Theorem psrassa 22090

Description: The ring of power series is an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrcnrg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrcnrg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrcnrg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
psrassa	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ AssAlg)

Proof of Theorem psrassa

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆))
2		psrcnrg.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3		psrcnrg.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
4		psrcnrg.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5	2, 3, 4	psrsca 22065	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))
6		eqidd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
7		eqidd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆))
8		eqidd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆))
9	4	crngringd 20327	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10	2, 3, 9	psrlmod 22077	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LMod)
11	2, 3, 9	psrring 22087	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
12	3	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝐼 ∈ 𝑉)
13	9	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑅 ∈ Ring)
14		eqid 2769	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
15		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
16		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
17		simpr2 1212	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
18		simpr3 1213	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))
19	4	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑅 ∈ CRing)
20		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
22		simpr1 1211	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
23	2, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22	psrass23 22086	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)(.r‘𝑆)𝑧) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)(𝑦(.r‘𝑆)𝑧)) ∧ (𝑦(.r‘𝑆)(𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)𝑧)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)(𝑦(.r‘𝑆)𝑧))))
24	23	simpld 499	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)(.r‘𝑆)𝑧) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)(𝑦(.r‘𝑆)𝑧)))
25	23	simprd 500	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑦(.r‘𝑆)(𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)𝑧)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)(𝑦(.r‘𝑆)𝑧)))
26	1, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 24, 25	isassad 21983	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ AssAlg)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3423  ^◡ccnv 5661   “ cima 5665  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8823  Fincfn 8942  ℕcn 12232  ℕ₀cn0 12503  Basecbs 17268  ._rcmulr 17310   ·_𝑠 cvsca 17313  Ringcrg 20314  CRingccrg 20315  AssAlgcasa 21968   mPwSer cmps 22022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-ofr 7676  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-hash 14366  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-hom 17333  df-cco 17334  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-prds 17499  df-pws 17501  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-mulg 19133  df-ghm 19283  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-lmod 20960  df-assa 21971  df-psr 22027

This theorem is referenced by:  mplassa  22139  mplbas2  22161  opsrassa  22179  mplind  22189  evlseu  22202