Theorem evlvvvallem 43615

Description: Lemma for theorems using evlvvval 22442. Version of evlsvvvallem2 22401 using df-evl 22384. (Contributed by SN, 11-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlvvvallem.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlvvvallem.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlvvvallem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlvvvallem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evlvvvallem.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
evlvvvallem.w	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
evlvvvallem.x	⊢ · = (.r‘𝑅)
evlvvvallem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlvvvallem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evlvvvallem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
evlvvvallem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
evlvvvallem	⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) finSupp (0g‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,ℎ   ℎ,𝐼,𝑣   𝜑,𝑏,𝑣   𝑣,𝐵   𝑅,𝑏,ℎ,𝑣   𝐾,𝑏,ℎ,𝑣   𝐹,𝑏   𝐷,𝑏,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(𝑣, ℎ, 𝑏)   𝐵(𝑏)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑣, ℎ, 𝑏)   · (𝑣, ℎ, 𝑏)   ↑ (𝑣, ℎ, 𝑏)   𝐹(𝑣, ℎ)   𝐼(𝑏)   𝑀(𝑣, ℎ, 𝑏)   𝑉(𝑣, ℎ, 𝑏)

Proof of Theorem evlvvvallem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlvvvallem.d	. 2 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
2		eqid 2761	. 2 ⊢ (𝐼 mPoly (𝑅 ↾s 𝐾)) = (𝐼 mPoly (𝑅 ↾s 𝐾))
3		eqid 2761	. 2 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐾) = (𝑅 ↾s 𝐾)
4		eqid 2761	. 2 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑅 ↾s 𝐾))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝑅 ↾s 𝐾)))
5		evlvvvallem.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
6		evlvvvallem.m	. 2 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
7		evlvvvallem.w	. 2 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
8		evlvvvallem.x	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
9		evlvvvallem.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
10		evlvvvallem.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
11	10	crngringd 20473	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	5	subrgid 20825	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑅))
13	11, 12	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑅))
14		evlvvvallem.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
15	5	ressid 17422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ↾s 𝐾) = 𝑅)
16	10, 15	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐾) = 𝑅)
17	16	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPoly (𝑅 ↾s 𝐾)) = (𝐼 mPoly 𝑅))
18		evlvvvallem.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
19	17, 18	eqtr4di 2814	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPoly (𝑅 ↾s 𝐾)) = 𝑃)
20	19	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPoly (𝑅 ↾s 𝐾))) = (Base‘𝑃))
21		evlvvvallem.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
22	20, 21	eqtr4di 2814	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPoly (𝑅 ↾s 𝐾))) = 𝐵)
23	14, 22	eleqtrrd 2864	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑅 ↾s 𝐾))))
24		evlvvvallem.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 23, 24	evlsvvvallem2 22401	1 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑣) ↑ (𝐴‘𝑣)))))) finSupp (0g‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8847  Fincfn 8973   finSupp cfsupp 9353  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  Basecbs 17387   ↾_s cress 17408  ._rcmulr 17429  0_gc0g 17610   Σ_g cgsu 17611  ._gcmg 19277  mulGrpcmgp 20360  Ringcrg 20459  CRingccrg 20460  SubRingcsubrg 20821   mPoly cmpl 22214

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-tset 17447  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-subrg 20822  df-psr 22217  df-mpl 22219

This theorem is used by:  evlselv  43617