Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlsvvval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlsvvval 41692
Description: Give a formula for the evaluation of a polynomial given assignments from variables to values. This is the sum of the evaluations for each term (corresponding to a bag of variables), that is, the coefficient times the product of each variable raised to the corresponding power. (Contributed by SN, 5-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsvvval.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
evlsvvval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
evlsvvval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
evlsvvval.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
evlsvvval.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
evlsvvval.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
evlsvvval.m 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘†)
evlsvvval.w ↑ = (.gβ€˜π‘€)
evlsvvval.x Β· = (.rβ€˜π‘†)
evlsvvval.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsvvval.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
evlsvvval.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
evlsvvval.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
evlsvvval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
Assertion
Ref Expression
evlsvvval (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜πΉ)β€˜π΄) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))))))
Distinct variable groups:   πœ‘,𝑏,𝑖   𝑃,𝑏   𝐡,𝑏   𝐷,𝑏,𝑖   𝐾,𝑏,𝑖   π‘ˆ,𝑏,β„Ž   𝐹,𝑏   𝑖,𝐼,𝑏   β„Ž,𝐼   𝑆,𝑏,𝑖   𝑅,𝑏   𝐴,𝑏,𝑖
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž)   𝐴(β„Ž)   𝐡(β„Ž,𝑖)   𝐷(β„Ž)   𝑃(β„Ž,𝑖)   𝑄(β„Ž,𝑖,𝑏)   𝑅(β„Ž,𝑖)   𝑆(β„Ž)   Β· (β„Ž,𝑖,𝑏)   π‘ˆ(𝑖)   ↑ (β„Ž,𝑖,𝑏)   𝐹(β„Ž,𝑖)   𝐾(β„Ž)   𝑀(β„Ž,𝑖,𝑏)   𝑉(β„Ž,𝑖,𝑏)

Proof of Theorem evlsvvval
Dummy variables π‘Ž π‘₯ 𝑝 𝑙 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6884 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝐴 β†’ (π‘™β€˜π‘–) = (π΄β€˜π‘–))
21oveq2d 7421 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐴 β†’ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘™β€˜π‘–)) = ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–)))
32mpteq2dv 5243 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐴 β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘™β€˜π‘–))) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))
43oveq2d 7421 . . . . 5 (𝑙 = 𝐴 β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘™β€˜π‘–)))) = (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–)))))
54oveq2d 7421 . . . 4 (𝑙 = 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘™β€˜π‘–))))) = ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))))
65mpteq2dv 5243 . . 3 (𝑙 = 𝐴 β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘™β€˜π‘–)))))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–)))))))
76oveq2d 7421 . 2 (𝑙 = 𝐴 β†’ (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘™β€˜π‘–))))))) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))))))
8 evlsvvval.q . . . 4 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
9 evlsvvval.p . . . 4 𝑃 = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
10 evlsvvval.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
11 evlsvvval.d . . . 4 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
12 evlsvvval.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
13 evlsvvval.u . . . 4 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
14 eqid 2726 . . . 4 (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
15 eqid 2726 . . . 4 (mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
16 eqid 2726 . . . 4 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
17 eqid 2726 . . . 4 (.rβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (.rβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
18 eqid 2726 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) = (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))
19 eqid 2726 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)))
20 evlsvvval.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
21 evlsvvval.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
22 evlsvvval.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
23 evlsvvval.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
248, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23evlsvval 41689 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜πΉ) = ((𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (((π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜(πΉβ€˜π‘))(.rβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))((mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) Ξ£g (𝑏 ∘f (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)))))))))
25 sneq 4633 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘) β†’ {π‘₯} = {(πΉβ€˜π‘)})
2625xpeq2d 5699 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘) β†’ ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}) = ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {(πΉβ€˜π‘)}))
27 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
289, 27, 10, 11, 23mplelf 21899 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
2913subrgbas 20483 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
3022, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
3130feq3d 6698 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹:π·βŸΆπ‘… ↔ 𝐹:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘ˆ)))
3228, 31mpbird 257 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆπ‘…)
3332ffvelcdmda 7080 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ 𝑅)
34 ovex 7438 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V
35 snex 5424 . . . . . . . . . 10 {(πΉβ€˜π‘)} ∈ V
3634, 35xpex 7737 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {(πΉβ€˜π‘)}) ∈ V
3736a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {(πΉβ€˜π‘)}) ∈ V)
3818, 26, 33, 37fvmptd3 7015 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜(πΉβ€˜π‘)) = ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {(πΉβ€˜π‘)}))
