Theorem ressply1evl 22715

Description: Evaluation of a univariate subring polynomial is the same as the evaluation in the bigger ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1evl2.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
ressply1evl2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
ressply1evl2.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
ressply1evl2.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
ressply1evl2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
ressply1evl.e	⊢ 𝐸 = (eval1‘𝑆)
ressply1evl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
ressply1evl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
ressply1evl	⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝐸 ↾ 𝐵))

Proof of Theorem ressply1evl

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressply1evl.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (eval1‘𝑆)
2		ressply1evl2.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
3	1, 2	evl1fval1 22676	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑆 evalSub1 𝐾)
4		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾)) = (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾))
5		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐾) = (𝑆 ↾s 𝐾)
6		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾))) = (Base‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾)))
7		ressply1evl.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
8	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ CRing)
9	7	crngringd 20500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
10	2	subrgid 20852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑆))
11	9, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑆))
12	11	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑆))
13		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Poly1‘𝑆) = (Poly1‘𝑆)
14		ressply1evl2.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
15		ressply1evl2.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
16		ressply1evl2.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
17		ressply1evl.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
18		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (PwSer1‘𝑈) = (PwSer1‘𝑈)
19		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑈)) = (Base‘(PwSer1‘𝑈))
20		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑆)) = (Base‘(Poly1‘𝑆))
21	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	ressply1bas2 22572	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))))
22		inss2 4137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))) ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆))
23	21, 22	eqsstrdi 3957	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
24	2	ressid 17448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → (𝑆 ↾s 𝐾) = 𝑆)
25	7, 24	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝐾) = 𝑆)
26	25	fveq2d 6909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾)) = (Poly1‘𝑆))
27	26	fveq2d 6909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾))) = (Base‘(Poly1‘𝑆)))
28	23, 27	sseqtrrd 3950	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾))))
29	28	sselda 3913	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝑚 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾))))
30		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
31		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑆)) = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
32		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (coe1‘𝑚) = (coe1‘𝑚)
33	3, 2, 4, 5, 6, 8, 12, 29, 30, 31, 32	evls1fpws 22714	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝐸‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝑚)‘𝑘)(.r‘𝑆)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑥))))))
34		ressply1evl2.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
35	17	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
36		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝑚 ∈ 𝐵)
37	34, 2, 15, 14, 16, 8, 35, 36, 30, 31, 32	evls1fpws 22714	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝑄‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝑚)‘𝑘)(.r‘𝑆)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑥))))))
38	33, 37	eqtr4d 2801	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝐸‘𝑚) = (𝑄‘𝑚))
39	38	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝐵 (𝐸‘𝑚) = (𝑄‘𝑚))
40		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↑s 𝐾) = (𝑆 ↑s 𝐾)
41	1, 13, 40, 2	evl1rhm 22677	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝐸 ∈ ((Poly1‘𝑆) RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
42		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)) = (Base‘(𝑆 ↑s 𝐾))
43	20, 42	rhmf 20742	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ ((Poly1‘𝑆) RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)) → 𝐸:(Base‘(Poly1‘𝑆))⟶(Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
44	7, 41, 43	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(Base‘(Poly1‘𝑆))⟶(Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
45	44	ffnd 6729	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn (Base‘(Poly1‘𝑆)))
46	34, 2, 40, 14, 15	evls1rhm 22667	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
47	7, 17, 46	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
48	16, 42	rhmf 20742	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)) → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
49	47, 48	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
50	49	ffnd 6729	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 Fn 𝐵)
51		fvreseq1 7058	. . . 4 ⊢ (((𝐸 Fn (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ 𝑄 Fn 𝐵) ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆))) → ((𝐸 ↾ 𝐵) = 𝑄 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝐵 (𝐸‘𝑚) = (𝑄‘𝑚)))
52	45, 50, 23, 51	syl21anc 851	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ↾ 𝐵) = 𝑄 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝐵 (𝐸‘𝑚) = (𝑄‘𝑚)))
53	39, 52	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ 𝐵) = 𝑄)
54	53	eqcomd 2769	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝐸 ↾ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092   ↦ cmpt 5189   ↾ cres 5657   Fn wfn 6550  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℕ₀cn0 12630  Basecbs 17413   ↾_s cress 17434  ._rcmulr 17455   Σ_g cgsu 17637   ↑_s cpws 17643  ._gcmg 19303  mulGrpcmgp 20387  Ringcrg 20486  CRingccrg 20487   RingHom crh 20726  SubRingcsubrg 20848  PwSer₁cps1 22520  Poly₁cpl1 22522  coe₁cco1 22523   evalSub₁ ces1 22658  eval₁ce1 22659

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-sup 9458  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-hash 14499  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-hom 17478  df-cco 17479  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-prds 17644  df-pws 17646  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-submnd 19005  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-mulg 19304  df-subg 19359  df-ghm 19454  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-srg 20440  df-ring 20488  df-cring 20489  df-rhm 20729  df-subrng 20825  df-subrg 20849  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-lsp 21274  df-assa 22188  df-asp 22189  df-ascl 22190  df-psr 22244  df-mvr 22245  df-mpl 22246  df-opsr 22248  df-evls 22410  df-evl 22411  df-psr1 22525  df-vr1 22526  df-ply1 22527  df-coe1 22528  df-evls1 22660  df-evl1 22661

This theorem is used by:  evls1addd  22716  evls1muld  22717  evls1vsca  22718  evls1fvcl  22720  evls1maprhm  22721  evls1subd  34171  irngss  34386  rtelextdg2lem  34425