Theorem cvr2N 37451

Description: Less-than and covers equivalence in a Hilbert lattice. (chcv2 30746 analog.) (Contributed by NM, 7-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvr2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvr2.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
cvr2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvr2.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvr2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvr2N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑃) ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))

Proof of Theorem cvr2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 37403	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simp2 1135	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		cvr2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		cvr2.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	4, 5	atbase 37329	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
7	6	3ad2ant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
8		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
9		cvr2.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
10		cvr2.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11	4, 8, 9, 10	latnle 18219	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑃)))
12	2, 3, 7, 11	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑃)))
13		cvr2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
14	4, 8, 10, 13, 5	cvr1 37450	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))
15	12, 14	bitr3d 280	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑃) ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   = wceq 1537   ∈ wcel 2101   class class class wbr 5077  ‘cfv 6447  (class class class)co 7295  Basecbs 16940  lecple 16997  ltcplt 18054  joincjn 18057  Latclat 18177   ⋖ ccvr 37302  Atomscatm 37303  HLchlt 37390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-id 5491  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-proset 18041  df-poset 18059  df-plt 18076  df-lub 18092  df-glb 18093  df-join 18094  df-meet 18095  df-p0 18171  df-lat 18178  df-clat 18245  df-oposet 37216  df-ol 37218  df-oml 37219  df-covers 37306  df-ats 37307  df-atl 37338  df-cvlat 37362  df-hlat 37391

This theorem is referenced by:  cvrval4N  37454