Theorem idlsrgmulrssin 31896

Description: In a commutative ring, the product of two ideals is a subset of their intersection. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlsrgmulrssin.1	⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
idlsrgmulrssin.2	⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
idlsrgmulrssin.3	⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
idlsrgmulrssin.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
idlsrgmulrssin.5	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
idlsrgmulrssin.6	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
idlsrgmulrssin	⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) ⊆ (𝐼 ∩ 𝐽))

Proof of Theorem idlsrgmulrssin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlsrgmulrssin.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
2		idlsrgmulrssin.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
3		idlsrgmulrssin.3	. . 3 ⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		idlsrgmulrssin.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6		idlsrgmulrssin.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
7		idlsrgmulrssin.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	idlsrgmulrss1 31894	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) ⊆ 𝐼)
9	5	crngringd 19883	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10	1, 2, 3, 4, 9, 6, 7	idlsrgmulrss2 31895	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) ⊆ 𝐽)
11	8, 10	ssind 4178	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) ⊆ (𝐼 ∩ 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  ‘cfv 6473  (class class class)co 7329  ._rcmulr 17052  CRingccrg 19871  LIdealclidl 20530  IDLsrgcidlsrg 31883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-z 12413  df-dec 12531  df-uz 12676  df-fz 13333  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-mulr 17065  df-sca 17067  df-vsca 17068  df-ip 17069  df-tset 17070  df-ple 17071  df-0g 17241  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-grp 18668  df-minusg 18669  df-sbg 18670  df-subg 18840  df-lsm 19329  df-cmn 19475  df-mgp 19808  df-ur 19825  df-ring 19872  df-cring 19873  df-subrg 20119  df-lmod 20223  df-lss 20292  df-lsp 20332  df-sra 20532  df-rgmod 20533  df-lidl 20534  df-rsp 20535  df-idlsrg 31884

This theorem is referenced by: (None)