Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlsval3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem evlsval3 41434
Description: Give a formula for the polynomial evaluation homomorphism. (Contributed by SN, 26-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsval3.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
evlsval3.p 𝑃 = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
evlsval3.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
evlsval3.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
evlsval3.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
evlsval3.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
evlsval3.t 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsval3.m 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘‡)
evlsval3.w ↑ = (.gβ€˜π‘€)
evlsval3.x Β· = (.rβ€˜π‘‡)
evlsval3.e 𝐸 = (𝑝 ∈ 𝐡 ↦ (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘β€˜π‘)) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
evlsval3.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))
evlsval3.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)))
evlsval3.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsval3.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
evlsval3.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
Assertion
Ref Expression
evlsval3 (πœ‘ β†’ 𝑄 = 𝐸)
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘Ž,π‘₯   πœ‘,𝑏,𝑝   𝑃,𝑏,𝑝   𝐡,𝑏,𝑝   𝐷,𝑏,𝑝   𝐾,π‘Ž,π‘₯   π‘ˆ,𝑏,β„Ž,𝑝   𝑇,𝑏,𝑝   π‘₯,𝑇   𝑀,𝑏,𝑝   ↑ ,𝑏,𝑝   Β· ,𝑏,𝑝   𝐹,𝑏,𝑝   𝐺,𝑏,𝑝   𝐼,π‘Ž,π‘₯   𝐼,𝑏,β„Ž,𝑝   𝑆,π‘Ž,π‘₯   π‘₯,𝑅
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž)   𝐡(π‘₯,β„Ž,π‘Ž)   𝐷(π‘₯,β„Ž,π‘Ž)   𝑃(π‘₯,β„Ž,π‘Ž)   𝑄(π‘₯,β„Ž,𝑝,π‘Ž,𝑏)   𝑅(β„Ž,𝑝,π‘Ž,𝑏)   𝑆(β„Ž,𝑝,𝑏)   𝑇(β„Ž,π‘Ž)   Β· (π‘₯,β„Ž,π‘Ž)   π‘ˆ(π‘₯,π‘Ž)   𝐸(π‘₯,β„Ž,𝑝,π‘Ž,𝑏)   ↑ (π‘₯,β„Ž,π‘Ž)   𝐹(π‘₯,β„Ž,π‘Ž)   𝐺(π‘₯,β„Ž,π‘Ž)   𝐾(β„Ž,𝑝,𝑏)   𝑀(π‘₯,β„Ž,π‘Ž)   𝑉(π‘₯,β„Ž,𝑝,π‘Ž,𝑏)
Proof of Theorem evlsval3
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlsval3.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
2 evlsval3.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
3 evlsval3.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
4 evlsval3.q . . . 4 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
5 evlsval3.p . . . 4 𝑃 = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
6 eqid 2731 . . . 4 (𝐼 mVar π‘ˆ) = (𝐼 mVar π‘ˆ)
7 evlsval3.u . . . 4 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
8 evlsval3.t . . . 4 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
9 evlsval3.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
10 eqid 2731 . . . 4 (algScβ€˜π‘ƒ) = (algScβ€˜π‘ƒ)
11 evlsval3.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))
12 evlsval3.g . . . 4 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)))
134, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12evlsval 21869 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑄 = (℩𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algScβ€˜π‘ƒ)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar π‘ˆ)) = 𝐺)))
141, 2, 3, 13syl3anc 1370 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 = (℩𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algScβ€˜π‘ƒ)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar π‘ˆ)) = 𝐺)))
15 evlsval3.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
16 eqid 2731 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
17 evlsval3.d . . . . 5 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
18 evlsval3.m . . . . 5 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘‡)
19 evlsval3.w . . . . 5 ↑ = (.gβ€˜π‘€)
20 evlsval3.x . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘‡)
21 evlsval3.e . . . . 5 𝐸 = (𝑝 ∈ 𝐡 ↦ (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘β€˜π‘)) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
227subrgcrng 20466 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
232, 3, 22syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
24 ovexd 7447 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
258pwscrng 20215 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CRing ∧ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V) β†’ 𝑇 ∈ CRing)
262, 24, 25syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ CRing)
279subrgss 20463 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐾)
283, 27syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† 𝐾)
2928resmptd 6040 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) β†Ύ 𝑅) = (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})))
3011, 29eqtr4id 2790 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 = ((π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) β†Ύ 𝑅))
312crngringd 20141 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
32 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))
338, 9, 32pwsdiagrhm 20498 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) ∈ (𝑆 RingHom 𝑇))
