Theorem dvcxp2 27076

Description: The derivative of a complex power with respect to the second argument. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvcxp2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴↑𝑐𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((log‘𝐴) · (𝐴↑𝑐𝑥))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem dvcxp2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnelprrecn 11298	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
3		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
4		relogcl 26910	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11342	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
7	3, 6	mulcld 11334	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
8		efcl 16255	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
9	8	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
10	3, 6	mulcomd 11335	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 · (log‘𝐴)) = ((log‘𝐴) · 𝑥))
11	10	mpteq2dva 5197	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (log‘𝐴))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((log‘𝐴) · 𝑥)))
12	11	oveq2d 7438	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (log‘𝐴)))) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((log‘𝐴) · 𝑥))))
13		1cnd 11307	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
14	2	dvmptid 26284	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
15	4	recnd 11342	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
16	2, 3, 13, 14, 15	dvmptcmul 26291	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((log‘𝐴) · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((log‘𝐴) · 1)))
17	6	mulridd 11331	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((log‘𝐴) · 1) = (log‘𝐴))
18	17	mpteq2dva 5197	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((log‘𝐴) · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (log‘𝐴)))
19	12, 16, 18	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (log‘𝐴)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (log‘𝐴)))
20		dvef 26307	. . . 4 ⊢ (ℂ D exp) = exp
21		eff 16254	. . . . . . . 8 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → exp:ℂ⟶ℂ)
23	22	feqmptd 6956	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
24	23	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)) = exp)
25	24	oveq2d 7438	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (ℂ D exp))
26	20, 25, 24	3eqtr4a 2821	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
27		fveq2 6888	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑥 · (log‘𝐴)) → (exp‘𝑦) = (exp‘(𝑥 · (log‘𝐴))))
28	2, 2, 7, 5, 9, 9, 19, 26, 27, 27	dvmptco 26299	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑥 · (log‘𝐴))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(𝑥 · (log‘𝐴))) · (log‘𝐴))))
29		rpcn 13136	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
30	29	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
31		rpne0 13142	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
32	31	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ≠ 0)
33	30, 32, 3	cxpefd 27047	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝑥) = (exp‘(𝑥 · (log‘𝐴))))
34	33	mpteq2dva 5197	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴↑𝑐𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑥 · (log‘𝐴)))))
35	34	oveq2d 7438	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴↑𝑐𝑥))) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑥 · (log‘𝐴))))))
36	30, 3	cxpcld 27043	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝑥) ∈ ℂ)
37	6, 36	mulcomd 11335	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((log‘𝐴) · (𝐴↑𝑐𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝑥) · (log‘𝐴)))
38	33	oveq1d 7437	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑐𝑥) · (log‘𝐴)) = ((exp‘(𝑥 · (log‘𝐴))) · (log‘𝐴)))
39	37, 38	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((log‘𝐴) · (𝐴↑𝑐𝑥)) = ((exp‘(𝑥 · (log‘𝐴))) · (log‘𝐴)))
40	39	mpteq2dva 5197	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((log‘𝐴) · (𝐴↑𝑐𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(𝑥 · (log‘𝐴))) · (log‘𝐴))))
41	28, 35, 40	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴↑𝑐𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((log‘𝐴) · (𝐴↑𝑐𝑥))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  {cpr 4586   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  ℂcc 11203  ℝcr 11204  0cc0 11205  1c1 11206   · cmul 11210  ℝ⁺crp 13125  expce 16234   D cdv 26190  logclog 26889  ↑_𝑐ccxp 26890

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-inf2 9647  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283  ax-addf 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-of 7695  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8182  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-2o 8482  df-er 8722  df-map 8854  df-pm 8855  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-fsupp 9359  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9509  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-q 13081  df-rp 13126  df-xneg 13246  df-xadd 13247  df-xmul 13248  df-ioo 13485  df-ioc 13486  df-ico 13487  df-icc 13488  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-fl 13937  df-mod 14015  df-seq 14150  df-exp 14210  df-fac 14423  df-bc 14452  df-hash 14480  df-shft 15227  df-cj 15273  df-re 15274  df-im 15275  df-sqrt 15409  df-abs 15410  df-limsup 15645  df-clim 15662  df-rlim 15663  df-sum 15861  df-ef 16240  df-sin 16242  df-cos 16243  df-pi 16245  df-struct 17332  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-mulr 17449  df-starv 17450  df-sca 17451  df-vsca 17452  df-ip 17453  df-tset 17454  df-ple 17455  df-ds 17457  df-unif 17458  df-hom 17459  df-cco 17460  df-rest 17600  df-topn 17601  df-0g 17619  df-gsum 17620  df-topgen 17621  df-pt 17622  df-prds 17625  df-xrs 17681  df-qtop 17686  df-imas 17687  df-xps 17689  df-mre 17763  df-mrc 17764  df-acs 17766  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-submnd 18986  df-mulg 19285  df-cntz 19538  df-cmn 20003  df-psmet 21677  df-xmet 21678  df-met 21679  df-bl 21680  df-mopn 21681  df-fbas 21682  df-fg 21683  df-cnfld 21686  df-top 23219  df-topon 23236  df-topsp 23258  df-bases 23271  df-cld 23344  df-ntr 23345  df-cls 23346  df-nei 23423  df-lp 23461  df-perf 23462  df-cn 23552  df-cnp 23553  df-haus 23640  df-tx 23888  df-hmeo 24081  df-fil 24172  df-fm 24264  df-flim 24265  df-flf 24266  df-xms 24646  df-ms 24647  df-tms 24648  df-cncf 25206  df-limc 26193  df-dv 26194  df-log 26891  df-cxp 26892

This theorem is used by:  etransclem46  47397