Theorem evl0 41622

Description: The zero polynomial evaluates to zero. (Contributed by SN, 23-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl0.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
evl0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl0.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evl0.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
evl0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
evl0.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evl0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
evl0	⊢ (𝜑 → (𝑄‘ 0 ) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑂}))

Proof of Theorem evl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl0.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (algSc‘𝑊) = (algSc‘𝑊)
3		evl0.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
4		evl0.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5		evl0.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		evl0.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7	6	crngringd 20143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	mplascl0 41619	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑊)‘𝑂) = 0 )
9	8	fveq2d 6886	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝑂)) = (𝑄‘ 0 ))
10		evl0.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
11		evl0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12	11, 3	ring0cl 20158	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ 𝐵)
13	7, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝐵)
14	10, 1, 11, 2, 5, 6, 13	evlsca 21973	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝑂)) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑂}))
15	9, 14	eqtr3d 2766	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘ 0 ) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑂}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4621   × cxp 5665  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402   ↑_m cmap 8817  Basecbs 17145  0_gc0g 17386  Ringcrg 20130  CRingccrg 20131  algSccascl 21717   mPoly cmpl 21770   eval cevl 21946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-seq 13965  df-hash 14289  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-hom 17222  df-cco 17223  df-0g 17388  df-gsum 17389  df-prds 17394  df-pws 17396  df-mre 17531  df-mrc 17532  df-acs 17534  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18988  df-subg 19042  df-ghm 19131  df-cntz 19225  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20032  df-rng 20050  df-ur 20079  df-srg 20084  df-ring 20132  df-cring 20133  df-rhm 20366  df-subrng 20438  df-subrg 20463  df-lmod 20700  df-lss 20771  df-lsp 20811  df-assa 21718  df-asp 21719  df-ascl 21720  df-psr 21773  df-mvr 21774  df-mpl 21775  df-evls 21947  df-evl 21948

This theorem is referenced by:  prjcrv0  41889