MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth2lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostth2lem4 27524
Description: Lemma for ostth2 27525. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
padic.j 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
ostth.k 𝐾 = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, 1))
ostth.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
ostth2.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
ostth2.3 (πœ‘ β†’ 1 < (πΉβ€˜π‘))
ostth2.4 𝑅 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘))
ostth2.5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
ostth2.6 𝑆 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€))
ostth2.7 𝑇 = if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€))
ostth2.8 π‘ˆ = ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
ostth2lem4 (πœ‘ β†’ (1 < (πΉβ€˜π‘€) ∧ 𝑅 ≀ 𝑆))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀   π‘₯,π‘ž,πœ‘   π‘₯,𝑇   π‘₯,π‘ˆ   𝐴,π‘ž,π‘₯   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑄   𝐹,π‘ž   𝑅,π‘ž   π‘₯,𝐹
Allowed substitution hints:   𝑄(π‘ž)   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯,π‘ž)   𝑇(π‘ž)   π‘ˆ(π‘ž)   𝐽(π‘₯,π‘ž)   𝐾(π‘₯,π‘ž)   𝑀(π‘ž)   𝑁(π‘ž)

Proof of Theorem ostth2lem4
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostth2.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 < (πΉβ€˜π‘))
2 1re 11218 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
3 ostth.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
4 ostth2.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
5 eluz2b2 12909 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝑁 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑁))
64, 5sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑁))
76simpld 494 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
8 nnq 12950 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„š)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„š)
10 qabsabv.a . . . . . . . 8 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
11 qrng.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
1211qrngbas 27507 . . . . . . . 8 β„š = (Baseβ€˜π‘„)
1310, 12abvcl 20667 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
143, 9, 13syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
15 ltnle 11297 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ) β†’ (1 < (πΉβ€˜π‘) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘) ≀ 1))
162, 14, 15sylancr 586 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 < (πΉβ€˜π‘) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘) ≀ 1))
171, 16mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘) ≀ 1)
18 ostth2.7 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€))
19 ostth2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
20 eluz2b2 12909 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝑀 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑀))
2119, 20sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑀))
2221simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
23 nnq 12950 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„š)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„š)
2510, 12abvcl 20667 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
263, 24, 25syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
27 ifcl 4568 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ) β†’ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)) ∈ ℝ)
282, 26, 27sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)) ∈ ℝ)
2918, 28eqeltrid 2831 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
30 0red 11221 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
312a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
32 0lt1 11740 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 1
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 < 1)
34 max2 13172 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ 1 ≀ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)))
3526, 2, 34sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 1 ≀ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)))
3635, 18breqtrrdi 5183 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑇)
3730, 31, 29, 33, 36ltletrd 11378 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑇)
3829, 37elrpd 13019 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
39 ostth2.8 . . . . . . . . . . . 12 π‘ˆ = ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘€))
407nnrpd 13020 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
4140relogcld 26512 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
4222nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
4321simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 1 < 𝑀)
4442, 43rplogcld 26518 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘€) ∈ ℝ+)
4541, 44rerpdivcld 13053 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘€)) ∈ ℝ)
4639, 45eqeltrid 2831 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
4738, 46rpcxpcld 26622 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) ∈ ℝ+)
4814, 47rerpdivcld 13053 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) / (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)) ∈ ℝ)
4942, 29remulcld 11248 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 𝑇) ∈ ℝ)
50 peano2re 11391 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ ℝ β†’ (π‘ˆ + 1) ∈ ℝ)
5146, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ + 1) ∈ ℝ)
5249, 51remulcld 11248 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1)) ∈ ℝ)
53 padic.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
54 ostth.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, 1))
55 ostth2.4 . . . . . . . . . 10 𝑅 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘))
56 ostth2.6 . . . . . . . . . 10 𝑆 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€))
5711, 10, 53, 54, 3, 4, 1, 55, 19, 56, 18, 39ostth2lem3 27523 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘) / (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ))↑𝑛) ≀ (𝑛 Β· ((𝑀 Β· 𝑇) Β· (π‘ˆ + 1))))
5848, 52, 57ostth2lem1 27506 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) / (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)) ≀ 1)
5914, 31, 47ledivmuld 13075 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘) / (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ)) ≀ 1 ↔ (πΉβ€˜π‘) ≀ ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) Β· 1)))
6058, 59mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) Β· 1))
6147rpcnd 13024 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) ∈ β„‚)
6261mulridd 11235 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) Β· 1) = (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ))
