Theorem proot1ex 43185

Description: The complex field has primitive 𝑁-th roots of unity for all 𝑁. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
proot1ex.g	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
proot1ex.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
proot1ex	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))

Proof of Theorem proot1ex

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12378	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		2rp 13037	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
3		nnrp 13044	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
4		rpdivcl 13058	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ+)
5	2, 3, 4	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 / 𝑁) ∈ ℝ+)
6	5	rpcnd 13077	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
7		cxpcl 26731	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / 𝑁) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
8	1, 6, 7	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
9	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
10		neg1ne0 12380	. . . . 5 ⊢ -1 ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 ≠ 0)
12	9, 11, 6	cxpne0d 26770	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0)
13		eldifsn 4791	. . 3 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0))
14	8, 12, 13	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
15	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → -1 ∈ ℂ)
16	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → -1 ≠ 0)
17		nn0cn 12534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℂ)
18		mulcl 11237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((2 / 𝑁) · 𝑥) ∈ ℂ)
19	6, 17, 18	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((2 / 𝑁) · 𝑥) ∈ ℂ)
20	15, 16, 19	cxpefd 26769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1))))
21	20	eqeq1d 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = 1 ↔ (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1))) = 1))
22		logcl 26625	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) → (log‘-1) ∈ ℂ)
23	1, 10, 22	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (log‘-1) ∈ ℂ
24		mulcl 11237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 / 𝑁) · 𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘-1) ∈ ℂ) → (((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) ∈ ℂ)
25	19, 23, 24	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) ∈ ℂ)
26		efeq1 26585	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) ∈ ℂ → ((exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1))) = 1 ↔ ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
27	25, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1))) = 1 ↔ ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
28		2cn 12339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
30		nncn 12272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
32	17	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
33		nnne0 12298	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≠ 0)
35	29, 31, 32, 34	div13d 12065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((2 / 𝑁) · 𝑥) = ((𝑥 / 𝑁) · 2))
36		logm1 26646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (log‘-1) = (i · π)
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (log‘-1) = (i · π))
38	35, 37	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) = (((𝑥 / 𝑁) · 2) · (i · π)))
39	32, 31, 34	divcld 12041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 / 𝑁) ∈ ℂ)
40		ax-icn 11212	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ i ∈ ℂ
41		picn 26516	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℂ
42	40, 41	mulcli 11266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · π) ∈ ℂ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (i · π) ∈ ℂ)
44	39, 29, 43	mulassd 11282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑥 / 𝑁) · 2) · (i · π)) = ((𝑥 / 𝑁) · (2 · (i · π))))
45	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → i ∈ ℂ)
46	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → π ∈ ℂ)
47	29, 45, 46	mul12d 11468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (2 · (i · π)) = (i · (2 · π)))
48	47	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 / 𝑁) · (2 · (i · π))) = ((𝑥 / 𝑁) · (i · (2 · π))))
49	38, 44, 48	3eqtrd 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) = ((𝑥 / 𝑁) · (i · (2 · π))))
50	49	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) = (((𝑥 / 𝑁) · (i · (2 · π))) / (i · (2 · π))))
51	28, 41	mulcli 11266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
52	40, 51	mulcli 11266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
54		ine0 11696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ≠ 0
55		2ne0 12368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
56		pire 26515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℝ
57		pipos 26517	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < π
58	56, 57	gt0ne0ii 11797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ≠ 0
59	28, 41, 55, 58	mulne0i 11904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) ≠ 0
60	40, 51, 54, 59	mulne0i 11904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · (2 · π)) ≠ 0
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (i · (2 · π)) ≠ 0)
62	39, 53, 61	divcan4d 12047	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑥 / 𝑁) · (i · (2 · π))) / (i · (2 · π))) = (𝑥 / 𝑁))
63	50, 62	eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) = (𝑥 / 𝑁))
64	63	eleq1d 2824	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ ↔ (𝑥 / 𝑁) ∈ ℤ))
65	21, 27, 64	3bitrd 305	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = 1 ↔ (𝑥 / 𝑁) ∈ ℤ))
66	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
67		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
68	15, 66, 67	cxpmul2d 26766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑥))
69		cnfldexp 21435	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑥))
70	8, 69	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑥))
71		cnring 21421	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ Ring
72		cnfldbas 21386	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
73		cnfld0 21423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
74		cndrng 21429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
75	72, 73, 74	drngui 20752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
76		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
77	75, 76	unitsubm 20403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
78	71, 77	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
79	14	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
80		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
81		proot1ex.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
82		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
83	80, 81, 82	submmulg 19149	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))))
84	78, 67, 79, 83	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))))
85	68, 70, 84	3eqtr2rd 2782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)))
86	85	eqeq1d 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1 ↔ (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = 1))
87		nnz 12632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
88	87	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
89		nn0z 12636	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℤ)
90	89	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℤ)
91		dvdsval2 16290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑁) ∈ ℤ))
92	88, 34, 90, 91	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑁) ∈ ℤ))
93	65, 86, 92	3bitr4rd 312	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1))
94	93	ralrimiva 3144	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1))
95	75, 81	unitgrp 20400	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
96	71, 95	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Grp)
97		nnnn0 12531	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
98	75, 81	unitgrpbas 20399	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝐺)
99		proot1ex.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
100		cnfld1 21424	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
101	75, 81, 100	unitgrpid 20402	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → 1 = (0g‘𝐺))
102	71, 101	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
103	98, 99, 82, 102	odeq 19583	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1)))
104	96, 14, 97, 103	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1)))
105	94, 104	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))))
106	105	eqcomd 2741	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 𝑁)
107	98, 99	odf 19570	. . . 4 ⊢ 𝑂:(ℂ ∖ {0})⟶ℕ0
108		ffn 6737	. . . 4 ⊢ (𝑂:(ℂ ∖ {0})⟶ℕ0 → 𝑂 Fn (ℂ ∖ {0}))
109	107, 108	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑂 Fn (ℂ ∖ {0})
110		fniniseg 7080	. . 3 ⊢ (𝑂 Fn (ℂ ∖ {0}) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ↔ ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 𝑁)))
111	109, 110	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ↔ ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 𝑁)))
112	14, 106, 111	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059   ∖ cdif 3960  {csn 4631   class class class wbr 5148  ^◡ccnv 5688   “ cima 5692   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154  ici 11155   · cmul 11158  -cneg 11491   / cdiv 11918  ℕcn 12264  2c2 12319  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ℝ⁺crp 13032  ↑cexp 14099  expce 16094  πcpi 16099   ∥ cdvds 16287   ↾_s cress 17274  0_gc0g 17486  SubMndcsubmnd 18808  Grpcgrp 18964  ._gcmg 19098  odcod 19557  mulGrpcmgp 20152  Ringcrg 20251  ℂ_fldccnfld 21382  logclog 26611  ↑_𝑐ccxp 26612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-dvds 16288  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-od 19561  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-drng 20748  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-cxp 26614

This theorem is referenced by: (None)