Theorem cvr2N 38785

Description: Less-than and covers equivalence in a Hilbert lattice. (chcv2 32103 analog.) (Contributed by NM, 7-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvr2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvr2.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
cvr2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvr2.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvr2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvr2N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑃) ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))

Proof of Theorem cvr2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 38736	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	3ad2ant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simp2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		cvr2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		cvr2.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	4, 5	atbase 38662	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
7	6	3ad2ant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
8		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
9		cvr2.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
10		cvr2.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11	4, 8, 9, 10	latnle 18434	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑃)))
12	2, 3, 7, 11	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑃)))
13		cvr2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
14	4, 8, 10, 13, 5	cvr1 38784	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))
15	12, 14	bitr3d 281	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑃) ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5139  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  lecple 17209  ltcplt 18269  joincjn 18272  Latclat 18392   ⋖ ccvr 38635  Atomscatm 38636  HLchlt 38723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-proset 18256  df-poset 18274  df-plt 18291  df-lub 18307  df-glb 18308  df-join 18309  df-meet 18310  df-p0 18386  df-lat 18393  df-clat 18460  df-oposet 38549  df-ol 38551  df-oml 38552  df-covers 38639  df-ats 38640  df-atl 38671  df-cvlat 38695  df-hlat 38724

This theorem is referenced by:  cvrval4N  38788