MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth2lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostth2lem4 25549
Description: Lemma for ostth2 25550. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1 (𝜑𝐹𝐴)
ostth2.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
ostth2.3 (𝜑 → 1 < (𝐹𝑁))
ostth2.4 𝑅 = ((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁))
ostth2.5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
ostth2.6 𝑆 = ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))
ostth2.7 𝑇 = if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀))
ostth2.8 𝑈 = ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
ostth2lem4 (𝜑 → (1 < (𝐹𝑀) ∧ 𝑅𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑞,𝜑   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈   𝐴,𝑞,𝑥   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝐹,𝑞   𝑅,𝑞   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑞)   𝑇(𝑞)   𝑈(𝑞)   𝐽(𝑥,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑞)   𝑀(𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem ostth2lem4
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostth2.3 . . . . 5 (𝜑 → 1 < (𝐹𝑁))
2 1re 10332 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
3 ostth.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝐴)
4 ostth2.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
5 eluz2b2 11987 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
64, 5sylib 209 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
76simpld 484 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
8 nnq 12027 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℚ)
10 qabsabv.a . . . . . . . 8 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
11 qrng.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (ℂflds ℚ)
1211qrngbas 25532 . . . . . . . 8 ℚ = (Base‘𝑄)
1310, 12abvcl 19035 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑁 ∈ ℚ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
143, 9, 13syl2anc 575 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
15 ltnle 10409 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℝ) → (1 < (𝐹𝑁) ↔ ¬ (𝐹𝑁) ≤ 1))
162, 14, 15sylancr 577 . . . . 5 (𝜑 → (1 < (𝐹𝑁) ↔ ¬ (𝐹𝑁) ≤ 1))
171, 16mpbid 223 . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑁) ≤ 1)
18 ostth2.7 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀))
19 ostth2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
20 eluz2b2 11987 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
2119, 20sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
2221simpld 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
23 nnq 12027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℚ)
2510, 12abvcl 19035 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
263, 24, 25syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
27 ifcl 4334 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑀) ∈ ℝ) → if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
282, 26, 27sylancr 577 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
2918, 28syl5eqel 2900 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
30 0red 10335 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
312a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
32 0lt1 10842 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 1
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < 1)
34 max2 12243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑀) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → 1 ≤ if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)))
3526, 2, 34sylancl 576 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≤ if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)))
3635, 18syl6breqr 4897 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ≤ 𝑇)
3730, 31, 29, 33, 36ltletrd 10489 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑇)
3829, 37elrpd 12090 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
39 ostth2.8 . . . . . . . . . . . 12 𝑈 = ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))
407nnrpd 12091 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
4140relogcld 24593 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
4222nnred 11327 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
4321simprd 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 < 𝑀)
4442, 43rplogcld 24599 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℝ+)
4541, 44rerpdivcld 12124 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((log‘𝑁) / (log‘𝑀)) ∈ ℝ)
4639, 45syl5eqel 2900 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
4738, 46rpcxpcld 24700 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇𝑐𝑈) ∈ ℝ+)
4814, 47rerpdivcld 12124 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑁) / (𝑇𝑐𝑈)) ∈ ℝ)
4942, 29remulcld 10362 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 · 𝑇) ∈ ℝ)
