Theorem qusmul 32787

Description: Value of the ring operation in a quotient ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusmul.h	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
qusmul.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qusmul.p	⊢ · = (.r‘𝑅)
qusmul.a	⊢ × = (.r‘𝑄)
qusmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
qusmul.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
qusmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
qusmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
qusmul	⊢ (𝜑 → ([𝑋](𝑅 ~QG 𝐼) × [𝑌](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝑋 · 𝑌)](𝑅 ~QG 𝐼))

Proof of Theorem qusmul

Dummy variables 𝑡 𝑥 𝑦 𝑧 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusmul.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		qusmul.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		qusmul.h	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))
5		qusmul.v	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
7		qusmul.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
8	7	crngringd 20142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		qusmul.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
10		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
11	10	lidlsubg 20989	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
12	8, 9, 11	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
13		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑅 ~QG 𝐼)
14	5, 13	eqger 19096	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
15	12, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
16	10	crng2idl 21029	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (LIdeal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅))
17	7, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅))
18	9, 17	eleqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
19		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
20		qusmul.p	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
21	5, 13, 19, 20	2idlcpbl 21023	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → ((𝑥(𝑅 ~QG 𝐼)𝑦 ∧ 𝑧(𝑅 ~QG 𝐼)𝑡) → (𝑥 · 𝑧)(𝑅 ~QG 𝐼)(𝑦 · 𝑡)))
22	8, 18, 21	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥(𝑅 ~QG 𝐼)𝑦 ∧ 𝑧(𝑅 ~QG 𝐼)𝑡) → (𝑥 · 𝑧)(𝑅 ~QG 𝐼)(𝑦 · 𝑡)))
23	5, 20	ringcl 20146	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝐵)
24	23	3expb 1118	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝐵)
25	8, 24	sylan 578	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝐵)
26	25	caovclg 7603	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵)) → (𝑦 · 𝑡) ∈ 𝐵)
27		qusmul.a	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑄)
28	4, 6, 15, 7, 22, 26, 20, 27	qusmulval 17507	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ([𝑋](𝑅 ~QG 𝐼) × [𝑌](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝑋 · 𝑌)](𝑅 ~QG 𝐼))
29	1, 2, 28	mpd3an23 1461	1 ⊢ (𝜑 → ([𝑋](𝑅 ~QG 𝐼) × [𝑌](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝑋 · 𝑌)](𝑅 ~QG 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7413   Er wer 8704  [cec 8705  Basecbs 17150  ._rcmulr 17204   /_s cqus 17457  SubGrpcsubg 19038   ~_QG cqg 19040  Ringcrg 20129  CRingccrg 20130  LIdealclidl 20930  2Idealc2idl 21007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-ec 8709  df-qs 8713  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-fz 13491  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-0g 17393  df-imas 17460  df-qus 17461  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18860  df-minusg 18861  df-sbg 18862  df-subg 19041  df-eqg 19043  df-cmn 19693  df-abl 19694  df-mgp 20031  df-rng 20049  df-ur 20078  df-ring 20131  df-cring 20132  df-oppr 20227  df-subrg 20461  df-lmod 20618  df-lss 20689  df-lsp 20729  df-sra 20932  df-rgmod 20933  df-lidl 20934  df-rsp 20935  df-2idl 21008

This theorem is referenced by:  rhmquskerlem  32815