Theorem evl0 40582

Description: The zero polynomial evaluates to zero. (Contributed by SN, 23-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl0.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
evl0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl0.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evl0.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
evl0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
evl0.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evl0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
evl0	⊢ (𝜑 → (𝑄‘ 0 ) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑂}))

Proof of Theorem evl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl0.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (algSc‘𝑊) = (algSc‘𝑊)
3		evl0.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
4		evl0.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5		evl0.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		evl0.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mplascl0 40581	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑊)‘𝑂) = 0 )
8	7	fveq2d 6830	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝑂)) = (𝑄‘ 0 ))
9		evl0.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
10		evl0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11	6	crngringd 19892	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	10, 3	ring0cl 19904	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ 𝐵)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝐵)
14	9, 1, 10, 2, 5, 6, 13	evlsca 21415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝑂)) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑂}))
15	8, 14	eqtr3d 2778	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘ 0 ) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑂}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {csn 4574   × cxp 5619  ‘cfv 6480  (class class class)co 7338   ↑_m cmap 8687  Basecbs 17010  0_gc0g 17248  Ringcrg 19879  CRingccrg 19880  algSccascl 21166   mPoly cmpl 21216   eval cevl 21388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4854  df-int 4896  df-iun 4944  df-iin 4945  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-isom 6489  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-of 7596  df-ofr 7597  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-supp 8049  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-1o 8368  df-er 8570  df-map 8689  df-pm 8690  df-ixp 8758  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-fin 8809  df-fsupp 9228  df-sup 9300  df-oi 9368  df-card 9797  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-nn 12076  df-2 12138  df-3 12139  df-4 12140  df-5 12141  df-6 12142  df-7 12143  df-8 12144  df-9 12145  df-n0 12336  df-z 12422  df-dec 12540  df-uz 12685  df-fz 13342  df-fzo 13485  df-seq 13824  df-hash 14147  df-struct 16946  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-sca 17076  df-vsca 17077  df-ip 17078  df-tset 17079  df-ple 17080  df-ds 17082  df-hom 17084  df-cco 17085  df-0g 17250  df-gsum 17251  df-prds 17256  df-pws 17258  df-mre 17393  df-mrc 17394  df-acs 17396  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-mhm 18528  df-submnd 18529  df-grp 18677  df-minusg 18678  df-sbg 18679  df-mulg 18798  df-subg 18849  df-ghm 18929  df-cntz 19020  df-cmn 19484  df-abl 19485  df-mgp 19817  df-ur 19834  df-srg 19838  df-ring 19881  df-cring 19882  df-rnghom 20055  df-subrg 20128  df-lmod 20232  df-lss 20301  df-lsp 20341  df-assa 21167  df-asp 21168  df-ascl 21169  df-psr 21219  df-mvr 21220  df-mpl 21221  df-evls 21389  df-evl 21390

This theorem is referenced by:  prjcrv0  40783