Theorem ostth2lem4 27545

Description: Lemma for ostth2 27546. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
ostth2.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
ostth2.3	⊢ (𝜑 → 1 < (𝐹‘𝑁))
ostth2.4	⊢ 𝑅 = ((log‘(𝐹‘𝑁)) / (log‘𝑁))
ostth2.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2))
ostth2.6	⊢ 𝑆 = ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))
ostth2.7	⊢ 𝑇 = if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀))
ostth2.8	⊢ 𝑈 = ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
ostth2lem4	⊢ (𝜑 → (1 < (𝐹‘𝑀) ∧ 𝑅 ≤ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑞,𝜑   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈   𝐴,𝑞,𝑥   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝐹,𝑞   𝑅,𝑞   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑞)   𝑇(𝑞)   𝑈(𝑞)   𝐽(𝑥,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑞)   𝑀(𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem ostth2lem4

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ostth2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝐹‘𝑁))
2		1re 11115	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		ostth.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
4		ostth2.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
5		eluz2b2 12822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
6	4, 5	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
7	6	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8		nnq 12863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℚ)
10		qabsabv.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
11		qrng.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
12	11	qrngbas 27528	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
13	10, 12	abvcl 20701	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
14	3, 9, 13	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
15		ltnle 11195	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ) → (1 < (𝐹‘𝑁) ↔ ¬ (𝐹‘𝑁) ≤ 1))
16	2, 14, 15	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 < (𝐹‘𝑁) ↔ ¬ (𝐹‘𝑁) ≤ 1))
17	1, 16	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝑁) ≤ 1)
18		ostth2.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑇 = if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀))
19		ostth2.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2))
20		eluz2b2 12822	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
21	19, 20	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
22	21	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
23		nnq 12863	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℚ)
25	10, 12	abvcl 20701	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
26	3, 24, 25	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
27		ifcl 4522	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ) → if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ)
28	2, 26, 27	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ)
29	18, 28	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
30		0red 11118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
31	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
32		0lt1 11642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 1
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
34		max2 13089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → 1 ≤ if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)))
35	26, 2, 34	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)))
36	35, 18	breqtrrdi 5134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑇)
37	30, 31, 29, 33, 36	ltletrd 11276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
38	29, 37	elrpd 12934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
39		ostth2.8	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑈 = ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))
40	7	nnrpd 12935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
41	40	relogcld 26530	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
42	22	nnred 12143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
43	21	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑀)
44	42, 43	rplogcld 26536	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℝ+)
45	41, 44	rerpdivcld 12968	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) / (log‘𝑀)) ∈ ℝ)
46	39, 45	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
47	38, 46	rpcxpcld 26640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇↑𝑐𝑈) ∈ ℝ+)
48	14, 47	rerpdivcld 12968	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) / (𝑇↑𝑐𝑈)) ∈ ℝ)
49	42, 29	remulcld 11145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑇) ∈ ℝ)
50		peano2re 11289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ ℝ → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
51	46, 50	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
52	49, 51	remulcld 11145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1)) ∈ ℝ)
53		padic.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
54		ostth.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
55		ostth2.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = ((log‘(𝐹‘𝑁)) / (log‘𝑁))
56		ostth2.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))
57	11, 10, 53, 54, 3, 4, 1, 55, 19, 56, 18, 39	ostth2lem3 27544	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁) / (𝑇↑𝑐𝑈))↑𝑛) ≤ (𝑛 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
58	48, 52, 57	ostth2lem1 27527	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) / (𝑇↑𝑐𝑈)) ≤ 1)
59	14, 31, 47	ledivmuld 12990	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁) / (𝑇↑𝑐𝑈)) ≤ 1 ↔ (𝐹‘𝑁) ≤ ((𝑇↑𝑐𝑈) · 1)))
60	58, 59	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ ((𝑇↑𝑐𝑈) · 1))
61	47	rpcnd 12939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇↑𝑐𝑈) ∈ ℂ)
62	61	mulridd 11132	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑇↑𝑐𝑈) · 1) = (𝑇↑𝑐𝑈))
63	60, 62	breqtrd 5118	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑇↑𝑐𝑈))
64	63	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑀) ≤ 1) → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑇↑𝑐𝑈))
65		iftrue 4482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑀) ≤ 1 → if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)) = 1)
