Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evls1expd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1expd 32325
Description: Univariate polynomial evaluation builder for an exponential. See also evl1expd 21734. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1expd.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1expd.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
evls1expd.w π‘Š = (Poly1β€˜π‘ˆ)
evls1expd.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
evls1expd.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
evls1expd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
evls1expd.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
evls1expd.1 ∧ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))
evls1expd.2 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘†))
evls1expd.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
evls1expd.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
evls1expd.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
Assertion
Ref Expression
evls1expd (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜(𝑁 ∧ 𝑀))β€˜πΆ) = (𝑁 ↑ ((π‘„β€˜π‘€)β€˜πΆ)))

Proof of Theorem evls1expd
StepHypRef Expression
1 evls1expd.q . . . 4 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
2 evls1expd.u . . . 4 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
3 evls1expd.w . . . 4 π‘Š = (Poly1β€˜π‘ˆ)
4 eqid 2733 . . . 4 (mulGrpβ€˜π‘Š) = (mulGrpβ€˜π‘Š)
5 evls1expd.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
6 evls1expd.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
7 evls1expd.1 . . . 4 ∧ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Š))
8 evls1expd.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
9 evls1expd.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
10 evls1expd.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
11 evls1expd.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11evls1pw 21715 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(𝑁 ∧ 𝑀)) = (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))(π‘„β€˜π‘€)))
1312fveq1d 6848 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜(𝑁 ∧ 𝑀))β€˜πΆ) = ((𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))(π‘„β€˜π‘€))β€˜πΆ))
14 eqid 2733 . . 3 (𝑆 ↑s 𝐾) = (𝑆 ↑s 𝐾)
15 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)) = (Baseβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))
16 eqid 2733 . . 3 (mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)) = (mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))
17 eqid 2733 . . 3 (mulGrpβ€˜π‘†) = (mulGrpβ€˜π‘†)
18 eqid 2733 . . 3 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
19 evls1expd.2 . . 3 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘†))
208crngringd 19985 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
215fvexi 6860 . . . 4 𝐾 ∈ V
2221a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ V)
231, 5, 14, 2, 3evls1rhm 21711 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑄 ∈ (π‘Š RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
248, 9, 23syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘Š RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
256, 15rhmf 20168 . . . . 5 (𝑄 ∈ (π‘Š RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)) β†’ 𝑄:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
2624, 25syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
2726, 11ffvelcdmd 7040 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
28 evls1expd.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
2914, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 10, 27, 28pwsexpg 20052 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))(π‘„β€˜π‘€))β€˜πΆ) = (𝑁 ↑ ((π‘„β€˜π‘€)β€˜πΆ)))
3013, 29eqtrd 2773 1 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜(𝑁 ∧ 𝑀))β€˜πΆ) = (𝑁 ↑ ((π‘„β€˜π‘€)β€˜πΆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„•0cn0 12421  Basecbs 17091   β†Ύs cress 17120   ↑s cpws 17336  .gcmg 18880  mulGrpcmgp 19904  CRingccrg 19973   RingHom crh 20153  SubRingcsubrg 20260  Poly1cpl1 21571   evalSub1 ces1 21702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-srg 19926  df-ring 19974  df-cring 19975  df-rnghom 20156  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-assa 21282  df-asp 21283  df-ascl 21284  df-psr 21334  df-mvr 21335  df-mpl 21336  df-opsr 21338  df-evls 21505  df-psr1 21574  df-ply1 21576  df-evls1 21704
This theorem is referenced by:  evls1varpwval  32326
  Copyright terms: Public domain W3C validator