Theorem evlsevl 42838

Description: Evaluation in a subring is the same as evaluation in the ring itself. (Contributed by SN, 9-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsevl.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsevl.o	⊢ 𝑂 = (𝐼 eval 𝑆)
evlsevl.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsevl.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsevl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evlsevl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsevl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsevl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsevl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
evlsevl	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹) = (𝑂‘𝐹))

Proof of Theorem evlsevl

Dummy variables ℎ 𝑏 𝑥 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))
2		sneq 4590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑏) → {𝑥} = {(𝐹‘𝑏)})
3	2	xpeq2d 5654	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑏) → (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}) = (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}))
4		evlsevl.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
5		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
6		evlsevl.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
7		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
8		evlsevl.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9	4, 5, 6, 7, 8	mplelf 21955	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑈))
10	9	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐹‘𝑏) ∈ (Base‘𝑈))
11		evlsevl.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
12		evlsevl.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
13	12	subrgbas 20516	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
14	11, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
15	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
16	10, 15	eleqtrrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑅)
17		ovexd 7393	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ∈ V)
18		snex 5381	. . . . . . . . 9 ⊢ {(𝐹‘𝑏)} ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → {(𝐹‘𝑏)} ∈ V)
20	17, 19	xpexd 7696	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}) ∈ V)
21	1, 3, 16, 20	fvmptd3 6964	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏)) = (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}))
22		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))
23		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
24	23	subrgss 20507	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆))
25	11, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆))
26	25	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆))
27	26, 16	sseldd 3934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐹‘𝑏) ∈ (Base‘𝑆))
28	22, 3, 27, 20	fvmptd3 6964	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏)) = (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {(𝐹‘𝑏)}))
29	21, 28	eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏)) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏)))
30	29	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))) = (((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))
31	30	mpteq2dva 5191	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥))))))) = (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥))))))))
32	31	oveq2d 7374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) Σg (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))) = ((𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) Σg (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))))
33		evlsevl.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
34		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))
35		eqid 2736	. . 3 ⊢ (mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) = (mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))
36		eqid 2736	. . 3 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))) = (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
37		eqid 2736	. . 3 ⊢ (.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) = (.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))
38		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))
39		evlsevl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
40		evlsevl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
41	33, 4, 6, 7, 23, 12, 34, 35, 36, 37, 1, 38, 39, 40, 11, 8	evlsvval 22047	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹) = ((𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) Σg (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))))
42		evlsevl.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝐼 eval 𝑆)
43	42, 23	evlval 22057	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘(Base‘𝑆))
44	43	fveq1i 6835	. . 3 ⊢ (𝑂‘𝐹) = (((𝐼 evalSub 𝑆)‘(Base‘𝑆))‘𝐹)
45		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ((𝐼 evalSub 𝑆)‘(Base‘𝑆)) = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘(Base‘𝑆))
46		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆))) = (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)))
47		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆))))
48		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)) = (𝑆 ↾s (Base‘𝑆))
49	40	crngringd 20183	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
50	23	subrgid 20508	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (Base‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑆))
51	49, 50	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑆))
52		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑆) = (𝐼 mPoly 𝑆)
53		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆))
54	4, 12, 6, 52, 53, 39, 11, 8	mplsubrgcl 42822	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
55	23	ressid 17173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)) = 𝑆)
56	40, 55	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)) = 𝑆)
57	56	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆))) = (𝐼 mPoly 𝑆))
58	57	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)))) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
59	54, 58	eleqtrrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)))))
60	45, 46, 47, 7, 23, 48, 34, 35, 36, 37, 22, 38, 39, 40, 51, 59	evlsvval 22047	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘(Base‘𝑆))‘𝐹) = ((𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) Σg (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))))
61	44, 60	eqtrid 2783	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹) = ((𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) Σg (𝑏 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ↦ (((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘(𝐹‘𝑏))(.r‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))((mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) Σg (𝑏 ∘f (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑎 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) ↦ (𝑎‘𝑥)))))))))
62	32, 41, 61	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹) = (𝑂‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  {csn 4580   ↦ cmpt 5179   × cxp 5622  ^◡ccnv 5623   “ cima 5627  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∘_f cof 7620   ↑_m cmap 8765  Fincfn 8885  ℕcn 12147  ℕ₀cn0 12403  Basecbs 17138   ↾_s cress 17159  ._rcmulr 17180   Σ_g cgsu 17362   ↑_s cpws 17368  ._gcmg 18999  mulGrpcmgp 20077  Ringcrg 20170  CRingccrg 20171  SubRingcsubrg 20504   mPoly cmpl 21864   evalSub ces 22029   eval cevl 22030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-sup 9347  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-seq 13927  df-hash 14256  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-prds 17369  df-pws 17371  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19144  df-cntz 19248  df-cmn 19713  df-abl 19714  df-mgp 20078  df-rng 20090  df-ur 20119  df-srg 20124  df-ring 20172  df-cring 20173  df-rhm 20410  df-subrng 20481  df-subrg 20505  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-lsp 20925  df-assa 21810  df-asp 21811  df-ascl 21812  df-psr 21867  df-mvr 21868  df-mpl 21869  df-evls 22031  df-evl 22032

This theorem is referenced by:  evlvvval  42839  selvval2  42848