3431, 24, 33syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) ∈ (𝑆 RingHom 𝑇))
357resrhm 20492 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) β†Ύ 𝑅) ∈ (π‘ˆ RingHom 𝑇))
3634, 3, 35syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) β†Ύ 𝑅) ∈ (π‘ˆ RingHom 𝑇))
3730, 36eqeltrd 2832 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (π‘ˆ RingHom 𝑇))
389fvexi 6905 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 ∈ V
39 elmapg 8836 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↔ π‘Ž:𝐼⟢𝐾))
4038, 1, 39sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↔ π‘Ž:𝐼⟢𝐾))
4140biimpa 476 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ π‘Ž:𝐼⟢𝐾)
4241adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ π‘Ž:𝐼⟢𝐾)
43 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
4442, 43ffvelcdmd 7087 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ (π‘Žβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
4544fmpttd 7116 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)):(𝐾 ↑m 𝐼)⟢𝐾)
46 ovexd 7447 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
478, 9, 16pwselbasb 17439 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ CRing ∧ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V) β†’ ((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘‡) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)):(𝐾 ↑m 𝐼)⟢𝐾))
482, 46, 47syl2an2r 682 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘‡) ↔ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)):(𝐾 ↑m 𝐼)⟢𝐾))
4945, 48mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
5049, 12fmptd 7115 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘‡))
515, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 6, 21, 1, 23, 26, 37, 50, 10evlslem1 21865 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇) ∧ (𝐸 ∘ (algScβ€˜π‘ƒ)) = 𝐹 ∧ (𝐸 ∘ (𝐼 mVar π‘ˆ)) = 𝐺))
5251simp2d 1142 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∘ (algScβ€˜π‘ƒ)) = 𝐹)
5351simp3d 1143 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∘ (𝐼 mVar π‘ˆ)) = 𝐺)
5451simp1d 1141 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇))
555, 16, 10, 6, 1, 23, 26, 37, 50evlseu 21866 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algScβ€˜π‘ƒ)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar π‘ˆ)) = 𝐺))
56 coeq1 5857 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐸 β†’ (𝑓 ∘ (algScβ€˜π‘ƒ)) = (𝐸 ∘ (algScβ€˜π‘ƒ)))
5756eqeq1d 2733 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐸 β†’ ((𝑓 ∘ (algScβ€˜π‘ƒ)) = 𝐹 ↔ (𝐸 ∘ (algScβ€˜π‘ƒ)) = 𝐹))
58 coeq1 5857 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐸 β†’ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar π‘ˆ)) = (𝐸 ∘ (𝐼 mVar π‘ˆ)))
5958eqeq1d 2733 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐸 β†’ ((𝑓 ∘ (𝐼 mVar π‘ˆ)) = 𝐺 ↔ (𝐸 ∘ (𝐼 mVar π‘ˆ)) = 𝐺))
6057, 59anbi12d 630 . . . . 5 (𝑓 = 𝐸 β†’ (((𝑓 ∘ (algScβ€˜π‘ƒ)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar π‘ˆ)) = 𝐺) ↔ ((𝐸 ∘ (algScβ€˜π‘ƒ)) = 𝐹 ∧ (𝐸 ∘ (𝐼 mVar π‘ˆ)) = 𝐺)))
6160riota2 7394 . . . 4 ((𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇) ∧ βˆƒ!𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algScβ€˜π‘ƒ)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar π‘ˆ)) = 𝐺)) β†’ (((𝐸 ∘ (algScβ€˜π‘ƒ)) = 𝐹 ∧ (𝐸 ∘ (𝐼 mVar π‘ˆ)) = 𝐺) ↔ (℩𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algScβ€˜π‘ƒ)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar π‘ˆ)) = 𝐺)) = 𝐸))
6254, 55, 61syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐸 ∘ (algScβ€˜π‘ƒ)) = 𝐹 ∧ (𝐸 ∘ (𝐼 mVar π‘ˆ)) = 𝐺) ↔ (℩𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algScβ€˜π‘ƒ)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar π‘ˆ)) = 𝐺)) = 𝐸))
6352, 53, 62mpbi2and 709 . 2 (πœ‘ β†’ (℩𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algScβ€˜π‘ƒ)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar π‘ˆ)) = 𝐺)) = 𝐸)
6414, 63eqtrd 2771 1 (πœ‘ β†’ 𝑄 = 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆƒ!wreu 3373  {crab 3431  Vcvv 3473   βŠ† wss 3948  {csn 4628   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  β„©crio 7367  (class class class)co 7412   ∘f cof 7671   ↑m cmap 8823  Fincfn 8942  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  Basecbs 17149   β†Ύs cress 17178  .rcmulr 17203   Ξ£g cgsu 17391   ↑s cpws 17397  .gcmg 18987  mulGrpcmgp 20029  Ringcrg 20128  CRingccrg 20129   RingHom crh 20361  SubRingcsubrg 20458  algSccascl 21627   mVar cmvr 21678   mPoly cmpl 21679   evalSub ces 21853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-ofr 7674  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-sup 9440  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-srg 20082  df-ring 20130  df-cring 20131  df-rhm 20364  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-assa 21628  df-asp 21629  df-ascl 21630  df-psr 21682  df-mvr 21683  df-mpl 21684  df-evls 21855
This theorem is referenced by:  evlsvval  41435
  Copyright terms: Public domain W3C validator