Theorem evls1expd 22302

Description: Univariate polynomial evaluation builder for an exponential. See also evl1expd 22280. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1expd.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1expd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evls1expd.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
evls1expd.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1expd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1expd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1expd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1expd.1	⊢ ∧ = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
evls1expd.2	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
evls1expd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
evls1expd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
evls1expd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evls1expd	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ∧ 𝑀))‘𝐶) = (𝑁 ↑ ((𝑄‘𝑀)‘𝐶)))

Proof of Theorem evls1expd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1expd.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
2		evls1expd.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
3		evls1expd.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
4		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑊) = (mulGrp‘𝑊)
5		evls1expd.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
6		evls1expd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
7		evls1expd.1	. . . 4 ⊢ ∧ = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
8		evls1expd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
9		evls1expd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
10		evls1expd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
11		evls1expd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	evls1pw 22261	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ∧ 𝑀)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)))(𝑄‘𝑀)))
13	12	fveq1d 6833	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ∧ 𝑀))‘𝐶) = ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)))(𝑄‘𝑀))‘𝐶))
14		eqid 2733	. . 3 ⊢ (𝑆 ↑s 𝐾) = (𝑆 ↑s 𝐾)
15		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)) = (Base‘(𝑆 ↑s 𝐾))
16		eqid 2733	. . 3 ⊢ (mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)) = (mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾))
17		eqid 2733	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
18		eqid 2733	. . 3 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾))) = (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
19		evls1expd.2	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
20	8	crngringd 20172	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
21	5	fvexi 6845	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ V
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
23	1, 5, 14, 2, 3	evls1rhm 22257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
24	8, 9, 23	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
25	6, 15	rhmf 20411	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)) → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
26	24, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
27	26, 11	ffvelcdmd 7027	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
28		evls1expd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
29	14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 10, 27, 28	pwsexpg 20255	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)))(𝑄‘𝑀))‘𝐶) = (𝑁 ↑ ((𝑄‘𝑀)‘𝐶)))
30	13, 29	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ∧ 𝑀))‘𝐶) = (𝑁 ↑ ((𝑄‘𝑀)‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℕ₀cn0 12392  Basecbs 17127   ↾_s cress 17148   ↑_s cpws 17357  ._gcmg 18988  mulGrpcmgp 20066  CRingccrg 20160   RingHom crh 20396  SubRingcsubrg 20493  Poly₁cpl1 22108   evalSub₁ ces1 22248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-ofr 7620  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-sup 9337  df-oi 9407  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-seq 13916  df-hash 14245  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-hom 17192  df-cco 17193  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-prds 17358  df-pws 17360  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-acs 17499  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-mhm 18699  df-submnd 18700  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-sbg 18859  df-mulg 18989  df-subg 19044  df-ghm 19133  df-cntz 19237  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-rng 20079  df-ur 20108  df-srg 20113  df-ring 20161  df-cring 20162  df-rhm 20399  df-subrng 20470  df-subrg 20494  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-lsp 20914  df-assa 21799  df-asp 21800  df-ascl 21801  df-psr 21856  df-mvr 21857  df-mpl 21858  df-opsr 21860  df-evls 22020  df-psr1 22111  df-ply1 22113  df-evls1 22250

This theorem is referenced by:  evls1varpwval  22303  2sqr3minply  33865  cos9thpiminplylem6  33872