Theorem evl0 40260

Description: The zero polynomial evaluates to zero. (Contributed by SN, 23-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl0.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
evl0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl0.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evl0.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
evl0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
evl0.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evl0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
evl0	⊢ (𝜑 → (𝑄‘ 0 ) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑂}))

Proof of Theorem evl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl0.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (algSc‘𝑊) = (algSc‘𝑊)
3		evl0.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
4		evl0.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5		evl0.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		evl0.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mplascl0 40259	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑊)‘𝑂) = 0 )
8	7	fveq2d 6773	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝑂)) = (𝑄‘ 0 ))
9		evl0.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
10		evl0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11	6	crngringd 19786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	10, 3	ring0cl 19798	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ 𝐵)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝐵)
14	9, 1, 10, 2, 5, 6, 13	evlsca 21298	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝑂)) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑂}))
15	8, 14	eqtr3d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘ 0 ) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑂}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  {csn 4567   × cxp 5587  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269   ↑_m cmap 8590  Basecbs 16902  0_gc0g 17140  Ringcrg 19773  CRingccrg 19774  algSccascl 21049   mPoly cmpl 21099   eval cevl 21271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-of 7525  df-ofr 7526  df-om 7702  df-1st 7818  df-2nd 7819  df-supp 7963  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-1o 8282  df-er 8473  df-map 8592  df-pm 8593  df-ixp 8661  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-fin 8712  df-fsupp 9099  df-sup 9171  df-oi 9239  df-card 9690  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-nn 11966  df-2 12028  df-3 12029  df-4 12030  df-5 12031  df-6 12032  df-7 12033  df-8 12034  df-9 12035  df-n0 12226  df-z 12312  df-dec 12429  df-uz 12574  df-fz 13231  df-fzo 13374  df-seq 13712  df-hash 14035  df-struct 16838  df-sets 16855  df-slot 16873  df-ndx 16885  df-base 16903  df-ress 16932  df-plusg 16965  df-mulr 16966  df-sca 16968  df-vsca 16969  df-ip 16970  df-tset 16971  df-ple 16972  df-ds 16974  df-hom 16976  df-cco 16977  df-0g 17142  df-gsum 17143  df-prds 17148  df-pws 17150  df-mre 17285  df-mrc 17286  df-acs 17288  df-mgm 18316  df-sgrp 18365  df-mnd 18376  df-mhm 18420  df-submnd 18421  df-grp 18570  df-minusg 18571  df-sbg 18572  df-mulg 18691  df-subg 18742  df-ghm 18822  df-cntz 18913  df-cmn 19378  df-abl 19379  df-mgp 19711  df-ur 19728  df-srg 19732  df-ring 19775  df-cring 19776  df-rnghom 19949  df-subrg 20012  df-lmod 20115  df-lss 20184  df-lsp 20224  df-assa 21050  df-asp 21051  df-ascl 21052  df-psr 21102  df-mvr 21103  df-mpl 21104  df-evls 21272  df-evl 21273

This theorem is referenced by:  prjcrv0  40459