Theorem evlsvvval 41624

Description: Give a formula for the evaluation of a polynomial given assignments from variables to values. This is the sum of the evaluations for each term (corresponding to a bag of variables), that is, the coefficient times the product of each variable raised to the corresponding power. (Contributed by SN, 5-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsvvval.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsvvval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsvvval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsvvval.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsvvval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlsvvval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsvvval.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
evlsvvval.w	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
evlsvvval.x	⊢ · = (.r‘𝑆)
evlsvvval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsvvval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsvvval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsvvval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
evlsvvval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
evlsvvval	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑏,𝑖   𝑃,𝑏   𝐵,𝑏   𝐷,𝑏,𝑖   𝐾,𝑏,𝑖   𝑈,𝑏,ℎ   𝐹,𝑏   𝑖,𝐼,𝑏   ℎ,𝐼   𝑆,𝑏,𝑖   𝑅,𝑏   𝐴,𝑏,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(ℎ)   𝐵(ℎ,𝑖)   𝐷(ℎ)   𝑃(ℎ,𝑖)   𝑄(ℎ,𝑖,𝑏)   𝑅(ℎ,𝑖)   𝑆(ℎ)   · (ℎ,𝑖,𝑏)   𝑈(𝑖)   ↑ (ℎ,𝑖,𝑏)   𝐹(ℎ,𝑖)   𝐾(ℎ)   𝑀(ℎ,𝑖,𝑏)   𝑉(ℎ,𝑖,𝑏)

Proof of Theorem evlsvvval

Dummy variables 𝑎 𝑥 𝑝 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6880	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝐴 → (𝑙‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
2	1	oveq2d 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝐴 → ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)) = ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))
3	2	mpteq2dv 5240	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝐴 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖))) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))
4	3	oveq2d 7417	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝐴 → (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))) = (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))
5	4	oveq2d 7417	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖))))) = ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))
6	5	mpteq2dv 5240	. . 3 ⊢ (𝑙 = 𝐴 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))
7	6	oveq2d 7417	. 2 ⊢ (𝑙 = 𝐴 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖))))))) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))))
8		evlsvvval.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
9		evlsvvval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
10		evlsvvval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
11		evlsvvval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
12		evlsvvval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
13		evlsvvval.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
14		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
15		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
16		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))) = (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
17		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
18		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
19		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))
20		evlsvvval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
21		evlsvvval.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
22		evlsvvval.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
23		evlsvvval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
24	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	evlsvval 41621	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹) = ((𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))))
25		sneq 4630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑏) → {𝑥} = {(𝐹‘𝑏)})
26	25	xpeq2d 5696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑏) → ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}) = ((𝐾 ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}))
27		eqid 2724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
28	9, 27, 10, 11, 23	mplelf 21867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑈))
29	13	subrgbas 20473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
30	22, 29	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
31	30	feq3d 6694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐷⟶𝑅 ↔ 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑈)))
32	28, 31	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
33	32	ffvelcdmda 7076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑅)
34		ovex 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V
35		snex 5421	. . . . . . . . . 10 ⊢ {(𝐹‘𝑏)} ∈ V
36	34, 35	xpex 7733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}) ∈ V
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐾 ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}) ∈ V)
38	18, 26, 33, 37	fvmptd3 7011	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏)) = ((𝐾 ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}))
39	11	psrbagf 21780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
40	39	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
41	40	ffnd 6708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 Fn 𝐼)
42	34	mptex 7216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)) ∈ V
43	42, 19	fnmpti 6683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥))) Fn 𝐼
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥))) Fn 𝐼)
45	20	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑉)
46		inidm 4210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
47		eqidd 2725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑏‘𝑖) = (𝑏‘𝑖))
48		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → (𝑎‘𝑥) = (𝑎‘𝑖))
49	48	mpteq2dv 5240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)) = (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖)))
50		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑖 ∈ 𝐼)
51		eqid 2724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
52	21	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ CRing)
53		ovexd 7436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
54		elmapi 8839	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → 𝑎:𝐼⟶𝐾)
55	54	ffvelcdmda 7076	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑎‘𝑖) ∈ 𝐾)
56	55	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (𝑎‘𝑖) ∈ 𝐾)
57	56	adantll 711	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (𝑎‘𝑖) ∈ 𝐾)
58	57	fmpttd 7106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖)):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
59	14, 12, 51, 52, 53, 58	pwselbasr 41602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖)) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
