Theorem proot1ex 38298

Description: The complex field has primitive 𝑁-th roots of unity for all 𝑁. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
proot1ex.g	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
proot1ex.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
proot1ex	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))

Proof of Theorem proot1ex

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 11434	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		2rp 12071	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
3		nnrp 12076	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
4		rpdivcl 12090	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ+)
5	2, 3, 4	sylancr 577	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 / 𝑁) ∈ ℝ+)
6	5	rpcnd 12108	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
7		cxpcl 24657	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / 𝑁) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
8	1, 6, 7	sylancr 577	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
9	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
10		neg1ne0 11436	. . . . 5 ⊢ -1 ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 ≠ 0)
12	9, 11, 6	cxpne0d 24696	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0)
13		eldifsn 4519	. . 3 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0))
14	8, 12, 13	sylanbrc 574	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
15	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → -1 ∈ ℂ)
16	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → -1 ≠ 0)
17		nn0cn 11589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℂ)
18		mulcl 10315	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((2 / 𝑁) · 𝑥) ∈ ℂ)
19	6, 17, 18	syl2an 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((2 / 𝑁) · 𝑥) ∈ ℂ)
20	15, 16, 19	cxpefd 24695	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1))))
21	20	eqeq1d 2819	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = 1 ↔ (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1))) = 1))
22		logcl 24552	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) → (log‘-1) ∈ ℂ)
23	1, 10, 22	mp2an 675	. . . . . . . . 9 ⊢ (log‘-1) ∈ ℂ
24		mulcl 10315	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 / 𝑁) · 𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘-1) ∈ ℂ) → (((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) ∈ ℂ)
25	19, 23, 24	sylancl 576	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) ∈ ℂ)
26		efeq1 24513	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) ∈ ℂ → ((exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1))) = 1 ↔ ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
27	25, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1))) = 1 ↔ ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
28		2cn 11388	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
30		nncn 11324	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
31	30	adantr 468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
32	17	adantl 469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
33		nnne0 11351	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
34	33	adantr 468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≠ 0)
35	29, 31, 32, 34	div13d 11120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((2 / 𝑁) · 𝑥) = ((𝑥 / 𝑁) · 2))
36		logm1 24572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (log‘-1) = (i · π)
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (log‘-1) = (i · π))
38	35, 37	oveq12d 6902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) = (((𝑥 / 𝑁) · 2) · (i · π)))
39	32, 31, 34	divcld 11096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 / 𝑁) ∈ ℂ)
40		ax-icn 10290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ i ∈ ℂ
41		picn 24449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℂ
42	40, 41	mulcli 10342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · π) ∈ ℂ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (i · π) ∈ ℂ)
44	39, 29, 43	mulassd 10358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑥 / 𝑁) · 2) · (i · π)) = ((𝑥 / 𝑁) · (2 · (i · π))))
45	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → i ∈ ℂ)
46	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → π ∈ ℂ)
47	29, 45, 46	mul12d 10540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (2 · (i · π)) = (i · (2 · π)))
48	47	oveq2d 6900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 / 𝑁) · (2 · (i · π))) = ((𝑥 / 𝑁) · (i · (2 · π))))
49	38, 44, 48	3eqtrd 2855	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) = ((𝑥 / 𝑁) · (i · (2 · π))))
50	49	oveq1d 6899	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) = (((𝑥 / 𝑁) · (i · (2 · π))) / (i · (2 · π))))
51	28, 41	mulcli 10342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
52	40, 51	mulcli 10342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
54		ine0 10760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ≠ 0
55		2ne0 11424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
56		pire 24448	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℝ
57		pipos 24450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < π
58	56, 57	gt0ne0ii 10859	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ≠ 0
59	28, 41, 55, 58	mulne0i 10965	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) ≠ 0
60	40, 51, 54, 59	mulne0i 10965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · (2 · π)) ≠ 0
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (i · (2 · π)) ≠ 0)
62	39, 53, 61	divcan4d 11102	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑥 / 𝑁) · (i · (2 · π))) / (i · (2 · π))) = (𝑥 / 𝑁))
63	50, 62	eqtrd 2851	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) = (𝑥 / 𝑁))
64	63	eleq1d 2881	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ ↔ (𝑥 / 𝑁) ∈ ℤ))
65	21, 27, 64	3bitrd 296	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = 1 ↔ (𝑥 / 𝑁) ∈ ℤ))
66	6	adantr 468	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
67		simpr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
68	15, 66, 67	cxpmul2d 24692	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑥))
69		cnfldexp 20007	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑥))
70	8, 69	sylan 571	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑥))
71		cnring 19996	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ Ring
72		cnfldbas 19978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
73		cnfld0 19998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
74		cndrng 20003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
75	72, 73, 74	drngui 18977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
76		eqid 2817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
77	75, 76	unitsubm 18892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
78	71, 77	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
79	14	adantr 468	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
80		eqid 2817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
81		proot1ex.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
82		eqid 2817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
83	80, 81, 82	submmulg 17808	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))))
84	78, 67, 79, 83	syl3anc 1483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))))
85	68, 70, 84	3eqtr2rd 2858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)))
86	85	eqeq1d 2819	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1 ↔ (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = 1))
87		nnz 11685	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
88	87	adantr 468	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
89		nn0z 11686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℤ)
90	89	adantl 469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℤ)
91		dvdsval2 15226	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑁) ∈ ℤ))
92	88, 34, 90, 91	syl3anc 1483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑁) ∈ ℤ))
93	65, 86, 92	3bitr4rd 303	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1))
94	93	ralrimiva 3165	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1))
95	75, 81	unitgrp 18889	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
96	71, 95	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Grp)
97		nnnn0 11586	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
98	75, 81	unitgrpbas 18888	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝐺)
99		proot1ex.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
100		cnfld1 19999	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
101	75, 81, 100	unitgrpid 18891	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → 1 = (0g‘𝐺))
102	71, 101	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
103	98, 99, 82, 102	odeq 18190	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1)))
104	96, 14, 97, 103	syl3anc 1483	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥(.g‘𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1)))
105	94, 104	mpbird 248	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))))
106	105	eqcomd 2823	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 𝑁)
107	98, 99	odf 18177	. . . 4 ⊢ 𝑂:(ℂ ∖ {0})⟶ℕ0
108		ffn 6266	. . . 4 ⊢ (𝑂:(ℂ ∖ {0})⟶ℕ0 → 𝑂 Fn (ℂ ∖ {0}))
109	107, 108	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑂 Fn (ℂ ∖ {0})
110		fniniseg 6570	. . 3 ⊢ (𝑂 Fn (ℂ ∖ {0}) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ↔ ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 𝑁)))
111	109, 110	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ↔ ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 𝑁)))
112	14, 106, 111	mpbir2and 695	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   = wceq 1637   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2989  ∀wral 3107   ∖ cdif 3777  {csn 4381   class class class wbr 4855  ^◡ccnv 5323   “ cima 5327   Fn wfn 6106  ⟶wf 6107  ‘cfv 6111  (class class class)co 6884  ℂcc 10229  0cc0 10231  1c1 10232  ici 10233   · cmul 10236  -cneg 10562   / cdiv 10979  ℕcn 11315  2c2 11368  ℕ₀cn0 11579  ℤcz 11663  ℝ⁺crp 12066  ↑cexp 13103  expce 15032  πcpi 15037   ∥ cdvds 15223   ↾_s cress 16089  0_gc0g 16325  SubMndcsubmnd 17559  Grpcgrp 17647  ._gcmg 17765  odcod 18165  mulGrpcmgp 18711  Ringcrg 18769  ℂ_fldccnfld 19974  logclog 24538  ↑_𝑐ccxp 24539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-inf2 8795  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308  ax-pre-sup 10309  ax-addf 10310  ax-mulf 10311

