Theorem evlsval3 22065

Description: Give a formula for the polynomial evaluation homomorphism. (Contributed by SN, 26-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsval3.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsval3.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsval3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsval3.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlsval3.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsval3.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsval3.t	⊢ 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsval3.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑇)
evlsval3.w	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
evlsval3.x	⊢ · = (.r‘𝑇)
evlsval3.e	⊢ 𝐸 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
evlsval3.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
evlsval3.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))
evlsval3.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsval3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsval3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
evlsval3	⊢ (𝜑 → 𝑄 = 𝐸)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑎,𝑥   𝜑,𝑏,𝑝   𝑃,𝑏,𝑝   𝐵,𝑏,𝑝   𝐷,𝑏,𝑝   𝐾,𝑎,𝑥   𝑈,𝑏,ℎ,𝑝   𝑇,𝑏,𝑝   𝑥,𝑇   𝑀,𝑏,𝑝   ↑ ,𝑏,𝑝   · ,𝑏,𝑝   𝐹,𝑏,𝑝   𝐺,𝑏,𝑝   𝐼,𝑎,𝑥   𝐼,𝑏,ℎ,𝑝   𝑆,𝑎,𝑥   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(𝑥,ℎ,𝑎)   𝐷(𝑥,ℎ,𝑎)   𝑃(𝑥,ℎ,𝑎)   𝑄(𝑥,ℎ,𝑝,𝑎,𝑏)   𝑅(ℎ,𝑝,𝑎,𝑏)   𝑆(ℎ,𝑝,𝑏)   𝑇(ℎ,𝑎)   · (𝑥,ℎ,𝑎)   𝑈(𝑥,𝑎)   𝐸(𝑥,ℎ,𝑝,𝑎,𝑏)   ↑ (𝑥,ℎ,𝑎)   𝐹(𝑥,ℎ,𝑎)   𝐺(𝑥,ℎ,𝑎)   𝐾(ℎ,𝑝,𝑏)   𝑀(𝑥,ℎ,𝑎)   𝑉(𝑥,ℎ,𝑝,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem evlsval3

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsval3.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		evlsval3.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
3		evlsval3.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4		evlsval3.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
5		evlsval3.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
6		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (𝐼 mVar 𝑈) = (𝐼 mVar 𝑈)
7		evlsval3.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
8		evlsval3.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
9		evlsval3.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
10		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
11		evlsval3.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
12		evlsval3.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))
13	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	evlsval 22062	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 = (℩𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)))
14	1, 2, 3, 13	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (℩𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)))
15		evlsval3.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
16		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
17		evlsval3.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
18		evlsval3.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑇)
19		evlsval3.w	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
20		evlsval3.x	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑇)
21		evlsval3.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
22	7	subrgcrng 20547	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑈 ∈ CRing)
23	2, 3, 22	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CRing)
24		ovexd 7391	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
25	8	pwscrng 20296	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V) → 𝑇 ∈ CRing)
26	2, 24, 25	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CRing)
27	9	subrgss 20544	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
28	3, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐾)
29	28	resmptd 5992	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ↾ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})))
30	11, 29	eqtr4id 2793	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ↾ 𝑅))
31	2	crngringd 20218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
32		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
33	8, 9, 32	pwsdiagrhm 20579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ∈ (𝑆 RingHom 𝑇))
34	31, 24, 33	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ∈ (𝑆 RingHom 𝑇))
35	7	resrhm 20573	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ↾ 𝑅) ∈ (𝑈 RingHom 𝑇))
36	34, 3, 35	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ↾ 𝑅) ∈ (𝑈 RingHom 𝑇))
37	30, 36	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑈 RingHom 𝑇))
38	9	fvexi 6841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 ∈ V
39		elmapg 8776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↔ 𝑎:𝐼⟶𝐾))
40	38, 1, 39	sylancr 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↔ 𝑎:𝐼⟶𝐾))
41	40	biimpa 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑎:𝐼⟶𝐾)
42	41	adantlr 721	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑎:𝐼⟶𝐾)
43		simplr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑥 ∈ 𝐼)
44	42, 43	ffvelcdmd 7026	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (𝑎‘𝑥) ∈ 𝐾)
45	44	fmpttd 7056	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
46		ovexd 7391	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
47	8, 9, 16	pwselbasb 17442	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V) → ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑇) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾))
48	2, 46, 47	syl2an2r 691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑇) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾))
49	45, 48	mpbird 258	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑇))
50	49, 12	fmptd 7055	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑇))
51	5, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 6, 21, 1, 23, 26, 37, 50, 10	evlslem1 22058	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇) ∧ (𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺))
52	51	simp2d 1149	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹)
53	51	simp3d 1150	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)
54	51	simp1d 1148	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇))
55	5, 16, 10, 6, 1, 23, 26, 37, 50	evlseu 22059	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺))
56		coeq1 5799	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐸 → (𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = (𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)))
57	56	eqeq1d 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐸 → ((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ↔ (𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹))
58		coeq1 5799	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐸 → (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)))
59	58	eqeq1d 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐸 → ((𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺 ↔ (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺))
60	57, 59	anbi12d 638	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐸 → (((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺) ↔ ((𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)))
61	60	riota2 7338	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇) ∧ ∃!𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)) → (((𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺) ↔ (℩𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)) = 𝐸))
62	54, 55, 61	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺) ↔ (℩𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)) = 𝐸))
63	52, 53, 62	mpbi2and 718	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)) = 𝐸)
64	14, 63	eqtrd 2774	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃!wreu 3342  {crab 3391  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  {csn 4555   ↦ cmpt 5153   × cxp 5616  ^◡ccnv 5617   ↾ cres 5620   “ cima 5621   ∘ ccom 5622  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  ℩crio 7312  (class class class)co 7356   ∘_f cof 7618   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  ._rcmulr 17212   Σ_g cgsu 17394   ↑_s cpws 17400  ._gcmg 19034  mulGrpcmgp 20112  Ringcrg 20205  CRingccrg 20206   RingHom crh 20440  SubRingcsubrg 20541  algSccascl 21827   mVar cmvr 21880   mPoly cmpl 21881   evalSub ces 22048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-srg 20159  df-ring 20207  df-cring 20208  df-rhm 20443  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-assa 21828  df-asp 21829  df-ascl 21830  df-psr 21884  df-mvr 21885  df-mpl 21886  df-evls 22050

This theorem is referenced by:  evlsvval  22066