Theorem psrassa 22024

Description: The ring of power series is an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrcnrg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrcnrg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrcnrg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
psrassa	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ AssAlg)

Proof of Theorem psrassa

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2763	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆))
2		psrcnrg.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3		psrcnrg.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
4		psrcnrg.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5	2, 3, 4	psrsca 21999	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))
6		eqidd 2763	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
7		eqidd 2763	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆))
8		eqidd 2763	. 2 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆))
9	4	crngringd 20296	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10	2, 3, 9	psrlmod 22011	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LMod)
11	2, 3, 9	psrring 22021	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
12	3	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝐼 ∈ 𝑉)
13	9	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑅 ∈ Ring)
14		eqid 2762	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
15		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
16		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
17		simpr2 1209	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
18		simpr3 1210	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))
19	4	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑅 ∈ CRing)
20		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
22		simpr1 1208	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
23	2, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22	psrass23 22020	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)(.r‘𝑆)𝑧) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)(𝑦(.r‘𝑆)𝑧)) ∧ (𝑦(.r‘𝑆)(𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)𝑧)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)(𝑦(.r‘𝑆)𝑧))))
24	23	simpld 498	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)(.r‘𝑆)𝑧) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)(𝑦(.r‘𝑆)𝑧)))
25	23	simprd 499	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑦(.r‘𝑆)(𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)𝑧)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)(𝑦(.r‘𝑆)𝑧)))
26	1, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 24, 25	isassad 21917	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ AssAlg)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  {crab 3414  ^◡ccnv 5646   “ cima 5650  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ↑_m cmap 8808  Fincfn 8927  ℕcn 12210  ℕ₀cn0 12481  Basecbs 17245  ._rcmulr 17287   ·_𝑠 cvsca 17290  Ringcrg 20283  CRingccrg 20284  AssAlgcasa 21902   mPwSer cmps 21956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-ofr 7661  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-sup 9388  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-hash 14344  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-hom 17310  df-cco 17311  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-prds 17476  df-pws 17478  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-mhm 18817  df-submnd 18818  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-mulg 19110  df-ghm 19254  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-ring 20285  df-cring 20286  df-lmod 20929  df-assa 21905  df-psr 21961

This theorem is referenced by:  mplassa  22073  mplbas2  22095  opsrassa  22113  mplind  22123  evlseu  22136