Theorem recvs 24309

Description: The field of the real numbers as left module over itself is a subcomplex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by AV, 22-Oct-2021.) (Proof shortened by SN, 23-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
recvs.r	⊢ 𝑅 = (ringLMod‘ℝfld)

Assertion

Ref	Expression
recvs	⊢ 𝑅 ∈ ℂVec

Proof of Theorem recvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		refld 20824	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ Field
2		isfld 20000	. . . . . . 7 ⊢ (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
3	2	simprbi 497	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ CRing)
4	3	crngringd 19796	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ Ring)
5		rlmlmod 20475	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ Ring → (ringLMod‘ℝfld) ∈ LMod)
6	1, 4, 5	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) ∈ LMod
7		rlmsca 20470	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ Field → ℝfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)))
8	1, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld))
9		df-refld 20810	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
10	8, 9	eqtr3i 2768	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)) = (ℂfld ↾s ℝ)
11		resubdrg 20813	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
12	11	simpli 484	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
13		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)) = (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld))
14	13	isclmi 24240	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘ℝfld) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)) = (ℂfld ↾s ℝ) ∧ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ringLMod‘ℝfld) ∈ ℂMod)
15	6, 10, 12, 14	mp3an 1460	. . 3 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) ∈ ℂMod
16	11	simpri 486	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ DivRing
17		rlmlvec 20476	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing → (ringLMod‘ℝfld) ∈ LVec)
18	16, 17	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) ∈ LVec
19	15, 18	elini 4127	. 2 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) ∈ (ℂMod ∩ LVec)
20		recvs.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (ringLMod‘ℝfld)
21		df-cvs 24287	. 2 ⊢ ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
22	19, 20, 21	3eltr4i 2852	1 ⊢ 𝑅 ∈ ℂVec

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3886  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870   ↾_s cress 16941  Scalarcsca 16965  Ringcrg 19783  CRingccrg 19784  DivRingcdr 19991  Fieldcfield 19992  SubRingcsubrg 20020  LModclmod 20123  LVecclvec 20364  ringLModcrglmod 20431  ℂ_fldccnfld 20597  ℝ_fldcrefld 20809  ℂModcclm 24225  ℂVecccvs 24286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-subg 18752  df-cmn 19388  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-drng 19993  df-field 19994  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lvec 20365  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-cnfld 20598  df-refld 20810  df-clm 24226  df-cvs 24287

This theorem is referenced by: (None)