MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth2lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostth2lem4 27587
Description: Lemma for ostth2 27588. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
padic.j 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
ostth.k 𝐾 = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, 1))
ostth.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
ostth2.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
ostth2.3 (πœ‘ β†’ 1 < (πΉβ€˜π‘))
ostth2.4 𝑅 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘))
ostth2.5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
ostth2.6 𝑆 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€))
ostth2.7 𝑇 = if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€))
ostth2.8 π‘ˆ = ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
ostth2lem4 (πœ‘ β†’ (1 < (πΉβ€˜π‘€) ∧ 𝑅 ≀ 𝑆))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀   π‘₯,π‘ž,πœ‘   π‘₯,𝑇   π‘₯,π‘ˆ   𝐴,π‘ž,π‘₯   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑄   𝐹,π‘ž   𝑅,π‘ž   π‘₯,𝐹
Allowed substitution hints:   𝑄(π‘ž)   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯,π‘ž)   𝑇(π‘ž)   π‘ˆ(π‘ž)   𝐽(π‘₯,π‘ž)   𝐾(π‘₯,π‘ž)   𝑀(π‘ž)   𝑁(π‘ž)

Proof of Theorem ostth2lem4
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostth2.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 < (πΉβ€˜π‘))
2 1re 11244 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
3 ostth.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
4 ostth2.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
5 eluz2b2 12935 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝑁 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑁))
64, 5sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑁))
76simpld 493 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
8 nnq 12976 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„š)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„š)
10 qabsabv.a . . . . . . . 8 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
11 qrng.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
1211qrngbas 27570 . . . . . . . 8 β„š = (Baseβ€˜π‘„)
1310, 12abvcl 20708 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
143, 9, 13syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
15 ltnle 11323 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ) β†’ (1 < (πΉβ€˜π‘) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘) ≀ 1))
162, 14, 15sylancr 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 < (πΉβ€˜π‘) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘) ≀ 1))
171, 16mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘) ≀ 1)
18 ostth2.7 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€))
19 ostth2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
20 eluz2b2 12935 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝑀 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑀))
2119, 20sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑀))
2221simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
23 nnq 12976 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„š)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„š)
2510, 12abvcl 20708 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
263, 24, 25syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
27 ifcl 4569 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ) β†’ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)) ∈ ℝ)
282, 26, 27sylancr 585 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)) ∈ ℝ)
2918, 28eqeltrid 2829 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
30 0red 11247 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
312a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
32 0lt1 11766 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 1
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 < 1)
34 max2 13198 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ 1 ≀ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)))
3526, 2, 34sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 1 ≀ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)))
3635, 18breqtrrdi 5185 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑇)
3730, 31, 29, 33, 36ltletrd 11404 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑇)
3829, 37elrpd 13045 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
39 ostth2.8 . . . . . . . . . . . 12 π‘ˆ = ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘€))
407nnrpd 13046 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
4140relogcld 26575 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
4222nnred 12257 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
4321simprd 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 1 < 𝑀)
4442, 43rplogcld 26581 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘€) ∈ ℝ+)
4541, 44rerpdivcld 13079 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘€)) ∈ ℝ)
4639, 45eqeltrid 2829 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
4738, 46rpcxpcld 26685 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) ∈ ℝ+)
4814, 47rerpdivcld 13079 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) / (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)) ∈ ℝ)
4942, 29remulcld 11274 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 𝑇) ∈ ℝ)
50 peano2re 11417 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ ℝ β†’ (π‘ˆ + 1) ∈ ℝ)
5146, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ + 1) ∈ ℝ)
5249, 51remulcld 11274 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1)) ∈ ℝ)
53 padic.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
54 ostth.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, 1))
55 ostth2.4 . . . . . . . . . 10 𝑅 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘))
56 ostth2.6 . . . . . . . . . 10 𝑆 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€))
5711, 10, 53, 54, 3, 4, 1, 55, 19, 56, 18, 39ostth2lem3 27586 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘) / (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ))↑𝑛) ≀ (𝑛 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1))))
5848, 52, 57ostth2lem1 27569 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) / (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)) ≀ 1)
5914, 31, 47ledivmuld 13101 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘) / (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)) ≀ 1 ↔ (πΉβ€˜π‘) ≀ ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) Β· 1)))
6058, 59mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) Β· 1))
6147rpcnd 13050 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) ∈ β„‚)
6261mulridd 11261 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) Β· 1) = (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ))
6360, 62breqtrd 5169 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ))
