MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth2lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostth2lem4 27007
Description: Lemma for ostth2 27008. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
padic.j 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
ostth.k 𝐾 = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, 1))
ostth.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
ostth2.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
ostth2.3 (πœ‘ β†’ 1 < (πΉβ€˜π‘))
ostth2.4 𝑅 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘))
ostth2.5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
ostth2.6 𝑆 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€))
ostth2.7 𝑇 = if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€))
ostth2.8 π‘ˆ = ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
ostth2lem4 (πœ‘ β†’ (1 < (πΉβ€˜π‘€) ∧ 𝑅 ≀ 𝑆))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀   π‘₯,π‘ž,πœ‘   π‘₯,𝑇   π‘₯,π‘ˆ   𝐴,π‘ž,π‘₯   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑄   𝐹,π‘ž   𝑅,π‘ž   π‘₯,𝐹
Allowed substitution hints:   𝑄(π‘ž)   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯,π‘ž)   𝑇(π‘ž)   π‘ˆ(π‘ž)   𝐽(π‘₯,π‘ž)   𝐾(π‘₯,π‘ž)   𝑀(π‘ž)   𝑁(π‘ž)

Proof of Theorem ostth2lem4
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostth2.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 < (πΉβ€˜π‘))
2 1re 11163 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
3 ostth.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
4 ostth2.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
5 eluz2b2 12854 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝑁 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑁))
64, 5sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑁))
76simpld 496 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
8 nnq 12895 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„š)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„š)
10 qabsabv.a . . . . . . . 8 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
11 qrng.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
1211qrngbas 26990 . . . . . . . 8 β„š = (Baseβ€˜π‘„)
1310, 12abvcl 20326 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
143, 9, 13syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
15 ltnle 11242 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ) β†’ (1 < (πΉβ€˜π‘) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘) ≀ 1))
162, 14, 15sylancr 588 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 < (πΉβ€˜π‘) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘) ≀ 1))
171, 16mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘) ≀ 1)
18 ostth2.7 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€))
19 ostth2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
20 eluz2b2 12854 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝑀 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑀))
2119, 20sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑀))
2221simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
23 nnq 12895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„š)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„š)
2510, 12abvcl 20326 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
263, 24, 25syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
27 ifcl 4535 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ) β†’ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)) ∈ ℝ)
282, 26, 27sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)) ∈ ℝ)
2918, 28eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
30 0red 11166 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
312a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
32 0lt1 11685 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 1
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 < 1)
34 max2 13115 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ 1 ≀ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)))
3526, 2, 34sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 1 ≀ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)))
3635, 18breqtrrdi 5151 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑇)
3730, 31, 29, 33, 36ltletrd 11323 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑇)
3829, 37elrpd 12962 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
39 ostth2.8 . . . . . . . . . . . 12 π‘ˆ = ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘€))
407nnrpd 12963 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
4140relogcld 26001 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
4222nnred 12176 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
4321simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 1 < 𝑀)
4442, 43rplogcld 26007 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘€) ∈ ℝ+)
4541, 44rerpdivcld 12996 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘€)) ∈ ℝ)
4639, 45eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
4738, 46rpcxpcld 26110 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) ∈ ℝ+)
4814, 47rerpdivcld 12996 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) / (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)) ∈ ℝ)
4942, 29remulcld 11193 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 𝑇) ∈ ℝ)
50 peano2re 11336 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ ℝ β†’ (π‘ˆ + 1) ∈ ℝ)
5146, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ + 1) ∈ ℝ)
5249, 51remulcld 11193 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1)) ∈ ℝ)
53 padic.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
54 ostth.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, 1))
55 ostth2.4 . . . . . . . . . 10 𝑅 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘))
56 ostth2.6 . . . . . . . . . 10 𝑆 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€))
5711, 10, 53, 54, 3, 4, 1, 55, 19, 56, 18, 39ostth2lem3 27006 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘) / (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ))↑𝑛) ≀ (𝑛 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1))))
5848, 52, 57ostth2lem1 26989 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) / (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)) ≀ 1)
5914, 31, 47ledivmuld 13018 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘) / (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)) ≀ 1 ↔ (πΉβ€˜π‘) ≀ ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) Β· 1)))
6058, 59mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) Β· 1))
6147rpcnd 12967 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) ∈ β„‚)
6261mulridd 11180 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) Β· 1) = (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ))
6360, 62breqtrd 5135 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ))
6463adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘€) ≀ 1) β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ))
