Theorem evls1expd 22342

Description: Univariate polynomial evaluation builder for an exponential. See also evl1expd 22320. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1expd.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1expd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evls1expd.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
evls1expd.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1expd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1expd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1expd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1expd.1	⊢ ∧ = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
evls1expd.2	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
evls1expd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
evls1expd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
evls1expd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evls1expd	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ∧ 𝑀))‘𝐶) = (𝑁 ↑ ((𝑄‘𝑀)‘𝐶)))

Proof of Theorem evls1expd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1expd.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
2		evls1expd.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
3		evls1expd.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑊) = (mulGrp‘𝑊)
5		evls1expd.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
6		evls1expd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
7		evls1expd.1	. . . 4 ⊢ ∧ = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
8		evls1expd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
9		evls1expd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
10		evls1expd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
11		evls1expd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	evls1pw 22301	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ∧ 𝑀)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)))(𝑄‘𝑀)))
13	12	fveq1d 6836	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ∧ 𝑀))‘𝐶) = ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)))(𝑄‘𝑀))‘𝐶))
14		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑆 ↑s 𝐾) = (𝑆 ↑s 𝐾)
15		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)) = (Base‘(𝑆 ↑s 𝐾))
16		eqid 2737	. . 3 ⊢ (mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)) = (mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾))
17		eqid 2737	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
18		eqid 2737	. . 3 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾))) = (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
19		evls1expd.2	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
20	8	crngringd 20218	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
21	5	fvexi 6848	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ V
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
23	1, 5, 14, 2, 3	evls1rhm 22297	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
24	8, 9, 23	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
25	6, 15	rhmf 20455	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)) → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
26	24, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
27	26, 11	ffvelcdmd 7031	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
28		evls1expd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
29	14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 10, 27, 28	pwsexpg 20299	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)))(𝑄‘𝑀))‘𝐶) = (𝑁 ↑ ((𝑄‘𝑀)‘𝐶)))
30	13, 29	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ∧ 𝑀))‘𝐶) = (𝑁 ↑ ((𝑄‘𝑀)‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℕ₀cn0 12428  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191   ↑_s cpws 17400  ._gcmg 19034  mulGrpcmgp 20112  CRingccrg 20206   RingHom crh 20440  SubRingcsubrg 20537  Poly₁cpl1 22150   evalSub₁ ces1 22288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-sup 9348  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-srg 20159  df-ring 20207  df-cring 20208  df-rhm 20443  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-lsp 20958  df-assa 21843  df-asp 21844  df-ascl 21845  df-psr 21899  df-mvr 21900  df-mpl 21901  df-opsr 21903  df-evls 22062  df-psr1 22153  df-ply1 22155  df-evls1 22290

This theorem is referenced by:  evls1varpwval  22343  2sqr3minply  33940  cos9thpiminplylem6  33947