MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth2lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostth2lem4 26984
Description: Lemma for ostth2 26985. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1 (𝜑𝐹𝐴)
ostth2.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
ostth2.3 (𝜑 → 1 < (𝐹𝑁))
ostth2.4 𝑅 = ((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁))
ostth2.5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
ostth2.6 𝑆 = ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))
ostth2.7 𝑇 = if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀))
ostth2.8 𝑈 = ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
ostth2lem4 (𝜑 → (1 < (𝐹𝑀) ∧ 𝑅𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑞,𝜑   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈   𝐴,𝑞,𝑥   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝐹,𝑞   𝑅,𝑞   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑞)   𝑇(𝑞)   𝑈(𝑞)   𝐽(𝑥,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑞)   𝑀(𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem ostth2lem4
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostth2.3 . . . . 5 (𝜑 → 1 < (𝐹𝑁))
2 1re 11155 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
3 ostth.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝐴)
4 ostth2.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
5 eluz2b2 12846 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
64, 5sylib 217 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
76simpld 495 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
8 nnq 12887 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℚ)
10 qabsabv.a . . . . . . . 8 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
11 qrng.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (ℂflds ℚ)
1211qrngbas 26967 . . . . . . . 8 ℚ = (Base‘𝑄)
1310, 12abvcl 20283 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑁 ∈ ℚ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
143, 9, 13syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
15 ltnle 11234 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℝ) → (1 < (𝐹𝑁) ↔ ¬ (𝐹𝑁) ≤ 1))
162, 14, 15sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (1 < (𝐹𝑁) ↔ ¬ (𝐹𝑁) ≤ 1))
171, 16mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑁) ≤ 1)
18 ostth2.7 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀))
19 ostth2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
20 eluz2b2 12846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
2119, 20sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
2221simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
23 nnq 12887 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℚ)
2510, 12abvcl 20283 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝐴𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
263, 24, 25syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
27 ifcl 4531 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑀) ∈ ℝ) → if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
282, 26, 27sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
2918, 28eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
30 0red 11158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
312a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
32 0lt1 11677 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 1
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < 1)
34 max2 13106 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑀) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → 1 ≤ if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)))
3526, 2, 34sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≤ if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)))
3635, 18breqtrrdi 5147 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ≤ 𝑇)
3730, 31, 29, 33, 36ltletrd 11315 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑇)
3829, 37elrpd 12954 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
39 ostth2.8 . . . . . . . . . . . 12 𝑈 = ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))
407nnrpd 12955 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
4140relogcld 25978 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
4222nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
4321simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 < 𝑀)
4442, 43rplogcld 25984 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℝ+)
4541, 44rerpdivcld 12988 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((log‘𝑁) / (log‘𝑀)) ∈ ℝ)
4639, 45eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
4738, 46rpcxpcld 26087 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇𝑐𝑈) ∈ ℝ+)
4814, 47rerpdivcld 12988 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑁) / (𝑇𝑐𝑈)) ∈ ℝ)
4942, 29remulcld 11185 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 · 𝑇) ∈ ℝ)
50 peano2re 11328 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ℝ → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
5146, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
5249, 51remulcld 11185 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1)) ∈ ℝ)
53 padic.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
54 ostth.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
55 ostth2.4 . . . . . . . . . 10 𝑅 = ((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁))
56 ostth2.6 . . . . . . . . . 10 𝑆 = ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))
5711, 10, 53, 54, 3, 4, 1, 55, 19, 56, 18, 39ostth2lem3 26983 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁) / (𝑇𝑐𝑈))↑𝑛) ≤ (𝑛 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
5848, 52, 57ostth2lem1 26966 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑁) / (𝑇𝑐𝑈)) ≤ 1)
