Theorem ostth2lem4 27604

Description: Lemma for ostth2 27605. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
ostth2.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
ostth2.3	⊢ (𝜑 → 1 < (𝐹‘𝑁))
ostth2.4	⊢ 𝑅 = ((log‘(𝐹‘𝑁)) / (log‘𝑁))
ostth2.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2))
ostth2.6	⊢ 𝑆 = ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))
ostth2.7	⊢ 𝑇 = if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀))
ostth2.8	⊢ 𝑈 = ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
ostth2lem4	⊢ (𝜑 → (1 < (𝐹‘𝑀) ∧ 𝑅 ≤ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑞,𝜑   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈   𝐴,𝑞,𝑥   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝐹,𝑞   𝑅,𝑞   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑞)   𝑇(𝑞)   𝑈(𝑞)   𝐽(𝑥,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑞)   𝑀(𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem ostth2lem4

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ostth2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝐹‘𝑁))
2		1re 11240	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		ostth.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
4		ostth2.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
5		eluz2b2 12942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
6	4, 5	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
7	6	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8		nnq 12983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℚ)
10		qabsabv.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
11		qrng.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
12	11	qrngbas 27587	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
13	10, 12	abvcl 20781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
14	3, 9, 13	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
15		ltnle 11319	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ) → (1 < (𝐹‘𝑁) ↔ ¬ (𝐹‘𝑁) ≤ 1))
16	2, 14, 15	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 < (𝐹‘𝑁) ↔ ¬ (𝐹‘𝑁) ≤ 1))
17	1, 16	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝑁) ≤ 1)
18		ostth2.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑇 = if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀))
19		ostth2.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2))
20		eluz2b2 12942	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
21	19, 20	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
22	21	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
23		nnq 12983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℚ)
25	10, 12	abvcl 20781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
26	3, 24, 25	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
27		ifcl 4551	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ) → if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ)
28	2, 26, 27	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ)
29	18, 28	eqeltrid 2839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
30		0red 11243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
31	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
32		0lt1 11764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 1
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
34		max2 13208	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → 1 ≤ if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)))
35	26, 2, 34	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)))
36	35, 18	breqtrrdi 5166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑇)
37	30, 31, 29, 33, 36	ltletrd 11400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
38	29, 37	elrpd 13053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
39		ostth2.8	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑈 = ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))
40	7	nnrpd 13054	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
41	40	relogcld 26589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
42	22	nnred 12260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
43	21	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑀)
44	42, 43	rplogcld 26595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℝ+)
45	41, 44	rerpdivcld 13087	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) / (log‘𝑀)) ∈ ℝ)
46	39, 45	eqeltrid 2839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
47	38, 46	rpcxpcld 26699	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇↑𝑐𝑈) ∈ ℝ+)
48	14, 47	rerpdivcld 13087	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) / (𝑇↑𝑐𝑈)) ∈ ℝ)
49	42, 29	remulcld 11270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑇) ∈ ℝ)
50		peano2re 11413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ ℝ → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
51	46, 50	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
52	49, 51	remulcld 11270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1)) ∈ ℝ)
53		padic.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
54		ostth.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
55		ostth2.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = ((log‘(𝐹‘𝑁)) / (log‘𝑁))
56		ostth2.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))
57	11, 10, 53, 54, 3, 4, 1, 55, 19, 56, 18, 39	ostth2lem3 27603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁) / (𝑇↑𝑐𝑈))↑𝑛) ≤ (𝑛 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
58	48, 52, 57	ostth2lem1 27586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) / (𝑇↑𝑐𝑈)) ≤ 1)
59	14, 31, 47	ledivmuld 13109	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁) / (𝑇↑𝑐𝑈)) ≤ 1 ↔ (𝐹‘𝑁) ≤ ((𝑇↑𝑐𝑈) · 1)))
60	58, 59	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ ((𝑇↑𝑐𝑈) · 1))
61	47	rpcnd 13058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇↑𝑐𝑈) ∈ ℂ)
62	61	mulridd 11257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑇↑𝑐𝑈) · 1) = (𝑇↑𝑐𝑈))
63	60, 62	breqtrd 5150	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑇↑𝑐𝑈))
64	63	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑀) ≤ 1) → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑇↑𝑐𝑈))
65		iftrue 4511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑀) ≤ 1 → if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)) = 1)
66	18, 65	eqtrid 2783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑀) ≤ 1 → 𝑇 = 1)
67	66	oveq1d 7425	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑀) ≤ 1 → (𝑇↑𝑐𝑈) = (1↑𝑐𝑈))
