Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvr2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvr2N 37920
Description: Less-than and covers equivalence in a Hilbert lattice. (chcv2 31340 analog.) (Contributed by NM, 7-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cvr2.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvr2.s < = (ltβ€˜πΎ)
cvr2.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cvr2.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
cvr2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvr2N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑃) ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)))

Proof of Theorem cvr2N
StepHypRef Expression
1 hllat 37871 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simp2 1138 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 cvr2.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 cvr2.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
64, 5atbase 37797 . . . 4 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
763ad2ant3 1136 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
8 eqid 2733 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
9 cvr2.s . . . 4 < = (ltβ€˜πΎ)
10 cvr2.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
114, 8, 9, 10latnle 18367 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑃)))
122, 3, 7, 11syl3anc 1372 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑃)))
13 cvr2.c . . 3 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
144, 8, 10, 13, 5cvr1 37919 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)))
1512, 14bitr3d 281 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑃) ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  lecple 17145  ltcplt 18202  joincjn 18205  Latclat 18325   β‹– ccvr 37770  Atomscatm 37771  HLchlt 37858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-lat 18326  df-clat 18393  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859
This theorem is referenced by:  cvrval4N  37923
  Copyright terms: Public domain W3C validator