Theorem cvlsupr7 38848

Description: Consequence of superposition condition (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅). (Contributed by NM, 24-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvlsupr5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cvlsupr5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvlsupr7	⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem cvlsupr7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvllat 38826	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	3ad2ant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simp21 1203	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
4		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		cvlsupr5.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	4, 5	atbase 38789	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
7	3, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
8		simp23 1205	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
9	4, 5	atbase 38789	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
11		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
12		cvlsupr5.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
13	4, 11, 12	latlej1 18437	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅))
14	2, 7, 10, 13	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅))
15		simp3r 1199	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))) → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))
16	14, 15	breqtrd 5167	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅))
17		simp22 1204	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
18	4, 5	atbase 38789	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
19	17, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
20	4, 12	latjcom 18436	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑄))
21	2, 19, 10, 20	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))) → (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑄))
22	16, 21	breqtrd 5167	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑄))
23		simp1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝐾 ∈ CvLat)
24		simp3l 1198	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑃 ≠ 𝑄)
25	11, 12, 5	cvlatexchb2 38835	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑃(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑄) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑄)))
26	23, 3, 8, 17, 24, 25	syl131anc 1380	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))) → (𝑃(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑄) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑄)))
27	22, 26	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930   class class class wbr 5141  ‘cfv 6541  (class class class)co 7414  Basecbs 17177  lecple 17237  joincjn 18300  Latclat 18420  Atomscatm 38763  CvLatclc 38765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5568  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-proset 18284  df-poset 18302  df-plt 18319  df-lub 18335  df-glb 18336  df-join 18337  df-meet 18338  df-p0 18414  df-lat 18421  df-covers 38766  df-ats 38767  df-atl 38798  df-cvlat 38822

This theorem is referenced by:  cvlsupr8  38849  4atexlemswapqr  39564  4atexlemcnd  39573  cdleme21c  39828