Theorem ressply1evl 22264

Description: Evaluation of a univariate subring polynomial is the same as the evaluation in the bigger ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1evl2.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
ressply1evl2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
ressply1evl2.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
ressply1evl2.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
ressply1evl2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
ressply1evl.e	⊢ 𝐸 = (eval1‘𝑆)
ressply1evl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
ressply1evl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
ressply1evl	⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝐸 ↾ 𝐵))

Proof of Theorem ressply1evl

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressply1evl.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (eval1‘𝑆)
2		ressply1evl2.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
3	1, 2	evl1fval1 22225	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑆 evalSub1 𝐾)
4		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾)) = (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾))
5		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐾) = (𝑆 ↾s 𝐾)
6		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾))) = (Base‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾)))
7		ressply1evl.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ CRing)
9	7	crngringd 20162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
10	2	subrgid 20489	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑆))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑆))
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑆))
13		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Poly1‘𝑆) = (Poly1‘𝑆)
14		ressply1evl2.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
15		ressply1evl2.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
16		ressply1evl2.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
17		ressply1evl.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
18		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (PwSer1‘𝑈) = (PwSer1‘𝑈)
19		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑈)) = (Base‘(PwSer1‘𝑈))
20		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑆)) = (Base‘(Poly1‘𝑆))
21	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	ressply1bas2 22119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))))
22		inss2 4204	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))) ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆))
23	21, 22	eqsstrdi 3994	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
24	2	ressid 17221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → (𝑆 ↾s 𝐾) = 𝑆)
25	7, 24	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝐾) = 𝑆)
26	25	fveq2d 6865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾)) = (Poly1‘𝑆))
27	26	fveq2d 6865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾))) = (Base‘(Poly1‘𝑆)))
28	23, 27	sseqtrrd 3987	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾))))
29	28	sselda 3949	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝑚 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾))))
30		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
31		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑆)) = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
32		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (coe1‘𝑚) = (coe1‘𝑚)
33	3, 2, 4, 5, 6, 8, 12, 29, 30, 31, 32	evls1fpws 22263	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝐸‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝑚)‘𝑘)(.r‘𝑆)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑥))))))
34		ressply1evl2.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
35	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
36		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝑚 ∈ 𝐵)
37	34, 2, 15, 14, 16, 8, 35, 36, 30, 31, 32	evls1fpws 22263	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝑄‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝑚)‘𝑘)(.r‘𝑆)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑥))))))
38	33, 37	eqtr4d 2768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝐸‘𝑚) = (𝑄‘𝑚))
39	38	ralrimiva 3126	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝐵 (𝐸‘𝑚) = (𝑄‘𝑚))
40		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↑s 𝐾) = (𝑆 ↑s 𝐾)
41	1, 13, 40, 2	evl1rhm 22226	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝐸 ∈ ((Poly1‘𝑆) RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
42		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)) = (Base‘(𝑆 ↑s 𝐾))
43	20, 42	rhmf 20401	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ ((Poly1‘𝑆) RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)) → 𝐸:(Base‘(Poly1‘𝑆))⟶(Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
44	7, 41, 43	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(Base‘(Poly1‘𝑆))⟶(Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
45	44	ffnd 6692	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn (Base‘(Poly1‘𝑆)))
46	34, 2, 40, 14, 15	evls1rhm 22216	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
47	7, 17, 46	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
48	16, 42	rhmf 20401	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)) → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
49	47, 48	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
50	49	ffnd 6692	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 Fn 𝐵)
51		fvreseq1 7014	. . . 4 ⊢ (((𝐸 Fn (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ 𝑄 Fn 𝐵) ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆))) → ((𝐸 ↾ 𝐵) = 𝑄 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝐵 (𝐸‘𝑚) = (𝑄‘𝑚)))
52	45, 50, 23, 51	syl21anc 837	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ↾ 𝐵) = 𝑄 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝐵 (𝐸‘𝑚) = (𝑄‘𝑚)))
53	39, 52	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ 𝐵) = 𝑄)
54	53	eqcomd 2736	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝐸 ↾ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917   ↦ cmpt 5191   ↾ cres 5643   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℕ₀cn0 12449  Basecbs 17186   ↾_s cress 17207  ._rcmulr 17228   Σ_g cgsu 17410   ↑_s cpws 17416  ._gcmg 19006  mulGrpcmgp 20056  Ringcrg 20149  CRingccrg 20150   RingHom crh 20385  SubRingcsubrg 20485  PwSer₁cps1 22066  Poly₁cpl1 22068  coe₁cco1 22069   evalSub₁ ces1 22207  eval₁ce1 22208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-srg 20103  df-ring 20151  df-cring 20152  df-rhm 20388  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-assa 21769  df-asp 21770  df-ascl 21771  df-psr 21825  df-mvr 21826  df-mpl 21827  df-opsr 21829  df-evls 21988  df-evl 21989  df-psr1 22071  df-vr1 22072  df-ply1 22073  df-coe1 22074  df-evls1 22209  df-evl1 22210

This theorem is referenced by:  evls1addd  22265  evls1muld  22266  evls1vsca  22267  evls1fvcl  22269  evls1maprhm  22270  evls1subd  33548  irngss  33689  rtelextdg2lem  33723