60	19, 49, 50, 59	fvmptd3 7011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))‘𝑖) = (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖)))
61	41, 44, 45, 45, 46, 47, 60	offval 7672	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖)(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖)))))
62	15, 51	mgpbas 20035	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (Base‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
63	21	crngringd 20141	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
64		ovexd 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
65	14	pwsring 20213	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V) → (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) ∈ Ring)
66	63, 64, 65	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) ∈ Ring)
67	15	ringmgp 20134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) ∈ Ring → (mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) ∈ Mnd)
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) ∈ Mnd)
69	68	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) ∈ Mnd)
70	40	ffvelcdmda 7076	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑏‘𝑖) ∈ ℕ0)
71	62, 16, 69, 70, 59	mulgnn0cld 19012	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑏‘𝑖)(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖))) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
72	14, 12, 51, 52, 53, 71	pwselbas 17434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑏‘𝑖)(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖))):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
73	72	ffnd 6708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑏‘𝑖)(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖))) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
74		ovex 7434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)) ∈ V
75		eqid 2724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))) = (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))
76	74, 75	fnmpti 6683	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))) Fn (𝐾 ↑m 𝐼)
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
78		eqid 2724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖)) = (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖))
79		fveq1 6880	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑝 → (𝑎‘𝑖) = (𝑝‘𝑖))
80		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
81		fvexd 6896	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (𝑝‘𝑖) ∈ V)
82	78, 79, 80, 81	fvmptd3 7011	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖))‘𝑝) = (𝑝‘𝑖))
83	82	oveq2d 7417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → ((𝑏‘𝑖) ↑ ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖))‘𝑝)) = ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑝‘𝑖)))
84		evlsvvval.m	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
85		evlsvvval.w	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
86	63	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑆 ∈ Ring)
87		ovexd 7436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
88	70	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (𝑏‘𝑖) ∈ ℕ0)
89	59	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖)) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
90	14, 51, 15, 84, 16, 85, 86, 87, 88, 89, 80	pwsexpg 20218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (((𝑏‘𝑖)(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖)))‘𝑝) = ((𝑏‘𝑖) ↑ ((𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖))‘𝑝)))
91		fveq1 6880	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑝 → (𝑚‘𝑖) = (𝑝‘𝑖))
92	91	oveq2d 7417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑝 → ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)) = ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑝‘𝑖)))
93		ovexd 7436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑝‘𝑖)) ∈ V)
94	75, 92, 80, 93	fvmptd3 7011	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → ((𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))‘𝑝) = ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑝‘𝑖)))
95	83, 90, 94	3eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (((𝑏‘𝑖)(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖)))‘𝑝) = ((𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))‘𝑝))
96	73, 77, 95	eqfnfvd 7025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑏‘𝑖)(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖))) = (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))))
97	96	mpteq2dva 5238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖)(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑖)))) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))))
98	61, 97	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))))
99	98	oveq2d 7417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥))))) = ((mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))))))
100		eqid 2724	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (1r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
101		ovexd 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
102	21	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ CRing)
103	84, 12	mgpbas 20035	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)
104	84	ringmgp 20134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
105	63, 104	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
106	105	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼)) → 𝑀 ∈ Mnd)
107	70	adantrl 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼)) → (𝑏‘𝑖) ∈ ℕ0)
108		elmapi 8839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → 𝑚:𝐼⟶𝐾)
109	108	ffvelcdmda 7076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑚‘𝑖) ∈ 𝐾)
110	109	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼)) → (𝑚‘𝑖) ∈ 𝐾)
111	103, 85, 106, 107, 110	mulgnn0cld 19012	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼)) → ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)) ∈ 𝐾)
112	45	mptexd 7217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))) ∈ V)
113		fvexd 6896	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) ∈ V)
114		funmpt 6576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Fun (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))))
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Fun (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))))
116	11	psrbagfsupp 21782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → 𝑏 finSupp 0)
117	116	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 finSupp 0)
118		ssidd 3997	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏 supp 0) ⊆ (𝑏 supp 0))
119		0cnd 11204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 0 ∈ ℂ)
120	40, 118, 45, 119	suppssr 8175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) → (𝑏‘𝑖) = 0)
121	120	oveq1d 7416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) → ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)) = (0 ↑ (𝑚‘𝑖)))