3911psrbagf 21812 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ 𝐷 β†’ 𝑏:πΌβŸΆβ„•0)
4039adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑏:πΌβŸΆβ„•0)
4140ffnd 6712 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑏 Fn 𝐼)
4234mptex 7220 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)) ∈ V
4342, 19fnmpti 6687 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯))) Fn 𝐼
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯))) Fn 𝐼)
4520adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
46 inidm 4213 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
47 eqidd 2727 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘β€˜π‘–) = (π‘β€˜π‘–))
48 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑖 β†’ (π‘Žβ€˜π‘₯) = (π‘Žβ€˜π‘–))
4948mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑖 β†’ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)) = (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘–)))
50 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝑖 ∈ 𝐼)
51 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
5221ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
53 ovexd 7440 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
54 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) β†’ π‘Ž:𝐼⟢𝐾)
5554ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Žβ€˜π‘–) ∈ 𝐾)
5655ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ 𝐼 ∧ π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ (π‘Žβ€˜π‘–) ∈ 𝐾)
5756adantll 711 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ (π‘Žβ€˜π‘–) ∈ 𝐾)
5857fmpttd 7110 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘–)):(𝐾 ↑m 𝐼)⟢𝐾)
5914, 12, 51, 52, 53, 58pwselbasr 41670 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘–)) ∈ (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
6019, 49, 50, 59fvmptd3 7015 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)))β€˜π‘–) = (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘–)))
6141, 44, 45, 45, 46, 47, 60offval 7676 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝑏 ∘f (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)))) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘–)))))
6215, 51mgpbas 20045 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
6321crngringd 20151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
64 ovexd 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
6514pwsring 20223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V) β†’ (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) ∈ Ring)
6663, 64, 65syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) ∈ Ring)
6715ringmgp 20144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) ∈ Mnd)
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) ∈ Mnd)
6968ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) ∈ Mnd)
7040ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ β„•0)
7162, 16, 69, 70, 59mulgnn0cld 19022 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘–))) ∈ (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
7214, 12, 51, 52, 53, 71pwselbas 17444 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘–))):(𝐾 ↑m 𝐼)⟢𝐾)
7372ffnd 6712 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘–))) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
74 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–)) ∈ V
75 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–))) = (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–)))
7674, 75fnmpti 6687 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–))) Fn (𝐾 ↑m 𝐼)
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–))) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
78 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘–)) = (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘–))
79 fveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = 𝑝 β†’ (π‘Žβ€˜π‘–) = (π‘β€˜π‘–))
80 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
81 fvexd 6900 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ V)
8278, 79, 80, 81fvmptd3 7015 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ ((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘–))β€˜π‘) = (π‘β€˜π‘–))
8382oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ ((π‘β€˜π‘–) ↑ ((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘–))β€˜π‘)) = ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘β€˜π‘–)))
84 evlsvvval.m . . . . . . . . . . . . . 14 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘†)
85 evlsvvval.w . . . . . . . . . . . . . 14 ↑ = (.gβ€˜π‘€)
8663ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
87 ovexd 7440 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
8870adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ β„•0)
8959adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘–)) ∈ (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
9014, 51, 15, 84, 16, 85, 86, 87, 88, 89, 80pwsexpg 20228 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ (((π‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘–)))β€˜π‘) = ((π‘β€˜π‘–) ↑ ((π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘–))β€˜π‘)))
91 fveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š = 𝑝 β†’ (π‘šβ€˜π‘–) = (π‘β€˜π‘–))
9291oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑝 β†’ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–)) = ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘β€˜π‘–)))
93 ovexd 7440 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘β€˜π‘–)) ∈ V)
9475, 92, 80, 93fvmptd3 7015 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ ((π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–)))β€˜π‘) = ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘β€˜π‘–)))
9583, 90, 943eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ (((π‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘–)))β€˜π‘) = ((π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–)))β€˜π‘))
9673, 77, 95eqfnfvd 7029 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘–))) = (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–))))
