Theorem ostth2lem4 27680

Description: Lemma for ostth2 27681. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
ostth2.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
ostth2.3	⊢ (𝜑 → 1 < (𝐹‘𝑁))
ostth2.4	⊢ 𝑅 = ((log‘(𝐹‘𝑁)) / (log‘𝑁))
ostth2.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2))
ostth2.6	⊢ 𝑆 = ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))
ostth2.7	⊢ 𝑇 = if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀))
ostth2.8	⊢ 𝑈 = ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
ostth2lem4	⊢ (𝜑 → (1 < (𝐹‘𝑀) ∧ 𝑅 ≤ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑞,𝜑   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈   𝐴,𝑞,𝑥   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝐹,𝑞   𝑅,𝑞   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑞)   𝑇(𝑞)   𝑈(𝑞)   𝐽(𝑥,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑞)   𝑀(𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem ostth2lem4

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ostth2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝐹‘𝑁))
2		1re 11261	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		ostth.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
4		ostth2.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
5		eluz2b2 12963	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
6	4, 5	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
7	6	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8		nnq 13004	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℚ)
10		qabsabv.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
11		qrng.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
12	11	qrngbas 27663	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
13	10, 12	abvcl 20817	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
14	3, 9, 13	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
15		ltnle 11340	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ) → (1 < (𝐹‘𝑁) ↔ ¬ (𝐹‘𝑁) ≤ 1))
16	2, 14, 15	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 < (𝐹‘𝑁) ↔ ¬ (𝐹‘𝑁) ≤ 1))
17	1, 16	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝑁) ≤ 1)
18		ostth2.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑇 = if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀))
19		ostth2.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘2))
20		eluz2b2 12963	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
21	19, 20	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑀))
22	21	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
23		nnq 13004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℚ)
25	10, 12	abvcl 20817	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
26	3, 24, 25	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
27		ifcl 4571	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ) → if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ)
28	2, 26, 27	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ)
29	18, 28	eqeltrid 2845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
30		0red 11264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
31	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
32		0lt1 11785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 1
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
34		max2 13229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → 1 ≤ if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)))
35	26, 2, 34	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)))
36	35, 18	breqtrrdi 5185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑇)
37	30, 31, 29, 33, 36	ltletrd 11421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
38	29, 37	elrpd 13074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
39		ostth2.8	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑈 = ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))
40	7	nnrpd 13075	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
41	40	relogcld 26665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
42	22	nnred 12281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
43	21	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑀)
44	42, 43	rplogcld 26671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℝ+)
45	41, 44	rerpdivcld 13108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) / (log‘𝑀)) ∈ ℝ)
46	39, 45	eqeltrid 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
47	38, 46	rpcxpcld 26775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇↑𝑐𝑈) ∈ ℝ+)
48	14, 47	rerpdivcld 13108	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) / (𝑇↑𝑐𝑈)) ∈ ℝ)
49	42, 29	remulcld 11291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑇) ∈ ℝ)
50		peano2re 11434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ ℝ → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
51	46, 50	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
52	49, 51	remulcld 11291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1)) ∈ ℝ)
53		padic.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
54		ostth.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
55		ostth2.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = ((log‘(𝐹‘𝑁)) / (log‘𝑁))
56		ostth2.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))
57	11, 10, 53, 54, 3, 4, 1, 55, 19, 56, 18, 39	ostth2lem3 27679	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁) / (𝑇↑𝑐𝑈))↑𝑛) ≤ (𝑛 · ((𝑀 · 𝑇) · (𝑈 + 1))))
58	48, 52, 57	ostth2lem1 27662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) / (𝑇↑𝑐𝑈)) ≤ 1)
59	14, 31, 47	ledivmuld 13130	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁) / (𝑇↑𝑐𝑈)) ≤ 1 ↔ (𝐹‘𝑁) ≤ ((𝑇↑𝑐𝑈) · 1)))
60	58, 59	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ ((𝑇↑𝑐𝑈) · 1))
61	47	rpcnd 13079	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇↑𝑐𝑈) ∈ ℂ)
62	61	mulridd 11278	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑇↑𝑐𝑈) · 1) = (𝑇↑𝑐𝑈))
