Theorem evlsval3 42557

Description: Give a formula for the polynomial evaluation homomorphism. (Contributed by SN, 26-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsval3.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsval3.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsval3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsval3.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlsval3.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsval3.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsval3.t	⊢ 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsval3.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑇)
evlsval3.w	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
evlsval3.x	⊢ · = (.r‘𝑇)
evlsval3.e	⊢ 𝐸 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
evlsval3.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
evlsval3.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))
evlsval3.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsval3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsval3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
evlsval3	⊢ (𝜑 → 𝑄 = 𝐸)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑎,𝑥   𝜑,𝑏,𝑝   𝑃,𝑏,𝑝   𝐵,𝑏,𝑝   𝐷,𝑏,𝑝   𝐾,𝑎,𝑥   𝑈,𝑏,ℎ,𝑝   𝑇,𝑏,𝑝   𝑥,𝑇   𝑀,𝑏,𝑝   ↑ ,𝑏,𝑝   · ,𝑏,𝑝   𝐹,𝑏,𝑝   𝐺,𝑏,𝑝   𝐼,𝑎,𝑥   𝐼,𝑏,ℎ,𝑝   𝑆,𝑎,𝑥   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(𝑥,ℎ,𝑎)   𝐷(𝑥,ℎ,𝑎)   𝑃(𝑥,ℎ,𝑎)   𝑄(𝑥,ℎ,𝑝,𝑎,𝑏)   𝑅(ℎ,𝑝,𝑎,𝑏)   𝑆(ℎ,𝑝,𝑏)   𝑇(ℎ,𝑎)   · (𝑥,ℎ,𝑎)   𝑈(𝑥,𝑎)   𝐸(𝑥,ℎ,𝑝,𝑎,𝑏)   ↑ (𝑥,ℎ,𝑎)   𝐹(𝑥,ℎ,𝑎)   𝐺(𝑥,ℎ,𝑎)   𝐾(ℎ,𝑝,𝑏)   𝑀(𝑥,ℎ,𝑎)   𝑉(𝑥,ℎ,𝑝,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem evlsval3

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsval3.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		evlsval3.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
3		evlsval3.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4		evlsval3.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
5		evlsval3.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
6		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝐼 mVar 𝑈) = (𝐼 mVar 𝑈)
7		evlsval3.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
8		evlsval3.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
9		evlsval3.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
10		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
11		evlsval3.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
12		evlsval3.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))
13	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	evlsval 22049	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 = (℩𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)))
14	1, 2, 3, 13	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (℩𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)))
15		evlsval3.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
16		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
17		evlsval3.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
18		evlsval3.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑇)
19		evlsval3.w	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
20		evlsval3.x	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑇)
21		evlsval3.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
22	7	subrgcrng 20540	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑈 ∈ CRing)
23	2, 3, 22	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CRing)
24		ovexd 7445	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
25	8	pwscrng 20291	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V) → 𝑇 ∈ CRing)
26	2, 24, 25	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CRing)
27	9	subrgss 20537	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
28	3, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐾)
29	28	resmptd 6032	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ↾ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})))
30	11, 29	eqtr4id 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ↾ 𝑅))
31	2	crngringd 20211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
32		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
33	8, 9, 32	pwsdiagrhm 20572	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ∈ (𝑆 RingHom 𝑇))
34	31, 24, 33	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ∈ (𝑆 RingHom 𝑇))
35	7	resrhm 20566	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ↾ 𝑅) ∈ (𝑈 RingHom 𝑇))
36	34, 3, 35	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ↾ 𝑅) ∈ (𝑈 RingHom 𝑇))
37	30, 36	eqeltrd 2835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑈 RingHom 𝑇))
38	9	fvexi 6895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 ∈ V
39		elmapg 8858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↔ 𝑎:𝐼⟶𝐾))
40	38, 1, 39	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↔ 𝑎:𝐼⟶𝐾))
41	40	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑎:𝐼⟶𝐾)
42	41	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑎:𝐼⟶𝐾)
43		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑥 ∈ 𝐼)
44	42, 43	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (𝑎‘𝑥) ∈ 𝐾)
45	44	fmpttd 7110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
46		ovexd 7445	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
47	8, 9, 16	pwselbasb 17507	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V) → ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑇) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾))
48	2, 46, 47	syl2an2r 685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑇) ↔ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾))
49	45, 48	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑇))
50	49, 12	fmptd 7109	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑇))
51	5, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 6, 21, 1, 23, 26, 37, 50, 10	evlslem1 22045	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇) ∧ (𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺))
52	51	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹)
53	51	simp3d 1144	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)
54	51	simp1d 1142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇))
55	5, 16, 10, 6, 1, 23, 26, 37, 50	evlseu 22046	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺))
56		coeq1 5842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐸 → (𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = (𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)))
57	56	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐸 → ((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ↔ (𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹))
58		coeq1 5842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐸 → (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)))
59	58	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐸 → ((𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺 ↔ (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺))
60	57, 59	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐸 → (((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺) ↔ ((𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)))
61	60	riota2 7392	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇) ∧ ∃!𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)) → (((𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺) ↔ (℩𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)) = 𝐸))
62	54, 55, 61	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐸 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝐸 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺) ↔ (℩𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)) = 𝐸))
63	52, 53, 62	mpbi2and 712	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑓 ∈ (𝑃 RingHom 𝑇)((𝑓 ∘ (algSc‘𝑃)) = 𝐹 ∧ (𝑓 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = 𝐺)) = 𝐸)
64	14, 63	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃!wreu 3362  {crab 3420  Vcvv 3464   ⊆ wss 3931  {csn 4606   ↦ cmpt 5206   × cxp 5657  ^◡ccnv 5658   ↾ cres 5661   “ cima 5662   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  ℩crio 7366  (class class class)co 7410   ∘_f cof 7674   ↑_m cmap 8845  Fincfn 8964  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12506  Basecbs 17233   ↾_s cress 17256  ._rcmulr 17277   Σ_g cgsu 17459   ↑_s cpws 17465  ._gcmg 19055  mulGrpcmgp 20105  Ringcrg 20198  CRingccrg 20199   RingHom crh 20434  SubRingcsubrg 20534  algSccascl 21817   mVar cmvr 21870   mPoly cmpl 21871   evalSub ces 22035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-sup 9459  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14354  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-hom 17300  df-cco 17301  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-prds 17466  df-pws 17468  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-ghm 19201  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-srg 20152  df-ring 20200  df-cring 20201  df-rhm 20437  df-subrng 20511  df-subrg 20535  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-lsp 20934  df-assa 21818  df-asp 21819  df-ascl 21820  df-psr 21874  df-mvr 21875  df-mpl 21876  df-evls 22037

This theorem is referenced by:  evlsvval  42558