5914, 31, 47ledivmuld 13010 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐹𝑁) / (𝑇𝑐𝑈)) ≤ 1 ↔ (𝐹𝑁) ≤ ((𝑇𝑐𝑈) · 1)))
6058, 59mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ ((𝑇𝑐𝑈) · 1))
6147rpcnd 12959 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇𝑐𝑈) ∈ ℂ)
6261mulid1d 11172 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑇𝑐𝑈) · 1) = (𝑇𝑐𝑈))
6360, 62breqtrd 5131 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝑇𝑐𝑈))
6463adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑀) ≤ 1) → (𝐹𝑁) ≤ (𝑇𝑐𝑈))
65 iftrue 4492 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑀) ≤ 1 → if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)) = 1)
6618, 65eqtrid 2788 . . . . . . 7 ((𝐹𝑀) ≤ 1 → 𝑇 = 1)
6766oveq1d 7372 . . . . . 6 ((𝐹𝑀) ≤ 1 → (𝑇𝑐𝑈) = (1↑𝑐𝑈))
6846recnd 11183 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
69681cxpd 26062 . . . . . 6 (𝜑 → (1↑𝑐𝑈) = 1)
7067, 69sylan9eqr 2798 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑀) ≤ 1) → (𝑇𝑐𝑈) = 1)
7164, 70breqtrd 5131 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑀) ≤ 1) → (𝐹𝑁) ≤ 1)
7217, 71mtand 814 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑀) ≤ 1)
73 ltnle 11234 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑀) ∈ ℝ) → (1 < (𝐹𝑀) ↔ ¬ (𝐹𝑀) ≤ 1))
742, 26, 73sylancr 587 . . 3 (𝜑 → (1 < (𝐹𝑀) ↔ ¬ (𝐹𝑀) ≤ 1))
7572, 74mpbird 256 . 2 (𝜑 → 1 < (𝐹𝑀))
7630, 31, 14, 33, 1lttrd 11316 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (𝐹𝑁))
7714, 76elrpd 12954 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ+)
7877reeflogd 25979 . . . . . . 7 (𝜑 → (exp‘(log‘(𝐹𝑁))) = (𝐹𝑁))
79 iffalse 4495 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝐹𝑀) ≤ 1 → if((𝐹𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹𝑀)) = (𝐹𝑀))
8018, 79eqtrid 2788 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝐹𝑀) ≤ 1 → 𝑇 = (𝐹𝑀))
8172, 80syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 = (𝐹𝑀))
8281oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇𝑐𝑈) = ((𝐹𝑀)↑𝑐𝑈))
8326recnd 11183 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℂ)
8430, 31, 26, 33, 75lttrd 11316 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (𝐹𝑀))
8526, 84elrpd 12954 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ+)
8685rpne0d 12962 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑀) ≠ 0)
8783, 86, 68cxpefd 26067 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑀)↑𝑐𝑈) = (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹𝑀)))))
8882, 87eqtr2d 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹𝑀)))) = (𝑇𝑐𝑈))
8963, 78, 883brtr4d 5137 . . . . . 6 (𝜑 → (exp‘(log‘(𝐹𝑁))) ≤ (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹𝑀)))))
9077relogcld 25978 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑁)) ∈ ℝ)
9185relogcld 25978 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
9246, 91remulcld 11185 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))) ∈ ℝ)
93 efle 16000 . . . . . . 7 (((log‘(𝐹𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))) ∈ ℝ) → ((log‘(𝐹𝑁)) ≤ (𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))) ↔ (exp‘(log‘(𝐹𝑁))) ≤ (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))))))
9490, 92, 93syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑁)) ≤ (𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))) ↔ (exp‘(log‘(𝐹𝑁))) ≤ (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))))))
9589, 94mpbird 256 . . . . 5 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑁)) ≤ (𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))))
9641recnd 11183 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
9791recnd 11183 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑀)) ∈ ℂ)
9844rpcnd 12959 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℂ)
9944rpne0d 12962 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝑀) ≠ 0)
10096, 97, 98, 99div12d 11967 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))) = ((log‘(𝐹𝑀)) · ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))))
10139oveq2i 7368 . . . . . . 7 ((log‘(𝐹𝑀)) · 𝑈) = ((log‘(𝐹𝑀)) · ((log‘𝑁) / (log‘𝑀)))
102100, 101eqtr4di 2794 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))) = ((log‘(𝐹𝑀)) · 𝑈))
10397, 68mulcomd 11176 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑀)) · 𝑈) = (𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))))
104102, 103eqtrd 2776 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))) = (𝑈 · (log‘(𝐹𝑀))))
10595, 104breqtrrd 5133 . . . 4 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑁)) ≤ ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀))))
10691, 44rerpdivcld 12988 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀)) ∈ ℝ)
1077nnred 12168 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1086simprd 496 . . . . . 6 (𝜑 → 1 < 𝑁)
109107, 108rplogcld 25984 . . . . 5 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ+)
11090, 106, 109ledivmuld 13010 . . . 4 (𝜑 → (((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁)) ≤ ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀)) ↔ (log‘(𝐹𝑁)) ≤ ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀)))))
111105, 110mpbird 256 . . 3 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁)) ≤ ((log‘(𝐹𝑀)) / (log‘𝑀)))
112111, 55, 563brtr4g 5139 . 2 (𝜑𝑅𝑆)
11375, 112jca 512 1 (𝜑 → (1 < (𝐹𝑀) ∧ 𝑅𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  cuz 12763  cq 12873  cexp 13967  expce 15944  cprime 16547   pCnt cpc 16708  s cress 17112  AbsValcabv 20275  fldccnfld 20796  logclog 25910  𝑐ccxp 25911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-abv 20276  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913
This theorem is referenced by:  ostth2  26985
  Copyright terms: Public domain W3C validator