Theorem evlsvvval 22382

Description: Give a formula for the evaluation of a polynomial given assignments from variables to values. This is the sum of the evaluations for each term (corresponding to a bag of variables), that is, the coefficient times the product of each variable raised to the corresponding power. (Contributed by SN, 5-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsvvval.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsvvval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsvvval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsvvval.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsvvval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlsvvval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsvvval.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
evlsvvval.w	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
evlsvvval.x	⊢ · = (.r‘𝑆)
evlsvvval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsvvval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsvvval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsvvval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
evlsvvval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
evlsvvval	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))))

Distinct variable groups:   𝑃,𝑏   𝑈,ℎ   𝐵,𝑏   𝑈,𝑏   𝑖,𝑏,𝜑   𝐹,𝑏   𝑅,𝑏   𝐴,𝑏,𝑖   𝐾,𝑏,𝑖   𝐷,𝑏,𝑖   𝐼,𝑏,ℎ   𝑆,𝑏,𝑖   𝑖,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(ℎ)   𝐵(ℎ, 𝑖)   𝐷(ℎ)   𝑃(ℎ, 𝑖)   𝑄(ℎ, 𝑖, 𝑏)   𝑅(ℎ, 𝑖)   𝑆(ℎ)   · (ℎ, 𝑖, 𝑏)   𝑈(𝑖)   ↑ (ℎ, 𝑖, 𝑏)   𝐹(ℎ, 𝑖)   𝐾(ℎ)   𝑀(ℎ, 𝑖, 𝑏)   𝑉(ℎ, 𝑖, 𝑏)

Proof of Theorem evlsvvval

Dummy variables 𝑎 𝑙 𝑥 𝑚 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝐴 → (𝑙‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
2	1	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝐴 → ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)) = ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))
3	2	mpteq2dv 5199	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝐴 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖))) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))
4	3	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝐴 → (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))) = (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))
5	4	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖))))) = ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))
6	5	mpteq2dv 5199	. . 3 ⊢ (𝑙 = 𝐴 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))
7	6	oveq2d 7428	. 2 ⊢ (𝑙 = 𝐴 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖))))))) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))))
8		evlsvvval.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
9		evlsvvval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
10		evlsvvval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
11		evlsvvval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
12		evlsvvval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
13		evlsvvval.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
14		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
15		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
16		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))) = (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
17		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
18		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
19		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))
20		evlsvvval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
21		evlsvvval.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
22		evlsvvval.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
23		evlsvvval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
24	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	evlsvval 22379	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹) = ((𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))))
25		sneq 4594	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑏) → {𝑥} = {(𝐹‘𝑏)})
26	25	xpeq2d 5681	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑏) → ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}) = ((𝐾 ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}))
27		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
28	9, 27, 10, 11, 23	mplelf 22285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑈))
29	13	subrgbas 20813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
30	22, 29	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
31	30	feq3d 6686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐷⟶𝑅 ↔ 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑈)))
32	28, 31	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
33	32	ffvelcdmda 7076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑅)
34		ovex 7445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V
35		snex 5397	. . . . . . . . . 10 ⊢ {(𝐹‘𝑏)} ∈ V
36	34, 35	xpex 7756	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}) ∈ V
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐾 ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}) ∈ V)
38	18, 26, 33, 37	fvmptd3 7009	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏)) = ((𝐾 ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}))
39	11	psrbagf 22206	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
40	39	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
41	40	ffnd 6702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 Fn 𝐼)
42	34	mptex 7221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)) ∈ V
43	42, 19	fnmpti 6674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥))) Fn 𝐼
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥))) Fn 𝐼)
45	20	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑉)
46		inidm 4172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
47		eqidd 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑏‘𝑖) = (𝑏‘𝑖))
48		fveq2 6877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → (𝑎‘𝑥) = (𝑎‘𝑖))
49	48	mpteq2dv 5199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)) = (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖)))
50		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑖 ∈ 𝐼)
51		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
52	21	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ CRing)
53		ovexd 7447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
54		elmapi 8853	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → 𝑎:𝐼⟶𝐾)
55	54	ffvelcdmda 7076	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑎‘𝑖) ∈ 𝐾)
56	55	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (𝑎‘𝑖) ∈ 𝐾)
57	56	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (𝑎‘𝑖) ∈ 𝐾)
58	57	fmpttd 7107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖)):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
