Theorem recvs 25522

Description: The field of the real numbers as left module over itself is a subcomplex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by AV, 22-Oct-2021.) (Proof shortened by SN, 23-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
recvs.r	⊢ 𝑅 = (ringLMod‘ℝfld)

Assertion

Ref	Expression
recvs	⊢ 𝑅 ∈ ℂVec

Proof of Theorem recvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		refld 21980	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ Field
2		isfld 21044	. . . . . . 7 ⊢ (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
3	2	simprbi 503	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ CRing)
4	3	crngringd 20524	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ Ring)
5		rlmlmod 21529	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ Ring → (ringLMod‘ℝfld) ∈ LMod)
6	1, 4, 5	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) ∈ LMod
7		rlmsca 21524	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ Field → ℝfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)))
8	1, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld))
9		df-refld 21966	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
10	8, 9	eqtr3i 2788	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)) = (ℂfld ↾s ℝ)
11		resubdrg 21969	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
12	11	simpli 489	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
13		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)) = (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld))
14	13	isclmi 25453	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘ℝfld) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)) = (ℂfld ↾s ℝ) ∧ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ringLMod‘ℝfld) ∈ ℂMod)
15	6, 10, 12, 14	mp3an 1491	. . 3 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) ∈ ℂMod
16	11	simpri 491	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ DivRing
17		rlmlvec 21530	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing → (ringLMod‘ℝfld) ∈ LVec)
18	16, 17	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) ∈ LVec
19	15, 18	elini 4099	. 2 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) ∈ (ℂMod ∩ LVec)
20		recvs.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (ringLMod‘ℝfld)
21		df-cvs 25500	. 2 ⊢ ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
22	19, 20, 21	3eltr4i 2877	1 ⊢ 𝑅 ∈ ℂVec

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∩ cin 4092  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℝcr 11238   ↾_s cress 17452  Scalarcsca 17475  Ringcrg 20510  CRingccrg 20511  SubRingcsubrg 20872  DivRingcdr 21031  Fieldcfield 21032  LModclmod 21186  LVecclvec 21428  ringLModcrglmod 21498  ℂ_fldccnfld 21729  ℝ_fldcrefld 21965  ℂModcclm 25438  ℂVecccvs 25499

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-addf 11318

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-euf 17499  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-subg 19383  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-cring 20513  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-dvr 20682  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-drng 21033  df-field 21034  df-lmod 21188  df-lvec 21429  df-sra 21499  df-rgmod 21500  df-cnfld 21730  df-refld 21966  df-clm 25439  df-cvs 25500

This theorem is used by: (None)