Theorem cvr1 36098

Description: A Hilbert lattice has the covering property. Proposition 1(ii) in [Kalmbach] p. 140 (and its converse). (chcv1 29819 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvr1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvr1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cvr1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvr1.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvr1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvr1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))

Proof of Theorem cvr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlomcmcv 36044	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat))
2		cvr1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		cvr1.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		cvr1.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		cvr1.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
6		cvr1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	2, 3, 4, 5, 6	cvlcvr1 36027	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))
8	1, 7	syl3an1 1156	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ w3a 1080   = wceq 1525   ∈ wcel 2083   class class class wbr 4968  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023  Basecbs 16316  lecple 16405  joincjn 17387  CLatccla 17550  OMLcoml 35863   ⋖ ccvr 35950  Atomscatm 35951  CvLatclc 35953  HLchlt 36038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-proset 17371  df-poset 17389  df-plt 17401  df-lub 17417  df-glb 17418  df-join 17419  df-meet 17420  df-p0 17482  df-lat 17489  df-clat 17551  df-oposet 35864  df-ol 35866  df-oml 35867  df-covers 35954  df-ats 35955  df-atl 35986  df-cvlat 36010  df-hlat 36039

This theorem is referenced by:  cvr2N  36099  hlrelat3  36100  cvrval3  36101  cvrval4N  36102  cvrexchlem  36107  cvratlem  36109  cvrat3  36130  3dim0  36145  2dim  36158  1cvrjat  36163  llncvrlpln2  36245  lplnexllnN  36252  lplncvrlvol2  36303  lhp2lt  36689