59	14, 12, 51, 52, 53, 58	pwselbasr 17641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖)) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
60	19, 49, 50, 59	fvmptd3 7009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))‘𝑖) = (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖)))
61	41, 44, 45, 45, 46, 47, 60	offval 7691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖)(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖)))))
62	15, 51	mgpbas 20345	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (Base‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
63	21	crngringd 20453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
64		ovexd 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
65	14	pwsring 20533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V) → (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) ∈ Ring)
66	63, 64, 65	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) ∈ Ring)
67	15	ringmgp 20445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) ∈ Ring → (mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) ∈ Mnd)
68	66, 67	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) ∈ Mnd)
69	68	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) ∈ Mnd)
70	40	ffvelcdmda 7076	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑏‘𝑖) ∈ ℕ0)
71	62, 16, 69, 70, 59	mulgnn0cld 19285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑏‘𝑖)(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖))) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
72	14, 12, 51, 52, 53, 71	pwselbas 17640	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑏‘𝑖)(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖))):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
73	72	ffnd 6702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑏‘𝑖)(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖))) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
74		ovex 7445	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)) ∈ V
75		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))) = (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))
76	74, 75	fnmpti 6674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))) Fn (𝐾 ↑m 𝐼)
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
78		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖)) = (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖))
79		fveq1 6876	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑝 → (𝑎‘𝑖) = (𝑝‘𝑖))
80		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
81		fvexd 6892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (𝑝‘𝑖) ∈ V)
82	78, 79, 80, 81	fvmptd3 7009	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖))‘𝑝) = (𝑝‘𝑖))
83	82	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → ((𝑏‘𝑖) ↑ ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖))‘𝑝)) = ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑝‘𝑖)))
84		evlsvvval.m	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
85		evlsvvval.w	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
86	63	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑆 ∈ Ring)
87		ovexd 7447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
88	70	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (𝑏‘𝑖) ∈ ℕ0)
89	59	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖)) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
90	14, 51, 15, 84, 16, 85, 86, 87, 88, 89, 80	pwsexpg 20538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (((𝑏‘𝑖)(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖)))‘𝑝) = ((𝑏‘𝑖) ↑ ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖))‘𝑝)))
91		fveq1 6876	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑝 → (𝑚‘𝑖) = (𝑝‘𝑖))
92	91	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑝 → ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)) = ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑝‘𝑖)))
93		ovexd 7447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑝‘𝑖)) ∈ V)
94	75, 92, 80, 93	fvmptd3 7009	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → ((𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))‘𝑝) = ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑝‘𝑖)))
95	83, 90, 94	3eqtr4d 2806	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (((𝑏‘𝑖)(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖)))‘𝑝) = ((𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))‘𝑝))
96	73, 77, 95	eqfnfvd 7024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑏‘𝑖)(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖))) = (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))))
97	96	mpteq2dva 5198	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖)(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖)))) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))))
98	61, 97	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))))
99	98	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥))))) = ((mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))))))
100		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (1r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
101		ovexd 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
102	21	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ CRing)
103	84, 12	mgpbas 20345	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)
104	84	ringmgp 20445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
105	63, 104	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
106	105	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼)) → 𝑀 ∈ Mnd)
107	70	adantrl 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼)) → (𝑏‘𝑖) ∈ ℕ0)
108		elmapi 8853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → 𝑚:𝐼⟶𝐾)
109	108	ffvelcdmda 7076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑚‘𝑖) ∈ 𝐾)
110	109	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼)) → (𝑚‘𝑖) ∈ 𝐾)
111	103, 85, 106, 107, 110	mulgnn0cld 19285	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼)) → ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)) ∈ 𝐾)
112	45	mptexd 7222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))) ∈ V)
113		fvexd 6892	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) ∈ V)
114		funmpt 6570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Fun (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))))
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Fun (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))))
116	11	psrbagfsupp 22207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → 𝑏 finSupp 0)
117	116	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 finSupp 0)
118		ssidd 3954	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏 supp 0) ⊆ (𝑏 supp 0))
119		0cnd 11280	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 0 ∈ ℂ)
120	40, 118, 45, 119	suppssr 8196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) → (𝑏‘𝑖) = 0)
