Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlsvvval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlsvvval 42550
Description: Give a formula for the evaluation of a polynomial given assignments from variables to values. This is the sum of the evaluations for each term (corresponding to a bag of variables), that is, the coefficient times the product of each variable raised to the corresponding power. (Contributed by SN, 5-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsvvval.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsvvval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsvvval.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsvvval.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
evlsvvval.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
evlsvvval.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsvvval.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
evlsvvval.w = (.g𝑀)
evlsvvval.x · = (.r𝑆)
evlsvvval.i (𝜑𝐼𝑉)
evlsvvval.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evlsvvval.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsvvval.f (𝜑𝐹𝐵)
evlsvvval.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
Assertion
Ref Expression
evlsvvval (𝜑 → ((𝑄𝐹)‘𝐴) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑏,𝑖   𝑃,𝑏   𝐵,𝑏   𝐷,𝑏,𝑖   𝐾,𝑏,𝑖   𝑈,𝑏,   𝐹,𝑏   𝑖,𝐼,𝑏   ,𝐼   𝑆,𝑏,𝑖   𝑅,𝑏   𝐴,𝑏,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐴()   𝐵(,𝑖)   𝐷()   𝑃(,𝑖)   𝑄(,𝑖,𝑏)   𝑅(,𝑖)   𝑆()   · (,𝑖,𝑏)   𝑈(𝑖)   (,𝑖,𝑏)   𝐹(,𝑖)   𝐾()   𝑀(,𝑖,𝑏)   𝑉(,𝑖,𝑏)

Proof of Theorem evlsvvval
Dummy variables 𝑎 𝑥 𝑝 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6906 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝐴 → (𝑙𝑖) = (𝐴𝑖))
21oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐴 → ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)) = ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))
32mpteq2dv 5250 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐴 → (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖))) = (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))
43oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑙 = 𝐴 → (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))) = (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))))
54oveq2d 7447 . . . 4 (𝑙 = 𝐴 → ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖))))) = ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))))
65mpteq2dv 5250 . . 3 (𝑙 = 𝐴 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))))))
76oveq2d 7447 . 2 (𝑙 = 𝐴 → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖))))))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))))))
8 evlsvvval.q . . . 4 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
9 evlsvvval.p . . . 4 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
10 evlsvvval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
11 evlsvvval.d . . . 4 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
12 evlsvvval.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑆)
13 evlsvvval.u . . . 4 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
14 eqid 2735 . . . 4 (𝑆s (𝐾m 𝐼)) = (𝑆s (𝐾m 𝐼))
15 eqid 2735 . . . 4 (mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) = (mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))
16 eqid 2735 . . . 4 (.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))) = (.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
17 eqid 2735 . . . 4 (.r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) = (.r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))
18 eqid 2735 . . . 4 (𝑥𝑅 ↦ ((𝐾m 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥𝑅 ↦ ((𝐾m 𝐼) × {𝑥}))
19 eqid 2735 . . . 4 (𝑥𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑥)))
20 evlsvvval.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
21 evlsvvval.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
22 evlsvvval.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
23 evlsvvval.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐵)
248, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23evlsvval 42547 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐹) = ((𝑆s (𝐾m 𝐼)) Σg (𝑏𝐷 ↦ (((𝑥𝑅 ↦ ((𝐾m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹𝑏))(.r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) Σg (𝑏f (.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑥𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑥)))))))))
25 sneq 4641 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑏) → {𝑥} = {(𝐹𝑏)})
2625xpeq2d 5719 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑏) → ((𝐾m 𝐼) × {𝑥}) = ((𝐾m 𝐼) × {(𝐹𝑏)}))
27 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
289, 27, 10, 11, 23mplelf 22036 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑈))
2913subrgbas 20598 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
3022, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 = (Base‘𝑈))
3130feq3d 6724 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹:𝐷𝑅𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑈)))
3228, 31mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐷𝑅)
3332ffvelcdmda 7104 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝐹𝑏) ∈ 𝑅)
34 ovex 7464 . . . . . . . . . 10 (𝐾m 𝐼) ∈ V
35 snex 5442 . . . . . . . . . 10 {(𝐹𝑏)} ∈ V
3634, 35xpex 7772 . . . . . . . . 9 ((𝐾m 𝐼) × {(𝐹𝑏)}) ∈ V
3736a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝐾m 𝐼) × {(𝐹𝑏)}) ∈ V)
3818, 26, 33, 37fvmptd3 7039 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝑥𝑅 ↦ ((𝐾m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹𝑏)) = ((𝐾m 𝐼) × {(𝐹𝑏)}))
3911psrbagf 21956 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏𝐷𝑏:𝐼⟶ℕ0)
4039adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
4140ffnd 6738 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑏 Fn 𝐼)
4234mptex 7243 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑥)) ∈ V
4342, 19fnmpti 6712 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑥))) Fn 𝐼
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑥))) Fn 𝐼)
4520adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝐼𝑉)
46 inidm 4235 . . . . . . . . . . 11 (𝐼𝐼) = 𝐼
