Theorem ressply1evl 22308

Description: Evaluation of a univariate subring polynomial is the same as the evaluation in the bigger ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1evl2.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
ressply1evl2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
ressply1evl2.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
ressply1evl2.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
ressply1evl2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
ressply1evl.e	⊢ 𝐸 = (eval1‘𝑆)
ressply1evl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
ressply1evl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
ressply1evl	⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝐸 ↾ 𝐵))

Proof of Theorem ressply1evl

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressply1evl.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (eval1‘𝑆)
2		ressply1evl2.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
3	1, 2	evl1fval1 22269	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑆 evalSub1 𝐾)
4		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾)) = (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾))
5		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐾) = (𝑆 ↾s 𝐾)
6		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾))) = (Base‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾)))
7		ressply1evl.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ CRing)
9	7	crngringd 20206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
10	2	subrgid 20533	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑆))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑆))
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑆))
13		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Poly1‘𝑆) = (Poly1‘𝑆)
14		ressply1evl2.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
15		ressply1evl2.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
16		ressply1evl2.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
17		ressply1evl.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
18		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (PwSer1‘𝑈) = (PwSer1‘𝑈)
19		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑈)) = (Base‘(PwSer1‘𝑈))
20		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑆)) = (Base‘(Poly1‘𝑆))
21	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	ressply1bas2 22163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))))
22		inss2 4213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))) ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆))
23	21, 22	eqsstrdi 4003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
24	2	ressid 17265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → (𝑆 ↾s 𝐾) = 𝑆)
25	7, 24	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝐾) = 𝑆)
26	25	fveq2d 6880	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾)) = (Poly1‘𝑆))
27	26	fveq2d 6880	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾))) = (Base‘(Poly1‘𝑆)))
28	23, 27	sseqtrrd 3996	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾))))
29	28	sselda 3958	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝑚 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾))))
30		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
31		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑆)) = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
32		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (coe1‘𝑚) = (coe1‘𝑚)
33	3, 2, 4, 5, 6, 8, 12, 29, 30, 31, 32	evls1fpws 22307	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝐸‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝑚)‘𝑘)(.r‘𝑆)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑥))))))
34		ressply1evl2.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
35	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
36		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝑚 ∈ 𝐵)
37	34, 2, 15, 14, 16, 8, 35, 36, 30, 31, 32	evls1fpws 22307	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝑄‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝑚)‘𝑘)(.r‘𝑆)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑥))))))
38	33, 37	eqtr4d 2773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝐸‘𝑚) = (𝑄‘𝑚))
39	38	ralrimiva 3132	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝐵 (𝐸‘𝑚) = (𝑄‘𝑚))
40		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↑s 𝐾) = (𝑆 ↑s 𝐾)
41	1, 13, 40, 2	evl1rhm 22270	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝐸 ∈ ((Poly1‘𝑆) RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
42		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)) = (Base‘(𝑆 ↑s 𝐾))
43	20, 42	rhmf 20445	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ ((Poly1‘𝑆) RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)) → 𝐸:(Base‘(Poly1‘𝑆))⟶(Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
44	7, 41, 43	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(Base‘(Poly1‘𝑆))⟶(Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
45	44	ffnd 6707	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn (Base‘(Poly1‘𝑆)))
46	34, 2, 40, 14, 15	evls1rhm 22260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
47	7, 17, 46	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
48	16, 42	rhmf 20445	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)) → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
49	47, 48	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
50	49	ffnd 6707	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 Fn 𝐵)
51		fvreseq1 7029	. . . 4 ⊢ (((𝐸 Fn (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ 𝑄 Fn 𝐵) ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆))) → ((𝐸 ↾ 𝐵) = 𝑄 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝐵 (𝐸‘𝑚) = (𝑄‘𝑚)))
52	45, 50, 23, 51	syl21anc 837	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ↾ 𝐵) = 𝑄 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝐵 (𝐸‘𝑚) = (𝑄‘𝑚)))
53	39, 52	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ 𝐵) = 𝑄)
54	53	eqcomd 2741	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝐸 ↾ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926   ↦ cmpt 5201   ↾ cres 5656   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℕ₀cn0 12501  Basecbs 17228   ↾_s cress 17251  ._rcmulr 17272   Σ_g cgsu 17454   ↑_s cpws 17460  ._gcmg 19050  mulGrpcmgp 20100  Ringcrg 20193  CRingccrg 20194   RingHom crh 20429  SubRingcsubrg 20529  PwSer₁cps1 22110  Poly₁cpl1 22112  coe₁cco1 22113   evalSub₁ ces1 22251  eval₁ce1 22252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-ofr 7672  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-sup 9454  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-hash 14349  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-hom 17295  df-cco 17296  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-prds 17461  df-pws 17463  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-mulg 19051  df-subg 19106  df-ghm 19196  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-srg 20147  df-ring 20195  df-cring 20196  df-rhm 20432  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-assa 21813  df-asp 21814  df-ascl 21815  df-psr 21869  df-mvr 21870  df-mpl 21871  df-opsr 21873  df-evls 22032  df-evl 22033  df-psr1 22115  df-vr1 22116  df-ply1 22117  df-coe1 22118  df-evls1 22253  df-evl1 22254

This theorem is referenced by:  evls1addd  22309  evls1muld  22310  evls1vsca  22311  evls1fvcl  22313  evls1maprhm  22314  evls1subd  33585  irngss  33728  rtelextdg2lem  33760