Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlsevl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem evlsevl 41835
Description: Evaluation in a subring is the same as evaluation in the ring itself. (Contributed by SN, 9-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsevl.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
evlsevl.o 𝑂 = (𝐼 eval 𝑆)
evlsevl.w π‘Š = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
evlsevl.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
evlsevl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
evlsevl.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsevl.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
evlsevl.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
evlsevl.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
evlsevl (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜πΉ) = (π‘‚β€˜πΉ))
Proof of Theorem evlsevl
Dummy variables β„Ž 𝑏 π‘₯ π‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) = (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))
2 sneq 4642 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘) β†’ {π‘₯} = {(πΉβ€˜π‘)})
32xpeq2d 5712 . . . . . . 7 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘) β†’ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}) = (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {(πΉβ€˜π‘)}))
4 evlsevl.w . . . . . . . . . 10 π‘Š = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
5 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
6 evlsevl.b . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
7 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
8 evlsevl.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
94, 5, 6, 7, 8mplelf 21947 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
109ffvelcdmda 7099 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
11 evlsevl.r . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
12 evlsevl.u . . . . . . . . . . 11 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
1312subrgbas 20527 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
1411, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
1514adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
1610, 15eleqtrrd 2832 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ 𝑅)
17 ovexd 7461 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) ∈ V)
18 snex 5437 . . . . . . . . 9 {(πΉβ€˜π‘)} ∈ V
1918a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ {(πΉβ€˜π‘)} ∈ V)
2017, 19xpexd 7759 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {(πΉβ€˜π‘)}) ∈ V)
211, 3, 16, 20fvmptd3 7033 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜(πΉβ€˜π‘)) = (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {(πΉβ€˜π‘)}))
22 eqid 2728 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))
23 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
2423subrgss 20518 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
2511, 24syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
2625adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
2726, 16sseldd 3983 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
2822, 3, 27, 20fvmptd3 7033 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜(πΉβ€˜π‘)) = (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {(πΉβ€˜π‘)}))
2921, 28eqtr4d 2771 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜(πΉβ€˜π‘)) = ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜(πΉβ€˜π‘)))
3029oveq1d 7441 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜(πΉβ€˜π‘))(.rβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)))((mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))) Ξ£g (𝑏 ∘f (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))))(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)))))) = (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜(πΉβ€˜π‘))(.rβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)))((mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))) Ξ£g (𝑏 ∘f (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))))(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)))))))
3130mpteq2dva 5252 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜(πΉβ€˜π‘))(.rβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)))((mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))) Ξ£g (𝑏 ∘f (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))))(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯))))))) = (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜(πΉβ€˜π‘))(.rβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)))((mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))) Ξ£g (𝑏 ∘f (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))))(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯))))))))
3231oveq2d 7442 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)) Ξ£g (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜(πΉβ€˜π‘))(.rβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)))((mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))) Ξ£g (𝑏 ∘f (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))))(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)))))))) = ((𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)) Ξ£g (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜(πΉβ€˜π‘))(.rβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)))((mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))) Ξ£g (𝑏 ∘f (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))))(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)))))))))
33 evlsevl.q . . 3 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
34 eqid 2728 . . 3 (𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))
35 eqid 2728 . . 3 (mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))) = (mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)))
36 eqid 2728 . . 3 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)))) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))))
37 eqid 2728 . . 3 (.rβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))) = (.rβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)))
38 eqid 2728 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)))
39 evlsevl.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
40 evlsevl.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
4133, 4, 6, 7, 23, 12, 34, 35, 36, 37, 1, 38, 39, 40, 11, 8evlsvval 41824 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜πΉ) = ((𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)) Ξ£g (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜(πΉβ€˜π‘))(.rβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)))((mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))) Ξ£g (𝑏 ∘f (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))))(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)))))))))
42 evlsevl.o . . . . 5 𝑂 = (𝐼 eval 𝑆)
4342, 23evlval 22048 . . . 4 𝑂 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜(Baseβ€˜π‘†))
4443fveq1i 6903 . . 3 (π‘‚β€˜πΉ) = (((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜(Baseβ€˜π‘†))β€˜πΉ)
45 eqid 2728 . . . 4 ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜(Baseβ€˜π‘†)) = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜(Baseβ€˜π‘†))
46 eqid 2728 . . . 4 (𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs (Baseβ€˜π‘†))) = (𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs (Baseβ€˜π‘†)))
47 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs (Baseβ€˜π‘†)))) = (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs (Baseβ€˜π‘†))))
48 eqid 2728 . . . 4 (𝑆 β†Ύs (Baseβ€˜π‘†)) = (𝑆 β†Ύs (Baseβ€˜π‘†))
4940crngringd 20193 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
5023subrgid 20519 . . . . 5 (𝑆 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜π‘†) ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
5149, 50syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘†) ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
52 eqid 2728 . . . . . 6 (𝐼 mPoly 𝑆) = (𝐼 mPoly 𝑆)
53 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜(𝐼 mPoly 𝑆)) = (Baseβ€˜(𝐼 mPoly 𝑆))
544, 12, 6, 52, 53, 39, 11, 8mplsubrgcl 41811 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPoly 𝑆)))
5523ressid 17232 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ CRing β†’ (𝑆 β†Ύs (Baseβ€˜π‘†)) = 𝑆)
5640, 55syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύs (Baseβ€˜π‘†)) = 𝑆)
5756oveq2d 7442 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs (Baseβ€˜π‘†))) = (𝐼 mPoly 𝑆))
5857fveq2d 6906 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs (Baseβ€˜π‘†)))) = (Baseβ€˜(𝐼 mPoly 𝑆)))
5954, 58eleqtrrd 2832 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs (Baseβ€˜π‘†)))))
6045, 46, 47, 7, 23, 48, 34, 35, 36, 37, 22, 38, 39, 40, 51, 59evlsvval 41824 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜(Baseβ€˜π‘†))β€˜πΉ) = ((𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)) Ξ£g (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜(πΉβ€˜π‘))(.rβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)))((mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))) Ξ£g (𝑏 ∘f (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))))(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)))))))))
6144, 60eqtrid 2780 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜πΉ) = ((𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)) Ξ£g (𝑏 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ (((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜(πΉβ€˜π‘))(.rβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)))((mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))) Ξ£g (𝑏 ∘f (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))))(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) ↦ (π‘Žβ€˜π‘₯)))))))))
6232, 41, 613eqtr4d 2778 1 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜πΉ) = (π‘‚β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949  {csn 4632   ↦ cmpt 5235   Γ— cxp 5680  β—‘ccnv 5681   β€œ cima 5685  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∘f cof 7689   ↑m cmap 8851  Fincfn 8970  β„•cn 12250  β„•0cn0 12510  Basecbs 17187   β†Ύs cress 17216  .rcmulr 17241   Ξ£g cgsu 17429   ↑s cpws 17435  .gcmg 19030  mulGrpcmgp 20081  Ringcrg 20180  CRingccrg 20181  SubRingcsubrg 20513   mPoly cmpl 21846   evalSub ces 22023   eval cevl 22024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-srg 20134  df-ring 20182  df-cring 20183  df-rhm 20418  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-assa 21794  df-asp 21795  df-ascl 21796  df-psr 21849  df-mvr 21850  df-mpl 21851  df-evls 22025  df-evl 22026
This theorem is referenced by:  evlvvval  41837  selvval2  41848
  Copyright terms: Public domain W3C validator