Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvlsupr7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvlsupr7 35157
Description: Consequence of superposition condition (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅). (Contributed by NM, 24-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlsupr5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cvlsupr5.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvlsupr7 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅))) → (𝑃 𝑄) = (𝑅 𝑄))

Proof of Theorem cvlsupr7
StepHypRef Expression
1 cvllat 35135 . . . . . 6 (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1127 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅))) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simp21 1248 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅))) → 𝑃𝐴)
4 eqid 2771 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5 cvlsupr5.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
64, 5atbase 35098 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
73, 6syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
8 simp23 1250 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅))) → 𝑅𝐴)
94, 5atbase 35098 . . . . . 6 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
108, 9syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
11 eqid 2771 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
12 cvlsupr5.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
134, 11, 12latlej1 17268 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑅))
142, 7, 10, 13syl3anc 1476 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅))) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑅))
15 simp3r 1244 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅))) → (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅))
1614, 15breqtrd 4812 . . 3 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅))) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))
17 simp22 1249 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅))) → 𝑄𝐴)
184, 5atbase 35098 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
1917, 18syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅))) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
204, 12latjcom 17267 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑄))
212, 19, 10, 20syl3anc 1476 . . 3 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅))) → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑄))
2216, 21breqtrd 4812 . 2 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅))) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑅 𝑄))
23 simp1 1130 . . 3 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅))) → 𝐾 ∈ CvLat)
24 simp3l 1243 . . 3 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅))) → 𝑃𝑄)
2511, 12, 5cvlatexchb2 35144 . . 3 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃(le‘𝐾)(𝑅 𝑄) ↔ (𝑃 𝑄) = (𝑅 𝑄)))
2623, 3, 8, 17, 24, 25syl131anc 1489 . 2 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅))) → (𝑃(le‘𝐾)(𝑅 𝑄) ↔ (𝑃 𝑄) = (𝑅 𝑄)))
2722, 26mpbid 222 1 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅))) → (𝑃 𝑄) = (𝑅 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  lecple 16156  joincjn 17152  Latclat 17253  Atomscatm 35072  CvLatclc 35074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-lat 17254  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131
This theorem is referenced by:  cvlsupr8  35158  4atexlemswapqr  35871  4atexlemcnd  35880  cdleme21c  36136
  Copyright terms: Public domain W3C validator