Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlvvvallem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlvvvallem 41871
Description: Lemma for theorems using evlvvval 41870. Version of evlsvvvallem2 41859 using df-evl 22024. (Contributed by SN, 11-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evlvvvallem.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
evlvvvallem.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlvvvallem.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
evlvvvallem.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
evlvvvallem.m 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
evlvvvallem.w ↑ = (.gβ€˜π‘€)
evlvvvallem.x Β· = (.rβ€˜π‘…)
evlvvvallem.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
evlvvvallem.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
evlvvvallem.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
evlvvvallem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
Assertion
Ref Expression
evlvvvallem (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
Distinct variable groups:   𝐡,β„Ž   β„Ž,𝐼,𝑣   πœ‘,𝑏,𝑣   𝑣,𝐡   𝑅,𝑏,β„Ž,𝑣   𝐾,𝑏,β„Ž,𝑣   𝐹,𝑏   𝐷,𝑏,𝑣
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž)   𝐴(𝑣,β„Ž,𝑏)   𝐡(𝑏)   𝐷(β„Ž)   𝑃(𝑣,β„Ž,𝑏)   Β· (𝑣,β„Ž,𝑏)   ↑ (𝑣,β„Ž,𝑏)   𝐹(𝑣,β„Ž)   𝐼(𝑏)   𝑀(𝑣,β„Ž,𝑏)   𝑉(𝑣,β„Ž,𝑏)

Proof of Theorem evlvvvallem
StepHypRef Expression
1 evlvvvallem.d . 2 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
2 eqid 2725 . 2 (𝐼 mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐾)) = (𝐼 mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐾))
3 eqid 2725 . 2 (𝑅 β†Ύs 𝐾) = (𝑅 β†Ύs 𝐾)
4 eqid 2725 . 2 (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐾))) = (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐾)))
5 evlvvvallem.k . 2 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
6 evlvvvallem.m . 2 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
7 evlvvvallem.w . 2 ↑ = (.gβ€˜π‘€)
8 evlvvvallem.x . 2 Β· = (.rβ€˜π‘…)
9 evlvvvallem.i . 2 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
10 evlvvvallem.r . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
1110crngringd 20188 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
125subrgid 20514 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
1311, 12syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
14 evlvvvallem.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
155ressid 17222 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐾) = 𝑅)
1610, 15syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐾) = 𝑅)
1716oveq2d 7431 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐼 mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐾)) = (𝐼 mPoly 𝑅))
18 evlvvvallem.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
1917, 18eqtr4di 2783 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐼 mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐾)) = 𝑃)
2019fveq2d 6895 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐾))) = (Baseβ€˜π‘ƒ))
21 evlvvvallem.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
2220, 21eqtr4di 2783 . . 3 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐾))) = 𝐡)
2314, 22eleqtrrd 2828 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐾))))
24 evlvvvallem.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
251, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 23, 24evlsvvvallem2 41859 1 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘£) ↑ (π΄β€˜π‘£)))))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  β—‘ccnv 5671   β€œ cima 5675  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ↑m cmap 8841  Fincfn 8960   finSupp cfsupp 9383  β„•cn 12240  β„•0cn0 12500  Basecbs 17177   β†Ύs cress 17206  .rcmulr 17231  0gc0g 17418   Ξ£g cgsu 17419  .gcmg 19025  mulGrpcmgp 20076  Ringcrg 20175  CRingccrg 20176  SubRingcsubrg 20508   mPoly cmpl 21841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-hash 14320  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-tset 17249  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-mulg 19026  df-subg 19080  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-cring 20178  df-subrg 20510  df-psr 21844  df-mpl 21846
This theorem is referenced by:  evlselv  41884
  Copyright terms: Public domain W3C validator