Theorem proot1ex 40942

Description: The complex field has primitive 𝑁-th roots of unity for all 𝑁. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
proot1ex.g	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
proot1ex.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
proot1ex	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))

Proof of Theorem proot1ex

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12017	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		2rp 12664	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
3		nnrp 12670	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
4		rpdivcl 12684	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ+)
5	2, 3, 4	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 / 𝑁) ∈ ℝ+)
6	5	rpcnd 12703	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
7		cxpcl 25734	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / 𝑁) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
8	1, 6, 7	sylancr 586	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
9	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
10		neg1ne0 12019	. . . . 5 ⊢ -1 ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 ≠ 0)
12	9, 11, 6	cxpne0d 25773	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0)
13		eldifsn 4717	. . 3 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0))
14	8, 12, 13	sylanbrc 582	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
15	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → -1 ∈ ℂ)
16	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → -1 ≠ 0)
17		nn0cn 12173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℂ)
18		mulcl 10886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((2 / 𝑁) · 𝑥) ∈ ℂ)
19	6, 17, 18	syl2an 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((2 / 𝑁) · 𝑥) ∈ ℂ)
20	15, 16, 19	cxpefd 25772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1))))
21	20	eqeq1d 2740	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = 1 ↔ (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1))) = 1))
22		logcl 25629	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) → (log‘-1) ∈ ℂ)
23	1, 10, 22	mp2an 688	. . . . . . . . 9 ⊢ (log‘-1) ∈ ℂ
24		mulcl 10886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 / 𝑁) · 𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘-1) ∈ ℂ) → (((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) ∈ ℂ)
25	19, 23, 24	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) ∈ ℂ)
26		efeq1 25589	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) ∈ ℂ → ((exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1))) = 1 ↔ ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
27	25, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1))) = 1 ↔ ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
28		2cn 11978	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
30		nncn 11911	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
32	17	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
33		nnne0 11937	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≠ 0)
35	29, 31, 32, 34	div13d 11705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((2 / 𝑁) · 𝑥) = ((𝑥 / 𝑁) · 2))
36		logm1 25649	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (log‘-1) = (i · π)
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (log‘-1) = (i · π))
38	35, 37	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) = (((𝑥 / 𝑁) · 2) · (i · π)))
39	32, 31, 34	divcld 11681	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 / 𝑁) ∈ ℂ)
40		ax-icn 10861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ i ∈ ℂ
41		picn 25521	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℂ
42	40, 41	mulcli 10913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · π) ∈ ℂ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (i · π) ∈ ℂ)
44	39, 29, 43	mulassd 10929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑥 / 𝑁) · 2) · (i · π)) = ((𝑥 / 𝑁) · (2 · (i · π))))
45	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → i ∈ ℂ)
46	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → π ∈ ℂ)
47	29, 45, 46	mul12d 11114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (2 · (i · π)) = (i · (2 · π)))
48	47	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 / 𝑁) · (2 · (i · π))) = ((𝑥 / 𝑁) · (i · (2 · π))))
49	38, 44, 48	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) = ((𝑥 / 𝑁) · (i · (2 · π))))
50	49	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) = (((𝑥 / 𝑁) · (i · (2 · π))) / (i · (2 · π))))
51	28, 41	mulcli 10913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
52	40, 51	mulcli 10913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
54		ine0 11340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ≠ 0
55		2ne0 12007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
56		pire 25520	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℝ
57		pipos 25522	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < π
58	56, 57	gt0ne0ii 11441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ≠ 0
59	28, 41, 55, 58	mulne0i 11548	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) ≠ 0
60	40, 51, 54, 59	mulne0i 11548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · (2 · π)) ≠ 0
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (i · (2 · π)) ≠ 0)
62	39, 53, 61	divcan4d 11687	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑥 / 𝑁) · (i · (2 · π))) / (i · (2 · π))) = (𝑥 / 𝑁))
63	50, 62	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) = (𝑥 / 𝑁))
64	63	eleq1d 2823	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ ↔ (𝑥 / 𝑁) ∈ ℤ))
65	21, 27, 64	3bitrd 304	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = 1 ↔ (𝑥 / 𝑁) ∈ ℤ))
66	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
67		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
68	15, 66, 67	cxpmul2d 25769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑥))
69		cnfldexp 20543	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑥))
70	8, 69	sylan 579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑥))
71		cnring 20532	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ Ring
72		cnfldbas 20514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
73		cnfld0 20534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
74		cndrng 20539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
75	72, 73, 74	drngui 19912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
76		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
77	75, 76	unitsubm 19827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
78	71, 77	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
79	14	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
80		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
81		proot1ex.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
82		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
83	80, 81, 82	submmulg 18662	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))))
84	78, 67, 79, 83	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))))
85	68, 70, 84	3eqtr2rd 2785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)))
86	85	eqeq1d 2740	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1 ↔ (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = 1))
87		nnz 12272	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
88	87	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
89		nn0z 12273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℤ)
90	89	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℤ)
91		dvdsval2 15894	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑁) ∈ ℤ))
92	88, 34, 90, 91	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑁) ∈ ℤ))
93	65, 86, 92	3bitr4rd 311	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1))
94	93	ralrimiva 3107	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1))
95	75, 81	unitgrp 19824	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
96	71, 95	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Grp)
97		nnnn0 12170	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
98	75, 81	unitgrpbas 19823	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝐺)
99		proot1ex.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
100		cnfld1 20535	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
101	75, 81, 100	unitgrpid 19826	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → 1 = (0g‘𝐺))
102	71, 101	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
103	98, 99, 82, 102	odeq 19073	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1)))
104	96, 14, 97, 103	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1)))
105	94, 104	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))))
106	105	eqcomd 2744	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 𝑁)
107	98, 99	odf 19060	. . . 4 ⊢ 𝑂:(ℂ ∖ {0})⟶ℕ0
108		ffn 6584	. . . 4 ⊢ (𝑂:(ℂ ∖ {0})⟶ℕ0 → 𝑂 Fn (ℂ ∖ {0}))
109	107, 108	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑂 Fn (ℂ ∖ {0})
110		fniniseg 6919	. . 3 ⊢ (𝑂 Fn (ℂ ∖ {0}) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ↔ ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 𝑁)))
111	109, 110	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ↔ ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 𝑁)))
112	14, 106, 111	mpbir2and 709	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063   ∖ cdif 3880  {csn 4558   class class class wbr 5070  ^◡ccnv 5579   “ cima 5583   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803  ici 10804   · cmul 10807  -cneg 11136   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℝ⁺crp 12659  ↑cexp 13710  expce 15699  πcpi 15704   ∥ cdvds 15891   ↾_s cress 16867  0_gc0g 17067  SubMndcsubmnd 18344  Grpcgrp 18492  ._gcmg 18615  odcod 19047  mulGrpcmgp 19635  Ringcrg 19698  ℂ_fldccnfld 20510  logclog 25615  ↑_𝑐ccxp 25616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-pi 15710  df-dvds 15892  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-od 19051  df-cmn 19303  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936  df-log 25617  df-cxp 25618

This theorem is referenced by: (None)