63	60, 62	breqtrd 5169	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑇↑𝑐𝑈))
64	63	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑀) ≤ 1) → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑇↑𝑐𝑈))
65		iftrue 4531	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑀) ≤ 1 → if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)) = 1)
66	18, 65	eqtrid 2789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑀) ≤ 1 → 𝑇 = 1)
67	66	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑀) ≤ 1 → (𝑇↑𝑐𝑈) = (1↑𝑐𝑈))
68	46	recnd 11289	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
69	68	1cxpd 26749	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑐𝑈) = 1)
70	67, 69	sylan9eqr 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑀) ≤ 1) → (𝑇↑𝑐𝑈) = 1)
71	64, 70	breqtrd 5169	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑀) ≤ 1) → (𝐹‘𝑁) ≤ 1)
72	17, 71	mtand 816	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝑀) ≤ 1)
73		ltnle 11340	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ) → (1 < (𝐹‘𝑀) ↔ ¬ (𝐹‘𝑀) ≤ 1))
74	2, 26, 73	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 < (𝐹‘𝑀) ↔ ¬ (𝐹‘𝑀) ≤ 1))
75	72, 74	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝐹‘𝑀))
76	30, 31, 14, 33, 1	lttrd 11422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐹‘𝑁))
77	14, 76	elrpd 13074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ+)
78	77	reeflogd 26666	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘(𝐹‘𝑁))) = (𝐹‘𝑁))
79		iffalse 4534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑀) ≤ 1 → if((𝐹‘𝑀) ≤ 1, 1, (𝐹‘𝑀)) = (𝐹‘𝑀))
80	18, 79	eqtrid 2789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑀) ≤ 1 → 𝑇 = (𝐹‘𝑀))
81	72, 80	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝐹‘𝑀))
82	81	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇↑𝑐𝑈) = ((𝐹‘𝑀)↑𝑐𝑈))
83	26	recnd 11289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ)
84	30, 31, 26, 33, 75	lttrd 11422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐹‘𝑀))
85	26, 84	elrpd 13074	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ+)
86	85	rpne0d 13082	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ≠ 0)
87	83, 86, 68	cxpefd 26754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑀)↑𝑐𝑈) = (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀)))))
88	82, 87	eqtr2d 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀)))) = (𝑇↑𝑐𝑈))
89	63, 78, 88	3brtr4d 5175	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘(𝐹‘𝑁))) ≤ (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀)))))
90	77	relogcld 26665	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑁)) ∈ ℝ)
91	85	relogcld 26665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ)
92	46, 91	remulcld 11291	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))) ∈ ℝ)
93		efle 16154	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘(𝐹‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))) ∈ ℝ) → ((log‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))) ↔ (exp‘(log‘(𝐹‘𝑁))) ≤ (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))))))
94	90, 92, 93	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))) ↔ (exp‘(log‘(𝐹‘𝑁))) ≤ (exp‘(𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))))))
95	89, 94	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑁)) ≤ (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))))
96	41	recnd 11289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
97	91	recnd 11289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑀)) ∈ ℂ)
98	44	rpcnd 13079	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑀) ∈ ℂ)
99	44	rpne0d 13082	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑀) ≠ 0)
100	96, 97, 98, 99	div12d 12079	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))) = ((log‘(𝐹‘𝑀)) · ((log‘𝑁) / (log‘𝑀))))
101	39	oveq2i 7442	. . . . . . 7 ⊢ ((log‘(𝐹‘𝑀)) · 𝑈) = ((log‘(𝐹‘𝑀)) · ((log‘𝑁) / (log‘𝑀)))
102	100, 101	eqtr4di 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))) = ((log‘(𝐹‘𝑀)) · 𝑈))
103	97, 68	mulcomd 11282	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝐹‘𝑀)) · 𝑈) = (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))))
104	102, 103	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))) = (𝑈 · (log‘(𝐹‘𝑀))))
105	95, 104	breqtrrd 5171	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑁)) ≤ ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀))))
106	91, 44	rerpdivcld 13108	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀)) ∈ ℝ)
107	7	nnred 12281	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
108	6	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑁)
109	107, 108	rplogcld 26671	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ+)
110	90, 106, 109	ledivmuld 13130	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((log‘(𝐹‘𝑁)) / (log‘𝑁)) ≤ ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀)) ↔ (log‘(𝐹‘𝑁)) ≤ ((log‘𝑁) · ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀)))))
111	105, 110	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝐹‘𝑁)) / (log‘𝑁)) ≤ ((log‘(𝐹‘𝑀)) / (log‘𝑀)))
112	111, 55, 56	3brtr4g 5177	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ 𝑆)
113	75, 112	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (1 < (𝐹‘𝑀) ∧ 𝑅 ≤ 𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ifcif 4525   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295   ≤ cle 11296  -cneg 11493   / cdiv 11920  ℕcn 12266  2c2 12321  ℤ_≥cuz 12878  ℚcq 12990  ↑cexp 14102  expce 16097  ℙcprime 16708   pCnt cpc 16874   ↾_s cress 17274  AbsValcabv 20809  ℂ_fldccnfld 21364  logclog 26596  ↑_𝑐ccxp 26597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-abv 20810  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599

This theorem is referenced by:  ostth2  27681