6463adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘€) ≀ 1) β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ))
65 iftrue 4530 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1 β†’ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)) = 1)
6618, 65eqtrid 2777 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1 β†’ 𝑇 = 1)
6766oveq1d 7431 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1 β†’ (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) = (1β†‘π‘π‘ˆ))
6846recnd 11272 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚)
69681cxpd 26659 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1β†‘π‘π‘ˆ) = 1)
7067, 69sylan9eqr 2787 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘€) ≀ 1) β†’ (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) = 1)
7164, 70breqtrd 5169 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘€) ≀ 1) β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ 1)
7217, 71mtand 814 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘€) ≀ 1)
73 ltnle 11323 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ) β†’ (1 < (πΉβ€˜π‘€) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘€) ≀ 1))
742, 26, 73sylancr 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (1 < (πΉβ€˜π‘€) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘€) ≀ 1))
7572, 74mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ 1 < (πΉβ€˜π‘€))
7630, 31, 14, 33, 1lttrd 11405 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘))
7714, 76elrpd 13045 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
7877reeflogd 26576 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(logβ€˜(πΉβ€˜π‘))) = (πΉβ€˜π‘))
79 iffalse 4533 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ (πΉβ€˜π‘€) ≀ 1 β†’ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)) = (πΉβ€˜π‘€))
8018, 79eqtrid 2777 . . . . . . . . . 10 (Β¬ (πΉβ€˜π‘€) ≀ 1 β†’ 𝑇 = (πΉβ€˜π‘€))
8172, 80syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 = (πΉβ€˜π‘€))
8281oveq1d 7431 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) = ((πΉβ€˜π‘€)β†‘π‘π‘ˆ))
8326recnd 11272 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ β„‚)
8430, 31, 26, 33, 75lttrd 11405 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘€))
8526, 84elrpd 13045 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ+)
8685rpne0d 13053 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) β‰  0)
8783, 86, 68cxpefd 26664 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β†‘π‘π‘ˆ) = (expβ€˜(π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)))))
8882, 87eqtr2d 2766 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)))) = (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ))
8963, 78, 883brtr4d 5175 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(logβ€˜(πΉβ€˜π‘))) ≀ (expβ€˜(π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)))))
9077relogcld 26575 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
9185relogcld 26575 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) ∈ ℝ)
9246, 91remulcld 11274 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€))) ∈ ℝ)
93 efle 16094 . . . . . . 7 (((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ ∧ (π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€))) ∈ ℝ) β†’ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ≀ (π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€))) ↔ (expβ€˜(logβ€˜(πΉβ€˜π‘))) ≀ (expβ€˜(π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€))))))
9490, 92, 93syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ≀ (π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€))) ↔ (expβ€˜(logβ€˜(πΉβ€˜π‘))) ≀ (expβ€˜(π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€))))))
9589, 94mpbird 256 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ≀ (π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€))))
9641recnd 11272 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
9791recnd 11272 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) ∈ β„‚)
9844rpcnd 13050 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘€) ∈ β„‚)
9944rpne0d 13053 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘€) β‰  0)
10096, 97, 98, 99div12d 12056 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) Β· ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€))) = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) Β· ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘€))))
10139oveq2i 7427 . . . . . . 7 ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) Β· π‘ˆ) = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) Β· ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘€)))
102100, 101eqtr4di 2783 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) Β· ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€))) = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) Β· π‘ˆ))
10397, 68mulcomd 11265 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) Β· π‘ˆ) = (π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€))))
104102, 103eqtrd 2765 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) Β· ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€))) = (π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€))))
10595, 104breqtrrd 5171 . . . 4 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ≀ ((logβ€˜π‘) Β· ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€))))
10691, 44rerpdivcld 13079 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€)) ∈ ℝ)
1077nnred 12257 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
1086simprd 494 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 < 𝑁)
109107, 108rplogcld 26581 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
11090, 106, 109ledivmuld 13101 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘)) ≀ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€)) ↔ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ≀ ((logβ€˜π‘) Β· ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€)))))
111105, 110mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘)) ≀ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€)))
112111, 55, 563brtr4g 5177 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ≀ 𝑆)
11375, 112jca 510 1 (πœ‘ β†’ (1 < (πΉβ€˜π‘€) ∧ 𝑅 ≀ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4524   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   Β· cmul 11143   < clt 11278   ≀ cle 11279  -cneg 11475   / cdiv 11901  β„•cn 12242  2c2 12297  β„€β‰₯cuz 12852  β„šcq 12962  β†‘cexp 14058  expce 16037  β„™cprime 16641   pCnt cpc 16804   β†Ύs cress 17208  AbsValcabv 20700  β„‚fldccnfld 21283  logclog 26506  β†‘𝑐ccxp 26507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-pi 16048  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-dvr 20344  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-drng 20630  df-abv 20701  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814  df-log 26508  df-cxp 26509
This theorem is referenced by:  ostth2  27588
  Copyright terms: Public domain W3C validator