Theorem selvmul 22486

Description: The "variable selection" function is multiplicative. (Contributed by SN, 18-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvmul.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvmul.1	⊢ · = (.r‘𝑃)
selvmul.u	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
selvmul.t	⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
selvmul.2	⊢ ∙ = (.r‘𝑇)
selvmul.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvmul.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
selvmul.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
selvmul.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
selvmul	⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘(𝐹 · 𝐺)) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) ∙ (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐺)))

Proof of Theorem selvmul

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvmul.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑇) = (𝐼 mPoly 𝑇)
3		selvmul.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑇)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑇))
5		selvmul.1	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑃)
6		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(𝐼 mPoly 𝑇)) = (.r‘(𝐼 mPoly 𝑇))
7		selvmul.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
8		selvmul.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
9		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘𝑇) = (algSc‘𝑇)
10		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) = ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))
11		selvmul.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
12	11	difexd 5298	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ 𝐽) ∈ V)
13		selvmul.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
14	11, 13	ssexd 5291	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
15		selvmul.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
16	7, 8, 9, 10, 12, 14, 15	selvcllem2 22477	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇))
17		selvmul.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
18		selvmul.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 16, 17, 18	rhmcomulmpl 22466	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ (𝐹 · 𝐺)) = ((((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑇))(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺)))
20	19	fveq2d 6915	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ (𝐹 · 𝐺))) = ((𝐼 eval 𝑇)‘((((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑇))(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺))))
21	20	fveq1d 6913	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ (𝐹 · 𝐺)))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) = (((𝐼 eval 𝑇)‘((((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑇))(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺)))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))
22		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝐼 eval 𝑇) = (𝐼 eval 𝑇)
23		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
24		selvmul.2	. . . . 5 ⊢ ∙ = (.r‘𝑇)
25	7, 12, 15	mplcrngd 22364	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CRing)
26	8, 14, 25	mplcrngd 22364	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CRing)
27		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))
28	7, 8, 9, 23, 27, 11, 15, 13	selvcllem5 22481	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)))) ∈ ((Base‘𝑇) ↑m 𝐼))
29		rhmghm 20747	. . . . . . . 8 ⊢ (((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇) → ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑇))
30		ghmmhm 19472	. . . . . . . 8 ⊢ (((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑇) → ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑇))
31	16, 29, 30	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑇))
32	1, 2, 3, 4, 31, 17	mhmcompl 22463	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑇)))
33		eqidd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) = (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))
34	32, 33	jca 521	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑇)) ∧ (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) = (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)))))))
35	1, 2, 3, 4, 31, 18	mhmcompl 22463	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑇)))
36		eqidd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) = (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))
37	35, 36	jca 521	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑇)) ∧ (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) = (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)))))))
38	22, 2, 23, 4, 6, 24, 11, 26, 28, 34, 37	evlmulval 22446	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑇))(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺)) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑇)) ∧ (((𝐼 eval 𝑇)‘((((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑇))(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺)))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) = ((((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) ∙ (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))))
39	38	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 eval 𝑇)‘((((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑇))(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺)))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) = ((((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) ∙ (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)))))))
40	21, 39	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ (𝐹 · 𝐺)))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) = ((((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) ∙ (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)))))))
41	1, 11, 15	mplcrngd 22364	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CRing)
42	41	crngringd 20506	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
43	3, 5, 42, 17, 18	ringcld 20517	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
44	1, 3, 7, 8, 9, 10, 15, 13, 43	selvval2 22483	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘(𝐹 · 𝐺)) = (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ (𝐹 · 𝐺)))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))
45	1, 3, 7, 8, 9, 10, 15, 13, 17	selvval2 22483	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) = (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))
46	1, 3, 7, 8, 9, 10, 15, 13, 18	selvval2 22483	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐺) = (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))
47	45, 46	oveq12d 7464	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) ∙ (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐺)) = ((((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) ∙ (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)))))))
48	40, 44, 47	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘(𝐹 · 𝐺)) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) ∙ (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  ifcif 4485   ↦ cmpt 5190   ∘ ccom 5660  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Basecbs 17419  ._rcmulr 17461   MndHom cmhm 19008   GrpHom cghm 19459  CRingccrg 20493   RingHom crh 20732  algSccascl 22193   mVar cmvr 22246   mPoly cmpl 22247   eval cevl 22415   selectVars cslv 22458

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-ofr 7721  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-sup 9464  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-seq 14175  df-hash 14505  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-hom 17484  df-cco 17485  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-prds 17650  df-pws 17652  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-mhm 19010  df-submnd 19011  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-mulg 19310  df-subg 19365  df-ghm 19460  df-cntz 19564  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-srg 20446  df-ring 20494  df-cring 20495  df-rhm 20735  df-subrng 20831  df-subrg 20855  df-lmod 21170  df-lss 21240  df-lsp 21280  df-assa 22194  df-asp 22195  df-ascl 22196  df-psr 22250  df-mvr 22251  df-mpl 22252  df-evls 22416  df-evl 22417  df-selv 22459

This theorem is used by:  selvply1rhm  34240