Theorem evlsevl 42526

Description: Evaluation in a subring is the same as evaluation in the ring itself. (Contributed by SN, 9-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsevl.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsevl.o	⊢ 𝑂 = (𝐼 eval 𝑆)
evlsevl.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsevl.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsevl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evlsevl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsevl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsevl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsevl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
evlsevl	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹) = (𝑂‘𝐹))

Proof of Theorem evlsevl

Dummy variables ℎ 𝑏 𝑥 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))
2		sneq 4658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑏) → {𝑥} = {(𝐹‘𝑏)})
3	2	xpeq2d 5730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑏) → (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}) = (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}))
4		evlsevl.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
5		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
6		evlsevl.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
7		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
8		evlsevl.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9	4, 5, 6, 7, 8	mplelf 22041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑈))
10	9	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐹‘𝑏) ∈ (Base‘𝑈))
11		evlsevl.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
12		evlsevl.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
13	12	subrgbas 20609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
14	11, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
15	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
16	10, 15	eleqtrrd 2847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑅)
17		ovexd 7483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ∈ V)
18		snex 5451	. . . . . . . . 9 ⊢ {(𝐹‘𝑏)} ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → {(𝐹‘𝑏)} ∈ V)
20	17, 19	xpexd 7786	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}) ∈ V)
21	1, 3, 16, 20	fvmptd3 7052	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏)) = (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}))
22		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))
23		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
24	23	subrgss 20600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆))
25	11, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆))
26	25	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆))
27	26, 16	sseldd 4009	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐹‘𝑏) ∈ (Base‘𝑆))
28	22, 3, 27, 20	fvmptd3 7052	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏)) = (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}))
29	21, 28	eqtr4d 2783	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏)) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏)))
30	29	oveq1d 7463	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))) = (((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))
31	30	mpteq2dva 5266	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥))))))) = (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥))))))))
32	31	oveq2d 7464	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) Σg (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))) = ((𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) Σg (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))))
33		evlsevl.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
34		eqid 2740	. . 3 ⊢ (𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))
35		eqid 2740	. . 3 ⊢ (mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) = (mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))
36		eqid 2740	. . 3 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))) = (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
37		eqid 2740	. . 3 ⊢ (.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) = (.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))
38		eqid 2740	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))
39		evlsevl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
40		evlsevl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
41	33, 4, 6, 7, 23, 12, 34, 35, 36, 37, 1, 38, 39, 40, 11, 8	evlsvval 42515	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹) = ((𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) Σg (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))))
42		evlsevl.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝐼 eval 𝑆)
43	42, 23	evlval 22142	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘(Base‘𝑆))
44	43	fveq1i 6921	. . 3 ⊢ (𝑂‘𝐹) = (((𝐼 evalSub 𝑆)‘(Base‘𝑆))‘𝐹)
45		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ((𝐼 evalSub 𝑆)‘(Base‘𝑆)) = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘(Base‘𝑆))
46		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆))) = (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)))
47		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆))))
48		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)) = (𝑆 ↾s (Base‘𝑆))
49	40	crngringd 20273	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
50	23	subrgid 20601	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (Base‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑆))
51	49, 50	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑆))
52		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑆) = (𝐼 mPoly 𝑆)
53		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆))
54	4, 12, 6, 52, 53, 39, 11, 8	mplsubrgcl 42503	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
55	23	ressid 17303	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)) = 𝑆)
56	40, 55	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)) = 𝑆)
57	56	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆))) = (𝐼 mPoly 𝑆))
58	57	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)))) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
59	54, 58	eleqtrrd 2847	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)))))
60	45, 46, 47, 7, 23, 48, 34, 35, 36, 37, 22, 38, 39, 40, 51, 59	evlsvval 42515	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘(Base‘𝑆))‘𝐹) = ((𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) Σg (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))))
61	44, 60	eqtrid 2792	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹) = ((𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) Σg (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))))
62	32, 41, 61	3eqtr4d 2790	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹) = (𝑂‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  {csn 4648   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698  ^◡ccnv 5699   “ cima 5703  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∘_f cof 7712   ↑_m cmap 8884  Fincfn 9003  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  ._rcmulr 17312   Σ_g cgsu 17500   ↑_s cpws 17506  ._gcmg 19107  mulGrpcmgp 20161  Ringcrg 20260  CRingccrg 20261  SubRingcsubrg 20595   mPoly cmpl 21949   evalSub ces 22119   eval cevl 22120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-srg 20214  df-ring 20262  df-cring 20263  df-rhm 20498  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-assa 21896  df-asp 21897  df-ascl 21898  df-psr 21952  df-mvr 21953  df-mpl 21954  df-evls 22121  df-evl 22122

This theorem is referenced by:  evlvvval  42528  selvval2  42539