50 peano2re 10501 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ℝ → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
5146, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
5249, 51remulcld 10362 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1)) ∈ ℝ)
53 padic.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
54 ostth.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
55 ostth2.4 . . . . . . . . . 10 𝑅 = ((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁))
56 ostth2.6 . . . . . . . . . 10 𝑆 = ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))
5711, 10, 53, 54, 3, 4, 1, 55, 19, 56, 18, 39ostth2lem3 25548 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁) / (𝑇𝑐𝑈))↑𝑛) ≤ (𝑛 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
5848, 52, 57ostth2lem1 25531 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑁) / (𝑇𝑐𝑈)) ≤ 1)
5914, 31, 47ledivmuld 12146 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐹𝑁) / (𝑇𝑐𝑈)) ≤ 1 ↔ (𝐹𝑁) ≤ ((𝑇𝑐𝑈) · 1)))
6058, 59mpbid 223 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ ((𝑇𝑐𝑈) · 1))
6147rpcnd 12095 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇𝑐𝑈) ∈ ℂ)
6261mulid1d 10349 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑇𝑐𝑈) · 1) = (𝑇𝑐𝑈))
6360, 62breqtrd 4881 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝑇𝑐𝑈))
6463adantr 468 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑀) ≤ 1) → (𝐹𝑁) ≤ (𝑇𝑐𝑈))
65 iftrue 4296 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑀) ≤ 1 → if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)) = 1)
6618, 65syl5eq 2863 . . . . . . 7 ((𝐹𝑀) ≤ 1 → 𝑇 = 1)
6766oveq1d 6896 . . . . . 6 ((𝐹𝑀) ≤ 1 → (𝑇𝑐𝑈) = (1↑𝑐𝑈))
6846recnd 10360 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
69681cxpd 24677 . . . . . 6 (𝜑 → (1↑𝑐𝑈) = 1)
7067, 69sylan9eqr 2873 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑀) ≤ 1) → (𝑇𝑐𝑈) = 1)
7164, 70breqtrd 4881 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑀) ≤ 1) → (𝐹𝑁) ≤ 1)
7217, 71mtand 841 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑀) ≤ 1)
73 ltnle 10409 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑀) ∈ ℝ) → (1 < (𝐹𝑀) ↔ ¬ (𝐹𝑀) ≤ 1))
742, 26, 73sylancr 577 . . 3 (𝜑 → (1 < (𝐹𝑀) ↔ ¬ (𝐹𝑀) ≤ 1))
7572, 74mpbird 248 . 2 (𝜑 → 1 < (𝐹𝑀))
7630, 31, 14, 33, 1lttrd 10490 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (𝐹𝑁))
7714, 76elrpd 12090 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ+)
7877reeflogd 24594 . . . . . . 7 (𝜑 → (exp‘(log‘(𝐹𝑁))) = (𝐹𝑁))
79 iffalse 4299 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝐹𝑀) ≤ 1 → if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)) = (𝐹𝑀))
8018, 79syl5eq 2863 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝐹𝑀) ≤ 1 → 𝑇 = (𝐹𝑀))
8172, 80syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 = (𝐹𝑀))
8281oveq1d 6896 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇𝑐𝑈) = ((𝐹𝑀)↑𝑐𝑈))
8326recnd 10360 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℂ)
8430, 31, 26, 33, 75lttrd 10490 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (𝐹𝑀))
8526, 84elrpd 12090 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ+)
8685rpne0d 12098 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑀) ≠ 0)
8783, 86, 68cxpefd 24682 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑀)↑𝑐𝑈) = (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹𝑀)))))
8882, 87eqtr2d 2852 . . . . . . 7 (𝜑 → (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹𝑀)))) = (𝑇𝑐𝑈))
8963, 78, 883brtr4d 4887 . . . . . 6 (𝜑 → (exp‘(log‘(𝐹𝑁))) ≤ (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹𝑀)))))
9077relogcld 24593 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑁)) ∈ ℝ)
9185relogcld 24593 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
9246, 91remulcld 10362 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))) ∈ ℝ)
93 efle 15075 . . . . . . 7 (((log‘(𝐹𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))) ∈ ℝ) → ((log‘(𝐹𝑁)) ≤ (𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))) ↔ (exp‘(log‘(𝐹𝑁))) ≤ (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))))))
9490, 92, 93syl2anc 575 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑁)) ≤ (𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))) ↔ (exp‘(log‘(𝐹𝑁))) ≤ (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))))))
9589, 94mpbird 248 . . . . 5 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑁)) ≤ (𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))))
9641recnd 10360 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
9791recnd 10360 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑀)) ∈ ℂ)
9844rpcnd 12095 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℂ)
9944rpne0d 12098 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝑀) ≠ 0)
10096, 97, 98, 99div12d 11129 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))) = ((log‘(𝐹𝑀)) · ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))))
10139oveq2i 6892 . . . . . . 7 ((log‘(𝐹𝑀)) · 𝑈) = ((log‘(𝐹𝑀)) · ((log‘𝑁) / (log‘𝑀)))
102100, 101syl6eqr 2869 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))) = ((log‘(𝐹𝑀)) · 𝑈))
10397, 68mulcomd 10353 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑀)) · 𝑈) = (𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))))
104102, 103eqtrd 2851 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))) = (𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))))
10595, 104breqtrrd 4883 . . . 4 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑁)) ≤ ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))))
10691, 44rerpdivcld 12124 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀)) ∈ ℝ)
1077nnred 11327 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1086simprd 485 . . . . . 6 (𝜑 → 1 < 𝑁)
109107, 108rplogcld 24599 . . . . 5 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ+)
11090, 106, 109ledivmuld 12146 . . . 4 (𝜑 → (((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁)) ≤ ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀)) ↔ (log‘(𝐹𝑁)) ≤ ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀)))))
111105, 110mpbird 248 . . 3 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁)) ≤ ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀)))
112111, 55, 563brtr4g 4889 . 2 (𝜑𝑅𝑆)
11375, 112jca 503 1 (𝜑 → (1 < (𝐹𝑀) ∧ 𝑅𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  ifcif 4290   class class class wbr 4855  cmpt 4934  cfv 6108  (class class class)co 6881  cr 10227  0cc0 10228  1c1 10229   + caddc 10231   · cmul 10233   < clt 10366  cle 10367  -cneg 10559   / cdiv 10976  cn 11312  2c2 11363  cuz 11911  cq 12014  cexp 13090  expce 15019  cprime 15610   pCnt cpc 15765  s cress 16076  AbsValcabv 19027  fldccnfld 19961  logclog 24525  𝑐ccxp 24526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4975  ax-sep 4986  ax-nul 4994  ax-pow 5046  ax-pr 5107  ax-un 7186  ax-inf2 8792  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305  ax-pre-sup 10306  ax-addf 10307  ax-mulf 10308
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-iin 4726  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5230  df-eprel 5235  df-po 5243  df-so 5244  df-fr 5281  df-se 5282  df-we 5283  df-xp 5328  df-rel 5329  df-cnv 5330  df-co 5331  df-dm 5332  df-rn 5333  df-res 5334  df-ima 5335  df-pred 5904  df-ord 5950  df-on 5951  df-lim 5952  df-suc 5953  df-iota 6071  df-fun 6110  df-fn 6111  df-f 6112  df-f1 6113  df-fo 6114  df-f1o 6115  df-fv 6116  df-isom 6117  df-riota 6842  df-ov 6884  df-oprab 6885  df-mpt2 6886  df-of 7134  df-om 7303  df-1st 7405  df-2nd 7406  df-supp 7537  df-tpos 7594  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-1o 7803  df-2o 7804  df-oadd 7807  df-er 7986  df-map 8101  df-pm 8102  df-ixp 8153  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-fin 8203  df-fsupp 8522  df-fi 8563  df-sup 8594  df-inf 8595  df-oi 8661  df-card 9055  df-cda 9282  df-pnf 10368  df-mnf 10369  df-xr 10370  df-ltxr 10371  df-le 10372  df-sub 10560  df-neg 10561  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11371  df-3 11372  df-4 11373  df-5 11374  df-6 11375  df-7 11376  df-8 11377  df-9 11378  df-n0 11567  df-z 11651  df-dec 11767  df-uz 11912  df-q 12015  df-rp 12054  df-xneg 12169  df-xadd 12170  df-xmul 12171  df-ioo 12404  df-ioc 12405  df-ico 12406  df-icc 12407  df-fz 12557  df-fzo 12697  df-fl 12824  df-mod 12900  df-seq 13032  df-exp 13091  df-fac 13288  df-bc 13317  df-hash 13345  df-shft 14037  df-cj 14069  df-re 14070  df-im 14071  df-sqrt 14205  df-abs 14206  df-limsup 14432  df-clim 14449  df-rlim 14450  df-sum 14647  df-ef 15025  df-sin 15027  df-cos 15028  df-pi 15030  df-struct 16077  df-ndx 16078  df-slot 16079  df-base 16081  df-sets 16082  df-ress 16083  df-plusg 16173  df-mulr 16174  df-starv 16175  df-sca 16176  df-vsca 16177  df-ip 16178  df-tset 16179  df-ple 16180  df-ds 16182  df-unif 16183  df-hom 16184  df-cco 16185  df-rest 16295  df-topn 16296  df-0g 16314  df-gsum 16315  df-topgen 16316  df-pt 16317  df-prds 16320  df-xrs 16374  df-qtop 16379  df-imas 16380  df-xps 16382  df-mre 16458  df-mrc 16459  df-acs 16461  df-mgm 17454  df-sgrp 17496  df-mnd 17507  df-submnd 17548  df-grp 17637  df-minusg 17638  df-mulg 17753  df-subg 17800  df-cntz 17958  df-cmn 18403  df-mgp 18699  df-ur 18711  df-ring 18758  df-cring 18759  df-oppr 18832  df-dvdsr 18850  df-unit 18851  df-invr 18881  df-dvr 18892  df-drng 18960  df-subrg 18989  df-abv 19028  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20920  df-topon 20937  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-limc 23854  df-dv 23855  df-log 24527  df-cxp 24528
This theorem is referenced by:  ostth2  25550
  Copyright terms: Public domain W3C validator