Theorem recvs 25052

Description: The field of the real numbers as left module over itself is a subcomplex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by AV, 22-Oct-2021.) (Proof shortened by SN, 23-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
recvs.r	⊢ 𝑅 = (ringLMod‘ℝfld)

Assertion

Ref	Expression
recvs	⊢ 𝑅 ∈ ℂVec

Proof of Theorem recvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		refld 21534	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ Field
2		isfld 20655	. . . . . . 7 ⊢ (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
3	2	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ CRing)
4	3	crngringd 20161	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ Ring)
5		rlmlmod 21116	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ Ring → (ringLMod‘ℝfld) ∈ LMod)
6	1, 4, 5	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) ∈ LMod
7		rlmsca 21111	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ Field → ℝfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)))
8	1, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld))
9		df-refld 21520	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
10	8, 9	eqtr3i 2755	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)) = (ℂfld ↾s ℝ)
11		resubdrg 21523	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
12	11	simpli 483	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
13		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)) = (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld))
14	13	isclmi 24983	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘ℝfld) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)) = (ℂfld ↾s ℝ) ∧ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ringLMod‘ℝfld) ∈ ℂMod)
15	6, 10, 12, 14	mp3an 1463	. . 3 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) ∈ ℂMod
16	11	simpri 485	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ DivRing
17		rlmlvec 21117	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing → (ringLMod‘ℝfld) ∈ LVec)
18	16, 17	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) ∈ LVec
19	15, 18	elini 4164	. 2 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) ∈ (ℂMod ∩ LVec)
20		recvs.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (ringLMod‘ℝfld)
21		df-cvs 25030	. 2 ⊢ ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
22	19, 20, 21	3eltr4i 2842	1 ⊢ 𝑅 ∈ ℂVec

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3915  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  ℝcr 11073   ↾_s cress 17206  Scalarcsca 17229  Ringcrg 20148  CRingccrg 20149  SubRingcsubrg 20484  DivRingcdr 20644  Fieldcfield 20645  LModclmod 20772  LVecclvec 21015  ringLModcrglmod 21085  ℂ_fldccnfld 21270  ℝ_fldcrefld 21519  ℂModcclm 24968  ℂVecccvs 25029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-addf 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-fz 13475  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-0g 17410  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-subg 19061  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-rng 20068  df-ur 20097  df-ring 20150  df-cring 20151  df-oppr 20252  df-dvdsr 20272  df-unit 20273  df-invr 20303  df-dvr 20316  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-drng 20646  df-field 20647  df-lmod 20774  df-lvec 21016  df-sra 21086  df-rgmod 21087  df-cnfld 21271  df-refld 21520  df-clm 24969  df-cvs 25030

This theorem is referenced by: (None)