Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvr1 38775
Description: A Hilbert lattice has the covering property. Proposition 1(ii) in [Kalmbach] p. 140 (and its converse). (chcv1 32080 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvr1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvr1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cvr1.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cvr1.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
cvr1.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvr1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)))

Proof of Theorem cvr1
StepHypRef Expression
1 hlomcmcv 38720 . 2 (𝐾 ∈ HL β†’ (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat))
2 cvr1.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 cvr1.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 cvr1.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
5 cvr1.c . . 3 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
6 cvr1.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
72, 3, 4, 5, 6cvlcvr1 38703 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)))
81, 7syl3an1 1160 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17145  lecple 17205  joincjn 18268  CLatccla 18455  OMLcoml 38539   β‹– ccvr 38626  Atomscatm 38627  CvLatclc 38629  HLchlt 38714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38540  df-ol 38542  df-oml 38543  df-covers 38630  df-ats 38631  df-atl 38662  df-cvlat 38686  df-hlat 38715
This theorem is referenced by:  cvr2N  38776  hlrelat3  38777  cvrval3  38778  cvrval4N  38779  cvrexchlem  38784  cvratlem  38786  cvrat3  38807  3dim0  38822  2dim  38835  1cvrjat  38840  llncvrlpln2  38922  lplnexllnN  38929  lplncvrlvol2  38980  lhp2lt  39366
  Copyright terms: Public domain W3C validator