Theorem evlsevl 22354

Description: Evaluation in a subring is the same as evaluation in the ring itself. (Contributed by SN, 9-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsevl.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsevl.o	⊢ 𝑂 = (𝐼 eval 𝑆)
evlsevl.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsevl.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsevl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evlsevl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsevl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsevl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsevl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
evlsevl	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹) = (𝑂‘𝐹))

Proof of Theorem evlsevl

Dummy variables ℎ 𝑏 𝑥 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))
2		sneq 4597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑏) → {𝑥} = {(𝐹‘𝑏)})
3	2	xpeq2d 5689	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑏) → (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}) = (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}))
4		evlsevl.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
5		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
6		evlsevl.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
7		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
8		evlsevl.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9	4, 5, 6, 7, 8	mplelf 22218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑈))
10	9	ffvelcdmda 7081	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐹‘𝑏) ∈ (Base‘𝑈))
11		evlsevl.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
12		evlsevl.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
13	12	subrgbas 20749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
14	11, 13	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
15	14	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
16	10, 15	eleqtrrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑅)
17		ovexd 7452	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ∈ V)
18		snex 5408	. . . . . . . . 9 ⊢ {(𝐹‘𝑏)} ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → {(𝐹‘𝑏)} ∈ V)
20	17, 19	xpexd 7754	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}) ∈ V)
21	1, 3, 16, 20	fvmptd3 7014	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏)) = (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}))
22		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))
23		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
24	23	subrgss 20740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆))
25	11, 24	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆))
26	25	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆))
27	26, 16	sseldd 3935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐹‘𝑏) ∈ (Base‘𝑆))
28	22, 3, 27, 20	fvmptd3 7014	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏)) = (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}))
29	21, 28	eqtr4d 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏)) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏)))
30	29	oveq1d 7432	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))) = (((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))
31	30	mpteq2dva 5202	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥))))))) = (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥))))))))
32	31	oveq2d 7433	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) Σg (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))) = ((𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) Σg (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))))
33		evlsevl.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
34		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))
35		eqid 2762	. . 3 ⊢ (mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) = (mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))
36		eqid 2762	. . 3 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))) = (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
37		eqid 2762	. . 3 ⊢ (.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) = (.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))
38		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))
39		evlsevl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
40		evlsevl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
41	33, 4, 6, 7, 23, 12, 34, 35, 36, 37, 1, 38, 39, 40, 11, 8	evlsvval 22312	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹) = ((𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) Σg (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))))
42		evlsevl.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝐼 eval 𝑆)
43	42, 23	evlval 22322	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘(Base‘𝑆))
44	43	fveq1i 6883	. . 3 ⊢ (𝑂‘𝐹) = (((𝐼 evalSub 𝑆)‘(Base‘𝑆))‘𝐹)
45		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ((𝐼 evalSub 𝑆)‘(Base‘𝑆)) = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘(Base‘𝑆))
46		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆))) = (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)))
47		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆))))
48		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)) = (𝑆 ↾s (Base‘𝑆))
49	40	crngringd 20391	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
50	23	subrgid 20741	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (Base‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑆))
51	49, 50	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑆))
52		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑆) = (𝐼 mPoly 𝑆)
53		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆))
54	4, 12, 6, 52, 53, 39, 11, 8	mplsubrgcl 22254	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
55	23	ressid 17342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)) = 𝑆)
56	40, 55	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)) = 𝑆)
57	56	oveq2d 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆))) = (𝐼 mPoly 𝑆))
58	57	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)))) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
59	54, 58	eleqtrrd 2865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)))))
60	45, 46, 47, 7, 23, 48, 34, 35, 36, 37, 22, 38, 39, 40, 51, 59	evlsvval 22312	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘(Base‘𝑆))‘𝐹) = ((𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) Σg (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))))
61	44, 60	eqtrid 2809	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹) = ((𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) Σg (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))))
62	32, 41, 61	3eqtr4d 2807	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹) = (𝑂‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  {csn 4587   ↦ cmpt 5190   × cxp 5657  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∘_f cof 7680   ↑_m cmap 8830  Fincfn 8956  ℕcn 12261  ℕ₀cn0 12532  Basecbs 17307   ↾_s cress 17328  ._rcmulr 17349   Σ_g cgsu 17531   ↑_s cpws 17537  ._gcmg 19196  mulGrpcmgp 20279  Ringcrg 20378  CRingccrg 20379  SubRingcsubrg 20737   mPoly cmpl 22127   evalSub ces 22294   eval cevl 22295

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-sup 9416  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-hash 14399  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-hom 17372  df-cco 17373  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-prds 17538  df-pws 17540  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mhm 18897  df-submnd 18898  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-mulg 19197  df-subg 19252  df-ghm 19347  df-cntz 19450  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-srg 20332  df-ring 20380  df-cring 20381  df-rhm 20619  df-subrng 20714  df-subrg 20738  df-lmod 21052  df-lss 21122  df-lsp 21162  df-assa 22074  df-asp 22075  df-ascl 22076  df-psr 22130  df-mvr 22131  df-mpl 22132  df-evls 22296  df-evl 22297

This theorem is used by:  evlvvval  22355  selvval2  22363