66	18, 65	eqtrid 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑀) ≤ 1 → 𝑇 = 1)
67	66	oveq1d 7364	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑀) ≤ 1 → (𝑇↑𝑐𝑈) = (1↑𝑐𝑈))
68	46	recnd 11143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
69	68	1cxpd 26614	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑐𝑈) = 1)
70	67, 69	sylan9eqr 2786	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑀) ≤ 1) → (𝑇↑𝑐𝑈) = 1)
71	64, 70	breqtrd 5118	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑀) ≤ 1) → (𝐹‘𝑁) ≤ 1)
72	17, 71	mtand 815	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝑀) ≤ 1)
73		ltnle 11195	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ) → (1 < (𝐹‘𝑀) ↔ ¬ (𝐹‘𝑀) ≤ 1))
74	2, 26, 73	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 < (𝐹‘𝑀) ↔ ¬ (𝐹‘𝑀) ≤ 1))
75	72, 74	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝐹‘𝑀))
76	30, 31, 14, 33, 1	lttrd 11277	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐹‘𝑁))
77	14, 76	elrpd 12934	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ+)
78	77	reeflogd 26531	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘(𝐹‘𝑁))) = (𝐹‘𝑁))
79		iffalse 4485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑀) ≤ 1 → if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)) = (𝐹‘𝑀))
80	18, 79	eqtrid 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑀) ≤ 1 → 𝑇 = (𝐹‘𝑀))
81	72, 80	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝐹‘𝑀))
82	81	oveq1d 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇↑𝑐𝑈) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑐𝑈))
83	26	recnd 11143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ)
84	30, 31, 26, 33, 75	lttrd 11277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐹‘𝑀))
85	26, 84	elrpd 12934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ+)
86	85	rpne0d 12942	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ≠ 0)
87	83, 86, 68	cxpefd 26619	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑀)↑𝑐𝑈) = (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀)))))
88	82, 87	eqtr2d 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀)))) = (𝑇↑𝑐𝑈))
89	63, 78, 88	3brtr4d 5124	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘(𝐹‘𝑁))) ≤ (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀)))))
90	77	relogcld 26530	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑁)) ∈ ℝ)
91	85	relogcld 26530	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ)
92	46, 91	remulcld 11145	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))) ∈ ℝ)
93		efle 16027	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘(𝐹‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))) ∈ ℝ) → ((log‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))) ↔ (exp‘(log‘(𝐹‘𝑁))) ≤ (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))))))
94	90, 92, 93	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))) ↔ (exp‘(log‘(𝐹‘𝑁))) ≤ (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))))))
95	89, 94	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))))
96	41	recnd 11143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
97	91	recnd 11143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑀)) ∈ ℂ)
98	44	rpcnd 12939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℂ)
99	44	rpne0d 12942	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑀) ≠ 0)
100	96, 97, 98, 99	div12d 11936	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))) = ((log‘(𝐹‘𝑀)) · ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))))
101	39	oveq2i 7360	. . . . . . 7 ⊢ ((log‘(𝐹‘𝑀)) · 𝑈) = ((log‘(𝐹‘𝑀)) · ((log‘𝑁) / (log‘𝑀)))
102	100, 101	eqtr4di 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))) = ((log‘(𝐹‘𝑀)) · 𝑈))
103	97, 68	mulcomd 11136	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝐹‘𝑀)) · 𝑈) = (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))))
104	102, 103	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))) = (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))))
105	95, 104	breqtrrd 5120	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑁)) ≤ ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))))
106	91, 44	rerpdivcld 12968	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀)) ∈ ℝ)
107	7	nnred 12143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
108	6	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑁)
109	107, 108	rplogcld 26536	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ+)
110	90, 106, 109	ledivmuld 12990	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((log‘(𝐹‘𝑁)) / (log‘𝑁)) ≤ ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀)) ↔ (log‘(𝐹‘𝑁)) ≤ ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀)))))
111	105, 110	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝐹‘𝑁)) / (log‘𝑁)) ≤ ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀)))
112	111, 55, 56	3brtr4g 5126	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ 𝑆)
113	75, 112	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (1 < (𝐹‘𝑀) ∧ 𝑅 ≤ 𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4476   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014   < clt 11149   ≤ cle 11150  -cneg 11348   / cdiv 11777  ℕcn 12128  2c2 12183  ℤ_≥cuz 12735  ℚcq 12849  ↑cexp 13968  expce 15968  ℙcprime 16582   pCnt cpc 16748   ↾_s cress 17141  AbsValcabv 20693  ℂ_fldccnfld 21261  logclog 26461  ↑_𝑐ccxp 26462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-ioc 13253  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-ef 15974  df-sin 15976  df-cos 15977  df-pi 15979  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-mulg 18947  df-subg 19002  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-dvr 20286  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-drng 20616  df-abv 20694  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-fbas 21258  df-fg 21259  df-cnfld 21262  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cld 22904  df-ntr 22905  df-cls 22906  df-nei 22983  df-lp 23021  df-perf 23022  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-haus 23200  df-tx 23447  df-hmeo 23640  df-fil 23731  df-fm 23823  df-flim 23824  df-flf 23825  df-xms 24206  df-ms 24207  df-tms 24208  df-cncf 24769  df-limc 25765  df-dv 25766  df-log 26463  df-cxp 26464

This theorem is referenced by:  ostth2  27546