47 eqidd 2736 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑏𝑖) = (𝑏𝑖))
48 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑖 → (𝑎𝑥) = (𝑎𝑖))
4948mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑖 → (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑥)) = (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖)))
50 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖𝐼)
51 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) = (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))
5221ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑆 ∈ CRing)
53 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) → (𝐾m 𝐼) ∈ V)
54 elmapi 8888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) → 𝑎:𝐼𝐾)
5554ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑎𝑖) ∈ 𝐾)
5655ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖𝐼𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼)) → (𝑎𝑖) ∈ 𝐾)
5756adantll 714 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼)) → (𝑎𝑖) ∈ 𝐾)
5857fmpttd 7135 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖)):(𝐾m 𝐼)⟶𝐾)
5914, 12, 51, 52, 53, 58pwselbasr 42530 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖)) ∈ (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
6019, 49, 50, 59fvmptd3 7039 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑥)))‘𝑖) = (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖)))
6141, 44, 45, 45, 46, 47, 60offval 7706 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑏f (.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑥𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑥)))) = (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖)(.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖)))))
6215, 51mgpbas 20158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) = (Base‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
6321crngringd 20264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
64 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐾m 𝐼) ∈ V)
6514pwsring 20338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐾m 𝐼) ∈ V) → (𝑆s (𝐾m 𝐼)) ∈ Ring)
6663, 64, 65syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑆s (𝐾m 𝐼)) ∈ Ring)
6715ringmgp 20257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆s (𝐾m 𝐼)) ∈ Ring → (mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) ∈ Mnd)
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) ∈ Mnd)
6968ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) → (mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) ∈ Mnd)
7040ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑏𝑖) ∈ ℕ0)
7162, 16, 69, 70, 59mulgnn0cld 19126 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑏𝑖)(.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖))) ∈ (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
7214, 12, 51, 52, 53, 71pwselbas 17536 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑏𝑖)(.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖))):(𝐾m 𝐼)⟶𝐾)
7372ffnd 6738 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑏𝑖)(.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖))) Fn (𝐾m 𝐼))
74 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)) ∈ V
75 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))) = (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))
7674, 75fnmpti 6712 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))) Fn (𝐾m 𝐼)
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))) Fn (𝐾m 𝐼))
78 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖)) = (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖))
79 fveq1 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑝 → (𝑎𝑖) = (𝑝𝑖))
80 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾m 𝐼)) → 𝑝 ∈ (𝐾m 𝐼))
81 fvexd 6922 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾m 𝐼)) → (𝑝𝑖) ∈ V)
8278, 79, 80, 81fvmptd3 7039 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾m 𝐼)) → ((𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖))‘𝑝) = (𝑝𝑖))
8382oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾m 𝐼)) → ((𝑏𝑖) ((𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖))‘𝑝)) = ((𝑏𝑖) (𝑝𝑖)))
84 evlsvvval.m . . . . . . . . . . . . . 14 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
85 evlsvvval.w . . . . . . . . . . . . . 14 = (.g𝑀)
8663ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾m 𝐼)) → 𝑆 ∈ Ring)
87 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾m 𝐼)) → (𝐾m 𝐼) ∈ V)
8870adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾m 𝐼)) → (𝑏𝑖) ∈ ℕ0)
8959adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾m 𝐼)) → (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖)) ∈ (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
9014, 51, 15, 84, 16, 85, 86, 87, 88, 89, 80pwsexpg 20343 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾m 𝐼)) → (((𝑏𝑖)(.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖)))‘𝑝) = ((𝑏𝑖) ((𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖))‘𝑝)))
91 fveq1 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑝 → (𝑚𝑖) = (𝑝𝑖))
9291oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑝 → ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)) = ((𝑏𝑖) (𝑝𝑖)))
93 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾m 𝐼)) → ((𝑏𝑖) (𝑝𝑖)) ∈ V)
9475, 92, 80, 93fvmptd3 7039 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾m 𝐼)) → ((𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))‘𝑝) = ((𝑏𝑖) (𝑝𝑖)))
9583, 90, 943eqtr4d 2785 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (𝐾m 𝐼)) → (((𝑏𝑖)(.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖)))‘𝑝) = ((𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))‘𝑝))
9673, 77, 95eqfnfvd 7054 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑏𝑖)(.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖))) = (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))))
9796mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖)(.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑖)))) = (𝑖𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))))