122	121	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)) = (0 ↑ (𝑚‘𝑖)))
123		eldifi 4118	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0)) → 𝑖 ∈ 𝐼)
124	123, 109	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) → (𝑚‘𝑖) ∈ 𝐾)
125	124	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0)) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (𝑚‘𝑖) ∈ 𝐾)
126	125	adantll 711	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (𝑚‘𝑖) ∈ 𝐾)
127		eqid 2724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
128	84, 127	ringidval 20078	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1r‘𝑆) = (0g‘𝑀)
129	103, 128, 85	mulg0 18992	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚‘𝑖) ∈ 𝐾 → (0 ↑ (𝑚‘𝑖)) = (1r‘𝑆))
130	126, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (0 ↑ (𝑚‘𝑖)) = (1r‘𝑆))
131	122, 130	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)) = (1r‘𝑆))
132	131	mpteq2dva 5238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) → (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))) = (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (1r‘𝑆)))
133		fconstmpt 5728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {(1r‘𝑆)}) = (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (1r‘𝑆))
134	14, 127	pws1 20214	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V) → ((𝐾 ↑m 𝐼) × {(1r‘𝑆)}) = (1r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
135	63, 64, 134	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↑m 𝐼) × {(1r‘𝑆)}) = (1r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
136	135	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) → ((𝐾 ↑m 𝐼) × {(1r‘𝑆)}) = (1r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
137	133, 136	eqtr3id 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) → (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (1r‘𝑆)) = (1r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
138	132, 137	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) → (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))) = (1r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
139	138, 45	suppss2 8180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))) supp (1r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))) ⊆ (𝑏 supp 0))
140	112, 113, 115, 117, 139	fsuppsssuppgd 41557	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))) finSupp (1r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
141	14, 12, 100, 15, 84, 101, 45, 102, 111, 140	pwsgprod 41603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))))) = (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))))))
142	99, 141	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥))))) = (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))))))
143	38, 142	oveq12d 7419	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))) = (((𝐾 ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)})(.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))))))
144	12	subrgss 20464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
145	29, 144	eqsstrrd 4013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
146	22, 145	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
147	28, 146	fssd 6725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝐾)
148	147	ffvelcdmda 7076	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐾)
149		fconst6g 6770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑏) ∈ 𝐾 → ((𝐾 ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
150	148, 149	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐾 ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
151	14, 12, 51, 102, 101, 150	pwselbasr 41602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐾 ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
152	20	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
153	21	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑆 ∈ CRing)
154		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
155		simplr 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑏 ∈ 𝐷)
156	11, 12, 84, 85, 152, 153, 154, 155	evlsvvvallem 41622	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))) ∈ 𝐾)
157	156	fmpttd 7106	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))))):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
158	14, 12, 51, 102, 101, 157	pwselbasr 41602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))))) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
159		evlsvvval.x	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑆)
160	14, 51, 102, 101, 151, 158, 159, 17	pwsmulrval 17436	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐾 ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)})(.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))))) = (((𝐾 ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}) ∘f · (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))))))
161	150	ffnd 6708	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐾 ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
162		ovex 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))) ∈ V
163		eqid 2724	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))))) = (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))))
164	162, 163	fnmpti 6683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))))) Fn (𝐾 ↑m 𝐼)
165	164	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))))) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
166		inidm 4210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ↑m 𝐼) ∩ (𝐾 ↑m 𝐼)) = (𝐾 ↑m 𝐼)
167		fvex 6894	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘𝑏) ∈ V
168	167	fvconst2 7197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → (((𝐾 ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)})‘𝑙) = (𝐹‘𝑏))
169	168	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (((𝐾 ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)})‘𝑙) = (𝐹‘𝑏))
170		fveq1 6880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → (𝑚‘𝑖) = (𝑙‘𝑖))
171	170	oveq2d 7417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)) = ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))
172	171	mpteq2dv 5240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖))) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖))))
173	172	oveq2d 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))) = (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))))
174		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
175	20	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
176	21	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑆 ∈ CRing)
177		simplr 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑏 ∈ 𝐷)
178	11, 12, 84, 85, 175, 176, 174, 177	evlsvvvallem 41622	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))) ∈ 𝐾)
179	163, 173, 174, 178	fvmptd3 7011	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → ((𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))))‘𝑙) = (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))))
