Theorem evlvvvallem 43379

Description: Lemma for theorems using evlvvval 22336. Version of evlsvvvallem2 22295 using df-evl 22278. (Contributed by SN, 11-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlvvvallem.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlvvvallem.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlvvvallem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlvvvallem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evlvvvallem.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
evlvvvallem.w	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
evlvvvallem.x	⊢ · = (.r‘𝑅)
evlvvvallem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlvvvallem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evlvvvallem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
evlvvvallem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
evlvvvallem	⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) finSupp (0g‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,ℎ   ℎ,𝐼,𝑣   𝜑,𝑏,𝑣   𝑣,𝐵   𝑅,𝑏,ℎ,𝑣   𝐾,𝑏,ℎ,𝑣   𝐹,𝑏   𝐷,𝑏,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(𝑣, ℎ, 𝑏)   𝐵(𝑏)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑣, ℎ, 𝑏)   · (𝑣, ℎ, 𝑏)   ↑ (𝑣, ℎ, 𝑏)   𝐹(𝑣, ℎ)   𝐼(𝑏)   𝑀(𝑣, ℎ, 𝑏)   𝑉(𝑣, ℎ, 𝑏)

Proof of Theorem evlvvvallem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlvvvallem.d	. 2 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
2		eqid 2765	. 2 ⊢ (𝐼 mPoly (𝑅 ↾s 𝐾)) = (𝐼 mPoly (𝑅 ↾s 𝐾))
3		eqid 2765	. 2 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐾) = (𝑅 ↾s 𝐾)
4		eqid 2765	. 2 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑅 ↾s 𝐾))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝑅 ↾s 𝐾)))
5		evlvvvallem.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
6		evlvvvallem.m	. 2 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
7		evlvvvallem.w	. 2 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
8		evlvvvallem.x	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
9		evlvvvallem.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
10		evlvvvallem.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
11	10	crngringd 20374	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	5	subrgid 20724	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑅))
13	11, 12	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑅))
14		evlvvvallem.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
15	5	ressid 17328	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ↾s 𝐾) = 𝑅)
16	10, 15	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐾) = 𝑅)
17	16	oveq2d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPoly (𝑅 ↾s 𝐾)) = (𝐼 mPoly 𝑅))
18		evlvvvallem.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
19	17, 18	eqtr4di 2818	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPoly (𝑅 ↾s 𝐾)) = 𝑃)
20	19	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPoly (𝑅 ↾s 𝐾))) = (Base‘𝑃))
21		evlvvvallem.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
22	20, 21	eqtr4di 2818	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPoly (𝑅 ↾s 𝐾))) = 𝐵)
23	14, 22	eleqtrrd 2868	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑅 ↾s 𝐾))))
24		evlvvvallem.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 23, 24	evlsvvvallem2 22295	1 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) finSupp (0g‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3418   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8830  Fincfn 8949   finSupp cfsupp 9328  ℕcn 12250  ℕ₀cn0 12521  Basecbs 17293   ↾_s cress 17314  ._rcmulr 17335  0_gc0g 17516   Σ_g cgsu 17517  ._gcmg 19179  mulGrpcmgp 20262  Ringcrg 20361  CRingccrg 20362  SubRingcsubrg 20720   mPoly cmpl 22108

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-tset 17353  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-mulg 19180  df-subg 19235  df-cntz 19433  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363  df-cring 20364  df-subrg 20721  df-psr 22111  df-mpl 22113

This theorem is used by:  evlselv  43381