68	46	recnd 11268	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
69	68	1cxpd 26673	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑐𝑈) = 1)
70	67, 69	sylan9eqr 2793	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑀) ≤ 1) → (𝑇↑𝑐𝑈) = 1)
71	64, 70	breqtrd 5150	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑀) ≤ 1) → (𝐹‘𝑁) ≤ 1)
72	17, 71	mtand 815	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝑀) ≤ 1)
73		ltnle 11319	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ) → (1 < (𝐹‘𝑀) ↔ ¬ (𝐹‘𝑀) ≤ 1))
74	2, 26, 73	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 < (𝐹‘𝑀) ↔ ¬ (𝐹‘𝑀) ≤ 1))
75	72, 74	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝐹‘𝑀))
76	30, 31, 14, 33, 1	lttrd 11401	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐹‘𝑁))
77	14, 76	elrpd 13053	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ+)
78	77	reeflogd 26590	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘(𝐹‘𝑁))) = (𝐹‘𝑁))
79		iffalse 4514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑀) ≤ 1 → if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)) = (𝐹‘𝑀))
80	18, 79	eqtrid 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑀) ≤ 1 → 𝑇 = (𝐹‘𝑀))
81	72, 80	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝐹‘𝑀))
82	81	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇↑𝑐𝑈) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑐𝑈))
83	26	recnd 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ)
84	30, 31, 26, 33, 75	lttrd 11401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐹‘𝑀))
85	26, 84	elrpd 13053	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ+)
86	85	rpne0d 13061	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ≠ 0)
87	83, 86, 68	cxpefd 26678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑀)↑𝑐𝑈) = (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀)))))
88	82, 87	eqtr2d 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀)))) = (𝑇↑𝑐𝑈))
89	63, 78, 88	3brtr4d 5156	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘(𝐹‘𝑁))) ≤ (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀)))))
90	77	relogcld 26589	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑁)) ∈ ℝ)
91	85	relogcld 26589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ)
92	46, 91	remulcld 11270	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))) ∈ ℝ)
93		efle 16141	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘(𝐹‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))) ∈ ℝ) → ((log‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))) ↔ (exp‘(log‘(𝐹‘𝑁))) ≤ (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))))))
94	90, 92, 93	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))) ↔ (exp‘(log‘(𝐹‘𝑁))) ≤ (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))))))
95	89, 94	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))))
96	41	recnd 11268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
97	91	recnd 11268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑀)) ∈ ℂ)
98	44	rpcnd 13058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℂ)
99	44	rpne0d 13061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑀) ≠ 0)
100	96, 97, 98, 99	div12d 12058	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))) = ((log‘(𝐹‘𝑀)) · ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))))
101	39	oveq2i 7421	. . . . . . 7 ⊢ ((log‘(𝐹‘𝑀)) · 𝑈) = ((log‘(𝐹‘𝑀)) · ((log‘𝑁) / (log‘𝑀)))
102	100, 101	eqtr4di 2789	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))) = ((log‘(𝐹‘𝑀)) · 𝑈))
103	97, 68	mulcomd 11261	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝐹‘𝑀)) · 𝑈) = (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))))
104	102, 103	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))) = (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))))
105	95, 104	breqtrrd 5152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑁)) ≤ ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))))
106	91, 44	rerpdivcld 13087	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀)) ∈ ℝ)
107	7	nnred 12260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
108	6	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑁)
109	107, 108	rplogcld 26595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ+)
110	90, 106, 109	ledivmuld 13109	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((log‘(𝐹‘𝑁)) / (log‘𝑁)) ≤ ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀)) ↔ (log‘(𝐹‘𝑁)) ≤ ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀)))))
111	105, 110	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝐹‘𝑁)) / (log‘𝑁)) ≤ ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀)))
112	111, 55, 56	3brtr4g 5158	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ 𝑆)
113	75, 112	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (1 < (𝐹‘𝑀) ∧ 𝑅 ≤ 𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4505   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139   < clt 11274   ≤ cle 11275  -cneg 11472   / cdiv 11899  ℕcn 12245  2c2 12300  ℤ_≥cuz 12857  ℚcq 12969  ↑cexp 14084  expce 16082  ℙcprime 16695   pCnt cpc 16861   ↾_s cress 17256  AbsValcabv 20773  ℂ_fldccnfld 21320  logclog 26520  ↑_𝑐ccxp 26521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212  ax-addf 11213  ax-mulf 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-fac 14297  df-bc 14326  df-hash 14354  df-shft 15091  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-limsup 15492  df-clim 15509  df-rlim 15510  df-sum 15708  df-ef 16088  df-sin 16090  df-cos 16091  df-pi 16093  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17521  df-qtop 17526  df-imas 17527  df-xps 17529  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-cring 20201  df-oppr 20302  df-dvdsr 20322  df-unit 20323  df-invr 20353  df-dvr 20366  df-subrng 20511  df-subrg 20535  df-drng 20696  df-abv 20774  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-fbas 21317  df-fg 21318  df-cnfld 21321  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-ntr 22963  df-cls 22964  df-nei 23041  df-lp 23079  df-perf 23080  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-haus 23258  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-fil 23789  df-fm 23881  df-flim 23882  df-flf 23883  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25824  df-dv 25825  df-log 26522  df-cxp 26523

This theorem is referenced by:  ostth2  27605