180	161, 165, 101, 101, 166, 169, 179	offval 7672	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐾 ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}) ∘f · (𝑚 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑚‘𝑖)))))) = (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))))))
181	143, 160, 180	3eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))) = (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))))))
182	181	mpteq2dva 5238	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥))))))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖))))))))
183	182	oveq2d 7417	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))) = ((𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))))))))
184		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (0g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (0g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
185		ovexd 7436	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V)
186	11, 185	rabexd 5323	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
187	63	ringcmnd 20173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CMnd)
188	63	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑆 ∈ Ring)
189	148	adantrl 713	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐾)
190		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝜑)
191		simprr 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑏 ∈ 𝐷)
192		simprl 768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
193	190, 191, 192, 178	syl21anc 835	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))) ∈ 𝐾)
194	12, 159, 188, 189, 193	ringcld 20152	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖))))) ∈ 𝐾)
195	186	mptexd 7217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖))))))) ∈ V)
196		fvexd 6896	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) ∈ V)
197		funmpt 6576	. . . . . 6 ⊢ Fun (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))))))
198	197	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖))))))))
199		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
200	13	ovexi 7435	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ∈ V
201	200	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
202	9, 10, 199, 23, 201	mplelsfi 21864	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp (0g‘𝑈))
203		ssidd 3997	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp (0g‘𝑈)) ⊆ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))
204		fvexd 6896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) ∈ V)
205	147, 203, 186, 204	suppssr 8175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → (𝐹‘𝑏) = (0g‘𝑈))
206		eqid 2724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
207	13, 206	subrg0 20471	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
208	22, 207	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
209	208	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
210	205, 209	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → (𝐹‘𝑏) = (0g‘𝑆))
211	210	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (𝐹‘𝑏) = (0g‘𝑆))
212	211	oveq1d 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖))))) = ((0g‘𝑆) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖))))))
213	63	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑆 ∈ Ring)
214		eldifi 4118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈))) → 𝑏 ∈ 𝐷)
215	214, 178	sylanl2 678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))) ∈ 𝐾)
216	12, 159, 206, 213, 215	ringlzd 20184	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → ((0g‘𝑆) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖))))) = (0g‘𝑆))
217	212, 216	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖))))) = (0g‘𝑆))
218	217	mpteq2dva 5238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))))) = (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (0g‘𝑆)))
219		fconstmpt 5728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ↑m 𝐼) × {(0g‘𝑆)}) = (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (0g‘𝑆))
220	187	cmnmndd 19714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
221	14, 206	pws0g 18693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V) → ((𝐾 ↑m 𝐼) × {(0g‘𝑆)}) = (0g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
222	220, 64, 221	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↑m 𝐼) × {(0g‘𝑆)}) = (0g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
223	219, 222	eqtr3id 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (0g‘𝑆)) = (0g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
224	223	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (0g‘𝑆)) = (0g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
225	218, 224	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))) → (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))))) = (0g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
226	225, 186	suppss2 8180	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖))))))) supp (0g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))) ⊆ (𝐹 supp (0g‘𝑈)))
227	195, 196, 198, 202, 226	fsuppsssuppgd 41557	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖))))))) finSupp (0g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
228	14, 12, 184, 64, 186, 187, 194, 227	pwsgsum 19892	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))))))) = (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))))))))
229	24, 183, 228	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹) = (𝑙 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↦ (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝑙‘𝑖)))))))))
230		evlsvvval.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
231		ovexd 7436	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))) ∈ V)
232	7, 229, 230, 231	fvmptd4 41546	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3424  Vcvv 3466   ∖ cdif 3937   ⊆ wss 3940  {csn 4620   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221   × cxp 5664  ^◡ccnv 5665   “ cima 5669  Fun wfun 6527   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401   ∘_f cof 7661   supp csupp 8140   ↑_m cmap 8816  Fincfn 8935   finSupp cfsupp 9357  ℂcc 11104  0cc0 11106  ℕcn 12209  ℕ₀cn0 12469  Basecbs 17143   ↾_s cress 17172  ._rcmulr 17197  0_gc0g 17384   Σ_g cgsu 17385   ↑_s cpws 17391  Mndcmnd 18657  ._gcmg 18985  mulGrpcmgp 20029  1_rcur 20076  Ringcrg 20128  CRingccrg 20129  SubRingcsubrg 20459   mPoly cmpl 21768   evalSub ces 21943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-ofr 7664  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18703  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-mulg 18986  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-srg 20082  df-ring 20130  df-cring 20131  df-rhm 20364  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-lsp 20809  df-assa 21716  df-asp 21717  df-ascl 21718  df-psr 21771  df-mvr 21772  df-mpl 21773  df-evls 21945

This theorem is referenced by:  evlsbagval  41627  evlvvval  41634  evlsmhpvvval  41656