Theorem ostth2lem4 26689

Description: Lemma for ostth2 26690. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
ostth2.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
ostth2.3	⊢ (𝜑 → 1 < (𝐹‘𝑁))
ostth2.4	⊢ 𝑅 = ((log‘(𝐹‘𝑁)) / (log‘𝑁))
ostth2.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2))
ostth2.6	⊢ 𝑆 = ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))
ostth2.7	⊢ 𝑇 = if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀))
ostth2.8	⊢ 𝑈 = ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
ostth2lem4	⊢ (𝜑 → (1 < (𝐹‘𝑀) ∧ 𝑅 ≤ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑞,𝜑   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈   𝐴,𝑞,𝑥   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝐹,𝑞   𝑅,𝑞   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑞)   𝑇(𝑞)   𝑈(𝑞)   𝐽(𝑥,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑞)   𝑀(𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem ostth2lem4

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ostth2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝐹‘𝑁))
2		1re 10906	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		ostth.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
4		ostth2.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
5		eluz2b2 12590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
6	4, 5	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
7	6	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8		nnq 12631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℚ)
10		qabsabv.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
11		qrng.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
12	11	qrngbas 26672	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
13	10, 12	abvcl 19999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
14	3, 9, 13	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
15		ltnle 10985	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ) → (1 < (𝐹‘𝑁) ↔ ¬ (𝐹‘𝑁) ≤ 1))
16	2, 14, 15	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 < (𝐹‘𝑁) ↔ ¬ (𝐹‘𝑁) ≤ 1))
17	1, 16	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝑁) ≤ 1)
18		ostth2.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑇 = if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀))
19		ostth2.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2))
20		eluz2b2 12590	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
21	19, 20	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
22	21	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
23		nnq 12631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℚ)
25	10, 12	abvcl 19999	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
26	3, 24, 25	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
27		ifcl 4501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ) → if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ)
28	2, 26, 27	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ)
29	18, 28	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
30		0red 10909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
31	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
32		0lt1 11427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 1
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
34		max2 12850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → 1 ≤ if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)))
35	26, 2, 34	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)))
36	35, 18	breqtrrdi 5112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑇)
37	30, 31, 29, 33, 36	ltletrd 11065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
38	29, 37	elrpd 12698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
39		ostth2.8	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑈 = ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))
40	7	nnrpd 12699	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
41	40	relogcld 25683	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
42	22	nnred 11918	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
43	21	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑀)
44	42, 43	rplogcld 25689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℝ+)
45	41, 44	rerpdivcld 12732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) / (log‘𝑀)) ∈ ℝ)
46	39, 45	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
47	38, 46	rpcxpcld 25792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇↑𝑐𝑈) ∈ ℝ+)
48	14, 47	rerpdivcld 12732	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) / (𝑇↑𝑐𝑈)) ∈ ℝ)
49	42, 29	remulcld 10936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑇) ∈ ℝ)
50		peano2re 11078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ ℝ → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
51	46, 50	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
52	49, 51	remulcld 10936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1)) ∈ ℝ)
53		padic.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
54		ostth.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
55		ostth2.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = ((log‘(𝐹‘𝑁)) / (log‘𝑁))
56		ostth2.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))
57	11, 10, 53, 54, 3, 4, 1, 55, 19, 56, 18, 39	ostth2lem3 26688	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁) / (𝑇↑𝑐𝑈))↑𝑛) ≤ (𝑛 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
58	48, 52, 57	ostth2lem1 26671	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) / (𝑇↑𝑐𝑈)) ≤ 1)
59	14, 31, 47	ledivmuld 12754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁) / (𝑇↑𝑐𝑈)) ≤ 1 ↔ (𝐹‘𝑁) ≤ ((𝑇↑𝑐𝑈) · 1)))
60	58, 59	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ ((𝑇↑𝑐𝑈) · 1))
61	47	rpcnd 12703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇↑𝑐𝑈) ∈ ℂ)
62	61	mulid1d 10923	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑇↑𝑐𝑈) · 1) = (𝑇↑𝑐𝑈))
63	60, 62	breqtrd 5096	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑇↑𝑐𝑈))
