Theorem ply1annidl 33726

Description: The set 𝑄 of polynomials annihilating an element 𝐴 forms an ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annidl.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
ply1annidl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
ply1annidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ply1annidl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ply1annidl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
ply1annidl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
ply1annidl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1annidl.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }

Assertion

Ref	Expression
ply1annidl	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LIdeal‘𝑃))

Distinct variable groups:   0 ,𝑞   𝐴,𝑞   𝑂,𝑞   𝑃,𝑞   𝜑,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞)   𝑄(𝑞)   𝑅(𝑞)   𝑆(𝑞)

Proof of Theorem ply1annidl

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annidl.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
2		ply1annidl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
3		ply1annidl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		ply1annidl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5		ply1annidl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
6		ply1annidl.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
7		ply1annidl.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		ply1annidl.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
9		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) = (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ply1annidllem 33725	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (◡(𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) “ { 0 }))
11		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
12	1, 2, 3, 11, 4, 5, 6, 9	evls1maprhm 22370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))
13	4	crngringd 20239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
15	14, 7	lidl0 21232	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
16	13, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
17		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑃) = (LIdeal‘𝑃)
18	17	rhmpreimaidl 21279	. . 3 ⊢ (((𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) ∈ (𝑃 RingHom 𝑅) ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (◡(𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) “ { 0 }) ∈ (LIdeal‘𝑃))
19	12, 16, 18	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) “ { 0 }) ∈ (LIdeal‘𝑃))
20	10, 19	eqeltrd 2840	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LIdeal‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3435  {csn 4624   ↦ cmpt 5223  ^◡ccnv 5682  dom cdm 5683   “ cima 5686  ‘cfv 6559  (class class class)co 7429  Basecbs 17243   ↾_s cress 17270  0_gc0g 17480  Ringcrg 20226  CRingccrg 20227   RingHom crh 20461  SubRingcsubrg 20561  LIdealclidl 21208  Poly₁cpl1 22168   evalSub₁ ces1 22307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4906  df-int 4945  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-isom 6568  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-of 7694  df-ofr 7695  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-supp 8182  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-2o 8503  df-er 8741  df-map 8864  df-pm 8865  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9398  df-sup 9478  df-oi 9546  df-card 9975  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-4 12327  df-5 12328  df-6 12329  df-7 12330  df-8 12331  df-9 12332  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-ress 17271  df-plusg 17306  df-mulr 17307  df-sca 17309  df-vsca 17310  df-ip 17311  df-tset 17312  df-ple 17313  df-ds 17315  df-hom 17317  df-cco 17318  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-prds 17488  df-pws 17490  df-mre 17625  df-mrc 17626  df-acs 17628  df-mgm 18649  df-sgrp 18728  df-mnd 18744  df-mhm 18792  df-submnd 18793  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-sbg 18952  df-mulg 19082  df-subg 19137  df-ghm 19227  df-cntz 19331  df-cmn 19796  df-abl 19797  df-mgp 20134  df-rng 20146  df-ur 20175  df-srg 20180  df-ring 20228  df-cring 20229  df-rhm 20464  df-subrng 20538  df-subrg 20562  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-sra 21164  df-rgmod 21165  df-lidl 21210  df-assa 21865  df-asp 21866  df-ascl 21867  df-psr 21921  df-mvr 21922  df-mpl 21923  df-opsr 21925  df-evls 22090  df-evl 22091  df-psr1 22171  df-vr1 22172  df-ply1 22173  df-coe1 22174  df-evls1 22309  df-evl1 22310

This theorem is referenced by:  ply1annig1p  33728  minplycl  33730  minplymindeg  33732  minplyann  33733  minplyirredlem  33734  minplyirred  33735  irngnminplynz  33736  minplym1p  33737  irredminply  33738