Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvlsupr6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvlsupr6 38729
Description: Consequence of superposition condition (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅). (Contributed by NM, 9-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlsupr5.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cvlsupr5.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvlsupr6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝑅 β‰  𝑄)

Proof of Theorem cvlsupr6
StepHypRef Expression
1 cvlsupr5.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2 eqid 2726 . . . . . 6 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3 cvlsupr5.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
41, 2, 3cvlsupr2 38725 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 β‰  𝑄 ∧ 𝑅(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄))))
5 simp2 1134 . . . . 5 ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 β‰  𝑄 ∧ 𝑅(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑅 β‰  𝑄)
64, 5syl6bi 253 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) β†’ 𝑅 β‰  𝑄))
763exp 1116 . . 3 (𝐾 ∈ CvLat β†’ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅) β†’ 𝑅 β‰  𝑄))))
87imp4a 422 . 2 (𝐾 ∈ CvLat β†’ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑅 β‰  𝑄)))
983imp 1108 1 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝑅 β‰  𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  lecple 17210  joincjn 18273  Atomscatm 38645  CvLatclc 38647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-lat 18394  df-covers 38648  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704
This theorem is referenced by:  4atexlemnclw  39453  4atexlemcnd  39455  cdleme21a  39708
  Copyright terms: Public domain W3C validator