Theorem evlsevl 41002

Description: Evaluation in a subring is the same as evaluation in the ring itself. (Contributed by SN, 9-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsevl.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsevl.o	⊢ 𝑂 = (𝐼 eval 𝑆)
evlsevl.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsevl.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsevl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evlsevl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsevl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsevl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsevl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
evlsevl	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹) = (𝑂‘𝐹))

Proof of Theorem evlsevl

Dummy variables ℎ 𝑏 𝑥 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))
2		sneq 4633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑏) → {𝑥} = {(𝐹‘𝑏)})
3	2	xpeq2d 5700	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑏) → (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}) = (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}))
4		evlsevl.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
5		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
6		evlsevl.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
7		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
8		evlsevl.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9	4, 5, 6, 7, 8	mplelf 21488	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑈))
10	9	ffvelcdmda 7072	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐹‘𝑏) ∈ (Base‘𝑈))
11		evlsevl.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
12		evlsevl.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
13	12	subrgbas 20323	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
14	11, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
15	14	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
16	10, 15	eleqtrrd 2836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑅)
17		ovexd 7429	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ∈ V)
18		snex 5425	. . . . . . . . 9 ⊢ {(𝐹‘𝑏)} ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → {(𝐹‘𝑏)} ∈ V)
20	17, 19	xpexd 7722	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}) ∈ V)
21	1, 3, 16, 20	fvmptd3 7008	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏)) = (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}))
22		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))
23		eqid 2732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
24	23	subrgss 20315	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆))
25	11, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆))
26	25	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆))
27	26, 16	sseldd 3980	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐹‘𝑏) ∈ (Base‘𝑆))
28	22, 3, 27, 20	fvmptd3 7008	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏)) = (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}))
29	21, 28	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏)) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏)))
30	29	oveq1d 7409	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))) = (((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))
31	30	mpteq2dva 5242	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥))))))) = (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥))))))))
32	31	oveq2d 7410	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) Σg (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))) = ((𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) Σg (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))))
33		evlsevl.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
34		eqid 2732	. . 3 ⊢ (𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))
35		eqid 2732	. . 3 ⊢ (mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) = (mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))
36		eqid 2732	. . 3 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))) = (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
37		eqid 2732	. . 3 ⊢ (.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) = (.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))
38		eqid 2732	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))
39		evlsevl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
40		evlsevl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
41	33, 4, 6, 7, 23, 12, 34, 35, 36, 37, 1, 38, 39, 40, 11, 8	evlsvval 40995	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹) = ((𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) Σg (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))))
42		evlsevl.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝐼 eval 𝑆)
43	42, 23	evlval 21589	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘(Base‘𝑆))
44	43	fveq1i 6880	. . 3 ⊢ (𝑂‘𝐹) = (((𝐼 evalSub 𝑆)‘(Base‘𝑆))‘𝐹)
45		eqid 2732	. . . 4 ⊢ ((𝐼 evalSub 𝑆)‘(Base‘𝑆)) = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘(Base‘𝑆))
46		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆))) = (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)))
47		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆))))
48		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)) = (𝑆 ↾s (Base‘𝑆))
49	40	crngringd 20029	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
50	23	subrgid 20316	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (Base‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑆))
51	49, 50	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑆))
52		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑆) = (𝐼 mPoly 𝑆)
53		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆))
54	4, 12, 6, 52, 53, 39, 11, 8	mplsubrgcl 40985	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
55	23	ressid 17173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)) = 𝑆)
56	40, 55	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)) = 𝑆)
57	56	oveq2d 7410	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆))) = (𝐼 mPoly 𝑆))
58	57	fveq2d 6883	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)))) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
59	54, 58	eleqtrrd 2836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)))))
60	45, 46, 47, 7, 23, 48, 34, 35, 36, 37, 22, 38, 39, 40, 51, 59	evlsvval 40995	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘(Base‘𝑆))‘𝐹) = ((𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) Σg (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))))
61	44, 60	eqtrid 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹) = ((𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) Σg (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))))
62	32, 41, 61	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹) = (𝑂‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   ⊆ wss 3945  {csn 4623   ↦ cmpt 5225   × cxp 5668  ^◡ccnv 5669   “ cima 5673  ‘cfv 6533  (class class class)co 7394   ∘_f cof 7652   ↑_m cmap 8805  Fincfn 8924  ℕcn 12196  ℕ₀cn0 12456  Basecbs 17128   ↾_s cress 17157  ._rcmulr 17182   Σ_g cgsu 17370   ↑_s cpws 17376  ._gcmg 18924  mulGrpcmgp 19948  Ringcrg 20016  CRingccrg 20017  SubRingcsubrg 20310   mPoly cmpl 21392   evalSub ces 21564   eval cevl 21565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-of 7654  df-ofr 7655  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-supp 8131  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-1o 8450  df-er 8688  df-map 8807  df-pm 8808  df-ixp 8877  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-fin 8928  df-fsupp 9347  df-sup 9421  df-oi 9489  df-card 9918  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-4 12261  df-5 12262  df-6 12263  df-7 12264  df-8 12265  df-9 12266  df-n0 12457  df-z 12543  df-dec 12662  df-uz 12807  df-fz 13469  df-fzo 13612  df-seq 13951  df-hash 14275  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17129  df-ress 17158  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-hom 17205  df-cco 17206  df-0g 17371  df-gsum 17372  df-prds 17377  df-pws 17379  df-mre 17514  df-mrc 17515  df-acs 17517  df-mgm 18545  df-sgrp 18594  df-mnd 18605  df-mhm 18649  df-submnd 18650  df-grp 18799  df-minusg 18800  df-sbg 18801  df-mulg 18925  df-subg 18977  df-ghm 19058  df-cntz 19149  df-cmn 19616  df-abl 19617  df-mgp 19949  df-ur 19966  df-srg 19970  df-ring 20018  df-cring 20019  df-rnghom 20203  df-subrg 20312  df-lmod 20424  df-lss 20494  df-lsp 20534  df-assa 21343  df-asp 21344  df-ascl 21345  df-psr 21395  df-mvr 21396  df-mpl 21397  df-evls 21566  df-evl 21567

This theorem is referenced by:  selvval2  41012