9861, 97eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑏f (.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑥𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑥)))) = (𝑖𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))))
9998oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → ((mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) Σg (𝑏f (.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑥𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑥))))) = ((mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) Σg (𝑖𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))))))
100 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (1r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) = (1r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))
101 ovexd 7466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝐾m 𝐼) ∈ V)
10221adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑆 ∈ CRing)
10384, 12mgpbas 20158 . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Base‘𝑀)
10484ringmgp 20257 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
10563, 104syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
106105ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ∧ 𝑖𝐼)) → 𝑀 ∈ Mnd)
10770adantrl 716 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ∧ 𝑖𝐼)) → (𝑏𝑖) ∈ ℕ0)
108 elmapi 8888 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) → 𝑚:𝐼𝐾)
109108ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑚𝑖) ∈ 𝐾)
110109adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ∧ 𝑖𝐼)) → (𝑚𝑖) ∈ 𝐾)
111103, 85, 106, 107, 110mulgnn0cld 19126 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ∧ 𝑖𝐼)) → ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)) ∈ 𝐾)
11245mptexd 7244 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑖𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))) ∈ V)
113 fvexd 6922 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐷) → (1r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) ∈ V)
114 funmpt 6606 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑖𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))))
115114a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐷) → Fun (𝑖𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))))
11611psrbagfsupp 21957 . . . . . . . . . . 11 (𝑏𝐷𝑏 finSupp 0)
117116adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑏 finSupp 0)
118 ssidd 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑏 supp 0) ⊆ (𝑏 supp 0))
119 0cnd 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑏𝐷) → 0 ∈ ℂ)
12040, 118, 45, 119suppssr 8219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) → (𝑏𝑖) = 0)
121120oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) → ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)) = (0 (𝑚𝑖)))
122121adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼)) → ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)) = (0 (𝑚𝑖)))
123 eldifi 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0)) → 𝑖𝐼)
124123, 109sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) → (𝑚𝑖) ∈ 𝐾)
125124ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0)) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼)) → (𝑚𝑖) ∈ 𝐾)
126125adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼)) → (𝑚𝑖) ∈ 𝐾)
127 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1r𝑆) = (1r𝑆)
12884, 127ringidval 20201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1r𝑆) = (0g𝑀)
129103, 128, 85mulg0 19105 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚𝑖) ∈ 𝐾 → (0 (𝑚𝑖)) = (1r𝑆))
130126, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼)) → (0 (𝑚𝑖)) = (1r𝑆))
131122, 130eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼)) → ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)) = (1r𝑆))
132131mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) → (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))) = (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (1r𝑆)))
133 fconstmpt 5751 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾m 𝐼) × {(1r𝑆)}) = (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (1r𝑆))
13414, 127pws1 20339 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐾m 𝐼) ∈ V) → ((𝐾m 𝐼) × {(1r𝑆)}) = (1r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
13563, 64, 134syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐾m 𝐼) × {(1r𝑆)}) = (1r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
136135ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) → ((𝐾m 𝐼) × {(1r𝑆)}) = (1r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
137133, 136eqtr3id 2789 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) → (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (1r𝑆)) = (1r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
138132, 137eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 supp 0))) → (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))) = (1r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
139138, 45suppss2 8224 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝑖𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))) supp (1r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))) ⊆ (𝑏 supp 0))
140112, 113, 115, 117, 139fsuppsssuppgd 9420 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑖𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))) finSupp (1r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
14114, 12, 100, 15, 84, 101, 45, 102, 111, 140pwsgprod 42531 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → ((mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) Σg (𝑖𝐼 ↦ (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))))) = (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))))))
14299, 141eqtrd 2775 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → ((mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) Σg (𝑏f (.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑥𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑥))))) = (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))))))