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-iin 4726  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-se 5284  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-isom 6120  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-of 7137  df-om 7306  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-supp 7540  df-tpos 7597  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-1o 7806  df-2o 7807  df-oadd 7810  df-er 7989  df-map 8104  df-pm 8105  df-ixp 8156  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-fin 8206  df-fsupp 8525  df-fi 8566  df-sup 8597  df-inf 8598  df-oi 8664  df-card 9058  df-cda 9285  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-div 10980  df-nn 11316  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11580  df-z 11664  df-dec 11780  df-uz 11925  df-q 12028  df-rp 12067  df-xneg 12182  df-xadd 12183  df-xmul 12184  df-ioo 12417  df-ioc 12418  df-ico 12419  df-icc 12420  df-fz 12570  df-fzo 12710  df-fl 12837  df-mod 12913  df-seq 13045  df-exp 13104  df-fac 13301  df-bc 13330  df-hash 13358  df-shft 14050  df-cj 14082  df-re 14083  df-im 14084  df-sqrt 14218  df-abs 14219  df-limsup 14445  df-clim 14462  df-rlim 14463  df-sum 14660  df-ef 15038  df-sin 15040  df-cos 15041  df-pi 15043  df-dvds 15224  df-struct 16090  df-ndx 16091  df-slot 16092  df-base 16094  df-sets 16095  df-ress 16096  df-plusg 16186  df-mulr 16187  df-starv 16188  df-sca 16189  df-vsca 16190  df-ip 16191  df-tset 16192  df-ple 16193  df-ds 16195  df-unif 16196  df-hom 16197  df-cco 16198  df-rest 16308  df-topn 16309  df-0g 16327  df-gsum 16328  df-topgen 16329  df-pt 16330  df-prds 16333  df-xrs 16387  df-qtop 16392  df-imas 16393  df-xps 16395  df-mre 16471  df-mrc 16472  df-acs 16474  df-mgm 17467  df-sgrp 17509  df-mnd 17520  df-submnd 17561  df-grp 17650  df-minusg 17651  df-sbg 17652  df-mulg 17766  df-cntz 17971  df-od 18169  df-cmn 18416  df-mgp 18712  df-ur 18724  df-ring 18771  df-cring 18772  df-oppr 18845  df-dvdsr 18863  df-unit 18864  df-invr 18894  df-dvr 18905  df-drng 18973  df-psmet 19966  df-xmet 19967  df-met 19968  df-bl 19969  df-mopn 19970  df-fbas 19971  df-fg 19972  df-cnfld 19975  df-top 20933  df-topon 20950  df-topsp 20972  df-bases 20985  df-cld 21058  df-ntr 21059  df-cls 21060  df-nei 21137  df-lp 21175  df-perf 21176  df-cn 21266  df-cnp 21267  df-haus 21354  df-tx 21600  df-hmeo 21793  df-fil 21884  df-fm 21976  df-flim 21977  df-flf 21978  df-xms 22359  df-ms 22360  df-tms 22361  df-cncf 22915  df-limc 23867  df-dv 23868  df-log 24540  df-cxp 24541

This theorem is referenced by: (None)