Theorem ostth2lem4 26782

Description: Lemma for ostth2 26783. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
ostth2.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
ostth2.3	⊢ (𝜑 → 1 < (𝐹‘𝑁))
ostth2.4	⊢ 𝑅 = ((log‘(𝐹‘𝑁)) / (log‘𝑁))
ostth2.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2))
ostth2.6	⊢ 𝑆 = ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))
ostth2.7	⊢ 𝑇 = if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀))
ostth2.8	⊢ 𝑈 = ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
ostth2lem4	⊢ (𝜑 → (1 < (𝐹‘𝑀) ∧ 𝑅 ≤ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑞,𝜑   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈   𝐴,𝑞,𝑥   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝐹,𝑞   𝑅,𝑞   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑞)   𝑇(𝑞)   𝑈(𝑞)   𝐽(𝑥,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑞)   𝑀(𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem ostth2lem4

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ostth2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝐹‘𝑁))
2		1re 10976	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		ostth.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
4		ostth2.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
5		eluz2b2 12660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
6	4, 5	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
7	6	simpld 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8		nnq 12701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℚ)
10		qabsabv.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
11		qrng.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
12	11	qrngbas 26765	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
13	10, 12	abvcl 20082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
14	3, 9, 13	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
15		ltnle 11055	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ) → (1 < (𝐹‘𝑁) ↔ ¬ (𝐹‘𝑁) ≤ 1))
16	2, 14, 15	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 < (𝐹‘𝑁) ↔ ¬ (𝐹‘𝑁) ≤ 1))
17	1, 16	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝑁) ≤ 1)
18		ostth2.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑇 = if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀))
19		ostth2.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2))
20		eluz2b2 12660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
21	19, 20	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
22	21	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
23		nnq 12701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℚ)
25	10, 12	abvcl 20082	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
26	3, 24, 25	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
27		ifcl 4510	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ) → if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ)
28	2, 26, 27	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ)
29	18, 28	eqeltrid 2845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
30		0red 10979	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
31	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
32		0lt1 11497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 1
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
34		max2 12920	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → 1 ≤ if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)))
35	26, 2, 34	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)))
36	35, 18	breqtrrdi 5121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑇)
37	30, 31, 29, 33, 36	ltletrd 11135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
38	29, 37	elrpd 12768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
39		ostth2.8	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑈 = ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))
40	7	nnrpd 12769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
41	40	relogcld 25776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
42	22	nnred 11988	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
43	21	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑀)
44	42, 43	rplogcld 25782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℝ+)
45	41, 44	rerpdivcld 12802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) / (log‘𝑀)) ∈ ℝ)
46	39, 45	eqeltrid 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
47	38, 46	rpcxpcld 25885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇↑𝑐𝑈) ∈ ℝ+)
48	14, 47	rerpdivcld 12802	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) / (𝑇↑𝑐𝑈)) ∈ ℝ)
49	42, 29	remulcld 11006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑇) ∈ ℝ)
50		peano2re 11148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ ℝ → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
51	46, 50	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
52	49, 51	remulcld 11006	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1)) ∈ ℝ)
53		padic.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
54		ostth.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
55		ostth2.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = ((log‘(𝐹‘𝑁)) / (log‘𝑁))
56		ostth2.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))
57	11, 10, 53, 54, 3, 4, 1, 55, 19, 56, 18, 39	ostth2lem3 26781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁) / (𝑇↑𝑐𝑈))↑𝑛) ≤ (𝑛 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
58	48, 52, 57	ostth2lem1 26764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) / (𝑇↑𝑐𝑈)) ≤ 1)
59	14, 31, 47	ledivmuld 12824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁) / (𝑇↑𝑐𝑈)) ≤ 1 ↔ (𝐹‘𝑁) ≤ ((𝑇↑𝑐𝑈) · 1)))
60	58, 59	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ ((𝑇↑𝑐𝑈) · 1))
61	47	rpcnd 12773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇↑𝑐𝑈) ∈ ℂ)
62	61	mulid1d 10993	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑇↑𝑐𝑈) · 1) = (𝑇↑𝑐𝑈))
63	60, 62	breqtrd 5105	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑇↑𝑐𝑈))
64	63	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑀) ≤ 1) → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑇↑𝑐𝑈))
65		iftrue 4471	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑀) ≤ 1 → if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)) = 1)
66	18, 65	eqtrid 2792	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑀) ≤ 1 → 𝑇 = 1)
67	66	oveq1d 7286	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑀) ≤ 1 → (𝑇↑𝑐𝑈) = (1↑𝑐𝑈))
68	46	recnd 11004	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
69	68	1cxpd 25860	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑐𝑈) = 1)
70	67, 69	sylan9eqr 2802	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑀) ≤ 1) → (𝑇↑𝑐𝑈) = 1)
71	64, 70	breqtrd 5105	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑀) ≤ 1) → (𝐹‘𝑁) ≤ 1)
72	17, 71	mtand 813	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝑀) ≤ 1)
73		ltnle 11055	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ) → (1 < (𝐹‘𝑀) ↔ ¬ (𝐹‘𝑀) ≤ 1))
74	2, 26, 73	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 < (𝐹‘𝑀) ↔ ¬ (𝐹‘𝑀) ≤ 1))
75	72, 74	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝐹‘𝑀))
76	30, 31, 14, 33, 1	lttrd 11136	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐹‘𝑁))
77	14, 76	elrpd 12768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ+)
78	77	reeflogd 25777	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘(𝐹‘𝑁))) = (𝐹‘𝑁))
79		iffalse 4474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑀) ≤ 1 → if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)) = (𝐹‘𝑀))
80	18, 79	eqtrid 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑀) ≤ 1 → 𝑇 = (𝐹‘𝑀))
81	72, 80	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝐹‘𝑀))
82	81	oveq1d 7286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇↑𝑐𝑈) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑐𝑈))
83	26	recnd 11004	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ)
84	30, 31, 26, 33, 75	lttrd 11136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐹‘𝑀))
85	26, 84	elrpd 12768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ+)
86	85	rpne0d 12776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ≠ 0)
87	83, 86, 68	cxpefd 25865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑀)↑𝑐𝑈) = (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀)))))
88	82, 87	eqtr2d 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀)))) = (𝑇↑𝑐𝑈))
89	63, 78, 88	3brtr4d 5111	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘(𝐹‘𝑁))) ≤ (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀)))))
90	77	relogcld 25776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑁)) ∈ ℝ)
91	85	relogcld 25776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ)
92	46, 91	remulcld 11006	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))) ∈ ℝ)
93		efle 15825	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘(𝐹‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))) ∈ ℝ) → ((log‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))) ↔ (exp‘(log‘(𝐹‘𝑁))) ≤ (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))))))
94	90, 92, 93	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))) ↔ (exp‘(log‘(𝐹‘𝑁))) ≤ (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))))))
95	89, 94	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))))
96	41	recnd 11004	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
97	91	recnd 11004	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑀)) ∈ ℂ)
98	44	rpcnd 12773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℂ)
99	44	rpne0d 12776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑀) ≠ 0)
100	96, 97, 98, 99	div12d 11787	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))) = ((log‘(𝐹‘𝑀)) · ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))))
101	39	oveq2i 7282	. . . . . . 7 ⊢ ((log‘(𝐹‘𝑀)) · 𝑈) = ((log‘(𝐹‘𝑀)) · ((log‘𝑁) / (log‘𝑀)))
102	100, 101	eqtr4di 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))) = ((log‘(𝐹‘𝑀)) · 𝑈))
103	97, 68	mulcomd 10997	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝐹‘𝑀)) · 𝑈) = (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))))
104	102, 103	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))) = (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))))
105	95, 104	breqtrrd 5107	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑁)) ≤ ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))))
106	91, 44	rerpdivcld 12802	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀)) ∈ ℝ)
107	7	nnred 11988	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
108	6	simprd 496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑁)
109	107, 108	rplogcld 25782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ+)
110	90, 106, 109	ledivmuld 12824	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((log‘(𝐹‘𝑁)) / (log‘𝑁)) ≤ ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀)) ↔ (log‘(𝐹‘𝑁)) ≤ ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀)))))
111	105, 110	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝐹‘𝑁)) / (log‘𝑁)) ≤ ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀)))
112	111, 55, 56	3brtr4g 5113	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ 𝑆)
113	75, 112	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → (1 < (𝐹‘𝑀) ∧ 𝑅 ≤ 𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ifcif 4465   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5162  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  ℝcr 10871  0cc0 10872  1c1 10873   + caddc 10875   · cmul 10877   < clt 11010   ≤ cle 11011  -cneg 11206   / cdiv 11632  ℕcn 11973  2c2 12028  ℤ_≥cuz 12581  ℚcq 12687  ↑cexp 13780  expce 15769  ℙcprime 16374   pCnt cpc 16535   ↾_s cress 16939  AbsValcabv 20074  ℂ_fldccnfld 20595  logclog 25708  ↑_𝑐ccxp 25709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950  ax-addf 10951  ax-mulf 10952

