Theorem cvr1 38084

Description: A Hilbert lattice has the covering property. Proposition 1(ii) in [Kalmbach] p. 140 (and its converse). (chcv1 31471 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvr1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvr1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cvr1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvr1.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvr1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvr1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))

Proof of Theorem cvr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlomcmcv 38029	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat))
2		cvr1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		cvr1.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		cvr1.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		cvr1.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
6		cvr1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	2, 3, 4, 5, 6	cvlcvr1 38012	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))
8	1, 7	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5141  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  Basecbs 17126  lecple 17186  joincjn 18246  CLatccla 18433  OMLcoml 37848   ⋖ ccvr 37935  Atomscatm 37936  CvLatclc 37938  HLchlt 38023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-proset 18230  df-poset 18248  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 37849  df-ol 37851  df-oml 37852  df-covers 37939  df-ats 37940  df-atl 37971  df-cvlat 37995  df-hlat 38024

This theorem is referenced by:  cvr2N  38085  hlrelat3  38086  cvrval3  38087  cvrval4N  38088  cvrexchlem  38093  cvratlem  38095  cvrat3  38116  3dim0  38131  2dim  38144  1cvrjat  38149  llncvrlpln2  38231  lplnexllnN  38238  lplncvrlvol2  38289  lhp2lt  38675