Theorem recvs 23314

Description: The field of the real numbers as left module over itself is a subcomplex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by AV, 22-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
recvs.r	⊢ 𝑅 = (ringLMod‘ℝfld)

Assertion

Ref	Expression
recvs	⊢ 𝑅 ∈ ℂVec

Proof of Theorem recvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		refld 20325	. . . . . 6 ⊢ ℝfld ∈ Field
2		fldidom 19665	. . . . . . 7 ⊢ (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ IDomn)
3		isidom 19664	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝfld ∈ IDomn ↔ (ℝfld ∈ CRing ∧ ℝfld ∈ Domn))
4		crngring 18911	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝfld ∈ CRing → ℝfld ∈ Ring)
5	4	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝfld ∈ CRing ∧ ℝfld ∈ Domn) → ℝfld ∈ Ring)
6	3, 5	sylbi 209	. . . . . . 7 ⊢ (ℝfld ∈ IDomn → ℝfld ∈ Ring)
7	2, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ Ring)
8	1, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ Ring
9		rlmlmod 19565	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ Ring → (ringLMod‘ℝfld) ∈ LMod)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) ∈ LMod
11		rlmsca 19560	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ Field → ℝfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)))
12	1, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld))
13		df-refld 20311	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
14	12, 13	eqtr3i 2850	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)) = (ℂfld ↾s ℝ)
15		resubdrg 20314	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
16	15	simpli 478	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
17		eqid 2824	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)) = (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld))
18	17	isclmi 23245	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘ℝfld) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)) = (ℂfld ↾s ℝ) ∧ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ringLMod‘ℝfld) ∈ ℂMod)
19	10, 14, 16, 18	mp3an 1591	. . 3 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) ∈ ℂMod
20	15	simpri 481	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ DivRing
21		rlmlvec 19566	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing → (ringLMod‘ℝfld) ∈ LVec)
22	20, 21	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) ∈ LVec
23	19, 22	elini 4023	. 2 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) ∈ (ℂMod ∩ LVec)
24		recvs.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (ringLMod‘ℝfld)
25		df-cvs 23292	. 2 ⊢ ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
26	23, 24, 25	3eltr4i 2918	1 ⊢ 𝑅 ∈ ℂVec

Syntax hints:   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ∩ cin 3796  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904  ℝcr 10250   ↾_s cress 16222  Scalarcsca 16307  Ringcrg 18900  CRingccrg 18901  DivRingcdr 19102  Fieldcfield 19103  SubRingcsubrg 19131  LModclmod 19218  LVecclvec 19460  ringLModcrglmod 19529  Domncdomn 19640  IDomncidom 19641  ℂ_fldccnfld 20105  ℝ_fldcrefld 20310  ℂModcclm 23230  ℂVecccvs 23291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-addf 10330  ax-mulf 10331

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-tpos 7616  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-oadd 7829  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-7 11418  df-8 11419  df-9 11420  df-n0 11618  df-z 11704  df-dec 11821  df-uz 11968  df-fz 12619  df-struct 16223  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-mulr 16318  df-starv 16319  df-sca 16320  df-vsca 16321  df-ip 16322  df-tset 16323  df-ple 16324  df-ds 16326  df-unif 16327  df-0g 16454  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-grp 17778  df-minusg 17779  df-subg 17941  df-cmn 18547  df-mgp 18843  df-ur 18855  df-ring 18902  df-cring 18903  df-oppr 18976  df-dvdsr 18994  df-unit 18995  df-invr 19025  df-dvr 19036  df-drng 19104  df-field 19105  df-subrg 19133  df-lmod 19220  df-lvec 19461  df-sra 19532  df-rgmod 19533  df-nzr 19618  df-rlreg 19643  df-domn 19644  df-idom 19645  df-cnfld 20106  df-refld 20311  df-clm 23231  df-cvs 23292

This theorem is referenced by: (None)