Theorem dvcxp2 26937

Description: The derivative of a complex power with respect to the second argument. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvcxp2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴↑𝑐𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((log‘𝐴) · (𝐴↑𝑐𝑥))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem dvcxp2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnelprrecn 11204	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
3		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
4		relogcl 26771	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11248	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
7	3, 6	mulcld 11240	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
8		efcl 16154	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
9	8	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
10	3, 6	mulcomd 11241	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 · (log‘𝐴)) = ((log‘𝐴) · 𝑥))
11	10	mpteq2dva 5206	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (log‘𝐴))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((log‘𝐴) · 𝑥)))
12	11	oveq2d 7432	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (log‘𝐴)))) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((log‘𝐴) · 𝑥))))
13		1cnd 11213	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
14	2	dvmptid 26147	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
15	4	recnd 11248	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
16	2, 3, 13, 14, 15	dvmptcmul 26154	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((log‘𝐴) · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((log‘𝐴) · 1)))
17	6	mulridd 11237	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((log‘𝐴) · 1) = (log‘𝐴))
18	17	mpteq2dva 5206	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((log‘𝐴) · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (log‘𝐴)))
19	12, 16, 18	3eqtrd 2804	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (log‘𝐴)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (log‘𝐴)))
20		dvef 26170	. . . 4 ⊢ (ℂ D exp) = exp
21		eff 16153	. . . . . . . 8 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → exp:ℂ⟶ℂ)
23	22	feqmptd 6953	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
24	23	eqcomd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)) = exp)
25	24	oveq2d 7432	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (ℂ D exp))
26	20, 25, 24	3eqtr4a 2826	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
27		fveq2 6885	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑥 · (log‘𝐴)) → (exp‘𝑦) = (exp‘(𝑥 · (log‘𝐴))))
28	2, 2, 7, 5, 9, 9, 19, 26, 27, 27	dvmptco 26162	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑥 · (log‘𝐴))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(𝑥 · (log‘𝐴))) · (log‘𝐴))))
29		rpcn 13039	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
30	29	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
31		rpne0 13045	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
32	31	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ≠ 0)
33	30, 32, 3	cxpefd 26908	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝑥) = (exp‘(𝑥 · (log‘𝐴))))
34	33	mpteq2dva 5206	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴↑𝑐𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑥 · (log‘𝐴)))))
35	34	oveq2d 7432	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴↑𝑐𝑥))) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑥 · (log‘𝐴))))))
36	30, 3	cxpcld 26904	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝑥) ∈ ℂ)
37	6, 36	mulcomd 11241	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((log‘𝐴) · (𝐴↑𝑐𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝑥) · (log‘𝐴)))
38	33	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑐𝑥) · (log‘𝐴)) = ((exp‘(𝑥 · (log‘𝐴))) · (log‘𝐴)))
39	37, 38	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((log‘𝐴) · (𝐴↑𝑐𝑥)) = ((exp‘(𝑥 · (log‘𝐴))) · (log‘𝐴)))
40	39	mpteq2dva 5206	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((log‘𝐴) · (𝐴↑𝑐𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(𝑥 · (log‘𝐴))) · (log‘𝐴))))
41	28, 35, 40	3eqtr4d 2810	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴↑𝑐𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((log‘𝐴) · (𝐴↑𝑐𝑥))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  {cpr 4593   ↦ cmpt 5194  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112   · cmul 11116  ℝ⁺crp 13028  expce 16133   D cdv 26053  logclog 26750  ↑_𝑐ccxp 26751

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189  ax-addf 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13149  df-xadd 13150  df-xmul 13151  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-fl 13839  df-mod 13917  df-seq 14052  df-exp 14112  df-fac 14324  df-bc 14353  df-hash 14381  df-shft 15124  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-limsup 15542  df-clim 15559  df-rlim 15560  df-sum 15758  df-ef 16139  df-sin 16141  df-cos 16142  df-pi 16144  df-struct 17225  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-starv 17343  df-sca 17344  df-vsca 17345  df-ip 17346  df-tset 17347  df-ple 17348  df-ds 17350  df-unif 17351  df-hom 17352  df-cco 17353  df-rest 17493  df-topn 17494  df-0g 17512  df-gsum 17513  df-topgen 17514  df-pt 17515  df-prds 17518  df-xrs 17574  df-qtop 17579  df-imas 17580  df-xps 17582  df-mre 17656  df-mrc 17657  df-acs 17659  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-submnd 18866  df-mulg 19158  df-cntz 19411  df-cmn 19876  df-psmet 21544  df-xmet 21545  df-met 21546  df-bl 21547  df-mopn 21548  df-fbas 21549  df-fg 21550  df-cnfld 21553  df-top 23081  df-topon 23098  df-topsp 23120  df-bases 23133  df-cld 23206  df-ntr 23207  df-cls 23208  df-nei 23285  df-lp 23323  df-perf 23324  df-cn 23414  df-cnp 23415  df-haus 23502  df-tx 23750  df-hmeo 23943  df-fil 24034  df-fm 24126  df-flim 24127  df-flf 24128  df-xms 24508  df-ms 24509  df-tms 24510  df-cncf 25068  df-limc 26056  df-dv 26057  df-log 26752  df-cxp 26753

This theorem is used by:  etransclem46  47027