Theorem ply1annidl 33665

Description: The set 𝑄 of polynomials annihilating an element 𝐴 forms an ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annidl.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
ply1annidl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
ply1annidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ply1annidl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ply1annidl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
ply1annidl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
ply1annidl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1annidl.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }

Assertion

Ref	Expression
ply1annidl	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LIdeal‘𝑃))

Distinct variable groups:   0 ,𝑞   𝐴,𝑞   𝑂,𝑞   𝑃,𝑞   𝜑,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞)   𝑄(𝑞)   𝑅(𝑞)   𝑆(𝑞)

Proof of Theorem ply1annidl

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annidl.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
2		ply1annidl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
3		ply1annidl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		ply1annidl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5		ply1annidl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
6		ply1annidl.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
7		ply1annidl.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		ply1annidl.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
9		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) = (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ply1annidllem 33664	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (◡(𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) “ { 0 }))
11		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
12	1, 2, 3, 11, 4, 5, 6, 9	evls1maprhm 22239	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))
13	4	crngringd 20131	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
15	14, 7	lidl0 21116	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
16	13, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
17		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑃) = (LIdeal‘𝑃)
18	17	rhmpreimaidl 21163	. . 3 ⊢ (((𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) ∈ (𝑃 RingHom 𝑅) ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (◡(𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) “ { 0 }) ∈ (LIdeal‘𝑃))
19	12, 16, 18	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) “ { 0 }) ∈ (LIdeal‘𝑃))
20	10, 19	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LIdeal‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3402  {csn 4585   ↦ cmpt 5183  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631   “ cima 5634  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155   ↾_s cress 17176  0_gc0g 17378  Ringcrg 20118  CRingccrg 20119   RingHom crh 20354  SubRingcsubrg 20454  LIdealclidl 21092  Poly₁cpl1 22037   evalSub₁ ces1 22176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-mulg 18976  df-subg 19031  df-ghm 19121  df-cntz 19225  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-srg 20072  df-ring 20120  df-cring 20121  df-rhm 20357  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-lmod 20744  df-lss 20814  df-lsp 20854  df-sra 21056  df-rgmod 21057  df-lidl 21094  df-assa 21738  df-asp 21739  df-ascl 21740  df-psr 21794  df-mvr 21795  df-mpl 21796  df-opsr 21798  df-evls 21957  df-evl 21958  df-psr1 22040  df-vr1 22041  df-ply1 22042  df-coe1 22043  df-evls1 22178  df-evl1 22179

This theorem is referenced by:  ply1annig1p  33667  minplycl  33669  minplymindeg  33671  minplyann  33672  minplyirredlem  33673  minplyirred  33674  irngnminplynz  33675  minplym1p  33676  minplynzm1p  33677  irredminply  33679