)   𝐹(𝑣,)   𝐼(𝑏)   𝑀(𝑣,,𝑏)   𝑉(𝑣,,𝑏)

Proof of Theorem evlvvvallem
StepHypRef Expression
1 evlvvvallem.d . 2 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
2 eqid 2724 . 2 (𝐼 mPoly (𝑅s 𝐾)) = (𝐼 mPoly (𝑅s 𝐾))
3 eqid 2724 . 2 (𝑅s 𝐾) = (𝑅s 𝐾)
4 eqid 2724 . 2 (Base‘(𝐼 mPoly (𝑅s 𝐾))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝑅s 𝐾)))
5 evlvvvallem.k . 2 𝐾 = (Base‘𝑅)
6 evlvvvallem.m . 2 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
7 evlvvvallem.w . 2 = (.g𝑀)
8 evlvvvallem.x . 2 · = (.r𝑅)
9 evlvvvallem.i . 2 (𝜑𝐼𝑉)
10 evlvvvallem.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
1110crngringd 20136 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
125subrgid 20460 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑅))
1311, 12syl 17 . 2 (𝜑𝐾 ∈ (SubRing‘𝑅))
14 evlvvvallem.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
155ressid 17185 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → (𝑅s 𝐾) = 𝑅)
1610, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅s 𝐾) = 𝑅)
1716oveq2d 7417 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼 mPoly (𝑅s 𝐾)) = (𝐼 mPoly 𝑅))
18 evlvvvallem.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
1917, 18eqtr4di 2782 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 mPoly (𝑅s 𝐾)) = 𝑃)
2019fveq2d 6885 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPoly (𝑅s 𝐾))) = (Base‘𝑃))
21 evlvvvallem.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
2220, 21eqtr4di 2782 . . 3 (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPoly (𝑅s 𝐾))) = 𝐵)
2314, 22eleqtrrd 2828 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑅s 𝐾))))
24 evlvvvallem.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
251, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 23, 24evlsvvvallem2 41589 1 (𝜑 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣𝐼 ↦ ((𝑏𝑣) (𝐴𝑣)))))) finSupp (0g𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3424   class class class wbr 5138  cmpt 5221  ccnv 5665  cima 5669  cfv 6533  (class class class)co 7401  m cmap 8815  Fincfn 8934   finSupp cfsupp 9356  cn 12208  0cn0 12468  Basecbs 17140  s cress 17169  .rcmulr 17194  0gc0g 17381   Σg cgsu 17382  .gcmg 18982  mulGrpcmgp 20024  Ringcrg 20123  CRingccrg 20124  SubRingcsubrg 20454   mPoly cmpl 21759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-tset 17212  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-mulg 18983  df-subg 19035  df-cntz 19218  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20025  df-rng 20043  df-ur 20072  df-ring 20125  df-cring 20126  df-subrg 20456  df-psr 21762  df-mpl 21764
This theorem is referenced by:  evlselv  41614
  Copyright terms: Public domain W3C validator