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-supp 7969  df-tpos 8033  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-2o 8289  df-er 8481  df-map 8600  df-pm 8601  df-ixp 8669  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fsupp 9107  df-fi 9148  df-sup 9179  df-inf 9180  df-oi 9247  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-q 12688  df-rp 12730  df-xneg 12847  df-xadd 12848  df-xmul 12849  df-ioo 13082  df-ioc 13083  df-ico 13084  df-icc 13085  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-fl 13510  df-mod 13588  df-seq 13720  df-exp 13781  df-fac 13986  df-bc 14015  df-hash 14043  df-shft 14776  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-limsup 15178  df-clim 15195  df-rlim 15196  df-sum 15396  df-ef 15775  df-sin 15777  df-cos 15778  df-pi 15780  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-hom 16984  df-cco 16985  df-rest 17131  df-topn 17132  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-topgen 17152  df-pt 17153  df-prds 17156  df-xrs 17211  df-qtop 17216  df-imas 17217  df-xps 17219  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-mulg 18699  df-subg 18750  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-cring 19784  df-oppr 19860  df-dvdsr 19881  df-unit 19882  df-invr 19912  df-dvr 19923  df-drng 19991  df-subrg 20020  df-abv 20075  df-psmet 20587  df-xmet 20588  df-met 20589  df-bl 20590  df-mopn 20591  df-fbas 20592  df-fg 20593  df-cnfld 20596  df-top 22041  df-topon 22058  df-topsp 22080  df-bases 22094  df-cld 22168  df-ntr 22169  df-cls 22170  df-nei 22247  df-lp 22285  df-perf 22286  df-cn 22376  df-cnp 22377  df-haus 22464  df-tx 22711  df-hmeo 22904  df-fil 22995  df-fm 23087  df-flim 23088  df-flf 23089  df-xms 23471  df-ms 23472  df-tms 23473  df-cncf 24039  df-limc 25028  df-dv 25029  df-log 25710  df-cxp 25711

This theorem is referenced by:  ostth2  26783