Theorem evlsval3 22442

Description: Give a formula for the polynomial evaluation homomorphism. (Contributed by SN, 26-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsval3.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsval3.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsval3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsval3.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlsval3.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsval3.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsval3.t	⊢ 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsval3.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑇)
evlsval3.w	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
evlsval3.x	⊢ · = (.r‘𝑇)
evlsval3.e	⊢ 𝐸 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
evlsval3.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
evlsval3.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))
evlsval3.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsval3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsval3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
evlsval3	⊢ (𝜑 → 𝑄 = 𝐸)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑎,𝑥   𝜑,𝑏,𝑝   𝑃,𝑏,𝑝   𝐵,𝑏,𝑝   𝐷,𝑏,𝑝   𝐾,𝑎,𝑥   𝑈,𝑏,ℎ,𝑝   𝑇,𝑏,𝑝   𝑥,𝑇   𝑀,𝑏,𝑝   ↑ ,𝑏,𝑝   · ,𝑏,𝑝   𝐹,𝑏,𝑝   𝐺,𝑏,𝑝   𝐼,𝑎,𝑥   𝐼,𝑏,ℎ,𝑝   𝑆,𝑎,𝑥   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(𝑥, ℎ, 𝑎)   𝐷(𝑥, ℎ, 𝑎)   𝑃(𝑥, ℎ, 𝑎)   𝑄(𝑥, ℎ, 𝑝, 𝑎, 𝑏)   𝑅(ℎ, 𝑝, 𝑎, 𝑏)   𝑆(ℎ, 𝑝, 𝑏)   𝑇(ℎ, 𝑎)   · (𝑥, ℎ, 𝑎)   𝑈(𝑥, 𝑎)   𝐸(𝑥, ℎ, 𝑝, 𝑎, 𝑏)   ↑ (𝑥, ℎ, 𝑎)   𝐹(𝑥, ℎ, 𝑎)   𝐺(𝑥, ℎ, 𝑎)   𝐾(ℎ, 𝑝, 𝑏)   𝑀(𝑥, ℎ, 𝑎)   𝑉(𝑥, ℎ, 𝑝, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem evlsval3

