Theorem mhphf4 42072

Description: A homogeneous polynomial defines a homogeneous function; this is mhphf3 42071 with evalSub collapsed to eval. (Contributed by SN, 23-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhphf4.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑆)
mhphf4.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑆)
mhphf4.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
mhphf4.f	⊢ 𝐹 = (𝑆 freeLMod 𝐼)
mhphf4.m	⊢ 𝑀 = (Base‘𝐹)
mhphf4.b	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐹)
mhphf4.x	⊢ · = (.r‘𝑆)
mhphf4.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
mhphf4.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhphf4.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
mhphf4.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐾)
mhphf4.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mhphf4.p	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
mhphf4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mhphf4	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

Proof of Theorem mhphf4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhphf4.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑆)
2		mhphf4.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
3	1, 2	evlval 22110	. 2 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐾)
4		eqid 2726	. 2 ⊢ (𝐼 mHomP (𝑆 ↾s 𝐾)) = (𝐼 mHomP (𝑆 ↾s 𝐾))
5		eqid 2726	. 2 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐾) = (𝑆 ↾s 𝐾)
6		mhphf4.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑆 freeLMod 𝐼)
7		mhphf4.m	. 2 ⊢ 𝑀 = (Base‘𝐹)
8		mhphf4.b	. 2 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐹)
9		mhphf4.x	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑆)
10		mhphf4.e	. 2 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
11		mhphf4.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
12		mhphf4.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
13	12	crngringd 20229	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
14	2	subrgid 20557	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑆))
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑆))
16		mhphf4.l	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐾)
17		mhphf4.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
18		mhphf4.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
19		mhphf4.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑆)
20	2	ressid 17258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → (𝑆 ↾s 𝐾) = 𝑆)
21	12, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝐾) = 𝑆)
22	21	eqcomd 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 ↾s 𝐾))
23	22	oveq2d 7440	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mHomP 𝑆) = (𝐼 mHomP (𝑆 ↾s 𝐾)))
24	19, 23	eqtrid 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐼 mHomP (𝑆 ↾s 𝐾)))
25	24	fveq1d 6903	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) = ((𝐼 mHomP (𝑆 ↾s 𝐾))‘𝑁))
26	18, 25	eleqtrd 2828	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((𝐼 mHomP (𝑆 ↾s 𝐾))‘𝑁))
27		mhphf4.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑀)
28	3, 4, 5, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 17, 26, 27	mhphf3 42071	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  ℕ₀cn0 12524  Basecbs 17213   ↾_s cress 17242  ._rcmulr 17267   ·_𝑠 cvsca 17270  ._gcmg 19061  mulGrpcmgp 20117  Ringcrg 20216  CRingccrg 20217  SubRingcsubrg 20551   freeLMod cfrlm 21744   eval cevl 22086   mHomP cmhp 22124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-addf 11237

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-ofr 7691  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-sup 9485  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-hash 14348  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-prds 17462  df-pws 17464  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-mhm 18773  df-submnd 18774  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-mulg 19062  df-subg 19117  df-ghm 19207  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-srg 20170  df-ring 20218  df-cring 20219  df-rhm 20454  df-subrng 20528  df-subrg 20553  df-lmod 20838  df-lss 20909  df-lsp 20949  df-sra 21151  df-rgmod 21152  df-cnfld 21344  df-dsmm 21730  df-frlm 21745  df-assa 21851  df-asp 21852  df-ascl 21853  df-psr 21906  df-mvr 21907  df-mpl 21908  df-evls 22087  df-evl 22088  df-mhp 22131

This theorem is referenced by: (None)