Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlsevl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem evlsevl 41140
Description: Evaluation in a subring is the same as evaluation in the ring itself. (Contributed by SN, 9-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsevl.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
evlsevl.o 𝑂 = (𝐼 eval 𝑆)
evlsevl.w π‘Š = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
evlsevl.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
evlsevl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
evlsevl.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsevl.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
evlsevl.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
evlsevl.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
evlsevl (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜πΉ) = (π‘‚β€˜πΉ))
Proof of Theorem evlsevl
Dummy variables β„Ž 𝑏 π‘₯ π‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) = (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))
2 sneq 4637 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘) β†’ {π‘₯} = {(πΉβ€˜π‘)})
32xpeq2d 5705 . . . . . . 7 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘) β†’ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}) = (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {(πΉβ€˜π‘)}))
4 evlsevl.w . . . . . . . . . 10 π‘Š = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
5 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
6 evlsevl.b . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
7 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
8 evlsevl.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
94, 5, 6, 7, 8mplelf 21548 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
109ffvelcdmda 7083 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
11 evlsevl.r . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
12 evlsevl.u . . . . . . . . . . 11 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
1312subrgbas 20364 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
1411, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
1514adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
1610, 15eleqtrrd 2836 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ 𝑅)
17 ovexd 7440 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) ∈ V)
18 snex 5430 . . . . . . . . 9 {(πΉβ€˜π‘)} ∈ V
1918a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ {(πΉβ€˜π‘)} ∈ V)
2017, 19xpexd 7734 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {(πΉβ€˜π‘)}) ∈ V)
211, 3, 16, 20fvmptd3 7018 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜(πΉβ€˜π‘)) = (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {(πΉβ€˜π‘)}))
22 eqid 2732 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))
23 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
2423subrgss 20356 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
2511, 24syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
2625adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
2726, 16sseldd 3982 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
2822, 3, 27, 20fvmptd3 7018 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜(πΉβ€˜π‘)) = (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {(πΉβ€˜π‘)}))
2921, 28eqtr4d 2775 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜(πΉβ€˜π‘)) = ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜(πΉβ€˜π‘)))
3029oveq1d 7420 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜(πΉβ€˜π‘))(.rβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)))((mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))) Ξ£g (𝑏 ∘f (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))))(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)))))) = (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜(πΉβ€˜π‘))(.rβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)))((mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))) Ξ£g (𝑏 ∘f (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))))(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)))))))
3130mpteq2dva 5247 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜(πΉβ€˜π‘))(.rβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)))((mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))) Ξ£g (𝑏 ∘f (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))))(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯))))))) = (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜(πΉβ€˜π‘))(.rβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)))((mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))) Ξ£g (𝑏 ∘f (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))))(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯))))))))
3231oveq2d 7421 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)) Ξ£g (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜(πΉβ€˜π‘))(.rβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)))((mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))) Ξ£g (𝑏 ∘f (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))))(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)))))))) = ((𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)) Ξ£g (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜(πΉβ€˜π‘))(.rβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)))((mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))) Ξ£g (𝑏 ∘f (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))))(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)))))))))
33 evlsevl.q . . 3 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
34 eqid 2732 . . 3 (𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))
35 eqid 2732 . . 3 (mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))) = (mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)))
36 eqid 2732 . . 3 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)))) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))))
37 eqid 2732 . . 3 (.rβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))) = (.rβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)))
38 eqid 2732 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)))
39 evlsevl.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
40 evlsevl.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
4133, 4, 6, 7, 23, 12, 34, 35, 36, 37, 1, 38, 39, 40, 11, 8evlsvval 41129 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜πΉ) = ((𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)) Ξ£g (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜(πΉβ€˜π‘))(.rβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)))((mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))) Ξ£g (𝑏 ∘f (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))))(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)))))))))
42 evlsevl.o . . . . 5 𝑂 = (𝐼 eval 𝑆)
4342, 23evlval 21649 . . . 4 𝑂 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜(Baseβ€˜π‘†))
4443fveq1i 6889 . . 3 (π‘‚β€˜πΉ) = (((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜(Baseβ€˜π‘†))β€˜πΉ)
45 eqid 2732 . . . 4 ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜(Baseβ€˜π‘†)) = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜(Baseβ€˜π‘†))
46 eqid 2732 . . . 4 (𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs (Baseβ€˜π‘†))) = (𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs (Baseβ€˜π‘†)))
47 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs (Baseβ€˜π‘†)))) = (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs (Baseβ€˜π‘†))))
48 eqid 2732 . . . 4 (𝑆 β†Ύs (Baseβ€˜π‘†)) = (𝑆 β†Ύs (Baseβ€˜π‘†))
4940crngringd 20062 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
5023subrgid 20357 . . . . 5 (𝑆 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜π‘†) ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
5149, 50syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘†) ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
52 eqid 2732 . . . . . 6 (𝐼 mPoly 𝑆) = (𝐼 mPoly 𝑆)
53 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜(𝐼 mPoly 𝑆)) = (Baseβ€˜(𝐼 mPoly 𝑆))
544, 12, 6, 52, 53, 39, 11, 8mplsubrgcl 41116 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPoly 𝑆)))
5523ressid 17185 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ CRing β†’ (𝑆 β†Ύs (Baseβ€˜π‘†)) = 𝑆)
5640, 55syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύs (Baseβ€˜π‘†)) = 𝑆)
5756oveq2d 7421 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs (Baseβ€˜π‘†))) = (𝐼 mPoly 𝑆))
5857fveq2d 6892 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs (Baseβ€˜π‘†)))) = (Baseβ€˜(𝐼 mPoly 𝑆)))
5954, 58eleqtrrd 2836 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs (Baseβ€˜π‘†)))))
6045, 46, 47, 7, 23, 48, 34, 35, 36, 37, 22, 38, 39, 40, 51, 59evlsvval 41129 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜(Baseβ€˜π‘†))β€˜πΉ) = ((𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)) Ξ£g (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜(πΉβ€˜π‘))(.rβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)))((mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))) Ξ£g (𝑏 ∘f (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))))(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)))))))))
6144, 60eqtrid 2784 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜πΉ) = ((𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)) Ξ£g (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜(πΉβ€˜π‘))(.rβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)))((mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))) Ξ£g (𝑏 ∘f (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))))(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)))))))))
6232, 41, 613eqtr4d 2782 1 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜πΉ) = (π‘‚β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  {csn 4627   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674   β€œ cima 5678  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘f cof 7664   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  .rcmulr 17194   Ξ£g cgsu 17382   ↑s cpws 17388  .gcmg 18944  mulGrpcmgp 19981  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050  SubRingcsubrg 20351   mPoly cmpl 21450   evalSub ces 21624   eval cevl 21625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-srg 20003  df-ring 20051  df-cring 20052  df-rnghom 20243  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-assa 21399  df-asp 21400  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-evls 21626  df-evl 21627
This theorem is referenced by:  evlvvval  41142  selvval2  41153
  Copyright terms: Public domain W3C validator