Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  proot1ex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem proot1ex 42766
Description: The complex field has primitive 𝑁-th roots of unity for all 𝑁. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
proot1ex.g 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
proot1ex.o 𝑂 = (od‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
proot1ex (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (𝑂 “ {𝑁}))

Proof of Theorem proot1ex
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neg1cn 12359 . . . 4 -1 ∈ ℂ
2 2rp 13014 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
3 nnrp 13020 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
4 rpdivcl 13034 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ+)
52, 3, 4sylancr 585 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (2 / 𝑁) ∈ ℝ+)
65rpcnd 13053 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
7 cxpcl 26653 . . . 4 ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / 𝑁) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
81, 6, 7sylancr 585 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
91a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
10 neg1ne0 12361 . . . . 5 -1 ≠ 0
1110a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → -1 ≠ 0)
129, 11, 6cxpne0d 26692 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0)
13 eldifsn 4792 . . 3 ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0))
148, 12, 13sylanbrc 581 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
151a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → -1 ∈ ℂ)
1610a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → -1 ≠ 0)
17 nn0cn 12515 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℂ)
18 mulcl 11224 . . . . . . . . . 10 (((2 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((2 / 𝑁) · 𝑥) ∈ ℂ)
196, 17, 18syl2an 594 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((2 / 𝑁) · 𝑥) ∈ ℂ)
2015, 16, 19cxpefd 26691 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1))))
2120eqeq1d 2727 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = 1 ↔ (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1))) = 1))
22 logcl 26547 . . . . . . . . . 10 ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) → (log‘-1) ∈ ℂ)
231, 10, 22mp2an 690 . . . . . . . . 9 (log‘-1) ∈ ℂ
24 mulcl 11224 . . . . . . . . 9 ((((2 / 𝑁) · 𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘-1) ∈ ℂ) → (((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) ∈ ℂ)
2519, 23, 24sylancl 584 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) ∈ ℂ)
26 efeq1 26507 . . . . . . . 8 ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) ∈ ℂ → ((exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1))) = 1 ↔ ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
2725, 26syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1))) = 1 ↔ ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
28 2cn 12320 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
30 nncn 12253 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
3130adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
3217adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
33 nnne0 12279 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3433adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≠ 0)
3529, 31, 32, 34div13d 12047 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((2 / 𝑁) · 𝑥) = ((𝑥 / 𝑁) · 2))
36 logm1 26568 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘-1) = (i · π)
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (log‘-1) = (i · π))
3835, 37oveq12d 7437 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) = (((𝑥 / 𝑁) · 2) · (i · π)))
3932, 31, 34divcld 12023 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 / 𝑁) ∈ ℂ)
40 ax-icn 11199 . . . . . . . . . . . . . 14 i ∈ ℂ
41 picn 26439 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℂ
4240, 41mulcli 11253 . . . . . . . . . . . . 13 (i · π) ∈ ℂ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (i · π) ∈ ℂ)
4439, 29, 43mulassd 11269 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑥 / 𝑁) · 2) · (i · π)) = ((𝑥 / 𝑁) · (2 · (i · π))))
4540a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → i ∈ ℂ)
4641a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → π ∈ ℂ)
4729, 45, 46mul12d 11455 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (2 · (i · π)) = (i · (2 · π)))
4847oveq2d 7435 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 / 𝑁) · (2 · (i · π))) = ((𝑥 / 𝑁) · (i · (2 · π))))
4938, 44, 483eqtrd 2769 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) = ((𝑥 / 𝑁) · (i · (2 · π))))
5049oveq1d 7434 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) = (((𝑥 / 𝑁) · (i · (2 · π))) / (i · (2 · π))))
5128, 41mulcli 11253 . . . . . . . . . . . 12 (2 · π) ∈ ℂ
5240, 51mulcli 11253 . . . . . . . . . . 11 (i · (2 · π)) ∈ ℂ
5352a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
54 ine0 11681 . . . . . . . . . . . 12 i ≠ 0
55 2ne0 12349 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
56 pire 26438 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℝ
57 pipos 26440 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < π
5856, 57gt0ne0ii 11782 . . . . . . . . . . . . 13 π ≠ 0
5928, 41, 55, 58mulne0i 11889 . . . . . . . . . . . 12 (2 · π) ≠ 0
6040, 51, 54, 59mulne0i 11889 . . . . . . . . . . 11 (i · (2 · π)) ≠ 0
6160a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (i · (2 · π)) ≠ 0)
6239, 53, 61divcan4d 12029 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑥 / 𝑁) · (i · (2 · π))) / (i · (2 · π))) = (𝑥 / 𝑁))
6350, 62eqtrd 2765 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) = (𝑥 / 𝑁))
