Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvr2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvr2N 38884
Description: Less-than and covers equivalence in a Hilbert lattice. (chcv2 32165 analog.) (Contributed by NM, 7-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cvr2.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvr2.s < = (ltβ€˜πΎ)
cvr2.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cvr2.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
cvr2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvr2N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑃) ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)))

Proof of Theorem cvr2N
StepHypRef Expression
1 hllat 38835 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simp2 1135 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 cvr2.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 cvr2.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
64, 5atbase 38761 . . . 4 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
763ad2ant3 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
8 eqid 2728 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
9 cvr2.s . . . 4 < = (ltβ€˜πΎ)
10 cvr2.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
114, 8, 9, 10latnle 18464 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑃)))
122, 3, 7, 11syl3anc 1369 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑃)))
13 cvr2.c . . 3 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
144, 8, 10, 13, 5cvr1 38883 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)))
1512, 14bitr3d 281 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑃) ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17179  lecple 17239  ltcplt 18299  joincjn 18302  Latclat 18422   β‹– ccvr 38734  Atomscatm 38735  HLchlt 38822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823
This theorem is referenced by:  cvrval4N  38887
  Copyright terms: Public domain W3C validator