Theorem evlsval3 39770

Description: Give a formula for the polynomial evaluation homomorphism. (Contributed by SN, 26-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsval3.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsval3.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsval3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsval3.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlsval3.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsval3.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsval3.t	⊢ 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsval3.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑇)
evlsval3.w	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
evlsval3.x	⊢ · = (.r‘𝑇)
evlsval3.e	⊢ 𝐸 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
evlsval3.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
evlsval3.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))
evlsval3.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsval3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsval3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
evlsval3	⊢ (𝜑 → 𝑄 = 𝐸)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑎,𝑥   𝜑,𝑏,𝑝   𝑃,𝑏,𝑝   𝐵,𝑏,𝑝   𝐷,𝑏,𝑝   𝐾,𝑎,𝑥   𝑈,𝑏,ℎ,𝑝   𝑇,𝑏,𝑝   𝑥,𝑇   𝑀,𝑏,𝑝   ↑ ,𝑏,𝑝   · ,𝑏,𝑝   𝐹,𝑏,𝑝   𝐺,𝑏,𝑝   𝐼,𝑎,𝑥   𝐼,𝑏,ℎ,𝑝   𝑆,𝑎,𝑥   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(𝑥,ℎ,𝑎)   𝐷(𝑥,ℎ,𝑎)   𝑃(𝑥,ℎ,𝑎)   𝑄(𝑥,ℎ,𝑝,𝑎,𝑏)   𝑅(ℎ,𝑝,𝑎,𝑏)   𝑆(ℎ,𝑝,𝑏)   𝑇(ℎ,𝑎)   · (𝑥,ℎ,𝑎)   𝑈(𝑥,𝑎)   𝐸(𝑥,ℎ,𝑝,𝑎,𝑏)   ↑ (𝑥,ℎ,𝑎)   𝐹(𝑥,ℎ,𝑎)   𝐺(𝑥,ℎ,𝑎)   𝐾(ℎ,𝑝,𝑏)   𝑀(𝑥,ℎ,𝑎)   𝑉(𝑥,ℎ,𝑝,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem evlsval3