64	63	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑀) ≤ 1) → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑇↑𝑐𝑈))
65		iftrue 4462	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑀) ≤ 1 → if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)) = 1)
66	18, 65	syl5eq 2791	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑀) ≤ 1 → 𝑇 = 1)
67	66	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑀) ≤ 1 → (𝑇↑𝑐𝑈) = (1↑𝑐𝑈))
68	46	recnd 10934	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
69	68	1cxpd 25767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑐𝑈) = 1)
70	67, 69	sylan9eqr 2801	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑀) ≤ 1) → (𝑇↑𝑐𝑈) = 1)
71	64, 70	breqtrd 5096	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑀) ≤ 1) → (𝐹‘𝑁) ≤ 1)
72	17, 71	mtand 812	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝑀) ≤ 1)
73		ltnle 10985	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ) → (1 < (𝐹‘𝑀) ↔ ¬ (𝐹‘𝑀) ≤ 1))
74	2, 26, 73	sylancr 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 < (𝐹‘𝑀) ↔ ¬ (𝐹‘𝑀) ≤ 1))
75	72, 74	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝐹‘𝑀))
76	30, 31, 14, 33, 1	lttrd 11066	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐹‘𝑁))
77	14, 76	elrpd 12698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ+)
78	77	reeflogd 25684	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘(𝐹‘𝑁))) = (𝐹‘𝑁))
79		iffalse 4465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑀) ≤ 1 → if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)) = (𝐹‘𝑀))
80	18, 79	syl5eq 2791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑀) ≤ 1 → 𝑇 = (𝐹‘𝑀))
81	72, 80	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝐹‘𝑀))
82	81	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇↑𝑐𝑈) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑐𝑈))
83	26	recnd 10934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ)
84	30, 31, 26, 33, 75	lttrd 11066	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐹‘𝑀))
85	26, 84	elrpd 12698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ+)
86	85	rpne0d 12706	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ≠ 0)
87	83, 86, 68	cxpefd 25772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑀)↑𝑐𝑈) = (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀)))))
88	82, 87	eqtr2d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀)))) = (𝑇↑𝑐𝑈))
89	63, 78, 88	3brtr4d 5102	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘(𝐹‘𝑁))) ≤ (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀)))))
90	77	relogcld 25683	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑁)) ∈ ℝ)
91	85	relogcld 25683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ)
92	46, 91	remulcld 10936	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))) ∈ ℝ)
93		efle 15755	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘(𝐹‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))) ∈ ℝ) → ((log‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))) ↔ (exp‘(log‘(𝐹‘𝑁))) ≤ (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))))))
94	90, 92, 93	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))) ↔ (exp‘(log‘(𝐹‘𝑁))) ≤ (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))))))
95	89, 94	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))))
96	41	recnd 10934	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
97	91	recnd 10934	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑀)) ∈ ℂ)
98	44	rpcnd 12703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℂ)
99	44	rpne0d 12706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑀) ≠ 0)
100	96, 97, 98, 99	div12d 11717	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))) = ((log‘(𝐹‘𝑀)) · ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))))
101	39	oveq2i 7266	. . . . . . 7 ⊢ ((log‘(𝐹‘𝑀)) · 𝑈) = ((log‘(𝐹‘𝑀)) · ((log‘𝑁) / (log‘𝑀)))
102	100, 101	eqtr4di 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))) = ((log‘(𝐹‘𝑀)) · 𝑈))
103	97, 68	mulcomd 10927	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝐹‘𝑀)) · 𝑈) = (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))))
104	102, 103	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))) = (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))))
105	95, 104	breqtrrd 5098	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑁)) ≤ ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))))
106	91, 44	rerpdivcld 12732	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀)) ∈ ℝ)
107	7	nnred 11918	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
108	6	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑁)
109	107, 108	rplogcld 25689	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ+)
110	90, 106, 109	ledivmuld 12754	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((log‘(𝐹‘𝑁)) / (log‘𝑁)) ≤ ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀)) ↔ (log‘(𝐹‘𝑁)) ≤ ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀)))))
111	105, 110	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝐹‘𝑁)) / (log‘𝑁)) ≤ ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀)))
112	111, 55, 56	3brtr4g 5104	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ 𝑆)
113	75, 112	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (1 < (𝐹‘𝑀) ∧ 𝑅 ≤ 𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ifcif 4456   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941  -cneg 11136   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  ℤ_≥cuz 12511  ℚcq 12617  ↑cexp 13710  expce 15699  ℙcprime 16304   pCnt cpc 16465   ↾_s cress 16867  AbsValcabv 19991  ℂ_fldccnfld 20510  logclog 25615  ↑_𝑐ccxp 25616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-pi 15710  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-subrg 19937  df-abv 19992  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936  df-log 25617  df-cxp 25618

This theorem is referenced by:  ostth2  26690