121	120	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) → ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)) = (0 ↑ (𝑚‘𝑖)))
122	121	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)) = (0 ↑ (𝑚‘𝑖)))
123		eldifi 4078	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0)) → 𝑖 ∈ 𝐼)
124	123, 109	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) → (𝑚‘𝑖) ∈ 𝐾)
125	124	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0)) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (𝑚‘𝑖) ∈ 𝐾)
126	125	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (𝑚‘𝑖) ∈ 𝐾)
127		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
128	84, 127	ringidval 20389	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1r‘𝑆) = (0g‘𝑀)
129	103, 128, 85	mulg0 19264	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚‘𝑖) ∈ 𝐾 → (0 ↑ (𝑚‘𝑖)) = (1r‘𝑆))
130	126, 129	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (0 ↑ (𝑚‘𝑖)) = (1r‘𝑆))
131	122, 130	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)) = (1r‘𝑆))
132	131	mpteq2dva 5198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) → (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))) = (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (1r‘𝑆)))
133		fconstmpt 5713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {(1r‘𝑆)}) = (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (1r‘𝑆))
134	14, 127	pws1 20534	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V) → ((𝐾 ↑m 𝐼) × {(1r‘𝑆)}) = (1r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
135	63, 64, 134	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↑m 𝐼) × {(1r‘𝑆)}) = (1r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
136	135	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) → ((𝐾 ↑m 𝐼) × {(1r‘𝑆)}) = (1r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
137	133, 136	eqtr3id 2810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) → (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (1r‘𝑆)) = (1r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
138	132, 137	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) → (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))) = (1r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
139	138, 45	suppss2 8201	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))) supp (1r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))) ⊆ (𝑏 supp 0))
140	112, 113, 115, 117, 139	fsuppsssuppgd 9358	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))) finSupp (1r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
141	14, 12, 100, 15, 84, 101, 45, 102, 111, 140	pwsgprod 20539	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))))) = (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))))))
142	99, 141	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥))))) = (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))))))
143	38, 142	oveq12d 7430	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))) = (((𝐾 ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)})(.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))))))
144	12	subrgss 20804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
145	29, 144	eqsstrrd 3966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
146	22, 145	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
147	28, 146	fssd 6719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝐾)
148	147	ffvelcdmda 7076	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐾)
149		fconst6g 6763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑏) ∈ 𝐾 → ((𝐾 ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
150	148, 149	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐾 ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
151	14, 12, 51, 102, 101, 150	pwselbasr 17641	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐾 ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
152	20	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
153	21	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑆 ∈ CRing)
154		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
155		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑏 ∈ 𝐷)
156	11, 12, 84, 85, 152, 153, 154, 155	evlsvvvallem 22380	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))) ∈ 𝐾)
157	156	fmpttd 7107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))))):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
158	14, 12, 51, 102, 101, 157	pwselbasr 17641	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))))) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
159		evlsvvval.x	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑆)
160	14, 51, 102, 101, 151, 158, 159, 17	pwsmulrval 17643	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐾 ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)})(.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))))) = (((𝐾 ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}) ∘f · (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))))))
161	150	ffnd 6702	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐾 ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
162		ovex 7445	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))) ∈ V
163		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))))) = (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))))
164	162, 163	fnmpti 6674	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))))) Fn (𝐾 ↑m 𝐼)
165	164	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))))) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
166		inidm 4172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ↑m 𝐼) ∩ (𝐾 ↑m 𝐼)) = (𝐾 ↑m 𝐼)
167		fvex 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘𝑏) ∈ V
168	167	fvconst2 7202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → (((𝐾 ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)})‘𝑙) = (𝐹‘𝑏))
169	168	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (((𝐾 ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)})‘𝑙) = (𝐹‘𝑏))
170		fveq1 6876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → (𝑚‘𝑖) = (𝑙‘𝑖))
171	170	oveq2d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)) = ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))
172	171	mpteq2dv 5199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖))))
173	172	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))) = (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))))
174		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
175	20	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
176	21	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑆 ∈ CRing)
177		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑏 ∈ 𝐷)
178	11, 12, 84, 85, 175, 176, 174, 177	evlsvvvallem 22380	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))) ∈ 𝐾)
179	163, 173, 174, 178	fvmptd3 7009	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → ((𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))))‘𝑙) = (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))))
