Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrassa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrassa 20166
 Description: The ring of power series is an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrcnrg.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrcnrg.i (𝜑𝐼𝑉)
psrcnrg.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
Assertion
Ref Expression
psrassa (𝜑𝑆 ∈ AssAlg)

Proof of Theorem psrassa
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2821 . 2 (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆))
2 psrcnrg.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3 psrcnrg.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
4 psrcnrg.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
52, 3, 4psrsca 20141 . 2 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑆))
6 eqidd 2821 . 2 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
7 eqidd 2821 . 2 (𝜑 → ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑆))
8 eqidd 2821 . 2 (𝜑 → (.r𝑆) = (.r𝑆))
9 crngring 19283 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
104, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
112, 3, 10psrlmod 20153 . 2 (𝜑𝑆 ∈ LMod)
122, 3, 10psrring 20163 . 2 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
133adantr 483 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝐼𝑉)
1410adantr 483 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑅 ∈ Ring)
15 eqid 2820 . . . 4 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
16 eqid 2820 . . . 4 (.r𝑆) = (.r𝑆)
17 eqid 2820 . . . 4 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
18 simpr2 1191 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
19 simpr3 1192 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))
204adantr 483 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑅 ∈ CRing)
21 eqid 2820 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
22 eqid 2820 . . . 4 ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑆)
23 simpr1 1190 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
242, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23psrass23 20162 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → (((𝑥( ·𝑠𝑆)𝑦)(.r𝑆)𝑧) = (𝑥( ·𝑠𝑆)(𝑦(.r𝑆)𝑧)) ∧ (𝑦(.r𝑆)(𝑥( ·𝑠𝑆)𝑧)) = (𝑥( ·𝑠𝑆)(𝑦(.r𝑆)𝑧))))
2524simpld 497 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑥( ·𝑠𝑆)𝑦)(.r𝑆)𝑧) = (𝑥( ·𝑠𝑆)(𝑦(.r𝑆)𝑧)))
2624simprd 498 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑦(.r𝑆)(𝑥( ·𝑠𝑆)𝑧)) = (𝑥( ·𝑠𝑆)(𝑦(.r𝑆)𝑧)))
271, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 4, 25, 26isassad 20068 1 (𝜑𝑆 ∈ AssAlg)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3129  ◡ccnv 5526   “ cima 5530  ‘cfv 6327  (class class class)co 7129   ↑m cmap 8380  Fincfn 8483  ℕcn 11612  ℕ0cn0 11872  Basecbs 16458  .rcmulr 16541   ·𝑠 cvsca 16544  Ringcrg 19272  CRingccrg 19273  AssAlgcasa 20054   mPwSer cmps 20103 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-mulcom 10575  ax-addass 10576  ax-mulass 10577  ax-distr 10578  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-1rid 10581  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586  ax-pre-ltadd 10587  ax-pre-mulgt0 10588 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-int 4849  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-isom 6336  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-of 7383  df-ofr 7384  df-om 7555  df-1st 7663  df-2nd 7664  df-supp 7805  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-1o 8076  df-2o 8077  df-oadd 8080  df-er 8263  df-map 8382  df-pm 8383  df-ixp 8436  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-fin 8487  df-fsupp 8808  df-oi 8948  df-card 9342  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-sub 10846  df-neg 10847  df-nn 11613  df-2 11675  df-3 11676  df-4 11677  df-5 11678  df-6 11679  df-7 11680  df-8 11681  df-9 11682  df-n0 11873  df-z 11957  df-uz 12219  df-fz 12873  df-fzo 13014  df-seq 13350  df-hash 13672  df-struct 16460  df-ndx 16461  df-slot 16462  df-base 16464  df-sets 16465  df-ress 16466  df-plusg 16553  df-mulr 16554  df-sca 16556  df-vsca 16557  df-tset 16559  df-0g 16690  df-gsum 16691  df-mre 16832  df-mrc 16833  df-acs 16835  df-mgm 17827  df-sgrp 17876  df-mnd 17887  df-mhm 17931  df-submnd 17932  df-grp 18081  df-minusg 18082  df-mulg 18200  df-ghm 18331  df-cntz 18422  df-cmn 18883  df-abl 18884  df-mgp 19215  df-ur 19227  df-ring 19274  df-cring 19275  df-lmod 19608  df-assa 20057  df-psr 20108 This theorem is referenced by:  mplassa  20207  mplbas2  20223  opsrassa  20241  mplind  20254  evlseu  20268
 Copyright terms: Public domain W3C validator