Theorem evls1expd 22691

Description: Univariate polynomial evaluation builder for an exponential. See also evl1expd 22669. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1expd.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1expd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evls1expd.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
evls1expd.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1expd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1expd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1expd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1expd.1	⊢ ∧ = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
evls1expd.2	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
evls1expd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
evls1expd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
evls1expd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evls1expd	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ∧ 𝑀))‘𝐶) = (𝑁 ↑ ((𝑄‘𝑀)‘𝐶)))

Proof of Theorem evls1expd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1expd.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
2		evls1expd.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
3		evls1expd.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑊) = (mulGrp‘𝑊)
5		evls1expd.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
6		evls1expd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
7		evls1expd.1	. . . 4 ⊢ ∧ = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
8		evls1expd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
9		evls1expd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
10		evls1expd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
11		evls1expd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	evls1pw 22650	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ∧ 𝑀)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)))(𝑄‘𝑀)))
13	12	fveq1d 6888	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ∧ 𝑀))‘𝐶) = ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)))(𝑄‘𝑀))‘𝐶))
14		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑆 ↑s 𝐾) = (𝑆 ↑s 𝐾)
15		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)) = (Base‘(𝑆 ↑s 𝐾))
16		eqid 2760	. . 3 ⊢ (mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)) = (mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾))
17		eqid 2760	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
18		eqid 2760	. . 3 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾))) = (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
19		evls1expd.2	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
20	8	crngringd 20479	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
21	5	fvexi 6900	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ V
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
23	1, 5, 14, 2, 3	evls1rhm 22646	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
24	8, 9, 23	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
25	6, 15	rhmf 20721	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)) → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
26	24, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
27	26, 11	ffvelcdmd 7086	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
28		evls1expd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
29	14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 10, 27, 28	pwsexpg 20564	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)))(𝑄‘𝑀))‘𝐶) = (𝑁 ↑ ((𝑄‘𝑀)‘𝐶)))
30	13, 29	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ∧ 𝑀))‘𝐶) = (𝑁 ↑ ((𝑄‘𝑀)‘𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℕ₀cn0 12610  Basecbs 17393   ↾_s cress 17414   ↑_s cpws 17623  ._gcmg 19283  mulGrpcmgp 20366  CRingccrg 20466   RingHom crh 20705  SubRingcsubrg 20827  Poly₁cpl1 22501   evalSub₁ ces1 22637

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-ofr 7695  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-sup 9438  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-seq 14149  df-hash 14479  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-hom 17458  df-cco 17459  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-prds 17624  df-pws 17626  df-mre 17762  df-mrc 17763  df-acs 17765  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-mhm 18984  df-submnd 18985  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-mulg 19284  df-subg 19339  df-ghm 19434  df-cntz 19537  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-srg 20419  df-ring 20467  df-cring 20468  df-rhm 20708  df-subrng 20804  df-subrg 20828  df-lmod 21143  df-lss 21213  df-lsp 21253  df-assa 22167  df-asp 22168  df-ascl 22169  df-psr 22223  df-mvr 22224  df-mpl 22225  df-opsr 22227  df-evls 22389  df-psr1 22504  df-ply1 22506  df-evls1 22639

This theorem is used by:  evls1varpwval  22692  2sqr3minply  34459  cos9thpiminplylem6  34466