180	161, 165, 101, 101, 166, 169, 179	offval 7691	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐾 ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}) ∘f · (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))))) = (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))))))
181	143, 160, 180	3eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))) = (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))))))
182	181	mpteq2dva 5198	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥))))))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖))))))))
183	182	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))) = ((𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))))))))
184		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (0g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
185		ovexd 7447	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V)
186	11, 185	rabexd 5301	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
187	63	ringcmnd 20493	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CMnd)
188	63	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑆 ∈ Ring)
189	148	adantrl 729	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐾)
190		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝜑)
191		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑏 ∈ 𝐷)
192		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
193	190, 191, 192, 178	syl21anc 851	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))) ∈ 𝐾)
194	12, 159, 188, 189, 193	ringcld 20464	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖))))) ∈ 𝐾)
195	186	mptexd 7222	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖))))))) ∈ V)
196		fvexd 6892	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) ∈ V)
197		funmpt 6570	. . . . . 6 ⊢ Fun (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))))))
198	197	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖))))))))
199		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
200	9, 10, 199, 23	mplelsfi 22282	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp (0g‘𝑈))
201		ssidd 3954	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp (0g‘𝑈)) ⊆ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))
202		fvexd 6892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) ∈ V)
203	147, 201, 186, 202	suppssr 8196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → (𝐹‘𝑏) = (0g‘𝑈))
204		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
205	13, 204	subrg0 20811	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
206	22, 205	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
207	206	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
208	203, 207	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → (𝐹‘𝑏) = (0g‘𝑆))
209	208	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (𝐹‘𝑏) = (0g‘𝑆))
210	209	oveq1d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖))))) = ((0g‘𝑆) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖))))))
211	63	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑆 ∈ Ring)
212		eldifi 4078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈))) → 𝑏 ∈ 𝐷)
213	212, 178	sylanl2 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))) ∈ 𝐾)
214	12, 159, 204, 211, 213	ringlzd 20506	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → ((0g‘𝑆) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖))))) = (0g‘𝑆))
215	210, 214	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖))))) = (0g‘𝑆))
216	215	mpteq2dva 5198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))))) = (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (0g‘𝑆)))
217		fconstmpt 5713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {(0g‘𝑆)}) = (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (0g‘𝑆))
218	187	cmnmndd 19998	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
219	14, 204	pws0g 18947	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V) → ((𝐾 ↑m 𝐼) × {(0g‘𝑆)}) = (0g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
220	218, 64, 219	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↑m 𝐼) × {(0g‘𝑆)}) = (0g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
221	217, 220	eqtr3id 2810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (0g‘𝑆)) = (0g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
222	221	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (0g‘𝑆)) = (0g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
223	216, 222	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))))) = (0g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
224	223, 186	suppss2 8201	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖))))))) supp (0g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))) ⊆ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))
225	195, 196, 198, 200, 224	fsuppsssuppgd 9358	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖))))))) finSupp (0g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
226	14, 12, 184, 64, 186, 187, 194, 225	pwsgsum 20176	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))))))) = (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))))))))
227	24, 183, 226	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹) = (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))))))))
228		evlsvvval.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
229		ovexd 7447	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))) ∈ V)
230	7, 227, 228, 229	fvmptd4 7010	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  Fun wfun 6525   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7680   supp csupp 8161   ↑_m cmap 8831  Fincfn 8957   finSupp cfsupp 9337  ℂcc 11179  0cc0 11181  ℕcn 12316  ℕ₀cn0 12587  Basecbs 17367   ↾_s cress 17388  ._rcmulr 17409  0_gc0g 17590   Σ_g cgsu 17591   ↑_s cpws 17597  Mndcmnd 18903  ._gcmg 19257  mulGrpcmgp 20340  1_rcur 20387  Ringcrg 20439  CRingccrg 20440  SubRingcsubrg 20801   mPoly cmpl 22194   evalSub ces 22361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-sup 9418  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-hash 14455  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-hom 17432  df-cco 17433  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-prds 17598  df-pws 17600  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-mhm 18958  df-submnd 18959  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-mulg 19258  df-subg 19313  df-ghm 19408  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-srg 20393  df-ring 20441  df-cring 20442  df-rhm 20682  df-subrng 20778  df-subrg 20802  df-lmod 21117  df-lss 21187  df-lsp 21227  df-assa 22141  df-asp 22142  df-ascl 22143  df-psr 22197  df-mvr 22198  df-mpl 22199  df-evls 22363

This theorem is used by:  evlvvval  22422  evlextv  34156  evlsbagval  43576  evlsmhpvvval  43585