Theorem ressply1evl 22293

Description: Evaluation of a univariate subring polynomial is the same as the evaluation in the bigger ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1evl2.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
ressply1evl2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
ressply1evl2.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
ressply1evl2.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
ressply1evl2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
ressply1evl.e	⊢ 𝐸 = (eval1‘𝑆)
ressply1evl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
ressply1evl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
ressply1evl	⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝐸 ↾ 𝐵))

Proof of Theorem ressply1evl

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressply1evl.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (eval1‘𝑆)
2		ressply1evl2.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
3	1, 2	evl1fval1 22254	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑆 evalSub1 𝐾)
4		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾)) = (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾))
5		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐾) = (𝑆 ↾s 𝐾)
6		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾))) = (Base‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾)))
7		ressply1evl.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ CRing)
9	7	crngringd 20191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
10	2	subrgid 20518	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑆))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑆))
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑆))
13		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Poly1‘𝑆) = (Poly1‘𝑆)
14		ressply1evl2.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
15		ressply1evl2.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
16		ressply1evl2.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
17		ressply1evl.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
18		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (PwSer1‘𝑈) = (PwSer1‘𝑈)
19		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑈)) = (Base‘(PwSer1‘𝑈))
20		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑆)) = (Base‘(Poly1‘𝑆))
21	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	ressply1bas2 22148	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))))
22		inss2 4211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))) ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆))
23	21, 22	eqsstrdi 4001	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
24	2	ressid 17250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → (𝑆 ↾s 𝐾) = 𝑆)
25	7, 24	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝐾) = 𝑆)
26	25	fveq2d 6876	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾)) = (Poly1‘𝑆))
27	26	fveq2d 6876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾))) = (Base‘(Poly1‘𝑆)))
28	23, 27	sseqtrrd 3994	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾))))
29	28	sselda 3956	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝑚 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐾))))
30		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
31		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑆)) = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
32		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (coe1‘𝑚) = (coe1‘𝑚)
33	3, 2, 4, 5, 6, 8, 12, 29, 30, 31, 32	evls1fpws 22292	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝐸‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝑚)‘𝑘)(.r‘𝑆)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑥))))))
34		ressply1evl2.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
35	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
36		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝑚 ∈ 𝐵)
37	34, 2, 15, 14, 16, 8, 35, 36, 30, 31, 32	evls1fpws 22292	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝑄‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝑚)‘𝑘)(.r‘𝑆)(𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑥))))))
38	33, 37	eqtr4d 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝐸‘𝑚) = (𝑄‘𝑚))
39	38	ralrimiva 3130	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝐵 (𝐸‘𝑚) = (𝑄‘𝑚))
40		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↑s 𝐾) = (𝑆 ↑s 𝐾)
41	1, 13, 40, 2	evl1rhm 22255	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝐸 ∈ ((Poly1‘𝑆) RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
42		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)) = (Base‘(𝑆 ↑s 𝐾))
43	20, 42	rhmf 20430	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ ((Poly1‘𝑆) RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)) → 𝐸:(Base‘(Poly1‘𝑆))⟶(Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
44	7, 41, 43	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(Base‘(Poly1‘𝑆))⟶(Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
45	44	ffnd 6703	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn (Base‘(Poly1‘𝑆)))
46	34, 2, 40, 14, 15	evls1rhm 22245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
47	7, 17, 46	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
48	16, 42	rhmf 20430	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)) → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
49	47, 48	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
50	49	ffnd 6703	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 Fn 𝐵)
51		fvreseq1 7025	. . . 4 ⊢ (((𝐸 Fn (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ 𝑄 Fn 𝐵) ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆))) → ((𝐸 ↾ 𝐵) = 𝑄 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝐵 (𝐸‘𝑚) = (𝑄‘𝑚)))
52	45, 50, 23, 51	syl21anc 837	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ↾ 𝐵) = 𝑄 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝐵 (𝐸‘𝑚) = (𝑄‘𝑚)))
53	39, 52	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ 𝐵) = 𝑄)
54	53	eqcomd 2740	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝐸 ↾ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050   ∩ cin 3923   ⊆ wss 3924   ↦ cmpt 5198   ↾ cres 5653   Fn wfn 6522  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7399  ℕ₀cn0 12493  Basecbs 17213   ↾_s cress 17236  ._rcmulr 17257   Σ_g cgsu 17439   ↑_s cpws 17445  ._gcmg 19035  mulGrpcmgp 20085  Ringcrg 20178  CRingccrg 20179   RingHom crh 20414  SubRingcsubrg 20514  PwSer₁cps1 22095  Poly₁cpl1 22097  coe₁cco1 22098   evalSub₁ ces1 22236  eval₁ce1 22237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4881  df-int 4920  df-iun 4966  df-iin 4967  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-of 7665  df-ofr 7666  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8154  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8474  df-2o 8475  df-er 8713  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9368  df-sup 9448  df-oi 9516  df-card 9945  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-4 12297  df-5 12298  df-6 12299  df-7 12300  df-8 12301  df-9 12302  df-n0 12494  df-z 12581  df-dec 12701  df-uz 12845  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-seq 14009  df-hash 14337  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17214  df-ress 17237  df-plusg 17269  df-mulr 17270  df-sca 17272  df-vsca 17273  df-ip 17274  df-tset 17275  df-ple 17276  df-ds 17278  df-hom 17280  df-cco 17281  df-0g 17440  df-gsum 17441  df-prds 17446  df-pws 17448  df-mre 17583  df-mrc 17584  df-acs 17586  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-sbg 18906  df-mulg 19036  df-subg 19091  df-ghm 19181  df-cntz 19285  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20086  df-rng 20098  df-ur 20127  df-srg 20132  df-ring 20180  df-cring 20181  df-rhm 20417  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-lsp 20914  df-assa 21798  df-asp 21799  df-ascl 21800  df-psr 21854  df-mvr 21855  df-mpl 21856  df-opsr 21858  df-evls 22017  df-evl 22018  df-psr1 22100  df-vr1 22101  df-ply1 22102  df-coe1 22103  df-evls1 22238  df-evl1 22239

This theorem is referenced by:  evls1addd  22294  evls1muld  22295  evls1vsca  22296  evls1fvcl  22298  evls1maprhm  22299  evls1subd  33502  irngss  33644  rtelextdg2lem  33676