9796mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘–)))) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–)))))
9861, 97eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝑏 ∘f (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)))) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–)))))
9998oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) Ξ£g (𝑏 ∘f (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯))))) = ((mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–))))))
100 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (1rβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
101 ovexd 7440 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
10221adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
10384, 12mgpbas 20045 . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Baseβ€˜π‘€)
10484ringmgp 20144 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ Ring β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
10563, 104syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
106105ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼)) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
10770adantrl 713 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼)) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ β„•0)
108 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) β†’ π‘š:𝐼⟢𝐾)
109108ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . 11 ((π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘šβ€˜π‘–) ∈ 𝐾)
110109adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼)) β†’ (π‘šβ€˜π‘–) ∈ 𝐾)
111103, 85, 106, 107, 110mulgnn0cld 19022 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼)) β†’ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–)) ∈ 𝐾)
11245mptexd 7221 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–)))) ∈ V)
113 fvexd 6900 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (1rβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) ∈ V)
114 funmpt 6580 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–))))
115114a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ Fun (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–)))))
11611psrbagfsupp 21814 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ 𝐷 β†’ 𝑏 finSupp 0)
117116adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑏 finSupp 0)
118 ssidd 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝑏 supp 0) βŠ† (𝑏 supp 0))
119 0cnd 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 0 ∈ β„‚)
12040, 118, 45, 119suppssr 8181 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– (𝑏 supp 0))) β†’ (π‘β€˜π‘–) = 0)
121120oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– (𝑏 supp 0))) β†’ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–)) = (0 ↑ (π‘šβ€˜π‘–)))
122121adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– (𝑏 supp 0))) ∧ π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–)) = (0 ↑ (π‘šβ€˜π‘–)))
123 eldifi 4121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– (𝑏 supp 0)) β†’ 𝑖 ∈ 𝐼)
124123, 109sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– (𝑏 supp 0))) β†’ (π‘šβ€˜π‘–) ∈ 𝐾)
125124ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– (𝑏 supp 0)) ∧ π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ (π‘šβ€˜π‘–) ∈ 𝐾)
126125adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– (𝑏 supp 0))) ∧ π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ (π‘šβ€˜π‘–) ∈ 𝐾)
127 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
12884, 127ringidval 20088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1rβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘€)
129103, 128, 85mulg0 19002 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘šβ€˜π‘–) ∈ 𝐾 β†’ (0 ↑ (π‘šβ€˜π‘–)) = (1rβ€˜π‘†))
130126, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– (𝑏 supp 0))) ∧ π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ (0 ↑ (π‘šβ€˜π‘–)) = (1rβ€˜π‘†))
131122, 130eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– (𝑏 supp 0))) ∧ π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–)) = (1rβ€˜π‘†))
132131mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– (𝑏 supp 0))) β†’ (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–))) = (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (1rβ€˜π‘†)))
133 fconstmpt 5731 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {(1rβ€˜π‘†)}) = (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (1rβ€˜π‘†))
13414, 127pws1 20224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V) β†’ ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {(1rβ€˜π‘†)}) = (1rβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
13563, 64, 134syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {(1rβ€˜π‘†)}) = (1rβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
136135ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– (𝑏 supp 0))) β†’ ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {(1rβ€˜π‘†)}) = (1rβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
137133, 136eqtr3id 2780 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– (𝑏 supp 0))) β†’ (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (1rβ€˜π‘†)) = (1rβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
138132, 137eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– (𝑏 supp 0))) β†’ (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–))) = (1rβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
139138, 45suppss2 8186 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–)))) supp (1rβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))) βŠ† (𝑏 supp 0))
140112, 113, 115, 117, 139fsuppsssuppgd 41625 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–)))) finSupp (1rβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
14114, 12, 100, 15, 84, 101, 45, 102, 111, 140pwsgprod 41671 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–))))) = (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–))))))
14299, 141eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) Ξ£g (𝑏 ∘f (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯))))) = (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–))))))
14338, 142oveq12d 7423 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜(πΉβ€˜π‘))(.rβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))((mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) Ξ£g (𝑏 ∘f (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)))))) = (((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {(πΉβ€˜π‘)})(.rβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–)))))))
14412subrgss 20474 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐾)
14529, 144eqsstrrd 4016 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) βŠ† 𝐾)
14622, 145syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) βŠ† 𝐾)
14728, 146fssd 6729 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐷⟢𝐾)
148147ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ 𝐾)
149 fconst6g 6774 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜π‘) ∈ 𝐾 β†’ ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {(πΉβ€˜π‘)}):(𝐾 ↑m 𝐼)⟢𝐾)
150148, 149syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {(πΉβ€˜π‘)}):(𝐾 ↑m 𝐼)⟢𝐾)
15114, 12, 51, 102, 101, 150pwselbasr 41670 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {(πΉβ€˜π‘)}) ∈ (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
15220ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
15321ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
154 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
155 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ 𝑏 ∈ 𝐷)
15611, 12, 84, 85, 152, 153, 154, 155evlsvvvallem 41690 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–)))) ∈ 𝐾)
157156fmpttd 7110 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–))))):(𝐾 ↑m 𝐼)⟢𝐾)
15814, 12, 51, 102, 101, 157pwselbasr 41670 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–))))) ∈ (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
159 evlsvvval.x . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜π‘†)
16014, 51, 102, 101, 151, 158, 159, 17pwsmulrval 17446 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {(πΉβ€˜π‘)})(.rβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–)))))) = (((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {(πΉβ€˜π‘)}) ∘f Β· (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–)))))))
161150ffnd 6712 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {(πΉβ€˜π‘)}) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
162 ovex 7438 . . . . . . . . 9 (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–)))) ∈ V
163 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–))))) = (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–)))))
164162, 163fnmpti 6687 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–))))) Fn (𝐾 ↑m 𝐼)
165164a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–))))) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
166 inidm 4213 . . . . . . 7 ((𝐾 ↑m 𝐼) ∩ (𝐾 ↑m 𝐼)) = (𝐾 ↑m 𝐼)
167 fvex 6898 . . . . . . . . 9 (πΉβ€˜π‘) ∈ V
168167fvconst2 7201 . . . . . . . 8 (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) β†’ (((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {(πΉβ€˜π‘)})β€˜π‘™) = (πΉβ€˜π‘))
169168adantl 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ (((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {(πΉβ€˜π‘)})β€˜π‘™) = (πΉβ€˜π‘))
170 fveq1 6884 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑙 β†’ (π‘šβ€˜π‘–) = (π‘™β€˜π‘–))
171170oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑙 β†’ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–)) = ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘™β€˜π‘–)))
172171mpteq2dv 5243 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑙 β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–))) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘™β€˜π‘–))))
173172oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑙 β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–)))) = (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘™β€˜π‘–)))))
174 simpr 484 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
17520ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
17621ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
177 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ 𝑏 ∈ 𝐷)
17811, 12, 84, 85, 175, 176, 174, 177evlsvvvallem 41690 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘™β€˜π‘–)))) ∈ 𝐾)
179163, 173, 174, 178fvmptd3 7015 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ ((π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–)))))β€˜π‘™) = (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘™β€˜π‘–)))))
180161, 165, 101, 101, 166, 169, 179offval 7676 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {(πΉβ€˜π‘)}) ∘f Β· (π‘š ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘šβ€˜π‘–)))))) = (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘™β€˜π‘–)))))))
181143, 160, 1803eqtrd 2770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜(πΉβ€˜π‘))(.rβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))((mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) Ξ£g (𝑏 ∘f (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)))))) = (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘™β€˜π‘–)))))))
182181mpteq2dva 5241 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (((π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜(πΉβ€˜π‘))(.rβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))((mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) Ξ£g (𝑏 ∘f (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯))))))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘™β€˜π‘–))))))))
183182oveq2d 7421 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (((π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜(πΉβ€˜π‘))(.rβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))((mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) Ξ£g (𝑏 ∘f (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)))))))) = ((𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘™β€˜π‘–)))))))))
184 eqid 2726 . . . 4 (0gβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (0gβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
185 ovexd 7440 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V)
18611, 185rabexd 5326 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ V)
18763ringcmnd 20183 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CMnd)
18863adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
189148adantrl 713 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ 𝐾)
190 simpl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) β†’ πœ‘)
191 simprr 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) β†’ 𝑏 ∈ 𝐷)
192 simprl 768 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) β†’ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
193190, 191, 192, 178syl21anc 835 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘™β€˜π‘–)))) ∈ 𝐾)
19412, 159, 188, 189, 193ringcld 20162 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) β†’ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘™β€˜π‘–))))) ∈ 𝐾)
195186mptexd 7221 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘™β€˜π‘–))))))) ∈ V)
196 fvexd 6900 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) ∈ V)
197 funmpt 6580 . . . . . 6 Fun (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘™β€˜π‘–)))))))
198197a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Fun (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘™β€˜π‘–))))))))
199 eqid 2726 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
20013ovexi 7439 . . . . . . 7 π‘ˆ ∈ V
201200a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ V)
2029, 10, 199, 23, 201mplelsfi 21896 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘ˆ))
203 ssidd 4000 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)) βŠ† (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))
204 fvexd 6900 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ˆ) ∈ V)
205147, 203, 186, 204suppssr 8181 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (0gβ€˜π‘ˆ))
206 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
20713, 206subrg0 20481 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
20822, 207syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
209208adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
210205, 209eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (0gβ€˜π‘†))
211210adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (0gβ€˜π‘†))
212211oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘™β€˜π‘–))))) = ((0gβ€˜π‘†) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘™β€˜π‘–))))))
21363ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
214 eldifi 4121 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ))) β†’ 𝑏 ∈ 𝐷)
215214, 178sylanl2 678 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘™β€˜π‘–)))) ∈ 𝐾)
21612, 159, 206, 213, 215ringlzd 20194 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ ((0gβ€˜π‘†) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘™β€˜π‘–))))) = (0gβ€˜π‘†))
217212, 216eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) β†’ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘™β€˜π‘–))))) = (0gβ€˜π‘†))
218217mpteq2dva 5241 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘™β€˜π‘–)))))) = (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (0gβ€˜π‘†)))
219 fconstmpt 5731 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {(0gβ€˜π‘†)}) = (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (0gβ€˜π‘†))
220187cmnmndd 19724 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Mnd)
22114, 206pws0g 18703 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V) β†’ ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {(0gβ€˜π‘†)}) = (0gβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
222220, 64, 221syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐾 ↑m 𝐼) Γ— {(0gβ€˜π‘†)}) = (0gβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
223219, 222eqtr3id 2780 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
224223adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
225218, 224eqtrd 2766 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘™β€˜π‘–)))))) = (0gβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
226225, 186suppss2 8186 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘™β€˜π‘–))))))) supp (0gβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))) βŠ† (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))
227195, 196, 198, 202, 226fsuppsssuppgd 41625 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘™β€˜π‘–))))))) finSupp (0gβ€˜(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
22814, 12, 184, 64, 186, 187, 194, 227pwsgsum 19902 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘™β€˜π‘–)))))))) = (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘™β€˜π‘–)))))))))
22924, 183, 2283eqtrd 2770 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜πΉ) = (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π‘™β€˜π‘–)))))))))
230 evlsvvval.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
231 ovexd 7440 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))))) ∈ V)
2327, 229, 230, 231fvmptd4 41614 1 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜πΉ)β€˜π΄) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  {csn 4623   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672  Fun wfun 6531   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665   supp csupp 8146   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  β„‚cc 11110  0cc0 11112  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  .rcmulr 17207  0gc0g 17394   Ξ£g cgsu 17395   ↑s cpws 17401  Mndcmnd 18667  .gcmg 18995  mulGrpcmgp 20039  1rcur 20086  Ringcrg 20138  CRingccrg 20139  SubRingcsubrg 20469   mPoly cmpl 21800   evalSub ces 21975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-srg 20092  df-ring 20140  df-cring 20141  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-assa 21748  df-asp 21749  df-ascl 21750  df-psr 21803  df-mvr 21804  df-mpl 21805  df-evls 21977
This theorem is referenced by:  evlsbagval  41695  evlvvval  41702  evlsmhpvvval  41724
  Copyright terms: Public domain W3C validator