6463eleq1d 2810 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((((2 / 𝑁) · 𝑥) · (log‘-1)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ ↔ (𝑥 / 𝑁) ∈ ℤ))
6521, 27, 643bitrd 304 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = 1 ↔ (𝑥 / 𝑁) ∈ ℤ))
666adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
67 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
6815, 66, 67cxpmul2d 26688 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑥))
69 cnfldexp 21349 . . . . . . . . 9 (((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑥))
708, 69sylan 578 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑥))
71 cnring 21335 . . . . . . . . . 10 fld ∈ Ring
72 cnfldbas 21300 . . . . . . . . . . . 12 ℂ = (Base‘ℂfld)
73 cnfld0 21337 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g‘ℂfld)
74 cndrng 21343 . . . . . . . . . . . 12 fld ∈ DivRing
7572, 73, 74drngui 20642 . . . . . . . . . . 11 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
76 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
7775, 76unitsubm 20337 . . . . . . . . . 10 (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
7871, 77mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
7914adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
80 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
81 proot1ex.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
82 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (.g𝐺) = (.g𝐺)
8380, 81, 82submmulg 19081 . . . . . . . . 9 (((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = (𝑥(.g𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))))
8478, 67, 79, 83syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = (𝑥(.g𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))))
8568, 70, 843eqtr2rd 2772 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥(.g𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)))
8685eqeq1d 2727 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥(.g𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1 ↔ (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑥)) = 1))
87 nnz 12612 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
8887adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
89 nn0z 12616 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ)
9089adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℤ)
91 dvdsval2 16237 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑁) ∈ ℤ))
9288, 34, 90, 91syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑁) ∈ ℤ))
9365, 86, 923bitr4rd 311 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑥 ↔ (𝑥(.g𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1))
9493ralrimiva 3135 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑁𝑥 ↔ (𝑥(.g𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1))
9575, 81unitgrp 20334 . . . . . 6 (ℂfld ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
9671, 95mp1i 13 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Grp)
97 nnnn0 12512 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
9875, 81unitgrpbas 20333 . . . . . 6 (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝐺)
99 proot1ex.o . . . . . 6 𝑂 = (od‘𝐺)
100 cnfld1 21338 . . . . . . . 8 1 = (1r‘ℂfld)
10175, 81, 100unitgrpid 20336 . . . . . . 7 (ℂfld ∈ Ring → 1 = (0g𝐺))
10271, 101ax-mp 5 . . . . . 6 1 = (0g𝐺)
10398, 99, 82, 102odeq 19517 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑁𝑥 ↔ (𝑥(.g𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1)))
10496, 14, 97, 103syl3anc 1368 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑁𝑥 ↔ (𝑥(.g𝐺)(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1)))
10594, 104mpbird 256 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))))
106105eqcomd 2731 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 𝑁)
10798, 99odf 19504 . . . 4 𝑂:(ℂ ∖ {0})⟶ℕ0
108 ffn 6723 . . . 4 (𝑂:(ℂ ∖ {0})⟶ℕ0𝑂 Fn (ℂ ∖ {0}))
109107, 108ax-mp 5 . . 3 𝑂 Fn (ℂ ∖ {0})
110 fniniseg 7068 . . 3 (𝑂 Fn (ℂ ∖ {0}) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ↔ ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 𝑁)))
111109, 110mp1i 13 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ↔ ((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (𝑂‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 𝑁)))
11214, 106, 111mpbir2and 711 1 (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ (𝑂 “ {𝑁}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  cdif 3941  {csn 4630   class class class wbr 5149  ccnv 5677  cima 5681   Fn wfn 6544  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  0cc0 11140  1c1 11141  ici 11142   · cmul 11145  -cneg 11477   / cdiv 11903  cn 12245  2c2 12300  0cn0 12505  cz 12591  +crp 13009  cexp 14062  expce 16041  πcpi 16046  cdvds 16234  s cress 17212  0gc0g 17424  SubMndcsubmnd 18742  Grpcgrp 18898  .gcmg 19031  odcod 19491  mulGrpcmgp 20086  Ringcrg 20185  fldccnfld 21296  logclog 26533  𝑐ccxp 26534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219  ax-mulf 11220
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-ioc 13364  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-fac 14269  df-bc 14298  df-hash 14326  df-shft 15050  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-limsup 15451  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669  df-ef 16047  df-sin 16049  df-cos 16050  df-pi 16052  df-dvds 16235  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-prds 17432  df-xrs 17487  df-qtop 17492  df-imas 17493  df-xps 17495  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19032  df-cntz 19280  df-od 19495  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-dvr 20352  df-drng 20638  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24270  df-ms 24271  df-tms 24272  df-cncf 24842  df-limc 25839  df-dv 25840  df-log 26535  df-cxp 26536
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator