Theorem cvr1 40733

Description: A Hilbert lattice has the covering property. Proposition 1(ii) in [Kalmbach] p. 140 (and its converse). (chcv1 33014 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvr1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvr1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cvr1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvr1.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvr1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvr1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))

Proof of Theorem cvr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlomcmcv 40679	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat))
2		cvr1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		cvr1.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		cvr1.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		cvr1.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
6		cvr1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	2, 3, 4, 5, 6	cvlcvr1 40662	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))
8	1, 7	syl3an1 1181	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  lecple 17479  joincjn 18535  CLatccla 18722  OMLcoml 40498   ⋖ ccvr 40585  Atomscatm 40586  CvLatclc 40588  HLchlt 40673

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-proset 18518  df-poset 18537  df-plt 18552  df-lub 18568  df-glb 18569  df-join 18570  df-meet 18571  df-p0 18647  df-lat 18656  df-clat 18723  df-oposet 40499  df-ol 40501  df-oml 40502  df-covers 40589  df-ats 40590  df-atl 40621  df-cvlat 40645  df-hlat 40674

This theorem is used by:  cvr2N  40734  hlrelat3  40735  cvrval3  40736  cvrval4N  40737  cvrexchlem  40742  cvratlem  40744  cvrat3  40765  3dim0  40780  2dim  40793  1cvrjat  40798  llncvrlpln2  40880  lplnexllnN  40887  lplncvrlvol2  40938  lhp2lt  41324