Theorem mhphf4 41710

Description: A homogeneous polynomial defines a homogeneous function; this is mhphf3 41709 with evalSub collapsed to eval. (Contributed by SN, 23-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhphf4.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑆)
mhphf4.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑆)
mhphf4.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
mhphf4.f	⊢ 𝐹 = (𝑆 freeLMod 𝐼)
mhphf4.m	⊢ 𝑀 = (Base‘𝐹)
mhphf4.b	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐹)
mhphf4.x	⊢ · = (.r‘𝑆)
mhphf4.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
mhphf4.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhphf4.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
mhphf4.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐾)
mhphf4.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mhphf4.p	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
mhphf4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mhphf4	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

Proof of Theorem mhphf4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhphf4.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑆)
2		mhphf4.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
3	1, 2	evlval 21996	. 2 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐾)
4		eqid 2726	. 2 ⊢ (𝐼 mHomP (𝑆 ↾s 𝐾)) = (𝐼 mHomP (𝑆 ↾s 𝐾))
5		eqid 2726	. 2 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐾) = (𝑆 ↾s 𝐾)
6		mhphf4.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑆 freeLMod 𝐼)
7		mhphf4.m	. 2 ⊢ 𝑀 = (Base‘𝐹)
8		mhphf4.b	. 2 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐹)
9		mhphf4.x	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑆)
10		mhphf4.e	. 2 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
11		mhphf4.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
12		mhphf4.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
13	12	crngringd 20149	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
14	2	subrgid 20473	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑆))
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑆))
16		mhphf4.l	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐾)
17		mhphf4.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
18		mhphf4.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
19		mhphf4.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑆)
20	2	ressid 17196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → (𝑆 ↾s 𝐾) = 𝑆)
21	12, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝐾) = 𝑆)
22	21	eqcomd 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 ↾s 𝐾))
23	22	oveq2d 7420	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mHomP 𝑆) = (𝐼 mHomP (𝑆 ↾s 𝐾)))
24	19, 23	eqtrid 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐼 mHomP (𝑆 ↾s 𝐾)))
25	24	fveq1d 6886	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) = ((𝐼 mHomP (𝑆 ↾s 𝐾))‘𝑁))
26	18, 25	eleqtrd 2829	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((𝐼 mHomP (𝑆 ↾s 𝐾))‘𝑁))
27		mhphf4.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑀)
28	3, 4, 5, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 17, 26, 27	mhphf3 41709	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  ℕ₀cn0 12473  Basecbs 17151   ↾_s cress 17180  ._rcmulr 17205   ·_𝑠 cvsca 17208  ._gcmg 18993  mulGrpcmgp 20037  Ringcrg 20136  CRingccrg 20137  SubRingcsubrg 20467   freeLMod cfrlm 21637   eval cevl 21972   mHomP cmhp 22010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14294  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19048  df-ghm 19137  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-srg 20090  df-ring 20138  df-cring 20139  df-rhm 20372  df-subrng 20444  df-subrg 20469  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-cnfld 21237  df-dsmm 21623  df-frlm 21638  df-assa 21744  df-asp 21745  df-ascl 21746  df-psr 21799  df-mvr 21800  df-mpl 21801  df-evls 21973  df-evl 21974  df-mhp 22017

This theorem is referenced by: (None)