6360, 62breqtrd 5167 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ))
6463adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘€) ≀ 1) β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ))
65 iftrue 4529 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1 β†’ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)) = 1)
6618, 65eqtrid 2778 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1 β†’ 𝑇 = 1)
6766oveq1d 7420 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1 β†’ (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) = (1β†‘π‘π‘ˆ))
6846recnd 11246 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚)
69681cxpd 26596 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1β†‘π‘π‘ˆ) = 1)
7067, 69sylan9eqr 2788 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘€) ≀ 1) β†’ (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) = 1)
7164, 70breqtrd 5167 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘€) ≀ 1) β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ 1)
7217, 71mtand 813 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘€) ≀ 1)
73 ltnle 11297 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ) β†’ (1 < (πΉβ€˜π‘€) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘€) ≀ 1))
742, 26, 73sylancr 586 . . 3 (πœ‘ β†’ (1 < (πΉβ€˜π‘€) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘€) ≀ 1))
7572, 74mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ 1 < (πΉβ€˜π‘€))
7630, 31, 14, 33, 1lttrd 11379 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘))
7714, 76elrpd 13019 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
7877reeflogd 26513 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(logβ€˜(πΉβ€˜π‘))) = (πΉβ€˜π‘))
79 iffalse 4532 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ (πΉβ€˜π‘€) ≀ 1 β†’ if((πΉβ€˜π‘€) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘€)) = (πΉβ€˜π‘€))
8018, 79eqtrid 2778 . . . . . . . . . 10 (Β¬ (πΉβ€˜π‘€) ≀ 1 β†’ 𝑇 = (πΉβ€˜π‘€))
8172, 80syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 = (πΉβ€˜π‘€))
8281oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ) = ((πΉβ€˜π‘€)β†‘π‘π‘ˆ))
8326recnd 11246 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ β„‚)
8430, 31, 26, 33, 75lttrd 11379 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘€))
8526, 84elrpd 13019 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ+)
8685rpne0d 13027 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) β‰  0)
8783, 86, 68cxpefd 26601 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β†‘π‘π‘ˆ) = (expβ€˜(π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)))))
8882, 87eqtr2d 2767 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)))) = (π‘‡β†‘π‘π‘ˆ))
8963, 78, 883brtr4d 5173 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(logβ€˜(πΉβ€˜π‘))) ≀ (expβ€˜(π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)))))
9077relogcld 26512 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
9185relogcld 26512 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) ∈ ℝ)
9246, 91remulcld 11248 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€))) ∈ ℝ)
93 efle 16068 . . . . . . 7 (((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ ∧ (π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€))) ∈ ℝ) β†’ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ≀ (π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€))) ↔ (expβ€˜(logβ€˜(πΉβ€˜π‘))) ≀ (expβ€˜(π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€))))))
9490, 92, 93syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ≀ (π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€))) ↔ (expβ€˜(logβ€˜(πΉβ€˜π‘))) ≀ (expβ€˜(π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€))))))
9589, 94mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ≀ (π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€))))
9641recnd 11246 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
9791recnd 11246 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) ∈ β„‚)
9844rpcnd 13024 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘€) ∈ β„‚)
9944rpne0d 13027 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘€) β‰  0)
10096, 97, 98, 99div12d 12030 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) Β· ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€))) = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) Β· ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘€))))
10139oveq2i 7416 . . . . . . 7 ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) Β· π‘ˆ) = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) Β· ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘€)))
102100, 101eqtr4di 2784 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) Β· ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€))) = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) Β· π‘ˆ))
10397, 68mulcomd 11239 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) Β· π‘ˆ) = (π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€))))
104102, 103eqtrd 2766 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) Β· ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€))) = (π‘ˆ Β· (logβ€˜(πΉβ€˜π‘€))))
10595, 104breqtrrd 5169 . . . 4 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ≀ ((logβ€˜π‘) Β· ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€))))
10691, 44rerpdivcld 13053 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€)) ∈ ℝ)
1077nnred 12231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
1086simprd 495 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 < 𝑁)
109107, 108rplogcld 26518 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
11090, 106, 109ledivmuld 13075 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘)) ≀ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€)) ↔ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ≀ ((logβ€˜π‘) Β· ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€)))))
111105, 110mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘)) ≀ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) / (logβ€˜π‘€)))
112111, 55, 563brtr4g 5175 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ≀ 𝑆)
11375, 112jca 511 1 (πœ‘ β†’ (1 < (πΉβ€˜π‘€) ∧ 𝑅 ≀ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253  -cneg 11449   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  β„€β‰₯cuz 12826  β„šcq 12936  β†‘cexp 14032  expce 16011  β„™cprime 16615   pCnt cpc 16778   β†Ύs cress 17182  AbsValcabv 20659  β„‚fldccnfld 21240  logclog 26443  β†‘𝑐ccxp 26444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-abv 20660  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-cxp 26446
This theorem is referenced by:  ostth2  27525
  Copyright terms: Public domain W3C validator