Theorem mhphf4 40538

Description: A homogeneous polynomial defines a homogeneous function; this is mhphf3 40537 with evalSub collapsed to eval. (Contributed by SN, 23-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhphf4.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑆)
mhphf4.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑆)
mhphf4.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
mhphf4.f	⊢ 𝐹 = (𝑆 freeLMod 𝐼)
mhphf4.m	⊢ 𝑀 = (Base‘𝐹)
mhphf4.b	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐹)
mhphf4.x	⊢ · = (.r‘𝑆)
mhphf4.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
mhphf4.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhphf4.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
mhphf4.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐾)
mhphf4.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mhphf4.p	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
mhphf4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mhphf4	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

Proof of Theorem mhphf4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhphf4.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑆)
2		mhphf4.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
3	1, 2	evlval 21403	. 2 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐾)
4		eqid 2736	. 2 ⊢ (𝐼 mHomP (𝑆 ↾s 𝐾)) = (𝐼 mHomP (𝑆 ↾s 𝐾))
5		eqid 2736	. 2 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐾) = (𝑆 ↾s 𝐾)
6		mhphf4.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑆 freeLMod 𝐼)
7		mhphf4.m	. 2 ⊢ 𝑀 = (Base‘𝐹)
8		mhphf4.b	. 2 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐹)
9		mhphf4.x	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑆)
10		mhphf4.e	. 2 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
11		mhphf4.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
12		mhphf4.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
13	12	crngringd 19883	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
14	2	subrgid 20123	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑆))
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑆))
16		mhphf4.l	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐾)
17		mhphf4.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
18		mhphf4.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
19		mhphf4.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑆)
20	2	ressid 17043	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → (𝑆 ↾s 𝐾) = 𝑆)
21	12, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝐾) = 𝑆)
22	21	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 ↾s 𝐾))
23	22	oveq2d 7345	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mHomP 𝑆) = (𝐼 mHomP (𝑆 ↾s 𝐾)))
24	19, 23	eqtrid 2788	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐼 mHomP (𝑆 ↾s 𝐾)))
25	24	fveq1d 6821	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) = ((𝐼 mHomP (𝑆 ↾s 𝐾))‘𝑁))
26	18, 25	eleqtrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((𝐼 mHomP (𝑆 ↾s 𝐾))‘𝑁))
27		mhphf4.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑀)
28	3, 4, 5, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 17, 26, 27	mhphf3 40537	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6473  (class class class)co 7329  ℕ₀cn0 12326  Basecbs 17001   ↾_s cress 17030  ._rcmulr 17052   ·_𝑠 cvsca 17055  ._gcmg 18788  mulGrpcmgp 19807  Ringcrg 19870  CRingccrg 19871  SubRingcsubrg 20117   freeLMod cfrlm 21051   eval cevl 21379   mHomP cmhp 21417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-addf 11043  ax-mulf 11044

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-of 7587  df-ofr 7588  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-supp 8040  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-oadd 8363  df-er 8561  df-map 8680  df-pm 8681  df-ixp 8749  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-fsupp 9219  df-sup 9291  df-oi 9359  df-dju 9750  df-card 9788  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-z 12413  df-dec 12531  df-uz 12676  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-seq 13815  df-hash 14138  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-mulr 17065  df-starv 17066  df-sca 17067  df-vsca 17068  df-ip 17069  df-tset 17070  df-ple 17071  df-ds 17073  df-unif 17074  df-hom 17075  df-cco 17076  df-0g 17241  df-gsum 17242  df-prds 17247  df-pws 17249  df-mre 17384  df-mrc 17385  df-acs 17387  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-mhm 18519  df-submnd 18520  df-grp 18668  df-minusg 18669  df-sbg 18670  df-mulg 18789  df-subg 18840  df-ghm 18920  df-cntz 19011  df-cmn 19475  df-abl 19476  df-mgp 19808  df-ur 19825  df-srg 19829  df-ring 19872  df-cring 19873  df-rnghom 20046  df-subrg 20119  df-lmod 20223  df-lss 20292  df-lsp 20332  df-sra 20532  df-rgmod 20533  df-cnfld 20696  df-dsmm 21037  df-frlm 21052  df-assa 21158  df-asp 21159  df-ascl 21160  df-psr 21210  df-mvr 21211  df-mpl 21212  df-evls 21380  df-evl 21381  df-mhp 21421

This theorem is referenced by: (None)