Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  proot1ex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem proot1ex 40065
 Description: The complex field has primitive 𝑁-th roots of unity for all 𝑁. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
proot1ex.g 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
proot1ex.o 𝑂 = (od‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
proot1ex (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (𝑂 “ {𝑁}))

Proof of Theorem proot1ex
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neg1cn 11748 . . . 4 -1 ∈ ℂ
2 2rp 12391 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
3 nnrp 12397 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
4 rpdivcl 12411 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ+)
52, 3, 4sylancr 590 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (2 / 𝑁) ∈ ℝ+)
65rpcnd 12430 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
7 cxpcl 25271 . . . 4 ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / 𝑁) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
81, 6, 7sylancr 590 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
91a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
10 neg1ne0 11750 . . . . 5 -1 ≠ 0
1110a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → -1 ≠ 0)
129, 11, 6cxpne0d 25310 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0)
13 eldifsn 4704 . . 3 ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0))
148, 12, 13sylanbrc 586 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
151a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → -1 ∈ ℂ)
1610a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → -1 ≠ 0)
17 nn0cn 11904 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℂ)
18 mulcl 10619 . . . . . . . . . 10 (((2 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((2 / 𝑁) · 𝑥) ∈ ℂ)
196, 17, 18syl2an 598 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((2 / 𝑁) · 𝑥) ∈ ℂ)
2015, 16, 19cxpefd 25309 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1))))
2120eqeq1d 2826 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = 1 ↔ (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1))) = 1))
22 logcl 25166 . . . . . . . . . 10 ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) → (log‘-1) ∈ ℂ)
231, 10, 22mp2an 691 . . . . . . . . 9 (log‘-1) ∈ ℂ
24 mulcl 10619 . . . . . . . . 9 ((((2 / 𝑁) · 𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘-1) ∈ ℂ) → (((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) ∈ ℂ)
2519, 23, 24sylancl 589 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) ∈ ℂ)
26 efeq1 25126 . . . . . . . 8 ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) ∈ ℂ → ((exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1))) = 1 ↔ ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
2725, 26syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1))) = 1 ↔ ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
28 2cn 11709 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
30 nncn 11642 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
3130adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
3217adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
33 nnne0 11668 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3433adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≠ 0)
3529, 31, 32, 34div13d 11438 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((2 / 𝑁) · 𝑥) = ((𝑥 / 𝑁) · 2))
36 logm1 25186 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘-1) = (i · π)
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (log‘-1) = (i · π))
3835, 37oveq12d 7167 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) = (((𝑥 / 𝑁) · 2) · (i · π)))
3932, 31, 34divcld 11414 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 / 𝑁) ∈ ℂ)
40 ax-icn 10594 . . . . . . . . . . . . . 14 i ∈ ℂ
41 picn 25058 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℂ
4240, 41mulcli 10646 . . . . . . . . . . . . 13 (i · π) ∈ ℂ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (i · π) ∈ ℂ)
4439, 29, 43mulassd 10662 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑥 / 𝑁) · 2) · (i · π)) = ((𝑥 / 𝑁) · (2 · (i · π))))
4540a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → i ∈ ℂ)
4641a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → π ∈ ℂ)
4729, 45, 46mul12d 10847 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (2 · (i · π)) = (i · (2 · π)))
4847oveq2d 7165 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 / 𝑁) · (2 · (i · π))) = ((𝑥 / 𝑁) · (i · (2 · π))))
4938, 44, 483eqtrd 2863 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) = ((𝑥 / 𝑁) · (i · (2 · π))))
5049oveq1d 7164 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) = (((𝑥 / 𝑁) · (i · (2 · π))) / (i · (2 · π))))
5128, 41mulcli 10646 . . . . . . . . . . . 12 (2 · π) ∈ ℂ
5240, 51mulcli 10646 . . . . . . . . . . 11 (i · (2 · π)) ∈ ℂ
5352a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
54 ine0 11073 . . . . . . . . . . . 12 i ≠ 0
55 2ne0 11738 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
56 pire 25057 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℝ
57 pipos 25059 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < π
5856, 57gt0ne0ii 11174 . . . . . . . . . . . . 13 π ≠ 0
5928, 41, 55, 58mulne0i 11281 . . . . . . . . . . . 12 (2 · π) ≠ 0
6040, 51, 54, 59mulne0i 11281 . . . . . . . . . . 11 (i · (2 · π)) ≠ 0
6160a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (i · (2 · π)) ≠ 0)
6239, 53, 61divcan4d 11420 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑥 / 𝑁) · (i · (2 · π))) / (i · (2 · π))) = (𝑥 / 𝑁))
6350, 62eqtrd 2859 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) = (𝑥 / 𝑁))
6463eleq1d 2900 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ ↔ (𝑥 / 𝑁) ∈ ℤ))
