Theorem ressply1evl 22395

Description: Evaluation of a univariate subring polynomial is the same as the evaluation in the bigger ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1evl2.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
ressply1evl2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
ressply1evl2.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
ressply1evl2.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
ressply1evl2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
ressply1evl.e	⊢ 𝐸 = (eval1‘𝑆)
ressply1evl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
ressply1evl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
ressply1evl	⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝐸 ↾ 𝐵))

Proof of Theorem ressply1evl

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressply1evl.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (eval1‘𝑆)
2		ressply1evl2.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
3	1, 2	evl1fval1 22356	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑆 evalSub1 𝐾)
4		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾)) = (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾))
5		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐾) = (𝑆 ↾s 𝐾)
6		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾))) = (Base‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾)))
7		ressply1evl.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ CRing)
9	7	crngringd 20273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
10	2	subrgid 20601	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑆))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑆))
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑆))
13		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Poly1‘𝑆) = (Poly1‘𝑆)
14		ressply1evl2.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
15		ressply1evl2.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
16		ressply1evl2.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
17		ressply1evl.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
18		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (PwSer1‘𝑈) = (PwSer1‘𝑈)
19		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑈)) = (Base‘(PwSer1‘𝑈))
20		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑆)) = (Base‘(Poly1‘𝑆))
21	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	ressply1bas2 22250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))))
22		inss2 4259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))) ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆))
23	21, 22	eqsstrdi 4063	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
24	2	ressid 17303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → (𝑆 ↾s 𝐾) = 𝑆)
25	7, 24	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝐾) = 𝑆)
26	25	fveq2d 6924	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾)) = (Poly1‘𝑆))
27	26	fveq2d 6924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾))) = (Base‘(Poly1‘𝑆)))
28	23, 27	sseqtrrd 4050	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾))))
29	28	sselda 4008	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝑚 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾))))
30		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
31		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑆)) = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
32		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (coe1‘𝑚) = (coe1‘𝑚)
33	3, 2, 4, 5, 6, 8, 12, 29, 30, 31, 32	evls1fpws 22394	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝐸‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝑚)‘𝑘)(.r‘𝑆)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑥))))))
34		ressply1evl2.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
35	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
36		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝑚 ∈ 𝐵)
37	34, 2, 15, 14, 16, 8, 35, 36, 30, 31, 32	evls1fpws 22394	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝑄‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝑚)‘𝑘)(.r‘𝑆)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑥))))))
38	33, 37	eqtr4d 2783	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝐸‘𝑚) = (𝑄‘𝑚))
39	38	ralrimiva 3152	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝐵 (𝐸‘𝑚) = (𝑄‘𝑚))
40		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↑s 𝐾) = (𝑆 ↑s 𝐾)
41	1, 13, 40, 2	evl1rhm 22357	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝐸 ∈ ((Poly1‘𝑆) RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
42		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)) = (Base‘(𝑆 ↑s 𝐾))
43	20, 42	rhmf 20511	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ ((Poly1‘𝑆) RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)) → 𝐸:(Base‘(Poly1‘𝑆))⟶(Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
44	7, 41, 43	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(Base‘(Poly1‘𝑆))⟶(Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
45	44	ffnd 6748	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn (Base‘(Poly1‘𝑆)))
46	34, 2, 40, 14, 15	evls1rhm 22347	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
47	7, 17, 46	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
48	16, 42	rhmf 20511	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)) → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
49	47, 48	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
50	49	ffnd 6748	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 Fn 𝐵)
51		fvreseq1 7072	. . . 4 ⊢ (((𝐸 Fn (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ 𝑄 Fn 𝐵) ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆))) → ((𝐸 ↾ 𝐵) = 𝑄 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝐵 (𝐸‘𝑚) = (𝑄‘𝑚)))
52	45, 50, 23, 51	syl21anc 837	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ↾ 𝐵) = 𝑄 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝐵 (𝐸‘𝑚) = (𝑄‘𝑚)))
53	39, 52	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ 𝐵) = 𝑄)
54	53	eqcomd 2746	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝐸 ↾ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976   ↦ cmpt 5249   ↾ cres 5702   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  ._rcmulr 17312   Σ_g cgsu 17500   ↑_s cpws 17506  ._gcmg 19107  mulGrpcmgp 20161  Ringcrg 20260  CRingccrg 20261   RingHom crh 20495  SubRingcsubrg 20595  PwSer₁cps1 22197  Poly₁cpl1 22199  coe₁cco1 22200   evalSub₁ ces1 22338  eval₁ce1 22339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-srg 20214  df-ring 20262  df-cring 20263  df-rhm 20498  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-assa 21896  df-asp 21897  df-ascl 21898  df-psr 21952  df-mvr 21953  df-mpl 21954  df-opsr 21956  df-evls 22121  df-evl 22122  df-psr1 22202  df-vr1 22203  df-ply1 22204  df-coe1 22205  df-evls1 22340  df-evl1 22341

This theorem is referenced by:  evls1addd  22396  evls1muld  22397  evls1vsca  22398  evls1fvcl  22400  evls1maprhm  22401  evls1subd  33562  irngss  33687  rtelextdg2lem  33717