Theorem proot1ex 43964

Description: The complex field has primitive 𝑁-th roots of unity for all 𝑁. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
proot1ex.g	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
proot1ex.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
proot1ex	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))

Proof of Theorem proot1ex

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12221	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		2rp 13039	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
3		nnrp 13046	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
4		rpdivcl 13061	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ+)
5	2, 3, 4	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 / 𝑁) ∈ ℝ+)
6	5	rpcnd 13080	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
7		cxpcl 26876	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / 𝑁) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
8	1, 6, 7	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
9	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
10		neg1ne0 12223	. . . . 5 ⊢ -1 ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 ≠ 0)
12	9, 11, 6	cxpne0d 26915	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0)
13		eldifsn 4758	. . 3 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0))
14	8, 12, 13	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
15	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → -1 ∈ ℂ)
16	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → -1 ≠ 0)
17		nn0cn 12532	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℂ)
18		mulcl 11202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((2 / 𝑁) · 𝑥) ∈ ℂ)
19	6, 17, 18	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((2 / 𝑁) · 𝑥) ∈ ℂ)
20	15, 16, 19	cxpefd 26914	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1))))
21	20	eqeq1d 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = 1 ↔ (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1))) = 1))
22		logcl 26770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) → (log‘-1) ∈ ℂ)
23	1, 10, 22	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (log‘-1) ∈ ℂ
24		mulcl 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 / 𝑁) · 𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘-1) ∈ ℂ) → (((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) ∈ ℂ)
25	19, 23, 24	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) ∈ ℂ)
26		efeq1 26730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) ∈ ℂ → ((exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1))) = 1 ↔ ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
27	25, 26	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1))) = 1 ↔ ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
28		2cn 12334	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
30		nncn 12259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
31	30	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
32	17	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
33		nnne0 12288	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
34	33	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≠ 0)
35	29, 31, 32, 34	div13d 12033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((2 / 𝑁) · 𝑥) = ((𝑥 / 𝑁) · 2))
36		logm1 26791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (log‘-1) = (i · π)
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (log‘-1) = (i · π))
38	35, 37	oveq12d 7441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) = (((𝑥 / 𝑁) · 2) · (i · π)))
39	32, 31, 34	divcld 12009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 / 𝑁) ∈ ℂ)
40		ax-icn 11177	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ i ∈ ℂ
41		picn 26658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℂ
42	40, 41	mulcli 11234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · π) ∈ ℂ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (i · π) ∈ ℂ)
44	39, 29, 43	mulassd 11250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑥 / 𝑁) · 2) · (i · π)) = ((𝑥 / 𝑁) · (2 · (i · π))))
45	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → i ∈ ℂ)
46	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → π ∈ ℂ)
47	29, 45, 46	mul12d 11437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (2 · (i · π)) = (i · (2 · π)))
48	47	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 / 𝑁) · (2 · (i · π))) = ((𝑥 / 𝑁) · (i · (2 · π))))
49	38, 44, 48	3eqtrd 2805	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) = ((𝑥 / 𝑁) · (i · (2 · π))))
50	49	oveq1d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) = (((𝑥 / 𝑁) · (i · (2 · π))) / (i · (2 · π))))
51	28, 41	mulcli 11234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
52	40, 51	mulcli 11234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
54		ine0 11667	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ≠ 0
55		2ne0 12365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
56		pire 26656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℝ
57		pipos 26660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < π
58	56, 57	gt0ne0ii 11768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ≠ 0
59	28, 41, 55, 58	mulne0i 11875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) ≠ 0
60	40, 51, 54, 59	mulne0i 11875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · (2 · π)) ≠ 0
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (i · (2 · π)) ≠ 0)
62	39, 53, 61	divcan4d 12015	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑥 / 𝑁) · (i · (2 · π))) / (i · (2 · π))) = (𝑥 / 𝑁))