6521, 27, 643bitrd 308 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = 1 ↔ (𝑥 / 𝑁) ∈ ℤ))
666adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
67 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
6815, 66, 67cxpmul2d 25306 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑥))
69 cnfldexp 20131 . . . . . . . . 9 (((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑥))
708, 69sylan 583 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑥))
71 cnring 20120 . . . . . . . . . 10 fld ∈ Ring
72 cnfldbas 20102 . . . . . . . . . . . 12 ℂ = (Base‘ℂfld)
73 cnfld0 20122 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g‘ℂfld)
74 cndrng 20127 . . . . . . . . . . . 12 fld ∈ DivRing
7572, 73, 74drngui 19508 . . . . . . . . . . 11 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
76 eqid 2824 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
7775, 76unitsubm 19423 . . . . . . . . . 10 (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
7871, 77mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
7914adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
80 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
81 proot1ex.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
82 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (.g𝐺) = (.g𝐺)
8380, 81, 82submmulg 18271 . . . . . . . . 9 (((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = (𝑥(.g𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))))
8478, 67, 79, 83syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = (𝑥(.g𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))))
8568, 70, 843eqtr2rd 2866 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥(.g𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)))
8685eqeq1d 2826 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥(.g𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1 ↔ (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = 1))
87 nnz 12001 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
8887adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
89 nn0z 12002 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ)
9089adantl 485 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℤ)
91 dvdsval2 15610 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑁) ∈ ℤ))
9288, 34, 90, 91syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑁) ∈ ℤ))
9365, 86, 923bitr4rd 315 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑥 ↔ (𝑥(.g𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1))
9493ralrimiva 3177 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑁𝑥 ↔ (𝑥(.g𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1))
9575, 81unitgrp 19420 . . . . . 6 (ℂfld ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
9671, 95mp1i 13 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Grp)
97 nnnn0 11901 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
9875, 81unitgrpbas 19419 . . . . . 6 (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝐺)
99 proot1ex.o . . . . . 6 𝑂 = (od‘𝐺)
100 cnfld1 20123 . . . . . . . 8 1 = (1r‘ℂfld)
10175, 81, 100unitgrpid 19422 . . . . . . 7 (ℂfld ∈ Ring → 1 = (0g𝐺))
10271, 101ax-mp 5 . . . . . 6 1 = (0g𝐺)
10398, 99, 82, 102odeq 18678 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑁𝑥 ↔ (𝑥(.g𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1)))
10496, 14, 97, 103syl3anc 1368 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑁𝑥 ↔ (𝑥(.g𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1)))
10594, 104mpbird 260 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))))
106105eqcomd 2830 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 𝑁)
10798, 99odf 18665 . . . 4 𝑂:(ℂ ∖ {0})⟶ℕ0
108 ffn 6503 . . . 4 (𝑂:(ℂ ∖ {0})⟶ℕ0𝑂 Fn (ℂ ∖ {0}))
109107, 108ax-mp 5 . . 3 𝑂 Fn (ℂ ∖ {0})
110 fniniseg 6821 . . 3 (𝑂 Fn (ℂ ∖ {0}) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ↔ ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 𝑁)))
111109, 110mp1i 13 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ↔ ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 𝑁)))
11214, 106, 111mpbir2and 712 1 (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (𝑂 “ {𝑁}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∀wral 3133   ∖ cdif 3916  {csn 4550   class class class wbr 5052  ◡ccnv 5541   “ cima 5545   Fn wfn 6338  ⟶wf 6339  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  ℂcc 10533  0cc0 10535  1c1 10536  ici 10537   · cmul 10540  -cneg 10869   / cdiv 11295  ℕcn 11634  2c2 11689  ℕ0cn0 11894  ℤcz 11978  ℝ+crp 12386  ↑cexp 13434  expce 15415  πcpi 15420   ∥ cdvds 15607   ↾s cress 16484  0gc0g 16713  SubMndcsubmnd 17955  Grpcgrp 18103  .gcmg 18224  odcod 18652  mulGrpcmgp 19239  Ringcrg 19297  ℂfldccnfld 20098  logclog 25152  ↑𝑐ccxp 25153 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ioo 12739  df-ioc 12740  df-ico 12741  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-mod 13242  df-seq 13374  df-exp 13435  df-fac 13639  df-bc 13668  df-hash 13696  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-ef 15421  df-sin 15423  df-cos 15424  df-pi 15426  df-dvds 15608  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-od 18656  df-cmn 18908  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-dvr 19436  df-drng 19504  df-psmet 20090  df-xmet 20091  df-met 20092  df-bl 20093  df-mopn 20094  df-fbas 20095  df-fg 20096  df-cnfld 20099  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-cld 21630  df-ntr 21631  df-cls 21632  df-nei 21709  df-lp 21747  df-perf 21748  df-cn 21838  df-cnp 21839  df-haus 21926  df-tx 22173  df-hmeo 22366  df-fil 22457  df-fm 22549  df-flim 22550  df-flf 22551  df-xms 22933  df-ms 22934  df-tms 22935  df-cncf 23489  df-limc 24475  df-dv 24476  df-log 25154  df-cxp 25155 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator