Theorem ply1annidl 34327

Description: The set 𝑄 of polynomials annihilating an element 𝐴 forms an ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annidl.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
ply1annidl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
ply1annidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ply1annidl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ply1annidl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
ply1annidl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
ply1annidl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1annidl.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }

Assertion

Ref	Expression
ply1annidl	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LIdeal‘𝑃))

Distinct variable groups:   0 ,𝑞   𝐴,𝑞   𝑂,𝑞   𝑃,𝑞   𝜑,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞)   𝑄(𝑞)   𝑅(𝑞)   𝑆(𝑞)

Proof of Theorem ply1annidl

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annidl.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
2		ply1annidl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
3		ply1annidl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		ply1annidl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5		ply1annidl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
6		ply1annidl.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
7		ply1annidl.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		ply1annidl.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
9		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) = (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ply1annidllem 34326	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (◡(𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) “ { 0 }))
11		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
12	1, 2, 3, 11, 4, 5, 6, 9	evls1maprhm 22687	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))
13	4	crngringd 20466	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
15	14, 7	lidl0 21503	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
16	13, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
17		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑃) = (LIdeal‘𝑃)
18	17	rhmpreimaidl 21564	. . 3 ⊢ (((𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) ∈ (𝑃 RingHom 𝑅) ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (◡(𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) “ { 0 }) ∈ (LIdeal‘𝑃))
19	12, 16, 18	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) “ { 0 }) ∈ (LIdeal‘𝑃))
20	10, 19	eqeltrd 2861	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LIdeal‘𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413  {csn 4584   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651   “ cima 5654  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380   ↾_s cress 17401  0_gc0g 17603  Ringcrg 20452  CRingccrg 20453   RingHom crh 20692  SubRingcsubrg 20814  LIdealclidl 21477  Poly₁cpl1 22488   evalSub₁ ces1 22624

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-sup 9427  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-hash 14468  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-hom 17445  df-cco 17446  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-prds 17611  df-pws 17613  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-mhm 18971  df-submnd 18972  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-mulg 19271  df-subg 19326  df-ghm 19421  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-srg 20406  df-ring 20454  df-cring 20455  df-rhm 20695  df-subrng 20791  df-subrg 20815  df-lmod 21130  df-lss 21200  df-lsp 21240  df-sra 21441  df-rgmod 21442  df-lidl 21479  df-assa 22154  df-asp 22155  df-ascl 22156  df-psr 22210  df-mvr 22211  df-mpl 22212  df-opsr 22214  df-evls 22376  df-evl 22377  df-psr1 22491  df-vr1 22492  df-ply1 22493  df-coe1 22494  df-evls1 22626  df-evl1 22627

This theorem is used by:  ply1annig1p  34329  minplycl  34331  minplymindeg  34333  minplyann  34334  minplyirredlem  34335  minplyirred  34336  irngnminplynz  34337  minplym1p  34338  minplynzm1p  34339  irredminply  34341