14338, 142oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐷) → (((𝑥𝑅 ↦ ((𝐾m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹𝑏))(.r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) Σg (𝑏f (.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑥𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑥)))))) = (((𝐾m 𝐼) × {(𝐹𝑏)})(.r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))(𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))))))
14412subrgss 20589 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅𝐾)
14529, 144eqsstrrd 4035 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
14622, 145syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
14728, 146fssd 6754 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐷𝐾)
148147ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝐹𝑏) ∈ 𝐾)
149 fconst6g 6798 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑏) ∈ 𝐾 → ((𝐾m 𝐼) × {(𝐹𝑏)}):(𝐾m 𝐼)⟶𝐾)
150148, 149syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝐾m 𝐼) × {(𝐹𝑏)}):(𝐾m 𝐼)⟶𝐾)
15114, 12, 51, 102, 101, 150pwselbasr 42530 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝐾m 𝐼) × {(𝐹𝑏)}) ∈ (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
15220ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼)) → 𝐼𝑉)
15321ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼)) → 𝑆 ∈ CRing)
154 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼)) → 𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼))
155 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼)) → 𝑏𝐷)
15611, 12, 84, 85, 152, 153, 154, 155evlsvvvallem 42548 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))) ∈ 𝐾)
157156fmpttd 7135 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))))):(𝐾m 𝐼)⟶𝐾)
15814, 12, 51, 102, 101, 157pwselbasr 42530 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))))) ∈ (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
159 evlsvvval.x . . . . . . 7 · = (.r𝑆)
16014, 51, 102, 101, 151, 158, 159, 17pwsmulrval 17538 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐷) → (((𝐾m 𝐼) × {(𝐹𝑏)})(.r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))(𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))))) = (((𝐾m 𝐼) × {(𝐹𝑏)}) ∘f · (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))))))
161150ffnd 6738 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝐾m 𝐼) × {(𝐹𝑏)}) Fn (𝐾m 𝐼))
162 ovex 7464 . . . . . . . . 9 (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))) ∈ V
163 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))))) = (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))))
164162, 163fnmpti 6712 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))))) Fn (𝐾m 𝐼)
165164a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))))) Fn (𝐾m 𝐼))
166 inidm 4235 . . . . . . 7 ((𝐾m 𝐼) ∩ (𝐾m 𝐼)) = (𝐾m 𝐼)
167 fvex 6920 . . . . . . . . 9 (𝐹𝑏) ∈ V
168167fvconst2 7224 . . . . . . . 8 (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) → (((𝐾m 𝐼) × {(𝐹𝑏)})‘𝑙) = (𝐹𝑏))
169168adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼)) → (((𝐾m 𝐼) × {(𝐹𝑏)})‘𝑙) = (𝐹𝑏))
170 fveq1 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑙 → (𝑚𝑖) = (𝑙𝑖))
171170oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑙 → ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)) = ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))
172171mpteq2dv 5250 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑙 → (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖))) = (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖))))
173172oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑙 → (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))) = (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))))
174 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼)) → 𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼))
17520ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼)) → 𝐼𝑉)
17621ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼)) → 𝑆 ∈ CRing)
177 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼)) → 𝑏𝐷)
17811, 12, 84, 85, 175, 176, 174, 177evlsvvvallem 42548 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))) ∈ 𝐾)
179163, 173, 174, 178fvmptd3 7039 . . . . . . 7 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼)) → ((𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))))‘𝑙) = (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))))
180161, 165, 101, 101, 166, 169, 179offval 7706 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐷) → (((𝐾m 𝐼) × {(𝐹𝑏)}) ∘f · (𝑚 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑚𝑖)))))) = (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))))))
181143, 160, 1803eqtrd 2779 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → (((𝑥𝑅 ↦ ((𝐾m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹𝑏))(.r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) Σg (𝑏f (.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑥𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑥)))))) = (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))))))
182181mpteq2dva 5248 . . . 4 (𝜑 → (𝑏𝐷 ↦ (((𝑥𝑅 ↦ ((𝐾m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹𝑏))(.r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) Σg (𝑏f (.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑥𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑥))))))) = (𝑏𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖))))))))
183182oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → ((𝑆s (𝐾m 𝐼)) Σg (𝑏𝐷 ↦ (((𝑥𝑅 ↦ ((𝐾m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹𝑏))(.r‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) Σg (𝑏f (.g‘(mulGrp‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))(𝑥𝐼 ↦ (𝑎 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑎𝑥)))))))) = ((𝑆s (𝐾m 𝐼)) Σg (𝑏𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))))))))
184 eqid 2735 . . . 4 (0g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) = (0g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))
185 ovexd 7466 . . . . 5 (𝜑 → (ℕ0m 𝐼) ∈ V)
18611, 185rabexd 5346 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ V)
18763ringcmnd 20298 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ CMnd)
18863adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑆 ∈ Ring)
189148adantrl 716 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ∧ 𝑏𝐷)) → (𝐹𝑏) ∈ 𝐾)
