Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl0 41784
Description: The zero polynomial evaluates to zero. (Contributed by SN, 23-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
evl0.q 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
evl0.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
evl0.w π‘Š = (𝐼 mPoly 𝑅)
evl0.o 𝑂 = (0gβ€˜π‘…)
evl0.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
evl0.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
evl0.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
Assertion
Ref Expression
evl0 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜ 0 ) = ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {𝑂}))

Proof of Theorem evl0
StepHypRef Expression
1 evl0.w . . . 4 π‘Š = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 eqid 2728 . . . 4 (algScβ€˜π‘Š) = (algScβ€˜π‘Š)
3 evl0.o . . . 4 𝑂 = (0gβ€˜π‘…)
4 evl0.0 . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
5 evl0.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
6 evl0.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
76crngringd 20179 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
81, 2, 3, 4, 5, 7mplascl0 41781 . . 3 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜π‘Š)β€˜π‘‚) = 0 )
98fveq2d 6895 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜π‘‚)) = (π‘„β€˜ 0 ))
10 evl0.q . . 3 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
11 evl0.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
1211, 3ring0cl 20196 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑂 ∈ 𝐡)
137, 12syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝐡)
1410, 1, 11, 2, 5, 6, 13evlsca 22037 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜((algScβ€˜π‘Š)β€˜π‘‚)) = ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {𝑂}))
159, 14eqtr3d 2770 1 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜ 0 ) = ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {𝑂}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {csn 4624   Γ— cxp 5670  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8838  Basecbs 17173  0gc0g 17414  Ringcrg 20166  CRingccrg 20167  algSccascl 21779   mPoly cmpl 21832   eval cevl 22010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-sup 9459  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-hash 14316  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-hom 17250  df-cco 17251  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-prds 17422  df-pws 17424  df-mre 17559  df-mrc 17560  df-acs 17562  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-mhm 18733  df-submnd 18734  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-mulg 19017  df-subg 19071  df-ghm 19161  df-cntz 19261  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-srg 20120  df-ring 20168  df-cring 20169  df-rhm 20404  df-subrng 20476  df-subrg 20501  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-lsp 20849  df-assa 21780  df-asp 21781  df-ascl 21782  df-psr 21835  df-mvr 21836  df-mpl 21837  df-evls 22011  df-evl 22012
This theorem is referenced by:  prjcrv0  42051
  Copyright terms: Public domain W3C validator