Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11 1204 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β πΎ β HL) |
2 | | hlcvl 37867 |
. . 3
β’ (πΎ β HL β πΎ β CvLat) |
3 | 1, 2 | syl 17 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β πΎ β CvLat) |
4 | | simp12 1205 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π β π΄) |
5 | | simp2l 1200 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π β π΄) |
6 | | simp3l 1202 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π§ β π΄) |
7 | | simp13 1206 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π β π΄) |
8 | | simp2r 1201 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
9 | | cdleme21a.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
10 | | cdleme21a.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
11 | | cdleme21a.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
12 | 9, 10, 11 | atnlej1 37888 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β π β π) |
13 | 12 | necomd 2996 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β π β π) |
14 | 1, 5, 4, 7, 8, 13 | syl131anc 1384 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π β π) |
15 | | simp3r 1203 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β (π β¨ π§) = (π β¨ π§)) |
16 | 11, 10 | cvlsupr6 37855 |
. . 3
β’ ((πΎ β CvLat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π§ β π΄) β§ (π β π β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π§ β π) |
17 | 16 | necomd 2996 |
. 2
β’ ((πΎ β CvLat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π§ β π΄) β§ (π β π β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π β π§) |
18 | 3, 4, 5, 6, 14, 15, 17 | syl132anc 1389 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π β π§) |