Theorem cvr2N 40734

Description: Less-than and covers equivalence in a Hilbert lattice. (chcv2 33015 analog.) (Contributed by NM, 7-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvr2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvr2.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
cvr2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvr2.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvr2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvr2N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑃) ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))

Proof of Theorem cvr2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 40686	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		cvr2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		cvr2.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	4, 5	atbase 40612	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
7	6	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
9		cvr2.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
10		cvr2.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11	4, 8, 9, 10	latnle 18697	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑃)))
12	2, 3, 7, 11	syl3anc 1399	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑃)))
13		cvr2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
14	4, 8, 10, 13, 5	cvr1 40733	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))
15	12, 14	bitr3d 284	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑃) ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  lecple 17479  ltcplt 18532  joincjn 18535  Latclat 18655   ⋖ ccvr 40585  Atomscatm 40586  HLchlt 40673

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-proset 18518  df-poset 18537  df-plt 18552  df-lub 18568  df-glb 18569  df-join 18570  df-meet 18571  df-p0 18647  df-lat 18656  df-clat 18723  df-oposet 40499  df-ol 40501  df-oml 40502  df-covers 40589  df-ats 40590  df-atl 40621  df-cvlat 40645  df-hlat 40674

This theorem is used by:  cvrval4N  40737