Theorem evlsevl 42552

Description: Evaluation in a subring is the same as evaluation in the ring itself. (Contributed by SN, 9-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsevl.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsevl.o	⊢ 𝑂 = (𝐼 eval 𝑆)
evlsevl.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsevl.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsevl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evlsevl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsevl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsevl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsevl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
evlsevl	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹) = (𝑂‘𝐹))

Proof of Theorem evlsevl

Dummy variables ℎ 𝑏 𝑥 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))
2		sneq 4595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑏) → {𝑥} = {(𝐹‘𝑏)})
3	2	xpeq2d 5661	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑏) → (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}) = (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}))
4		evlsevl.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
5		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
6		evlsevl.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
7		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
8		evlsevl.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9	4, 5, 6, 7, 8	mplelf 21940	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑈))
10	9	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐹‘𝑏) ∈ (Base‘𝑈))
11		evlsevl.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
12		evlsevl.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
13	12	subrgbas 20501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
14	11, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
15	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
16	10, 15	eleqtrrd 2831	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑅)
17		ovexd 7404	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ∈ V)
18		snex 5386	. . . . . . . . 9 ⊢ {(𝐹‘𝑏)} ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → {(𝐹‘𝑏)} ∈ V)
20	17, 19	xpexd 7707	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}) ∈ V)
21	1, 3, 16, 20	fvmptd3 6973	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏)) = (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}))
22		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))
23		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
24	23	subrgss 20492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆))
25	11, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆))
26	25	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆))
27	26, 16	sseldd 3944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐹‘𝑏) ∈ (Base‘𝑆))
28	22, 3, 27, 20	fvmptd3 6973	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏)) = (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}))
29	21, 28	eqtr4d 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏)) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏)))
30	29	oveq1d 7384	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))) = (((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))
31	30	mpteq2dva 5195	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥))))))) = (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥))))))))
32	31	oveq2d 7385	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) Σg (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))) = ((𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) Σg (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))))
33		evlsevl.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
34		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))
35		eqid 2729	. . 3 ⊢ (mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) = (mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))
36		eqid 2729	. . 3 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))) = (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
37		eqid 2729	. . 3 ⊢ (.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) = (.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))
38		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))
39		evlsevl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
40		evlsevl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
41	33, 4, 6, 7, 23, 12, 34, 35, 36, 37, 1, 38, 39, 40, 11, 8	evlsvval 42541	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹) = ((𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) Σg (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))))
42		evlsevl.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝐼 eval 𝑆)
43	42, 23	evlval 22035	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘(Base‘𝑆))
44	43	fveq1i 6841	. . 3 ⊢ (𝑂‘𝐹) = (((𝐼 evalSub 𝑆)‘(Base‘𝑆))‘𝐹)
45		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ((𝐼 evalSub 𝑆)‘(Base‘𝑆)) = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘(Base‘𝑆))
46		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆))) = (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)))
47		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆))))
48		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)) = (𝑆 ↾s (Base‘𝑆))
49	40	crngringd 20166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
50	23	subrgid 20493	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (Base‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑆))
51	49, 50	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑆))
52		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑆) = (𝐼 mPoly 𝑆)
53		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆))
54	4, 12, 6, 52, 53, 39, 11, 8	mplsubrgcl 42529	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
55	23	ressid 17190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)) = 𝑆)
56	40, 55	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)) = 𝑆)
57	56	oveq2d 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆))) = (𝐼 mPoly 𝑆))
58	57	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)))) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
59	54, 58	eleqtrrd 2831	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)))))
60	45, 46, 47, 7, 23, 48, 34, 35, 36, 37, 22, 38, 39, 40, 51, 59	evlsvval 42541	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘(Base‘𝑆))‘𝐹) = ((𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) Σg (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))))
61	44, 60	eqtrid 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹) = ((𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) Σg (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))))
62	32, 41, 61	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹) = (𝑂‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3402  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911  {csn 4585   ↦ cmpt 5183   × cxp 5629  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∘_f cof 7631   ↑_m cmap 8776  Fincfn 8895  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418  Basecbs 17155   ↾_s cress 17176  ._rcmulr 17197   Σ_g cgsu 17379   ↑_s cpws 17385  ._gcmg 18981  mulGrpcmgp 20060  Ringcrg 20153  CRingccrg 20154  SubRingcsubrg 20489   mPoly cmpl 21848   evalSub ces 22012   eval cevl 22013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-mhm 18692  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-mulg 18982  df-subg 19037  df-ghm 19127  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-srg 20107  df-ring 20155  df-cring 20156  df-rhm 20392  df-subrng 20466  df-subrg 20490  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-lsp 20910  df-assa 21795  df-asp 21796  df-ascl 21797  df-psr 21851  df-mvr 21852  df-mpl 21853  df-evls 22014  df-evl 22015

This theorem is referenced by:  evlvvval  42554  selvval2  42565