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsval3.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		evlsval3.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
3		evlsval3.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4		evlsval3.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
5		evlsval3.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
6		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (𝐼 mVar 𝑈) = (𝐼 mVar 𝑈)
7		evlsval3.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
8		evlsval3.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
9		evlsval3.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
10		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
11		evlsval3.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
12		evlsval3.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))
13	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	evlsval 20842	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 = (℩𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)))
14	1, 2, 3, 13	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (℩𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)))
15		evlsval3.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
16		eqid 2759	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
17		evlsval3.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
18		evlsval3.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑇)
19		evlsval3.w	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
20		evlsval3.x	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑇)
21		evlsval3.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
22	7	subrgcrng 19600	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑈 ∈ CRing)
23	2, 3, 22	syl2anc 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CRing)
24		ovexd 7186	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
25	8	pwscrng 19431	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V) → 𝑇 ∈ CRing)
26	2, 24, 25	syl2anc 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CRing)
27	9	subrgss 19597	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
28	3, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐾)
29	28	resmptd 5881	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ↾ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})))
30	11, 29	eqtr4id 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ↾ 𝑅))
31	2	crngringd 19371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
32		eqid 2759	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
33	8, 9, 32	pwsdiagrhm 19630	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ∈ (𝑆 RingHom 𝑇))
34	31, 24, 33	syl2anc 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ∈ (𝑆 RingHom 𝑇))
35	7	resrhm 19625	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ↾ 𝑅) ∈ (𝑈 RingHom 𝑇))
36	34, 3, 35	syl2anc 588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ↾ 𝑅) ∈ (𝑈 RingHom 𝑇))
37	30, 36	eqeltrd 2853	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑈 RingHom 𝑇))
38	9	fvexi 6673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 ∈ V
39		elmapg 8430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↔ 𝑎:𝐼⟶𝐾))
40	38, 1, 39	sylancr 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↔ 𝑎:𝐼⟶𝐾))
41	40	biimpa 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑎:𝐼⟶𝐾)
42	41	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑎:𝐼⟶𝐾)
43		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑥 ∈ 𝐼)
44	42, 43	ffvelrnd 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (𝑎‘𝑥) ∈ 𝐾)
45	44	fmpttd 6871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
46		ovexd 7186	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
47	8, 9, 16	pwselbasb 16812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V) → ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑇) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾))
48	2, 46, 47	syl2an2r 685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑇) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾))
49	45, 48	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑇))
50	49, 12	fmptd 6870	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑇))
51	5, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 6, 21, 1, 23, 26, 37, 50, 10	evlslem1 20838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇) ∧ (𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺))
52	51	simp2d 1141	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹)
53	51	simp3d 1142	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)
54	51	simp1d 1140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇))
55	5, 16, 10, 6, 1, 23, 26, 37, 50	evlseu 20839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺))
56		coeq1 5698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐸 → (𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = (𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)))
57	56	eqeq1d 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐸 → ((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ↔ (𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹))
58		coeq1 5698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐸 → (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)))
59	58	eqeq1d 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐸 → ((𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺 ↔ (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺))
60	57, 59	anbi12d 634	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐸 → (((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺) ↔ ((𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)))
61	60	riota2 7134	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇) ∧ ∃!𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)) → (((𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺) ↔ (℩𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)) = 𝐸))
62	54, 55, 61	syl2anc 588	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺) ↔ (℩𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)) = 𝐸))
63	52, 53, 62	mpbi2and 712	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)) = 𝐸)
64	14, 63	eqtrd 2794	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∃!wreu 3073  {crab 3075  Vcvv 3410   ⊆ wss 3859  {csn 4523   ↦ cmpt 5113   × cxp 5523  ^◡ccnv 5524   ↾ cres 5527   “ cima 5528   ∘ ccom 5529  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  ℩crio 7108  (class class class)co 7151   ∘_f cof 7404   ↑_m cmap 8417  Fincfn 8528  ℕcn 11667  ℕ₀cn0 11927  Basecbs 16534   ↾_s cress 16535  ._rcmulr 16617   Σ_g cgsu 16765   ↑_s cpws 16771  ._gcmg 18284  mulGrpcmgp 19300  Ringcrg 19358  CRingccrg 19359   RingHom crh 19528  SubRingcsubrg 19592  algSccascl 20610   mVar cmvr 20660   mPoly cmpl 20661   evalSub ces 20826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7406  df-ofr 7407  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-supp 7837  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-2o 8114  df-oadd 8117  df-er 8300  df-map 8419  df-pm 8420  df-ixp 8481  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-fsupp 8860  df-sup 8932  df-oi 9000  df-card 9394  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-4 11732  df-5 11733  df-6 11734  df-7 11735  df-8 11736  df-9 11737  df-n0 11928  df-z 12014  df-dec 12131  df-uz 12276  df-fz 12933  df-fzo 13076  df-seq 13412  df-hash 13734  df-struct 16536  df-ndx 16537  df-slot 16538  df-base 16540  df-sets 16541  df-ress 16542  df-plusg 16629  df-mulr 16630  df-sca 16632  df-vsca 16633  df-ip 16634  df-tset 16635  df-ple 16636  df-ds 16638  df-hom 16640  df-cco 16641  df-0g 16766  df-gsum 16767  df-prds 16772  df-pws 16774  df-mre 16908  df-mrc 16909  df-acs 16911  df-mgm 17911  df-sgrp 17960  df-mnd 17971  df-mhm 18015  df-submnd 18016  df-grp 18165  df-minusg 18166  df-sbg 18167  df-mulg 18285  df-subg 18336  df-ghm 18416  df-cntz 18507  df-cmn 18968  df-abl 18969  df-mgp 19301  df-ur 19313  df-srg 19317  df-ring 19360  df-cring 19361  df-rnghom 19531  df-subrg 19594  df-lmod 19697  df-lss 19765  df-lsp 19805  df-assa 20611  df-asp 20612  df-ascl 20613  df-psr 20664  df-mvr 20665  df-mpl 20666  df-evls 20828

This theorem is referenced by:  evlsbagval  39773