Theorem recvs 25086

Description: The field of the real numbers as left module over itself is a subcomplex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by AV, 22-Oct-2021.) (Proof shortened by SN, 23-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
recvs.r	⊢ 𝑅 = (ringLMod‘ℝfld)

Assertion

Ref	Expression
recvs	⊢ 𝑅 ∈ ℂVec

Proof of Theorem recvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		refld 21551	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ Field
2		isfld 20635	. . . . . . 7 ⊢ (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
3	2	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ CRing)
4	3	crngringd 20186	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ Ring)
5		rlmlmod 21096	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ Ring → (ringLMod‘ℝfld) ∈ LMod)
6	1, 4, 5	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) ∈ LMod
7		rlmsca 21091	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ Field → ℝfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)))
8	1, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld))
9		df-refld 21537	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
10	8, 9	eqtr3i 2758	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)) = (ℂfld ↾s ℝ)
11		resubdrg 21540	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
12	11	simpli 483	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
13		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)) = (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld))
14	13	isclmi 25017	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘ℝfld) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)) = (ℂfld ↾s ℝ) ∧ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ringLMod‘ℝfld) ∈ ℂMod)
15	6, 10, 12, 14	mp3an 1458	. . 3 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) ∈ ℂMod
16	11	simpri 485	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ DivRing
17		rlmlvec 21097	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing → (ringLMod‘ℝfld) ∈ LVec)
18	16, 17	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) ∈ LVec
19	15, 18	elini 4193	. 2 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) ∈ (ℂMod ∩ LVec)
20		recvs.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (ringLMod‘ℝfld)
21		df-cvs 25064	. 2 ⊢ ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
22	19, 20, 21	3eltr4i 2842	1 ⊢ 𝑅 ∈ ℂVec

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3946  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℝcr 11138   ↾_s cress 17209  Scalarcsca 17236  Ringcrg 20173  CRingccrg 20174  SubRingcsubrg 20506  DivRingcdr 20624  Fieldcfield 20625  LModclmod 20743  LVecclvec 20987  ringLModcrglmod 21057  ℂ_fldccnfld 21279  ℝ_fldcrefld 21536  ℂModcclm 25002  ℂVecccvs 25063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-addf 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-subg 19078  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-unit 20297  df-invr 20327  df-dvr 20340  df-subrng 20483  df-subrg 20508  df-drng 20626  df-field 20627  df-lmod 20745  df-lvec 20988  df-sra 21058  df-rgmod 21059  df-cnfld 21280  df-refld 21537  df-clm 25003  df-cvs 25064

This theorem is referenced by: (None)