Theorem cvr2N 39671

Description: Less-than and covers equivalence in a Hilbert lattice. (chcv2 32431 analog.) (Contributed by NM, 7-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvr2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvr2.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
cvr2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvr2.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvr2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvr2N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑃) ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))

Proof of Theorem cvr2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39623	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		cvr2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		cvr2.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	4, 5	atbase 39549	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
7	6	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
8		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
9		cvr2.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
10		cvr2.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11	4, 8, 9, 10	latnle 18396	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑃)))
12	2, 3, 7, 11	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑃)))
13		cvr2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
14	4, 8, 10, 13, 5	cvr1 39670	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))
15	12, 14	bitr3d 281	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑃) ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  lecple 17184  ltcplt 18231  joincjn 18234  Latclat 18354   ⋖ ccvr 39522  Atomscatm 39523  HLchlt 39610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-p0 18346  df-lat 18355  df-clat 18422  df-oposet 39436  df-ol 39438  df-oml 39439  df-covers 39526  df-ats 39527  df-atl 39558  df-cvlat 39582  df-hlat 39611

This theorem is referenced by:  cvrval4N  39674