Theorem cvr1 40184

Description: A Hilbert lattice has the covering property. Proposition 1(ii) in [Kalmbach] p. 140 (and its converse). (chcv1 32707 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvr1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvr1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cvr1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvr1.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvr1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvr1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))

Proof of Theorem cvr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlomcmcv 40130	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat))
2		cvr1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		cvr1.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		cvr1.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		cvr1.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
6		cvr1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	2, 3, 4, 5, 6	cvlcvr1 40113	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))
8	1, 7	syl3an1 1181	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  lecple 17312  joincjn 18362  CLatccla 18549  OMLcoml 39949   ⋖ ccvr 40036  Atomscatm 40037  CvLatclc 40039  HLchlt 40124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-proset 18345  df-poset 18364  df-plt 18379  df-lub 18395  df-glb 18396  df-join 18397  df-meet 18398  df-p0 18474  df-lat 18483  df-clat 18550  df-oposet 39950  df-ol 39952  df-oml 39953  df-covers 40040  df-ats 40041  df-atl 40072  df-cvlat 40096  df-hlat 40125

This theorem is referenced by:  cvr2N  40185  hlrelat3  40186  cvrval3  40187  cvrval4N  40188  cvrexchlem  40193  cvratlem  40195  cvrat3  40216  3dim0  40231  2dim  40244  1cvrjat  40249  llncvrlpln2  40331  lplnexllnN  40338  lplncvrlvol2  40389  lhp2lt  40775