Theorem idlsrgmulrssin 32372

Description: In a commutative ring, the product of two ideals is a subset of their intersection. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlsrgmulrssin.1	⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
idlsrgmulrssin.2	⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
idlsrgmulrssin.3	⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
idlsrgmulrssin.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
idlsrgmulrssin.5	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
idlsrgmulrssin.6	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
idlsrgmulrssin	⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) ⊆ (𝐼 ∩ 𝐽))

Proof of Theorem idlsrgmulrssin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlsrgmulrssin.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
2		idlsrgmulrssin.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
3		idlsrgmulrssin.3	. . 3 ⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
4		eqid 2731	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		idlsrgmulrssin.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6		idlsrgmulrssin.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
7		idlsrgmulrssin.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	idlsrgmulrss1 32370	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) ⊆ 𝐼)
9	5	crngringd 20013	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10	1, 2, 3, 4, 9, 6, 7	idlsrgmulrss2 32371	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) ⊆ 𝐽)
11	8, 10	ssind 4219	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) ⊆ (𝐼 ∩ 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3934   ⊆ wss 3935  ‘cfv 6523  (class class class)co 7384  ._rcmulr 17170  CRingccrg 20001  LIdealclidl 20712  IDLsrgcidlsrg 32359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5269  ax-sep 5283  ax-nul 5290  ax-pow 5347  ax-pr 5411  ax-un 7699  ax-cnex 11138  ax-resscn 11139  ax-1cn 11140  ax-icn 11141  ax-addcl 11142  ax-addrcl 11143  ax-mulcl 11144  ax-mulrcl 11145  ax-mulcom 11146  ax-addass 11147  ax-mulass 11148  ax-distr 11149  ax-i2m1 11150  ax-1ne0 11151  ax-1rid 11152  ax-rnegex 11153  ax-rrecex 11154  ax-cnre 11155  ax-pre-lttri 11156  ax-pre-lttrn 11157  ax-pre-ltadd 11158  ax-pre-mulgt0 11159

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3426  df-v 3468  df-sbc 3765  df-csb 3881  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4310  df-if 4514  df-pw 4589  df-sn 4614  df-pr 4616  df-tp 4618  df-op 4620  df-uni 4893  df-int 4935  df-iun 4983  df-br 5133  df-opab 5195  df-mpt 5216  df-tr 5250  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6280  df-ord 6347  df-on 6348  df-lim 6349  df-suc 6350  df-iota 6475  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7340  df-ov 7387  df-oprab 7388  df-mpo 7389  df-om 7830  df-1st 7948  df-2nd 7949  df-frecs 8239  df-wrecs 8270  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8677  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-pnf 11222  df-mnf 11223  df-xr 11224  df-ltxr 11225  df-le 11226  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12185  df-2 12247  df-3 12248  df-4 12249  df-5 12250  df-6 12251  df-7 12252  df-8 12253  df-9 12254  df-n0 12445  df-z 12531  df-dec 12650  df-uz 12795  df-fz 13457  df-struct 17052  df-sets 17069  df-slot 17087  df-ndx 17099  df-base 17117  df-ress 17146  df-plusg 17182  df-mulr 17183  df-sca 17185  df-vsca 17186  df-ip 17187  df-tset 17188  df-ple 17189  df-0g 17359  df-mgm 18533  df-sgrp 18582  df-mnd 18593  df-grp 18787  df-minusg 18788  df-sbg 18789  df-subg 18961  df-lsm 19454  df-cmn 19600  df-mgp 19933  df-ur 19950  df-ring 20002  df-cring 20003  df-subrg 20290  df-lmod 20402  df-lss 20472  df-lsp 20512  df-sra 20714  df-rgmod 20715  df-lidl 20716  df-rsp 20717  df-idlsrg 32360

This theorem is referenced by: (None)