63	50, 62	eqtrd 2801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) = (𝑥 / 𝑁))
64	63	eleq1d 2851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ ↔ (𝑥 / 𝑁) ∈ ℤ))
65	21, 27, 64	3bitrd 308	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = 1 ↔ (𝑥 / 𝑁) ∈ ℤ))
66	6	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
67		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
68	15, 66, 67	cxpmul2d 26911	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑥))
69		cnfldexp 21592	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑥))
70	8, 69	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑥))
71		cnring 21581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ Ring
72		cnfldbas 21563	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
73		cnfld0 21583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
74		cndrng 21588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
75	72, 73, 74	drngui 20870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
76		eqid 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
77	75, 76	unitsubm 20501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
78	71, 77	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
79	14	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
80		eqid 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
81		proot1ex.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
82		eqid 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
83	80, 81, 82	submmulg 19215	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))))
84	78, 67, 79, 83	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))))
85	68, 70, 84	3eqtr2rd 2808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)))
86	85	eqeq1d 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1 ↔ (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = 1))
87		nnz 12630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
88	87	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
89		nn0z 12633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℤ)
90	89	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℤ)
91		dvdsval2 16338	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑁) ∈ ℤ))
92	88, 34, 90, 91	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑁) ∈ ℤ))
93	65, 86, 92	3bitr4rd 315	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1))
94	93	ralrimiva 3160	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1))
95	75, 81	unitgrp 20498	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
96	71, 95	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Grp)
97		nnnn0 12529	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
98	75, 81	unitgrpbas 20497	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝐺)
99		proot1ex.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
100		cnfld1 21584	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
101	75, 81, 100	unitgrpid 20500	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → 1 = (0g‘𝐺))
102	71, 101	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
103	98, 99, 82, 102	odeq 19651	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1)))
104	96, 14, 97, 103	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1)))
105	94, 104	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))))
106	105	eqcomd 2772	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 𝑁)
107	98, 99	odf 19638	. . . 4 ⊢ 𝑂:(ℂ ∖ {0})⟶ℕ0
108		ffn 6712	. . . 4 ⊢ (𝑂:(ℂ ∖ {0})⟶ℕ0 → 𝑂 Fn (ℂ ∖ {0}))
109	107, 108	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑂 Fn (ℂ ∖ {0})
110		fniniseg 7062	. . 3 ⊢ (𝑂 Fn (ℂ ∖ {0}) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ↔ ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 𝑁)))
111	109, 110	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ↔ ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 𝑁)))
112	14, 106, 111	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082   ∖ cdif 3905  {csn 4594   class class class wbr 5114  ^◡ccnv 5665   “ cima 5669   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118  1c1 11119  ici 11120   · cmul 11123  -cneg 11460   / cdiv 11889  ℕcn 12251  2c2 12313  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609  ℝ⁺crp 13034  ↑cexp 14117  expce 16140  πcpi 16145   ∥ cdvds 16335   ↾_s cress 17315  0_gc0g 17517  SubMndcsubmnd 18871  Grpcgrp 19031  ._gcmg 19164  odcod 19625  mulGrpcmgp 20247  Ringcrg 20346  ℂ_fldccnfld 21559  logclog 26756  ↑_𝑐ccxp 26757

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197  ax-mulf 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16146  df-sin 16148  df-cos 16149  df-pi 16151  df-dvds 16336  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-pt 17522  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-qtop 17586  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-mulg 19165  df-cntz 19418  df-od 19629  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-cring 20349  df-oppr 20452  df-dvdsr 20472  df-unit 20473  df-invr 20503  df-dvr 20516  df-drng 20866  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-fbas 21556  df-fg 21557  df-cnfld 21560  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-cld 23213  df-ntr 23214  df-cls 23215  df-nei 23292  df-lp 23330  df-perf 23331  df-cn 23421  df-cnp 23422  df-haus 23509  df-tx 23756  df-hmeo 23949  df-fil 24040  df-fm 24132  df-flim 24133  df-flf 24134  df-xms 24514  df-ms 24515  df-tms 24516  df-cncf 25074  df-limc 26062  df-dv 26063  df-log 26758  df-cxp 26759

This theorem is used by: (None)