MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recvs 23753
Description: The field of the real numbers as left module over itself is a subcomplex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by AV, 22-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
recvs.r 𝑅 = (ringLMod‘ℝfld)
Assertion
Ref Expression
recvs 𝑅 ∈ ℂVec

Proof of Theorem recvs
StepHypRef Expression
1 refld 20766 . . . . . 6 fld ∈ Field
2 fldidom 20081 . . . . . . 7 (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ IDomn)
3 isidom 20080 . . . . . . . 8 (ℝfld ∈ IDomn ↔ (ℝfld ∈ CRing ∧ ℝfld ∈ Domn))
4 crngring 19311 . . . . . . . . 9 (ℝfld ∈ CRing → ℝfld ∈ Ring)
54adantr 483 . . . . . . . 8 ((ℝfld ∈ CRing ∧ ℝfld ∈ Domn) → ℝfld ∈ Ring)
63, 5sylbi 219 . . . . . . 7 (ℝfld ∈ IDomn → ℝfld ∈ Ring)
72, 6syl 17 . . . . . 6 (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ Ring)
81, 7ax-mp 5 . . . . 5 fld ∈ Ring
9 rlmlmod 19980 . . . . 5 (ℝfld ∈ Ring → (ringLMod‘ℝfld) ∈ LMod)
108, 9ax-mp 5 . . . 4 (ringLMod‘ℝfld) ∈ LMod
11 rlmsca 19975 . . . . . 6 (ℝfld ∈ Field → ℝfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)))
121, 11ax-mp 5 . . . . 5 fld = (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld))
13 df-refld 20752 . . . . 5 fld = (ℂflds ℝ)
1412, 13eqtr3i 2849 . . . 4 (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)) = (ℂflds ℝ)
15 resubdrg 20755 . . . . 5 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
1615simpli 486 . . . 4 ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
17 eqid 2824 . . . . 5 (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)) = (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld))
1817isclmi 23684 . . . 4 (((ringLMod‘ℝfld) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘ℝfld)) = (ℂflds ℝ) ∧ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ringLMod‘ℝfld) ∈ ℂMod)
1910, 14, 16, 18mp3an 1457 . . 3 (ringLMod‘ℝfld) ∈ ℂMod
2015simpri 488 . . . 4 fld ∈ DivRing
21 rlmlvec 19981 . . . 4 (ℝfld ∈ DivRing → (ringLMod‘ℝfld) ∈ LVec)
2220, 21ax-mp 5 . . 3 (ringLMod‘ℝfld) ∈ LVec
2319, 22elini 4173 . 2 (ringLMod‘ℝfld) ∈ (ℂMod ∩ LVec)
24 recvs.r . 2 𝑅 = (ringLMod‘ℝfld)
25 df-cvs 23731 . 2 ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
2623, 24, 253eltr4i 2929 1 𝑅 ∈ ℂVec
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 398   = wceq 1536  wcel 2113  cin 3938  cfv 6358  (class class class)co 7159  cr 10539  s cress 16487  Scalarcsca 16571  Ringcrg 19300  CRingccrg 19301  DivRingcdr 19505  Fieldcfield 19506  SubRingcsubrg 19534  LModclmod 19637  LVecclvec 19877  ringLModcrglmod 19944  Domncdomn 20056  IDomncidom 20057  fldccnfld 20548  fldcrefld 20751  ℂModcclm 23669  ℂVecccvs 23730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-addf 10619  ax-mulf 10620
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-tpos 7895  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-0g 16718  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-subg 18279  df-cmn 18911  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-cring 19303  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-dvr 19436  df-drng 19507  df-field 19508  df-subrg 19536  df-lmod 19639  df-lvec 19878  df-sra 19947  df-rgmod 19948  df-nzr 20034  df-rlreg 20059  df-domn 20060  df-idom 20061  df-cnfld 20549  df-refld 20752  df-clm 23670  df-cvs 23731
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator