Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlsvvval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlsvvval 41624
Description: Give a formula for the evaluation of a polynomial given assignments from variables to values. This is the sum of the evaluations for each term (corresponding to a bag of variables), that is, the coefficient times the product of each variable raised to the corresponding power. (Contributed by SN, 5-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsvvval.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsvvval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsvvval.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsvvval.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
evlsvvval.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
evlsvvval.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsvvval.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
evlsvvval.w = (.g𝑀)
evlsvvval.x · = (.r𝑆)
evlsvvval.i (𝜑𝐼𝑉)
evlsvvval.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evlsvvval.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsvvval.f (𝜑𝐹𝐵)
evlsvvval.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
Assertion
Ref Expression
evlsvvval (𝜑 → ((𝑄𝐹)‘𝐴) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑏,𝑖   𝑃,𝑏   𝐵,𝑏   𝐷,𝑏,𝑖   𝐾,𝑏,𝑖   𝑈,𝑏,   𝐹,𝑏   𝑖,𝐼,𝑏   ,𝐼   𝑆,𝑏,𝑖   𝑅,𝑏   𝐴,𝑏,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐴()   𝐵(,𝑖)   𝐷()   𝑃(,𝑖)   𝑄(,𝑖,𝑏)   𝑅(,𝑖)   𝑆()   · (,𝑖,𝑏)   𝑈(𝑖)   (,𝑖,𝑏)   𝐹(,𝑖)   𝐾()   𝑀(,𝑖,𝑏)   𝑉(,𝑖,𝑏)

Proof of Theorem evlsvvval
Dummy variables 𝑎 𝑥 𝑝 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6880 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝐴 → (𝑙𝑖) = (𝐴𝑖))
21oveq2d 7417 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐴 → ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)) = ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))
32mpteq2dv 5240 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐴 → (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖))) = (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))
43oveq2d 7417 . . . . 5 (𝑙 = 𝐴 → (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))) = (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))))
54oveq2d 7417 . . . 4 (𝑙 = 𝐴 → ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖))))) = ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))))
65mpteq2dv 5240 . . 3 (𝑙 = 𝐴 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))))))
76oveq2d 7417 . 2 (𝑙 = 𝐴 → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖))))))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))))))
8 evlsvvval.q . . . 4 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
9 evlsvvval.p . . . 4 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
10 evlsvvval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
11 evlsvvval.d . . . 4 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
12 evlsvvval.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑆)
13 evlsvvval.u . . . 4 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
14 eqid 2724 . . . 4 (𝑆s (𝐾m 𝐼)) = (𝑆s (𝐾m 𝐼))
15 eqid 2724 . . . 4 (mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) = (mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))
16 eqid 2724 . . . 4 (.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))) = (.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
17 eqid 2724 . . . 4 (.r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) = (.r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))
18 eqid 2724 . . . 4 (𝑥𝑅 ↦ ((𝐾m 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥𝑅 ↦ ((𝐾m 𝐼) × {𝑥}))
19 eqid 2724 . . . 4 (𝑥𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑥)))
20 evlsvvval.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
21 evlsvvval.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
22 evlsvvval.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
23 evlsvvval.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐵)
248, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23evlsvval 41621 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐹) = ((𝑆s (𝐾m 𝐼)) Σg (𝑏𝐷 ↦ (((𝑥𝑅 ↦ ((𝐾m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹𝑏))(.r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) Σg (𝑏f (.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑥𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑥)))))))))
25 sneq 4630 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑏) → {𝑥} = {(𝐹𝑏)})
2625xpeq2d 5696 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑏) → ((𝐾m 𝐼) × {𝑥}) = ((𝐾m 𝐼) × {(𝐹𝑏)}))
27 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
289, 27, 10, 11, 23mplelf 21867 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑈))
2913subrgbas 20473 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
3022, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 = (Base‘𝑈))
3130feq3d 6694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹:𝐷𝑅𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑈)))
3228, 31mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐷𝑅)
3332ffvelcdmda 7076 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝐹𝑏) ∈ 𝑅)
34 ovex 7434 . . . . . . . . . 10 (𝐾m 𝐼) ∈ V
35 snex 5421 . . . . . . . . . 10 {(𝐹𝑏)} ∈ V
3634, 35xpex 7733 . . . . . . . . 9 ((𝐾m 𝐼) × {(𝐹𝑏)}) ∈ V
3736a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝐾m 𝐼) × {(𝐹𝑏)}) ∈ V)
3818, 26, 33, 37fvmptd3 7011 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝑥𝑅 ↦ ((𝐾m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹𝑏)) = ((𝐾m 𝐼) × {(𝐹𝑏)}))
3911psrbagf 21780 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏𝐷𝑏:𝐼⟶ℕ0)
4039adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
4140ffnd 6708 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑏 Fn 𝐼)
4234mptex 7216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑥)) ∈ V
4342, 19fnmpti 6683 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑥))) Fn 𝐼
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑥))) Fn 𝐼)
4520adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝐼𝑉)
46 inidm 4210 . . . . . . . . . . 11 (𝐼𝐼) = 𝐼
47 eqidd 2725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑏𝑖) = (𝑏𝑖))
48 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑖 → (𝑎𝑥) = (𝑎𝑖))
4948mpteq2dv 5240 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑖 → (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑥)) = (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖)))
50 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖𝐼)
51 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) = (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))
5221ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑆 ∈ CRing)
53 ovexd 7436 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) → (𝐾m 𝐼) ∈ V)
54 elmapi 8839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) → 𝑎:𝐼𝐾)
5554ffvelcdmda 7076 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑎𝑖) ∈ 𝐾)
5655ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖𝐼𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼)) → (𝑎𝑖) ∈ 𝐾)
5756adantll 711 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼)) → (𝑎𝑖) ∈ 𝐾)
5857fmpttd 7106 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖)):(𝐾m 𝐼)⟶𝐾)
5914, 12, 51, 52, 53, 58pwselbasr 41602 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖)) ∈ (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
6019, 49, 50, 59fvmptd3 7011 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑥)))‘𝑖) = (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖)))
6141, 44, 45, 45, 46, 47, 60offval 7672 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑏f (.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑥𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑥)))) = (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖)(.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖)))))
6215, 51mgpbas 20035 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) = (Base‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
6321crngringd 20141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
64 ovexd 7436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐾m 𝐼) ∈ V)
6514pwsring 20213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐾m 𝐼) ∈ V) → (𝑆s (𝐾m 𝐼)) ∈ Ring)
6663, 64, 65syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑆s (𝐾m 𝐼)) ∈ Ring)
6715ringmgp 20134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆s (𝐾m 𝐼)) ∈ Ring → (mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) ∈ Mnd)
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) ∈ Mnd)
6968ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) → (mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) ∈ Mnd)
7040ffvelcdmda 7076 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑏𝑖) ∈ ℕ0)
7162, 16, 69, 70, 59mulgnn0cld 19012 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑏𝑖)(.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖))) ∈ (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
7214, 12, 51, 52, 53, 71pwselbas 17434 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑏𝑖)(.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖))):(𝐾m 𝐼)⟶𝐾)
7372ffnd 6708 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑏𝑖)(.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖))) Fn (𝐾m 𝐼))
74 ovex 7434 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)) ∈ V
75 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))) = (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))
7674, 75fnmpti 6683 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))) Fn (𝐾m 𝐼)
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))) Fn (𝐾m 𝐼))
78 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖)) = (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖))
79 fveq1 6880 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑝 → (𝑎𝑖) = (𝑝𝑖))
80 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾m 𝐼)) → 𝑝 ∈ (𝐾m 𝐼))
81 fvexd 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾m 𝐼)) → (𝑝𝑖) ∈ V)
8278, 79, 80, 81fvmptd3 7011 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾m 𝐼)) → ((𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖))‘𝑝) = (𝑝𝑖))
8382oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾m 𝐼)) → ((𝑏𝑖) ((𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖))‘𝑝)) = ((𝑏𝑖) (𝑝𝑖)))
84 evlsvvval.m . . . . . . . . . . . . . 14 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
85 evlsvvval.w . . . . . . . . . . . . . 14 = (.g𝑀)
8663ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾m 𝐼)) → 𝑆 ∈ Ring)
87 ovexd 7436 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾m 𝐼)) → (𝐾m 𝐼) ∈ V)
8870adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾m 𝐼)) → (𝑏𝑖) ∈ ℕ0)
8959adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾m 𝐼)) → (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖)) ∈ (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
9014, 51, 15, 84, 16, 85, 86, 87, 88, 89, 80pwsexpg 20218 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾m 𝐼)) → (((𝑏𝑖)(.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖)))‘𝑝) = ((𝑏𝑖) ((𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖))‘𝑝)))
91 fveq1 6880 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑝 → (𝑚𝑖) = (𝑝𝑖))
9291oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑝 → ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)) = ((𝑏𝑖) (𝑝𝑖)))
93 ovexd 7436 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾m 𝐼)) → ((𝑏𝑖) (𝑝𝑖)) ∈ V)
9475, 92, 80, 93fvmptd3 7011 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾m 𝐼)) → ((𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))‘𝑝) = ((𝑏𝑖) (𝑝𝑖)))
9583, 90, 943eqtr4d 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾m 𝐼)) → (((𝑏𝑖)(.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖)))‘𝑝) = ((𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))‘𝑝))
9673, 77, 95eqfnfvd 7025 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑏𝑖)(.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖))) = (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))))
9796mpteq2dva 5238 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖)(.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖)))) = (𝑖𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))))
9861, 97eqtrd 2764 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑏f (.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑥𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑥)))) = (𝑖𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))))
9998oveq2d 7417 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → ((mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) Σg (𝑏f (.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑥𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑥))))) = ((mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) Σg (𝑖𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))))))
100 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (1r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) = (1r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))
101 ovexd 7436 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝐾m 𝐼) ∈ V)
10221adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑆 ∈ CRing)
10384, 12mgpbas 20035 . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Base‘𝑀)
10484ringmgp 20134 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
10563, 104syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
106105ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ∧ 𝑖𝐼)) → 𝑀 ∈ Mnd)
10770adantrl 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ∧ 𝑖𝐼)) → (𝑏𝑖) ∈ ℕ0)
108 elmapi 8839 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) → 𝑚:𝐼𝐾)
109108ffvelcdmda 7076 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑚𝑖) ∈ 𝐾)
110109adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ∧ 𝑖𝐼)) → (𝑚𝑖) ∈ 𝐾)
111103, 85, 106, 107, 110mulgnn0cld 19012 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ∧ 𝑖𝐼)) → ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)) ∈ 𝐾)
11245mptexd 7217 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑖𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))) ∈ V)
113 fvexd 6896 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐷) → (1r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) ∈ V)
114 funmpt 6576 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑖𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))))
115114a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐷) → Fun (𝑖𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))))
11611psrbagfsupp 21782 . . . . . . . . . . 11 (𝑏𝐷𝑏 finSupp 0)
117116adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑏 finSupp 0)
118 ssidd 3997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑏 supp 0) ⊆ (𝑏 supp 0))
119 0cnd 11204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑏𝐷) → 0 ∈ ℂ)
12040, 118, 45, 119suppssr 8175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) → (𝑏𝑖) = 0)
121120oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) → ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)) = (0 (𝑚𝑖)))
122121adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼)) → ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)) = (0 (𝑚𝑖)))
123 eldifi 4118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0)) → 𝑖𝐼)
124123, 109sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) → (𝑚𝑖) ∈ 𝐾)
125124ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0)) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼)) → (𝑚𝑖) ∈ 𝐾)
126125adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼)) → (𝑚𝑖) ∈ 𝐾)
127 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1r𝑆) = (1r𝑆)
12884, 127ringidval 20078 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1r𝑆) = (0g𝑀)
129103, 128, 85mulg0 18992 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚𝑖) ∈ 𝐾 → (0 (𝑚𝑖)) = (1r𝑆))
130126, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼)) → (0 (𝑚𝑖)) = (1r𝑆))
131122, 130eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼)) → ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)) = (1r𝑆))
132131mpteq2dva 5238 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) → (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))) = (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (1r𝑆)))
133 fconstmpt 5728 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾m 𝐼) × {(1r𝑆)}) = (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (1r𝑆))
13414, 127pws1 20214 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐾m 𝐼) ∈ V) → ((𝐾m 𝐼) × {(1r𝑆)}) = (1r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
13563, 64, 134syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐾m 𝐼) × {(1r𝑆)}) = (1r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
136135ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) → ((𝐾m 𝐼) × {(1r𝑆)}) = (1r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
137133, 136eqtr3id 2778 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) → (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (1r𝑆)) = (1r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
138132, 137eqtrd 2764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) → (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))) = (1r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
139138, 45suppss2 8180 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝑖𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))) supp (1r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))) ⊆ (𝑏 supp 0))
140112, 113, 115, 117, 139fsuppsssuppgd 41557 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑖𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))) finSupp (1r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
14114, 12, 100, 15, 84, 101, 45, 102, 111, 140pwsgprod 41603 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → ((mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) Σg (𝑖𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))))) = (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))))))
14299, 141eqtrd 2764 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → ((mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) Σg (𝑏f (.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑥𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑥))))) = (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))))))
14338, 142oveq12d 7419 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐷) → (((𝑥𝑅 ↦ ((𝐾m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹𝑏))(.r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) Σg (𝑏f (.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑥𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑥)))))) = (((𝐾m 𝐼) × {(𝐹𝑏)})(.r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))(𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))))))
14412subrgss 20464 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅𝐾)
14529, 144eqsstrrd 4013 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
14622, 145syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
14728, 146fssd 6725 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐷𝐾)
148147ffvelcdmda 7076 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝐹𝑏) ∈ 𝐾)
149 fconst6g 6770 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑏) ∈ 𝐾 → ((𝐾m 𝐼) × {(𝐹𝑏)}):(𝐾m 𝐼)⟶𝐾)
150148, 149syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝐾m 𝐼) × {(𝐹𝑏)}):(𝐾m 𝐼)⟶𝐾)
15114, 12, 51, 102, 101, 150pwselbasr 41602 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝐾m 𝐼) × {(𝐹𝑏)}) ∈ (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
15220ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼)) → 𝐼𝑉)
15321ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼)) → 𝑆 ∈ CRing)
154 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼)) → 𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼))
155 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼)) → 𝑏𝐷)
15611, 12, 84, 85, 152, 153, 154, 155evlsvvvallem 41622 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))) ∈ 𝐾)
157156fmpttd 7106 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))))):(𝐾m 𝐼)⟶𝐾)
15814, 12, 51, 102, 101, 157pwselbasr 41602 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))))) ∈ (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
159 evlsvvval.x . . . . . . 7 · = (.r𝑆)
16014, 51, 102, 101, 151, 158, 159, 17pwsmulrval 17436 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐷) → (((𝐾m 𝐼) × {(𝐹𝑏)})(.r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))(𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))))) = (((𝐾m 𝐼) × {(𝐹𝑏)}) ∘f · (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))))))
161150ffnd 6708 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝐾m 𝐼) × {(𝐹𝑏)}) Fn (𝐾m 𝐼))
162 ovex 7434 . . . . . . . . 9 (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))) ∈ V
163 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))))) = (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))))
164162, 163fnmpti 6683 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))))) Fn (𝐾m 𝐼)
165164a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))))) Fn (𝐾m 𝐼))
166 inidm 4210 . . . . . . 7 ((𝐾m 𝐼) ∩ (𝐾m 𝐼)) = (𝐾m 𝐼)
167 fvex 6894 . . . . . . . . 9 (𝐹𝑏) ∈ V
168167fvconst2 7197 . . . . . . . 8 (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) → (((𝐾m 𝐼) × {(𝐹𝑏)})‘𝑙) = (𝐹𝑏))
169168adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼)) → (((𝐾m 𝐼) × {(𝐹𝑏)})‘𝑙) = (𝐹𝑏))
170 fveq1 6880 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑙 → (𝑚𝑖) = (𝑙𝑖))
171170oveq2d 7417 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑙 → ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)) = ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))
172171mpteq2dv 5240 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑙 → (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))) = (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖))))
173172oveq2d 7417 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑙 → (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))) = (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))))
174 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼)) → 𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼))
17520ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼)) → 𝐼𝑉)
17621ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼)) → 𝑆 ∈ CRing)
177 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼)) → 𝑏𝐷)
17811, 12, 84, 85, 175, 176, 174, 177evlsvvvallem 41622 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))) ∈ 𝐾)
179163, 173, 174, 178fvmptd3 7011 . . . . . . 7 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼)) → ((𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))))‘𝑙) = (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))))
180161, 165, 101, 101, 166, 169, 179offval 7672 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐷) → (((𝐾m 𝐼) × {(𝐹𝑏)}) ∘f · (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))))) = (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))))))
181143, 160, 1803eqtrd 2768 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → (((𝑥𝑅 ↦ ((𝐾m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹𝑏))(.r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) Σg (𝑏f (.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑥𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑥)))))) = (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))))))
182181mpteq2dva 5238 . . . 4 (𝜑 → (𝑏𝐷 ↦ (((𝑥𝑅 ↦ ((𝐾m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹𝑏))(.r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) Σg (𝑏f (.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑥𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑥))))))) = (𝑏𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖))))))))
183182oveq2d 7417 . . 3 (𝜑 → ((𝑆s (𝐾m 𝐼)) Σg (𝑏𝐷 ↦ (((𝑥𝑅 ↦ ((𝐾m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹𝑏))(.r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) Σg (𝑏f (.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑥𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑥)))))))) = ((𝑆s (𝐾m 𝐼)) Σg (𝑏𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))))))))
184 eqid 2724 . . . 4 (0g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) = (0g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))
185 ovexd 7436 . . . . 5 (𝜑 → (ℕ0m 𝐼) ∈ V)
18611, 185rabexd 5323 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ V)
18763ringcmnd 20173 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ CMnd)
18863adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑆 ∈ Ring)
189148adantrl 713 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ∧ 𝑏𝐷)) → (𝐹𝑏) ∈ 𝐾)
190 simpl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝜑)
191 simprr 770 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑏𝐷)
192 simprl 768 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼))
193190, 191, 192, 178syl21anc 835 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ∧ 𝑏𝐷)) → (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))) ∈ 𝐾)
19412, 159, 188, 189, 193ringcld 20152 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ∧ 𝑏𝐷)) → ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖))))) ∈ 𝐾)
195186mptexd 7217 . . . . 5 (𝜑 → (𝑏𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖))))))) ∈ V)
196 fvexd 6896 . . . . 5 (𝜑 → (0g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) ∈ V)
197 funmpt 6576 . . . . . 6 Fun (𝑏𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))))))
198197a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → Fun (𝑏𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖))))))))
199 eqid 2724 . . . . . 6 (0g𝑈) = (0g𝑈)
20013ovexi 7435 . . . . . . 7 𝑈 ∈ V
201200a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ V)
2029, 10, 199, 23, 201mplelsfi 21864 . . . . 5 (𝜑𝐹 finSupp (0g𝑈))
203 ssidd 3997 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 supp (0g𝑈)) ⊆ (𝐹 supp (0g𝑈)))
204 fvexd 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0g𝑈) ∈ V)
205147, 203, 186, 204suppssr 8175 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g𝑈)))) → (𝐹𝑏) = (0g𝑈))
206 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝑆) = (0g𝑆)
20713, 206subrg0 20471 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (0g𝑆) = (0g𝑈))
20822, 207syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0g𝑆) = (0g𝑈))
209208adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g𝑈)))) → (0g𝑆) = (0g𝑈))
210205, 209eqtr4d 2767 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g𝑈)))) → (𝐹𝑏) = (0g𝑆))
211210adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g𝑈)))) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼)) → (𝐹𝑏) = (0g𝑆))
212211oveq1d 7416 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g𝑈)))) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼)) → ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖))))) = ((0g𝑆) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖))))))
21363ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g𝑈)))) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼)) → 𝑆 ∈ Ring)
214 eldifi 4118 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g𝑈))) → 𝑏𝐷)
215214, 178sylanl2 678 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g𝑈)))) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))) ∈ 𝐾)
21612, 159, 206, 213, 215ringlzd 20184 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g𝑈)))) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼)) → ((0g𝑆) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖))))) = (0g𝑆))
217212, 216eqtrd 2764 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g𝑈)))) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼)) → ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖))))) = (0g𝑆))
218217mpteq2dva 5238 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g𝑈)))) → (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))))) = (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (0g𝑆)))
219 fconstmpt 5728 . . . . . . . . 9 ((𝐾m 𝐼) × {(0g𝑆)}) = (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (0g𝑆))
220187cmnmndd 19714 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ Mnd)
22114, 206pws0g 18693 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ (𝐾m 𝐼) ∈ V) → ((𝐾m 𝐼) × {(0g𝑆)}) = (0g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
222220, 64, 221syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐾m 𝐼) × {(0g𝑆)}) = (0g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
223219, 222eqtr3id 2778 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (0g𝑆)) = (0g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
224223adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g𝑈)))) → (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (0g𝑆)) = (0g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
225218, 224eqtrd 2764 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g𝑈)))) → (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))))) = (0g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
226225, 186suppss2 8180 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑏𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖))))))) supp (0g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))) ⊆ (𝐹 supp (0g𝑈)))
227195, 196, 198, 202, 226fsuppsssuppgd 41557 . . . 4 (𝜑 → (𝑏𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖))))))) finSupp (0g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
22814, 12, 184, 64, 186, 187, 194, 227pwsgsum 19892 . . 3 (𝜑 → ((𝑆s (𝐾m 𝐼)) Σg (𝑏𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))))))) = (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))))))))
22924, 183, 2283eqtrd 2768 . 2 (𝜑 → (𝑄𝐹) = (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))))))))
230 evlsvvval.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
231 ovexd 7436 . 2 (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))))) ∈ V)
2327, 229, 230, 231fvmptd4 41546 1 (𝜑 → ((𝑄𝐹)‘𝐴) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3424  Vcvv 3466  cdif 3937  wss 3940  {csn 4620   class class class wbr 5138  cmpt 5221   × cxp 5664  ccnv 5665  cima 5669  Fun wfun 6527   Fn wfn 6528  wf 6529  cfv 6533  (class class class)co 7401  f cof 7661   supp csupp 8140  m cmap 8816  Fincfn 8935   finSupp cfsupp 9357  cc 11104  0cc0 11106  cn 12209  0cn0 12469  Basecbs 17143  s cress 17172  .rcmulr 17197  0gc0g 17384   Σg cgsu 17385  s cpws 17391  Mndcmnd 18657  .gcmg 18985  mulGrpcmgp 20029  1rcur 20076  Ringcrg 20128  CRingccrg 20129  SubRingcsubrg 20459   mPoly cmpl 21768   evalSub ces 21943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-ofr 7664  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18703  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-mulg 18986  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-srg 20082  df-ring 20130  df-cring 20131  df-rhm 20364  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-lsp 20809  df-assa 21716  df-asp 21717  df-ascl 21718  df-psr 21771  df-mvr 21772  df-mpl 21773  df-evls 21945
This theorem is referenced by:  evlsbagval  41627  evlvvval  41634  evlsmhpvvval  41656
  Copyright terms: Public domain W3C validator