190 simpl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝜑)
191 simprr 773 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑏𝐷)
192 simprl 771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ∧ 𝑏𝐷)) → 𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼))
193190, 191, 192, 178syl21anc 838 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ∧ 𝑏𝐷)) → (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))) ∈ 𝐾)
19412, 159, 188, 189, 193ringcld 20277 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ∧ 𝑏𝐷)) → ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖))))) ∈ 𝐾)
195186mptexd 7244 . . . . 5 (𝜑 → (𝑏𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖))))))) ∈ V)
196 fvexd 6922 . . . . 5 (𝜑 → (0g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) ∈ V)
197 funmpt 6606 . . . . . 6 Fun (𝑏𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))))))
198197a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → Fun (𝑏𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖))))))))
199 eqid 2735 . . . . . 6 (0g𝑈) = (0g𝑈)
2009, 10, 199, 23mplelsfi 22033 . . . . 5 (𝜑𝐹 finSupp (0g𝑈))
201 ssidd 4019 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 supp (0g𝑈)) ⊆ (𝐹 supp (0g𝑈)))
202 fvexd 6922 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0g𝑈) ∈ V)
203147, 201, 186, 202suppssr 8219 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g𝑈)))) → (𝐹𝑏) = (0g𝑈))
204 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝑆) = (0g𝑆)
20513, 204subrg0 20596 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (0g𝑆) = (0g𝑈))
20622, 205syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0g𝑆) = (0g𝑈))
207206adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g𝑈)))) → (0g𝑆) = (0g𝑈))
208203, 207eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g𝑈)))) → (𝐹𝑏) = (0g𝑆))
209208adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g𝑈)))) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼)) → (𝐹𝑏) = (0g𝑆))
210209oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g𝑈)))) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼)) → ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖))))) = ((0g𝑆) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖))))))
21163ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g𝑈)))) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼)) → 𝑆 ∈ Ring)
212 eldifi 4141 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g𝑈))) → 𝑏𝐷)
213212, 178sylanl2 681 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g𝑈)))) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))) ∈ 𝐾)
21412, 159, 204, 211, 213ringlzd 20309 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g𝑈)))) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼)) → ((0g𝑆) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖))))) = (0g𝑆))
215210, 214eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g𝑈)))) ∧ 𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼)) → ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖))))) = (0g𝑆))
216215mpteq2dva 5248 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g𝑈)))) → (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))))) = (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (0g𝑆)))
217 fconstmpt 5751 . . . . . . . . 9 ((𝐾m 𝐼) × {(0g𝑆)}) = (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (0g𝑆))
218187cmnmndd 19837 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ Mnd)
21914, 204pws0g 18799 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ (𝐾m 𝐼) ∈ V) → ((𝐾m 𝐼) × {(0g𝑆)}) = (0g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
220218, 64, 219syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐾m 𝐼) × {(0g𝑆)}) = (0g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
221217, 220eqtr3id 2789 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (0g𝑆)) = (0g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
222221adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g𝑈)))) → (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (0g𝑆)) = (0g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
223216, 222eqtrd 2775 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g𝑈)))) → (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))))) = (0g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
224223, 186suppss2 8224 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑏𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖))))))) supp (0g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))) ⊆ (𝐹 supp (0g𝑈)))
225195, 196, 198, 200, 224fsuppsssuppgd 9420 . . . 4 (𝜑 → (𝑏𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖))))))) finSupp (0g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
22614, 12, 184, 64, 186, 187, 194, 225pwsgsum 20015 . . 3 (𝜑 → ((𝑆s (𝐾m 𝐼)) Σg (𝑏𝐷 ↦ (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))))))) = (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))))))))
22724, 183, 2263eqtrd 2779 . 2 (𝜑 → (𝑄𝐹) = (𝑙 ∈ (𝐾m 𝐼) ↦ (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝑙𝑖)))))))))
228 evlsvvval.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
229 ovexd 7466 . 2 (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))))) ∈ V)
2307, 227, 228, 229fvmptd4 7040 1 (𝜑 → ((𝑄𝐹)‘𝐴) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478  cdif 3960  wss 3963  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231   × cxp 5687  ccnv 5688  cima 5692  Fun wfun 6557   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695   supp csupp 8184  m cmap 8865  Fincfn 8984   finSupp cfsupp 9399  cc 11151  0cc0 11153  cn 12264  0cn0 12524  Basecbs 17245  s cress 17274  .rcmulr 17299  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  s cpws 17493  Mndcmnd 18760  .gcmg 19098  mulGrpcmgp 20152  1rcur 20199  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  SubRingcsubrg 20586   mPoly cmpl 21944   evalSub ces 22114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-assa 21891  df-asp 21892  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-evls 22116
This theorem is referenced by:  evlsbagval  42553  evlvvval  42560  evlsmhpvvval  42582
  Copyright terms: Public domain W3C validator