MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrassa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrassa 21399
Description: The ring of power series is an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrcnrg.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrcnrg.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
psrcnrg.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
Assertion
Ref Expression
psrassa (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ AssAlg)

Proof of Theorem psrassa
Dummy variables 𝑓 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2734 . 2 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†))
2 psrcnrg.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3 psrcnrg.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
4 psrcnrg.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
52, 3, 4psrsca 21373 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘†))
6 eqidd 2734 . 2 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…))
7 eqidd 2734 . 2 (πœ‘ β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘†) = ( ·𝑠 β€˜π‘†))
8 eqidd 2734 . 2 (πœ‘ β†’ (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†))
9 crngring 19981 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
104, 9syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
112, 3, 10psrlmod 21386 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ LMod)
122, 3, 10psrring 21396 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
133adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
1410adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
15 eqid 2733 . . . 4 {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
16 eqid 2733 . . . 4 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
17 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
18 simpr2 1196 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
19 simpr3 1197 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
204adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
21 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
22 eqid 2733 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘†) = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
23 simpr1 1195 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
242, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23psrass23 21395 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ (((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)(.rβ€˜π‘†)𝑧) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘†)(𝑦(.rβ€˜π‘†)𝑧)) ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘†)(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑧)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘†)(𝑦(.rβ€˜π‘†)𝑧))))
2524simpld 496 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)(.rβ€˜π‘†)𝑧) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘†)(𝑦(.rβ€˜π‘†)𝑧)))
2624simprd 497 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘†)(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑧)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘†)(𝑦(.rβ€˜π‘†)𝑧)))
271, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 4, 25, 26isassad 21286 1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ AssAlg)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406  β—‘ccnv 5633   β€œ cima 5637  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ↑m cmap 8768  Fincfn 8886  β„•cn 12158  β„•0cn0 12418  Basecbs 17088  .rcmulr 17139   ·𝑠 cvsca 17142  Ringcrg 19969  CRingccrg 19970  AssAlgcasa 21272   mPwSer cmps 21322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-mulg 18878  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-lmod 20338  df-assa 21275  df-psr 21327
This theorem is referenced by:  mplassa  21443  mplbas2  21459  opsrassa  21483  mplind  21494  evlseu  21509
  Copyright terms: Public domain W3C validator