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsval3.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		evlsval3.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
3		evlsval3.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4		evlsval3.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
5		evlsval3.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝐼 mVar 𝑈) = (𝐼 mVar 𝑈)
7		evlsval3.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
8		evlsval3.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
9		evlsval3.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
11		evlsval3.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
12		evlsval3.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))
13	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	evlsval 22439	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 = (℩𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)))
14	1, 2, 3, 13	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (℩𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)))
15		evlsval3.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
16		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
17		evlsval3.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
18		evlsval3.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑇)
19		evlsval3.w	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
20		evlsval3.x	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑇)
21		evlsval3.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
22	7	subrgcrng 20869	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑈 ∈ CRing)
23	2, 3, 22	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CRing)
24		ovexd 7484	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
25	8	pwscrng 20597	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V) → 𝑇 ∈ CRing)
26	2, 24, 25	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CRing)
27	9	subrgss 20866	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
28	3, 27	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐾)
29	28	resmptd 6048	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ↾ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})))
30	11, 29	eqtr4id 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ↾ 𝑅))
31	2	crngringd 20515	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
32		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
33	8, 9, 32	pwsdiagrhm 20901	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ∈ (𝑆 RingHom 𝑇))
34	31, 24, 33	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ∈ (𝑆 RingHom 𝑇))
35	7	resrhm 20895	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ↾ 𝑅) ∈ (𝑈 RingHom 𝑇))
36	34, 3, 35	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ↾ 𝑅) ∈ (𝑈 RingHom 𝑇))
37	30, 36	eqeltrd 2864	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑈 RingHom 𝑇))
38	9	fvexi 6928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 ∈ V
39		elmapg 8895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↔ 𝑎:𝐼⟶𝐾))
40	38, 1, 39	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↔ 𝑎:𝐼⟶𝐾))
41	40	biimpa 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑎:𝐼⟶𝐾)
42	41	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑎:𝐼⟶𝐾)
43		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑥 ∈ 𝐼)
44	42, 43	ffvelcdmd 7115	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (𝑎‘𝑥) ∈ 𝐾)
45	44	fmpttd 7145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
46		ovexd 7484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
47	8, 9, 16	pwselbasb 17700	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V) → ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑇) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾))
48	2, 46, 47	syl2an2r 698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑇) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾))
49	45, 48	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑇))
50	49, 12	fmptd 7144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑇))
51	5, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 6, 21, 1, 23, 26, 37, 50, 10	evlslem1 22435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇) ∧ (𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺))
52	51	simp2d 1161	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹)
53	51	simp3d 1162	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)
54	51	simp1d 1160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇))
55	5, 16, 10, 6, 1, 23, 26, 37, 50	evlseu 22436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺))
56		coeq1 5844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐸 → (𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = (𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)))
57	56	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐸 → ((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ↔ (𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹))
58		coeq1 5844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐸 → (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)))
59	58	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐸 → ((𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺 ↔ (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺))
60	57, 59	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐸 → (((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺) ↔ ((𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)))
61	60	riota2 7431	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇) ∧ ∃!𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)) → (((𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺) ↔ (℩𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)) = 𝐸))
62	54, 55, 61	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺) ↔ (℩𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)) = 𝐸))
63	52, 53, 62	mpbi2and 725	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)) = 𝐸)
64	14, 63	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃!wreu 3367  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  {csn 4588   ↦ cmpt 5190   × cxp 5654  ^◡ccnv 5655   ↾ cres 5658   “ cima 5659   ∘ ccom 5660  ⟶wf 6560  ‘cfv 6564  ℩crio 7405  (class class class)co 7449   ∘_f cof 7721   ↑_m cmap 8883  Fincfn 9009  ℕcn 12373  ℕ₀cn0 12644  Basecbs 17428   ↾_s cress 17449  ._rcmulr 17470   Σ_g cgsu 17652   ↑_s cpws 17658  ._gcmg 19318  mulGrpcmgp 20402  Ringcrg 20501  CRingccrg 20502   RingHom crh 20741  SubRingcsubrg 20863  algSccascl 22204   mVar cmvr 22257   mPoly cmpl 22258   evalSub ces 22425

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-of 7723  df-ofr 7724  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-supp 8213  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-2o 8513  df-er 8753  df-map 8885  df-pm 8886  df-ixp 8962  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-fsupp 9390  df-sup 9469  df-oi 9539  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-z 12732  df-dec 12853  df-uz 13004  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-seq 14183  df-hash 14514  df-struct 17366  df-sets 17383  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-ress 17450  df-plusg 17482  df-mulr 17483  df-sca 17485  df-vsca 17486  df-ip 17487  df-tset 17488  df-ple 17489  df-ds 17491  df-hom 17493  df-cco 17494  df-0g 17653  df-gsum 17654  df-prds 17659  df-pws 17661  df-mre 17797  df-mrc 17798  df-acs 17800  df-mgm 18857  df-sgrp 18949  df-mnd 18965  df-mhm 19019  df-submnd 19020  df-grp 19188  df-minusg 19189  df-sbg 19190  df-mulg 19319  df-subg 19374  df-ghm 19469  df-cntz 19573  df-cmn 20038  df-abl 20039  df-mgp 20403  df-rng 20417  df-ur 20450  df-srg 20455  df-ring 20503  df-cring 20504  df-rhm 20744  df-subrng 20840  df-subrg 20864  df-lmod 21179  df-lss 21249  df-lsp 21289  df-assa 22205  df-asp 22206  df-ascl 22207  df-psr 22261  df-mvr 22262  df-mpl 22263  df-evls 22427

This theorem is used by:  evlsvval  22443