Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme21a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme21a 37901
 Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 115. (Contributed by NM, 28-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme21a.l = (le‘𝐾)
cdleme21a.j = (join‘𝐾)
cdleme21a.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdleme21a (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝑆𝑧)

Proof of Theorem cdleme21a
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝐾 ∈ HL)
2 hlcvl 36935 . . 3 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat)
31, 2syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝐾 ∈ CvLat)
4 simp12 1201 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝑃𝐴)
5 simp2l 1196 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝑆𝐴)
6 simp3l 1198 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝑧𝐴)
7 simp13 1202 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝑄𝐴)
8 simp2r 1197 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))
9 cdleme21a.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
10 cdleme21a.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
11 cdleme21a.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
129, 10, 11atnlej1 36955 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝐴𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝑆𝑃)
1312necomd 3006 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝐴𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → 𝑃𝑆)
141, 5, 4, 7, 8, 13syl131anc 1380 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝑃𝑆)
15 simp3r 1199 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))
1611, 10cvlsupr6 36923 . . 3 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑧𝐴) ∧ (𝑃𝑆 ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝑧𝑆)
1716necomd 3006 . 2 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑧𝐴) ∧ (𝑃𝑆 ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝑆𝑧)
183, 4, 5, 6, 14, 15, 17syl132anc 1385 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑃 𝑧) = (𝑆 𝑧))) → 𝑆𝑧)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   class class class wbr 5032  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  lecple 16630  joincjn 17620  Atomscatm 36839  CvLatclc 36841  HLchlt 36926 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-proset 17604  df-poset 17622  df-plt 17634  df-lub 17650  df-glb 17651  df-join 17652  df-meet 17653  df-p0 17715  df-lat 17722  df-covers 36842  df-ats 36843  df-atl 36874  df-cvlat 36898  df-hlat 36927 This theorem is referenced by:  cdleme21ct  37905  cdleme21d  37906
 Copyright terms: Public domain W3C validator