Theorem evls1expd 32551

Description: Univariate polynomial evaluation builder for an exponential. See also evl1expd 21795. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1expd.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1expd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evls1expd.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
evls1expd.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1expd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1expd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1expd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1expd.1	⊢ ∧ = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
evls1expd.2	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
evls1expd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
evls1expd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
evls1expd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evls1expd	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ∧ 𝑀))‘𝐶) = (𝑁 ↑ ((𝑄‘𝑀)‘𝐶)))

Proof of Theorem evls1expd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1expd.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
2		evls1expd.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
3		evls1expd.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
4		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑊) = (mulGrp‘𝑊)
5		evls1expd.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
6		evls1expd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
7		evls1expd.1	. . . 4 ⊢ ∧ = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
8		evls1expd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
9		evls1expd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
10		evls1expd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
11		evls1expd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	evls1pw 21776	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ∧ 𝑀)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)))(𝑄‘𝑀)))
13	12	fveq1d 6881	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ∧ 𝑀))‘𝐶) = ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)))(𝑄‘𝑀))‘𝐶))
14		eqid 2732	. . 3 ⊢ (𝑆 ↑s 𝐾) = (𝑆 ↑s 𝐾)
15		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)) = (Base‘(𝑆 ↑s 𝐾))
16		eqid 2732	. . 3 ⊢ (mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)) = (mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾))
17		eqid 2732	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
18		eqid 2732	. . 3 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾))) = (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
19		evls1expd.2	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
20	8	crngringd 20029	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
21	5	fvexi 6893	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ V
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
23	1, 5, 14, 2, 3	evls1rhm 21772	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
24	8, 9, 23	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
25	6, 15	rhmf 20215	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)) → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
26	24, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
27	26, 11	ffvelcdmd 7073	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
28		evls1expd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
29	14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 10, 27, 28	pwsexpg 20099	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)))(𝑄‘𝑀))‘𝐶) = (𝑁 ↑ ((𝑄‘𝑀)‘𝐶)))
30	13, 29	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ∧ 𝑀))‘𝐶) = (𝑁 ↑ ((𝑄‘𝑀)‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7394  ℕ₀cn0 12456  Basecbs 17128   ↾_s cress 17157   ↑_s cpws 17376  ._gcmg 18924  mulGrpcmgp 19948  CRingccrg 20017   RingHom crh 20200  SubRingcsubrg 20310  Poly₁cpl1 21632   evalSub₁ ces1 21763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-of 7654  df-ofr 7655  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-supp 8131  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-1o 8450  df-er 8688  df-map 8807  df-pm 8808  df-ixp 8877  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-fin 8928  df-fsupp 9347  df-sup 9421  df-oi 9489  df-card 9918  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-4 12261  df-5 12262  df-6 12263  df-7 12264  df-8 12265  df-9 12266  df-n0 12457  df-z 12543  df-dec 12662  df-uz 12807  df-fz 13469  df-fzo 13612  df-seq 13951  df-hash 14275  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17129  df-ress 17158  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-hom 17205  df-cco 17206  df-0g 17371  df-gsum 17372  df-prds 17377  df-pws 17379  df-mre 17514  df-mrc 17515  df-acs 17517  df-mgm 18545  df-sgrp 18594  df-mnd 18605  df-mhm 18649  df-submnd 18650  df-grp 18799  df-minusg 18800  df-sbg 18801  df-mulg 18925  df-subg 18977  df-ghm 19058  df-cntz 19149  df-cmn 19616  df-abl 19617  df-mgp 19949  df-ur 19966  df-srg 19970  df-ring 20018  df-cring 20019  df-rnghom 20203  df-subrg 20312  df-lmod 20424  df-lss 20494  df-lsp 20534  df-assa 21343  df-asp 21344  df-ascl 21345  df-psr 21395  df-mvr 21396  df-mpl 21397  df-opsr 21399  df-evls 21566  df-psr1 21635  df-ply1 21637  df-evls1 21765

This theorem is referenced by:  evls1varpwval  32552