65 iftrue 4496 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1 β†’ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)) = 1)
6618, 65eqtrid 2785 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1 β†’ 𝑇 = 1)
6766oveq1d 7376 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1 β†’ (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) = (1β†‘π‘π‘ˆ))
6846recnd 11191 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚)
69681cxpd 26085 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1β†‘π‘π‘ˆ) = 1)
7067, 69sylan9eqr 2795 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘€) ≀ 1) β†’ (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) = 1)
7164, 70breqtrd 5135 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘€) ≀ 1) β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ 1)
7217, 71mtand 815 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘€) ≀ 1)
73 ltnle 11242 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ) β†’ (1 < (πΉβ€˜π‘€) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘€) ≀ 1))
742, 26, 73sylancr 588 . . 3 (πœ‘ β†’ (1 < (πΉβ€˜π‘€) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘€) ≀ 1))
7572, 74mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ 1 < (πΉβ€˜π‘€))
7630, 31, 14, 33, 1lttrd 11324 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘))
7714, 76elrpd 12962 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
7877reeflogd 26002 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(logβ€˜(πΉβ€˜π‘))) = (πΉβ€˜π‘))
79 iffalse 4499 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ (πΉβ€˜π‘€) ≀ 1 β†’ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)) = (πΉβ€˜π‘€))
8018, 79eqtrid 2785 . . . . . . . . . 10 (Β¬ (πΉβ€˜π‘€) ≀ 1 β†’ 𝑇 = (πΉβ€˜π‘€))
8172, 80syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 = (πΉβ€˜π‘€))
8281oveq1d 7376 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) = ((πΉβ€˜π‘€)β†‘π‘π‘ˆ))
8326recnd 11191 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ β„‚)
8430, 31, 26, 33, 75lttrd 11324 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘€))
8526, 84elrpd 12962 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ+)
8685rpne0d 12970 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) β‰  0)
8783, 86, 68cxpefd 26090 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β†‘π‘π‘ˆ) = (expβ€˜(π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)))))
8882, 87eqtr2d 2774 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)))) = (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ))
8963, 78, 883brtr4d 5141 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(logβ€˜(πΉβ€˜π‘))) ≀ (expβ€˜(π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)))))
9077relogcld 26001 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
9185relogcld 26001 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) ∈ ℝ)
9246, 91remulcld 11193 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€))) ∈ ℝ)
93 efle 16008 . . . . . . 7 (((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ ∧ (π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€))) ∈ ℝ) β†’ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ≀ (π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€))) ↔ (expβ€˜(logβ€˜(πΉβ€˜π‘))) ≀ (expβ€˜(π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€))))))
9490, 92, 93syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ≀ (π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€))) ↔ (expβ€˜(logβ€˜(πΉβ€˜π‘))) ≀ (expβ€˜(π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€))))))
9589, 94mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ≀ (π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€))))
9641recnd 11191 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
9791recnd 11191 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) ∈ β„‚)
9844rpcnd 12967 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘€) ∈ β„‚)
9944rpne0d 12970 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘€) β‰  0)
10096, 97, 98, 99div12d 11975 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) Β· ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€))) = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) Β· ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘€))))
10139oveq2i 7372 . . . . . . 7 ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) Β· π‘ˆ) = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) Β· ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘€)))
102100, 101eqtr4di 2791 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) Β· ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€))) = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) Β· π‘ˆ))
10397, 68mulcomd 11184 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) Β· π‘ˆ) = (π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€))))
104102, 103eqtrd 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) Β· ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€))) = (π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€))))
10595, 104breqtrrd 5137 . . . 4 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ≀ ((logβ€˜π‘) Β· ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€))))
10691, 44rerpdivcld 12996 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€)) ∈ ℝ)
1077nnred 12176 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
1086simprd 497 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 < 𝑁)
109107, 108rplogcld 26007 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
11090, 106, 109ledivmuld 13018 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘)) ≀ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€)) ↔ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ≀ ((logβ€˜π‘) Β· ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€)))))
111105, 110mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘)) ≀ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€)))
112111, 55, 563brtr4g 5143 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ≀ 𝑆)
11375, 112jca 513 1 (πœ‘ β†’ (1 < (πΉβ€˜π‘€) ∧ 𝑅 ≀ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ifcif 4490   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064   < clt 11197   ≀ cle 11198  -cneg 11394   / cdiv 11820  β„•cn 12161  2c2 12216  β„€β‰₯cuz 12771  β„šcq 12881  β†‘cexp 13976  expce 15952  β„™cprime 16555   pCnt cpc 16716   β†Ύs cress 17120  AbsValcabv 20318  β„‚fldccnfld 20819  logclog 25933  β†‘𝑐ccxp 25934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14961  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-ef 15958  df-sin 15960  df-cos 15961  df-pi 15963  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-subrg 20262  df-abv 20319  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-limc 25253  df-dv 25254  df-log 25935  df-cxp 25936
This theorem is referenced by:  ostth2  27008
  Copyright terms: Public domain W3C validator