Theorem ply1annidl 34445

Description: The set 𝑄 of polynomials annihilating an element 𝐴 forms an ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annidl.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
ply1annidl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
ply1annidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ply1annidl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ply1annidl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
ply1annidl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
ply1annidl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1annidl.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }

Assertion

Ref	Expression
ply1annidl	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LIdeal‘𝑃))

Distinct variable groups:   0 ,𝑞   𝐴,𝑞   𝑂,𝑞   𝑃,𝑞   𝜑,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞)   𝑄(𝑞)   𝑅(𝑞)   𝑆(𝑞)

Proof of Theorem ply1annidl

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annidl.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
2		ply1annidl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
3		ply1annidl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		ply1annidl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5		ply1annidl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
6		ply1annidl.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
7		ply1annidl.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		ply1annidl.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
9		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) = (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ply1annidllem 34444	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (◡(𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) “ { 0 }))
11		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
12	1, 2, 3, 11, 4, 5, 6, 9	evls1maprhm 22749	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))
13	4	crngringd 20524	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
15	14, 7	lidl0 21561	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
16	13, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
17		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑃) = (LIdeal‘𝑃)
18	17	rhmpreimaidl 21622	. . 3 ⊢ (((𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) ∈ (𝑃 RingHom 𝑅) ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (◡(𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) “ { 0 }) ∈ (LIdeal‘𝑃))
19	12, 16, 18	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) “ { 0 }) ∈ (LIdeal‘𝑃))
20	10, 19	eqeltrd 2864	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LIdeal‘𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  {csn 4588   ↦ cmpt 5192  ^◡ccnv 5657  dom cdm 5658   “ cima 5661  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431   ↾_s cress 17452  0_gc0g 17660  Ringcrg 20510  CRingccrg 20511   RingHom crh 20750  SubRingcsubrg 20872  LIdealclidl 21535  Poly₁cpl1 22550   evalSub₁ ces1 22686

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-ofr 7726  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-hash 14516  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-hom 17497  df-cco 17498  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-prds 17668  df-pws 17670  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-ghm 19478  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-srg 20464  df-ring 20512  df-cring 20513  df-rhm 20753  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298  df-sra 21499  df-rgmod 21500  df-lidl 21537  df-assa 22216  df-asp 22217  df-ascl 22218  df-psr 22272  df-mvr 22273  df-mpl 22274  df-opsr 22276  df-evls 22438  df-evl 22439  df-psr1 22553  df-vr1 22554  df-ply1 22555  df-coe1 22556  df-evls1 22688  df-evl1 22689

This theorem is used by:  ply1annig1p  34447  minplycl  34449  minplymindeg  34451  minplyann  34452  minplyirredlem  34453  minplyirred  34454  irngnminplynz  34455  minplym1p  34456  minplynzm1p  34457  irredminply  34459