Theorem evlsval3 22035

Description: Give a formula for the polynomial evaluation homomorphism. (Contributed by SN, 26-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsval3.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsval3.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsval3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsval3.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlsval3.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsval3.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsval3.t	⊢ 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsval3.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑇)
evlsval3.w	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
evlsval3.x	⊢ · = (.r‘𝑇)
evlsval3.e	⊢ 𝐸 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
evlsval3.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
evlsval3.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))
evlsval3.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsval3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsval3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
evlsval3	⊢ (𝜑 → 𝑄 = 𝐸)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑎,𝑥   𝜑,𝑏,𝑝   𝑃,𝑏,𝑝   𝐵,𝑏,𝑝   𝐷,𝑏,𝑝   𝐾,𝑎,𝑥   𝑈,𝑏,ℎ,𝑝   𝑇,𝑏,𝑝   𝑥,𝑇   𝑀,𝑏,𝑝   ↑ ,𝑏,𝑝   · ,𝑏,𝑝   𝐹,𝑏,𝑝   𝐺,𝑏,𝑝   𝐼,𝑎,𝑥   𝐼,𝑏,ℎ,𝑝   𝑆,𝑎,𝑥   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(𝑥,ℎ,𝑎)   𝐷(𝑥,ℎ,𝑎)   𝑃(𝑥,ℎ,𝑎)   𝑄(𝑥,ℎ,𝑝,𝑎,𝑏)   𝑅(ℎ,𝑝,𝑎,𝑏)   𝑆(ℎ,𝑝,𝑏)   𝑇(ℎ,𝑎)   · (𝑥,ℎ,𝑎)   𝑈(𝑥,𝑎)   𝐸(𝑥,ℎ,𝑝,𝑎,𝑏)   ↑ (𝑥,ℎ,𝑎)   𝐹(𝑥,ℎ,𝑎)   𝐺(𝑥,ℎ,𝑎)   𝐾(ℎ,𝑝,𝑏)   𝑀(𝑥,ℎ,𝑎)   𝑉(𝑥,ℎ,𝑝,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem evlsval3

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsval3.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		evlsval3.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
3		evlsval3.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4		evlsval3.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
5		evlsval3.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
6		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝐼 mVar 𝑈) = (𝐼 mVar 𝑈)
7		evlsval3.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
8		evlsval3.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
9		evlsval3.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
10		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
11		evlsval3.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
12		evlsval3.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))
13	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	evlsval 22032	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 = (℩𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)))
14	1, 2, 3, 13	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (℩𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)))
15		evlsval3.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
16		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
17		evlsval3.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
18		evlsval3.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑇)
19		evlsval3.w	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
20		evlsval3.x	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑇)
21		evlsval3.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
22	7	subrgcrng 20499	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑈 ∈ CRing)
23	2, 3, 22	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CRing)
24		ovexd 7390	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
25	8	pwscrng 20252	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V) → 𝑇 ∈ CRing)
26	2, 24, 25	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CRing)
27	9	subrgss 20496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
28	3, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐾)
29	28	resmptd 5996	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ↾ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})))
30	11, 29	eqtr4id 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ↾ 𝑅))
31	2	crngringd 20172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
32		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
33	8, 9, 32	pwsdiagrhm 20531	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ∈ (𝑆 RingHom 𝑇))
34	31, 24, 33	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ∈ (𝑆 RingHom 𝑇))
35	7	resrhm 20525	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ↾ 𝑅) ∈ (𝑈 RingHom 𝑇))
36	34, 3, 35	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ↾ 𝑅) ∈ (𝑈 RingHom 𝑇))
37	30, 36	eqeltrd 2833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑈 RingHom 𝑇))
38	9	fvexi 6845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 ∈ V
39		elmapg 8772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↔ 𝑎:𝐼⟶𝐾))
40	38, 1, 39	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↔ 𝑎:𝐼⟶𝐾))
41	40	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑎:𝐼⟶𝐾)
42	41	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑎:𝐼⟶𝐾)
43		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑥 ∈ 𝐼)
44	42, 43	ffvelcdmd 7027	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (𝑎‘𝑥) ∈ 𝐾)
45	44	fmpttd 7057	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
46		ovexd 7390	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
47	8, 9, 16	pwselbasb 17399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V) → ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑇) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾))
48	2, 46, 47	syl2an2r 685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑇) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾))
49	45, 48	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑇))
50	49, 12	fmptd 7056	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑇))
51	5, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 6, 21, 1, 23, 26, 37, 50, 10	evlslem1 22028	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇) ∧ (𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺))
52	51	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹)
53	51	simp3d 1144	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)
54	51	simp1d 1142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇))
55	5, 16, 10, 6, 1, 23, 26, 37, 50	evlseu 22029	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺))
56		coeq1 5803	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐸 → (𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = (𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)))
57	56	eqeq1d 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐸 → ((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ↔ (𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹))
58		coeq1 5803	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐸 → (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)))
59	58	eqeq1d 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐸 → ((𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺 ↔ (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺))
60	57, 59	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐸 → (((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺) ↔ ((𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)))
61	60	riota2 7337	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇) ∧ ∃!𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)) → (((𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺) ↔ (℩𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)) = 𝐸))
62	54, 55, 61	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺) ↔ (℩𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)) = 𝐸))
63	52, 53, 62	mpbi2and 712	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)) = 𝐸)
64	14, 63	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃!wreu 3345  {crab 3396  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898  {csn 4577   ↦ cmpt 5176   × cxp 5619  ^◡ccnv 5620   ↾ cres 5623   “ cima 5624   ∘ ccom 5625  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  ℩crio 7311  (class class class)co 7355   ∘_f cof 7617   ↑_m cmap 8759  Fincfn 8879  ℕcn 12136  ℕ₀cn0 12392  Basecbs 17127   ↾_s cress 17148  ._rcmulr 17169   Σ_g cgsu 17351   ↑_s cpws 17357  ._gcmg 18988  mulGrpcmgp 20066  Ringcrg 20159  CRingccrg 20160   RingHom crh 20396  SubRingcsubrg 20493  algSccascl 21798   mVar cmvr 21852   mPoly cmpl 21853   evalSub ces 22018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-ofr 7620  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-sup 9337  df-oi 9407  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-seq 13916  df-hash 14245  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-hom 17192  df-cco 17193  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-prds 17358  df-pws 17360  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-acs 17499  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-mhm 18699  df-submnd 18700  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-sbg 18859  df-mulg 18989  df-subg 19044  df-ghm 19133  df-cntz 19237  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-rng 20079  df-ur 20108  df-srg 20113  df-ring 20161  df-cring 20162  df-rhm 20399  df-subrng 20470  df-subrg 20494  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-lsp 20914  df-assa 21799  df-asp 21800  df-ascl 21801  df-psr 21856  df-mvr 21857  df-mpl 21858  df-evls 22020

This theorem is referenced by:  evlsvval  22036