Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvr1 38084
Description: A Hilbert lattice has the covering property. Proposition 1(ii) in [Kalmbach] p. 140 (and its converse). (chcv1 31471 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvr1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvr1.l = (le‘𝐾)
cvr1.j = (join‘𝐾)
cvr1.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvr1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvr1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑃)))

Proof of Theorem cvr1
StepHypRef Expression
1 hlomcmcv 38029 . 2 (𝐾 ∈ HL → (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat))
2 cvr1.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 cvr1.l . . 3 = (le‘𝐾)
4 cvr1.j . . 3 = (join‘𝐾)
5 cvr1.c . . 3 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
6 cvr1.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
72, 3, 4, 5, 6cvlcvr1 38012 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑃)))
81, 7syl3an1 1163 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5141  cfv 6532  (class class class)co 7393  Basecbs 17126  lecple 17186  joincjn 18246  CLatccla 18433  OMLcoml 37848  ccvr 37935  Atomscatm 37936  CvLatclc 37938  HLchlt 38023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-proset 18230  df-poset 18248  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 37849  df-ol 37851  df-oml 37852  df-covers 37939  df-ats 37940  df-atl 37971  df-cvlat 37995  df-hlat 38024
This theorem is referenced by:  cvr2N  38085  hlrelat3  38086  cvrval3  38087  cvrval4N  38088  cvrexchlem  38093  cvratlem  38095  cvrat3  38116  3dim0  38131  2dim  38144  1cvrjat  38149  llncvrlpln2  38231  lplnexllnN  38238  lplncvrlvol2  38289  lhp2lt  38675
  Copyright terms: Public domain W3C validator